重难点06 二次函数图象性质及其综合应用-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（全国通用）

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考点一：二次函数的图象与性质
二次函数是中考三大函数中内容最多，考察难度最大的一个函数。而二次函数的图象更是其庞大内容的核心，初中数学中需要我们详细的掌握抛物线的画法、特征、性质、与系数的关系、几何变换等几个方面的知识，进而在多变的题型中快速找到解决它们的方法。
题型01 二次函数图象与性质
【中考真题练】
1．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三、四象限D．第一、四象限
【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴，
∴，
当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
2．（2023•邵阳）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴①正确；
当x＝0时，y＝3，则点（0，3）在抛物线上，
∴②正确；
当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；
当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＜y2；
∴③错误；
当y1＝y2，则x1+x2＝﹣4，
∴④错误；
故正确的有2个，
故选：B．
3．（2023•扬州）已知二次函数y＝ax2﹣2x+（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②D．③④
【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞0时，抛物线开口向上，
∴对称轴为直线x＝＝＞0，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＞时，y随x的增大而增大，
∴函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限．
故选：B．
4．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
【分析】根据各函数解析式可得y随x的增大而减小时x的取值范围．
【解答】解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；
选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；
选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；
选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；
故选：D．
5．（2023•枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负；
②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；
③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；
④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x＝﹣1，得到3a+c＞0，即6a+2c＞，因为a＞0，所以得出11a+2c＞0；
⑤化简不等式，用a表示b，根据a＞0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：①根据图象可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a．
∴b＜0，
∴abc＞0．
故①错误．
②方程ax2+bx+c＝0，即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点，
根据图象已知一个交点﹣1＜x1＜0，关于x＝1对称，
∴另一个交点2＜x2＜3．
故②正确．
③∵对称轴是直线x＝1，
∴点（，y2）离对称轴更近，
∴y1＞y2，
故③错误．
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
根据图象，令x＝﹣1，
y＝a+2a+c＝3a+c＞0，
∴6a+2c＞0，
∵a＞0，
∴11a+2c＞0，
故④正确．
⑤m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a，
am2﹣2am≥﹣a，
即证：m2﹣2m+1≥0，
m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
∴m为任意实数，m2﹣2m+1≥0恒成立．
故⑤正确．
综上②④⑤正确，
故选：C．
6．（2023•呼和浩特）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：
①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等．
②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2＞时，＜0．
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则﹣＜m≤﹣或≤m＜．
④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据二次函数的对称轴为x＝﹣，可得x＝3，再由＝3即可判断结论①；
②将点C（2，﹣13）代入抛物线解析式可求得m＝1，即y＝x2﹣6x﹣5，当x＞3时，y随x的增大而增大．即可判断结论②；
③当x＝3时，y＝﹣5﹣9m，当x＝6时，y＝﹣5，根据若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，分两种情况：若m＞0，则﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，若m＜0，则﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，解不等式即可判断结论③；
④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小，由﹣14≤y≤n2+1，可得﹣5﹣9m＝﹣14或n2﹣6n﹣5＝n2+1，解方程即可判断结论④．
【解答】解：①二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5的对称轴为x＝﹣＝3，
∵x1＝3+a和x2＝3﹣a关于直线x＝3对称，
∴对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等，
∴①符合题意；
②将点C（2，﹣13）代入y＝mx2﹣6mx﹣5，得﹣13＝4m﹣12m﹣5，解得m＝1．
∴函数的解析式为y＝x2﹣6x﹣5，
当x＞3时，y随x的增大而增大．
∴当x1＞x2＞时，y1＞y2，
∴＞0．
∴②不符合题意；
③∵y＝mx2﹣6mx﹣5＝m（x﹣3）2﹣5﹣9m，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝3时，y＝﹣5﹣9m，
当x＝6时，y＝﹣5，
∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，
∴若m＞0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大，
则﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，
∴≤m＜；
若m＜0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，
则﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，
∴﹣＜m≤﹣；
∴﹣＜m≤﹣或≤m＜．
∴③符合题意；
④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小，
∵﹣14≤y≤n2+1，
∴﹣5﹣9m＝﹣14，
解得：m＝1，
∴n2﹣6n﹣5＝n2+1，
解得：n＝﹣1，
∴④不符合题意；
综上所述，正确结论有①③，共2个．
故选：B．
7．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ﹣1＜n＜0 ．
【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．
故答案为：﹣1＜n＜0．
8．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，
（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．
【解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵对称轴为x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，如果a＞0，则（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，
∴＞t，
即t≤．
【中考模拟练】
1．（2024•虹口区二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣4）2，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥4B．x≤4C．x≥﹣4D．x≤﹣4
【分析】依据题意，由二次函数y＝﹣（x﹣4）2，再结合a＝﹣1＜0，从而当x≤4时，y随x的增大而增大，当x≥4时，y随x的增大而减小，再由函数值y随自变量x的增大而减小，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣（x﹣4）2，
又a＝﹣1＜0，
∴当x≤4时，y随x的增大而增大，当x≥4时，y随x的增大而减小．
由函数值y随自变量x的增大而减小，
∴x≥4．
故选：A．
2．（2024•郑州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的图象可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过哪几个象限．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象，可知：a＜0，b＞0，
则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
3．（2024•霍邱县模拟）函数y＝kx2﹣4x+3和y＝kx﹣k（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由k＞0和k＜0时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，进行综合判断即可．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，故选项A不符合；当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选项B，D不符合，选项C中，由一次函数y＝kx﹣k的图象，得k＜0，此时二次函数 y＝kx2﹣4x+3 的图象应开口向下，对称轴为直线 x＝﹣＜0，所以应该位于y轴左侧．
故选：C．
4．（2024•余姚市一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函数y＝﹣x2+c（c＞0）的图象上，点A，C是该函数图象与正比例函数y＝kx（k为常数且k＞0）的图象的交点．若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2
【分析】首先确定A在第三象限，B、C在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵k＞0，
∴正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限，
∵点A，C是该函数图象与正比例函数y＝kx（k为常数且k＞0）的图象的交点，且x1＜0＜x2＜x3，
∴A在第三象限，C在第一象限，
由二次函数y＝﹣x2+c（c＞0）可知抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴B在第一象限，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：D．
5．（2024•武威二模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①若x＞2时，则y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n．总有y1＞y2，则．
A．①②B．①③C．①④D．③④
【分析】依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2．
又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下．
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确；
又∵对称轴为直线x＝﹣＝，1＜m＜2，
∴0＜＜．
若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，
又抛物线开口向下，
则y1＜y2，故③正确；
若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
又该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤．
解得1＜m≤，故④错误；
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0．
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am．
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；
∴①③正确；②④错误，
故选：B．
6．（2024•福田区模拟）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，对于方程|x2﹣4|＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 4 ．
【分析】利用数形结合的数学思想，将方程的实数根转化为两个图象的交点问题即可解决问题．
【解答】解：令x＝0得，
y＝4，
所以函数y＝|x2﹣4|的图象与y轴的交点坐标为（0，4）．
方程|x2﹣4|＝m的实数根可以看成函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m交点的横坐标．
因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m有3个不同的交点．
如图所示，
当m＝4时，两个图象有3个不同的交点，
所以m的值为4．
故答案为：4．
7．（2024•合肥模拟）在平面直角坐标系中，G（x1，y1）为抛物线y＝x2+4x+2 上一点，H（﹣3x1+1，y1）为平面上一点，且位于点G右侧．
（1）此抛物线的对称轴为直线 x＝﹣2 ；
（2）若线段GH与抛物线y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有两个交点，则的x1取值范围是 ﹣5≤x1＜﹣2 ．
【分析】（1）利用对称轴公式即可求解；
（2）画出函数y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）的图象，由图象知当﹣2≤x1＜1或﹣6≤x1＜﹣5时，线段GH与抛物线 y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）只有1个交点；当﹣5≤x1＜﹣2 时，求得9＜GH≤21，则GH＞MN，此时线段GH与抛物线 y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有2个交点．
【解答】解：（1）∵y＝x2+4x+2，
∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
（2）如图，
当x＝1时，y＝x2+4x+2＝7，即M（1，7），
∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴M（1，7）关于直线x＝﹣2 的对称点为N（﹣5，7），
∴MN＝1﹣（﹣5）＝6，
由图象知当﹣2≤x1＜1或﹣6≤x1＜﹣5时，线段GH与抛物线 y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）只有1个交点；
当﹣5≤x1＜﹣2 时，GH＝﹣3x1+1﹣x1＝﹣4x1+1，
∴9＜GH≤21，
∴GH＞MN，此时线段GH与抛物线 y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有2个交点．
综上所述，x1 的取值范围是﹣5≤x1＜﹣2，
故答案为：﹣5≤x1＜﹣2．
8．（2024•碑林区校级一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把x＝0代入抛物线的解析式，求出y＝3，得出点B的坐标即可；
（2）分两种情况进行讨论，当M在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可．
【解答】解：（1）∵，
∴A（1，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）．
（2）存在，理由如下：
由题意四边形ACMD是正方形，则△ACD是以点A为直角顶点的等婹直角三角形．
设，
①当M在x轴下方时，如图1，过点C作CE⊥x轴于E，此时△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
∴，
∴（舍去），，
此时．
②当M在x轴上方时，如图2，过点C作CF⊥x轴于F，
同理可得：CF＝AF，
∴，
∴，（舍去），
∴此时．
综上所述，存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形，此时点C的坐标为或．
题型02 二次函数与几何变换
【中考真题练】
1．（2023•无锡）将二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数图象的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（3，2）C．（1，3）D．（1，﹣1）
【分析】由y＝2（x﹣1）2+2的顶点是（1，2），即可得y＝2（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数图象的顶点坐标为（1+2，2）即（3，2）．
【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+2的顶点是（1，2），
得y＝2（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数图象的顶点坐标为（1+2，2）即（3，2），
故选：B．
2．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
3．（2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），
而点（1，5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（﹣1，2），
所以抛物线y＝（x﹣1）2+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y＝x2+2x+3．
故选：D．
4．（2023•牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 2或4 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【分析】先求出抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度的解析式为y＝（x+3）2﹣1，设抛物线向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y＝（x+3﹣h）2﹣1，由抛物线经过原点可知，当x＝0时，y＝0，代入抛物线的解析式求出h的值即可．
【解答】解：抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度的解析式为y＝（x+3）2﹣1，
设抛物线向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y＝（x+3﹣h）2﹣1，
∵抛物线经过原点，
∴当x＝0时，y＝0，
∴（3﹣h）2﹣1＝0，
解得h＝2或4．
故答案为：2或4．
5．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B，点C不与点B重合．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【分析】（1）根据题意，分别将x＝0，y＝0代入直线 即可求得；
（2）设 ，得到抛物线的顶点式为 ，将B（0，6）代入可求得 ，进而可得到抛物线解析式为 ，即可求得b，c；
（3）根据题意，设P（p，0），，根据平移的性质可得点B，点C向下平移的距离相同，列式求得m＝﹣4，，然后得到抛物线N解析式为：，将B（0，6）代入可得 ，即可得到答案．
【解答】解：（1）在 中，令x＝0得：y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0得：x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）；
（2）设，设抛物线的解析式为：，
∵抛物线M经过点B，
∴将B（0，6）代入得：，
∵m≠0，
∴，即 ，
将 代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，
整理得：，
∴，c＝6；
（3）如图：
∵CD∥x轴，点P在x轴上，
∴设P（p，0），，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点B，点C向下平移的距离相同，
∴，
解得：m＝﹣4，
由（2）知 ，
∴，
∴抛物线N的函数解析式为：，
将B（0，6）代入可得：，
∴抛物线N的函数解析式为：或 ．
【中考模拟练】
1．（2024•津市市一模）将二次函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣5B．y＝x2+2x﹣9C．y＝x2﹣2x﹣8D．y＝x2+2x﹣5
【分析】根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式．
【解答】解：根据题意可得解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3﹣6＝x2﹣2x﹣8．
故选：C．
2．（2024•秦都区一模）已知抛物线，抛物线C2与C1关于直线y＝l轴对称，两抛物线的顶点相距5，则m的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【分析】根据抛物线可以求得抛物线C1的顶点（，﹣+m），根据轴对称的性质得到抛物线C2的顶点为（，﹣m+2）．由题意知|﹣m+2+﹣m|＝5，解方程即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣3x+m＝（x﹣）2﹣+m，
∴抛物线C1的顶点（，﹣+m），
∵抛物线C2与C1关于直线y＝1轴对称，
∴抛物线C2的顶点为（，﹣m+2）．
∵两抛物线的顶点相距5，
∴|﹣m+2+﹣m|＝5，
解得m＝或，
故选：D．
3．（2024•济南模拟）将抛物线y＝（x+1）2的图象位于直线y＝9以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象有四个交点，则m的取值范围是（ ）
A．＜m＜7B．＜m＜5C．＜m＜9D．＜m＜7
【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过对折点A（即右边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式Δ＝0，根据这一条件可确定m的取值．
【解答】解：令y＝9，则9＝（x+1）2，
解得x＝﹣4或2，
∴A（2，9），
平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（2，9），如图，
∴9＝2+m，即m＝7．
②当直线位于l2时，如图，此时l2与函数y＝（x+1）2的图象有一个公共点，
∴方程x+m＝x2+2x+1，
即x2+x+1﹣m＝0有两个相等实根，
∴Δ＝1﹣4（1﹣m）＝0，
即．
由①②知若直线y＝x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为；
故选：D．
4．（2024•松江区二模）平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一） .（只需写出一个符合条件的表达式）
【分析】由平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，设平移后抛物线为 y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线经过原点，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合顶点在第四象限，故所求为 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．
【解答】解：由平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，
设平移后抛物线为 y＝（x﹣1）2+k，
由平移后的抛物线经过原点，
得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，
符合顶点在第四象限，
故所求为 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．
5．（2024•新北区校级模拟）如图，将抛物线y＝2（x+1）2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线y＝x交于点M，则点M的坐标为 （，） ．
【分析】直线y＝x绕原点O逆时针旋转45°得到x＝0，求得抛物线与y轴的交点M′，M′绕原点O顺时针旋转45°得到M，由OM＝OM′，即可求解．
【解答】解：直线y＝x绕原点O逆时针旋转45°得到x＝0，
设抛物线y＝2（x+1）2+1与y轴的交点为M′，
∵抛物线y＝2（x+1）2+1，
∴x＝0时，y＝3，
∴M′（0，3），
设点M（m，m），
由题意得：OM＝OM′＝3，
∴m2+m2＝32，
∴m＝，
∴点M的坐标为（，）．
故答案为：（，）．
6．（2024•廉江市一模）已知抛物线．
（1）写出抛物线C1的对称轴： x＝﹣1 ．
（2）将抛物线C1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，且抛物线C2经过点A（﹣2，﹣2）和点B（点B在点A的左侧），若△ABO的面积为4，求点B的坐标．
（3）在（2）的条件下，直线l1：y＝kx﹣2与抛物线C2交于点M，N，分别过点M，N的两条直线l2，l3交于点P，且l2，l3与y轴不平行，当直线l2，l3与抛物线C2均只有一个公共点时，请说明点P在一条定直线上．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．
（2）根据抛物线C2的顶点坐标在原点上可设其解析式为y＝ax2，然后将点A的坐标代入求得C2的解析式，于是可设B的坐标为且（t＜﹣2），过点A、B分别作x轴的垂线，利用S△ABO＝S△OBN﹣S△OAM﹣S梯形ABNM＝4可求得t的值，于是可求得点B的坐标．
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线与直线l1的方程可得出x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣4．
再利用直线l2、直线l3分别与抛物线相切可求得直线l2、直线l3的解析式，再联立组成方程组可求得交点P的纵坐标为一定值，于是可说明点P在一条定直线上．
【解答】解：（1）抛物线C1的对称轴为：．
故答案为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
（2）∵抛物线C1平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，
∴可设抛物线C2的解析式为：y＝ax2
∵点A（﹣2，﹣2）有抛物线C2上，
∴﹣2＝a⋅（﹣2）2，
解得：．
∴抛物线C2的解析式为：．
∵点B在抛物线C2上，且在点A的左侧，
∴设点B的坐标为且（t＜﹣2），
如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点M、N．
∵S△ABO＝S△OBN﹣S△OAM﹣S梯形ABNM
＝
＝
＝，
又S△ABO＝4，
∴，
解得：t+1＝±3，
∴t＝﹣4（t＝2不合题意，舍去），则，
∴B（﹣4，﹣8）．
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组：
，
整理得：x2+2kx﹣4＝0，
∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4．
设过点M的直线解析式为y＝mx+n，联立得方程组，
整理得x2+2mx+2n＝0．①
∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点，
∴Δ＝4m2﹣8n＝0，
∴．
∴由①式可得：，
解得：m＝﹣x1．
∴．
∴过M点的直线l2的解析式为．
用以上同样的方法可以求得：过N点的直线l3的解析式为，
联立上两式可得方程组，
解得，
∵x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣4．
∴
∴点P在定直线y＝2上．（如图）
题型03 二次函数图象与系数的关系
【中考真题练】
1．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线的对称性即可求得对称轴，即可判断②；根据抛物线开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断出①；根据图象即可判断③④；根据函数的最值即可判断出⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故②正确；
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知，当﹣3＜x＜0时，y＞0，
∴当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0，故③正确；
由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c，
∴当m为任意实数时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③⑤共3个．
故选：C．
2．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．m2C．4D．2m2
【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，
∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，
∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
若m＞0，则m2＝2m，
∴m＝2，
若m＜0时，则m2＝﹣2m，
∴m＝﹣2．
∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．
故选：A．
3．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0
B．2a+b＝0
C．4ac＞b2
D．点（﹣2，0）在函数图象上
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称轴为直线x＝1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），再结合对称轴为直线x＝1，可得出另一个交点坐标．
【解答】解：A：由二次函数的图形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A错误．
B：因为二次函数的对称轴是直线x＝1，则＝1，即2a+b＝0．故B正确．
C：因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C错误．
D：因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），且对称轴为直线x＝1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0）．故D错误．
故选：B．
4．（2023•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．若点A的坐标为（﹣4，0），则下列结论正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．4a﹣2b+c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2＜0
【分析】根据对称轴判断①，根据图象特征判断②，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断③，根据抛物线的性质判断④．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故①错误，
∵对称轴为直线x＝﹣1，且点A的坐标为（﹣4，0），
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故②错误，
∵抛物线与x轴交于（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∴x＝2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，故③正确，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x1＞x2＞﹣1时，y1＞y2，故④错误，
故选：C．
5．（2023•恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：
①2a+b＞0；
②bc＜0；
③a＜﹣c；
④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1•x2＜0；
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，可得b＝﹣2a，2a+b＝0，判断①错误；由图象可得a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，知bc＞0，判断②错误；而x＝3时y＜0，知x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，可得a﹣（﹣2a）+c＜0，a＜﹣c，判断③正确；由﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，可得﹣3＜x1•x2＜0，判断④正确．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴bc＞0，故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0，
∴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，
∴a＜﹣c，故③正确；
若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴﹣3＜x1•x2＜0，故④正确，
∴正确的有：③④，共2个，
故选：B．
6．（2023•菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤c＜6D．﹣4≤c＜5
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数值大小即可求出．
【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．
故选：D．
7．（2023•广安）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据函数图象开口向下可知a＜0，根据左同右异可知b＜0，再根据图象与y轴交于正半轴可知c＞0，然后即可判断①；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的性质，即可判断②；根据对称轴可以得到a和b的关系，再根据x＝1时，y＝0，可以得到a+b+c＝0，进行变形即可判断③；根据x＝1时，y＝0和a、b的关系，可以判断④．
【解答】解：由图象可得，
a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0，故①正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴该函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴x＝﹣0.5和x＝﹣1.5对应的函数值相等，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2，故②正确，符合题意；
∵对称轴是直线x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵点（1，0）在该函数图象上，
∴a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，
∴5a﹣b+c＝5a﹣2a+c＝3a+c＝0，故③正确，符合题意；
∵a+b+c＝0，a＜0，
∴2a+b+c＜0，
∴2a+2a+c＜0，
即4a+c＜0，故④错误，不符合题意；
故选：C．
8．（2023•南充）抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取值范围是（ ）
A．≤k≤1B．k≤﹣或k≥1
C．﹣5≤k≤D．k≤﹣5或k≥
【分析】由抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴有交点，可得k2+4（k﹣）≥0，故k≤﹣5或k≥1；分两种情况：①当k≤﹣5时，可得﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，②当k≥1时，﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，分别解不等式可得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴有交点，
∴Δ≥0，即k2+4（k﹣）≥0，
∴k2+4k﹣5≥0，
解得：k≤﹣5或k≥1；
抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣对称轴为直线x＝，
①当k≤﹣5时，抛物线对称轴在直线x＝﹣2左侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，如图：
∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，
解得：k≤﹣，
∴k≤﹣；
②当k≥1时，抛物线对称轴在直线x＝右侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，如图：
∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，
解得：k≥﹣，
∴k≥1；
综上所述，k≤﹣或k≥1；
故选：B．
9．（2023•聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由对称轴为直线x＝﹣1可得b＝2a，再将x＝1代入可判断①，找出（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，找出交点个数可判断③，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，可判断④．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1．
∴b＝2a，
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故①错误，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点为（2，y1），
又∵2＜3，
∴y1＞y2，故②正确，
方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，
由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误，
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，
∵（0，2）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，2），
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确．
故选：B．
10．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0），满足，已知点（﹣3，m），（2，n），（4，t）在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A．t＜n＜mB．m＜t＜nC．n＜t＜mD．n＜m＜t
【分析】根据已知可得a＞0，所以抛物线开口向上，再根据﹣3a＜b＜﹣a，得＜﹣＜，再由点（﹣3，m），（2，n），（4，t）在该抛物线上，即可得m，n，t的大小关系．
【解答】解：∵3a+b＞0，
∴2a+a+b＞0，
∵a+b＜0，
∴2a＞0，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵﹣3a＜b＜﹣a，
∴＜﹣＜，
∵点（﹣3，m），（2，n），（4，t）在该抛物线上，
∴m，n，t的大小关系为：n＜t＜m．
故选：C．
11．（2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x＝﹣2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c﹣3a的符号．
③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
【解答】解：①因图象开口向下，可知：a＜0；
又∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同号．
由图象可知，当x＝4时，y＜0，
又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正确．
②由①得：b＝4a．
代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0．
即：a•（﹣1）2+4a•（﹣1）+c＞0，
整理得：c﹣3a＞0，故②正确．
③设4a2﹣2ab≥at（at+b）
则4a﹣2b≤at•t﹣bt，
两边+c得到4a﹣2b+c≤at•t﹣bt+c，
左侧为x＝﹣2时的函数值，右侧为x＝t时的函数值，
显然不成立，
故③错误．
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x＝﹣2对称，
∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，
即当﹣5＜m＜﹣2时，满足题设，故④正确．
故本题选：C．
12．（2023•青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正确的是 ①③ .（只填写序号）
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a＞0，c＜0，再结合对称轴x＝﹣1，同时令ax2+bx+c＝kx，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【解答】解：由图象可得，a＞0，c＜0，又﹣＝﹣1，
∴b＞0．
∴abc＜0．
∴①正确．
由题意，令ax2+bx+c＝kx，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．
又二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的两根之和为﹣3+2＝﹣1，两根之积为﹣3×2＝﹣6．
∴﹣＝﹣1，＝﹣6．
∴6a+c＝0．
又b＝2a，
∴3b+c＝0．
∴3b+2c＝c＜0．
∴②错误，③正确．
∵﹣＝﹣1，b＝2a，
∴k＝a．
∴④错误．
故答案为：①③．
13．（2023•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a为常数，a≠0）．
（1）若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若a＝﹣1，求证：当﹣1＜x＜0时，y＞0．
（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，则a的取值范围是 a＞3或a＜﹣1 ．
【分析】（1）证明b2﹣4ac＞0即可解决问题．
（2）将a＝﹣1代入函数解析式，进行证明即可．
（3）对a＞0和a＜0进行分类讨论即可．
【解答】证明：（1）因为（﹣2a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，
又因为a＜0，
所以4a＜0，a﹣3＜0，
所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，
所以该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）将a＝﹣1代入函数解析式得，
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下．
则当﹣1＜x＜0时，
y随x的增大而增大，
又因为当x＝﹣1时，y＝0，
所以y＞0．
（3）因为抛物线的对称轴为直线x＝，且过定点（0，3），
又因为该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，
所以当a＞0时，
a﹣2a+3＜0，
解得a＞3，
故a＞3．
当a＜0时，
a+2a+3＜0，
解得a＜﹣1，
故a＜﹣1．
综上所述，a＞3或a＜﹣1．
故答案为：a＞3或a＜﹣1．
14．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．
【解答】解：（1）①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a≤﹣．
【中考模拟练】
1．（2024•杭州一模）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．若抛物线经过点（t，n），则必过点（t+4，n）
B．若点和（4，y2）都在抛物线上，则y1＞y2
C．a﹣b+c＞0
D．b+c＝m
【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．
【解答】解：A．∵抛物线经过点C（t，n），
∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，
∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，A错误．
B．∵2﹣（﹣）＝，4﹣2＝2，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵y1＜y2，
∴B错误；
∵抛物线顶点为A（2，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵抛物线过点（5，0），
∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，C错误，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∵（2，m）为抛物线顶点，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，m＝﹣9a
∴b+c＝﹣9a＝m，D正确，
故答案为：D．
2．（2024•雁塔区校级模拟）若抛物线y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m≥1C．1≤m＜2D．m≤2
【分析】由y＝x2﹣2x+m﹣1＝（x﹣1）2+m﹣2可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，m﹣2），根据题意得到，然后求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+m﹣1＝（x﹣1）2+m﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，m﹣2），
∵抛物线y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，
∴，
解得1≤m＜2，
故选：C．
3．（2024•崂山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
【分析】依据题意，由抛物线经过（﹣2，0），再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③，由x＝1时y取最大值可判断④．
【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵﹣2＜﹣1，抛物线过点（﹣2，0），
∴当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，故①正确．
∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
又点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，且点（6，y3）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，
∴y3＜y1＜y2，②错误．
∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2．
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），（4，0），
∵抛物线开口向下，x1＜x2，
∴x1＜﹣2，x2＞4，故③正确．
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵4a﹣2b+c＝0，
∴c＝2b﹣4a＝﹣8a，
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
∴am2+bm+c⩽﹣9a，故④正确．
故选：B．
4．（2024•霍邱县一模）已知抛物线y＝mx2+nx﹣m，其中m为实数．
（1）若抛物线经过点（1，5），则n＝ 5 ；
（2）该抛物线经过点A（2，﹣m），已知点B（1，﹣m），C（2，2），若抛物线与线段BC有交点，则m的取值范围为 ﹣2≤m＜0 ．
【分析】（1）将（1，5）代入解析式求解．
（2）分类讨论m＞0，m＜0两种情况，将二次函数解析式化为顶点式，讨论点B与顶点位置，点C与抛物线的位置关系，进而求解．
【解答】解：（1）将（1，5）代入y＝mx2+nx﹣m得，
5＝m+n﹣m，
解得n＝5，
故答案为：5．
（2）将点A（2，﹣m），代入y＝mx2+nx﹣m得，
﹣m＝4m+2n﹣m，
解得n＝﹣2m，
∴y＝mx2﹣2mx﹣m
＝m（x﹣1）2﹣2m，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2m），
当m＞0时，抛物线开口向上，顶点在点B下方，
∵抛物线经过（2，﹣m），
∴点C在抛物线上方，
∴抛物线与线段BC无交点，
当m＜0时，抛物线开口向下，
∵﹣2m＞﹣m，
∴抛物线顶点在点B上方，
当点C在抛物线上或抛物线上方时满足题意，
即2≥﹣m，
解得m≥﹣2，
故答案为：﹣2≤m＜0．
5．（2024•青岛一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＝0；④抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的是 ①③④ .（只填写序号）
【分析】依据题意，抛物线开口向下，从而a＜0，又对称轴是直线x＝1，故﹣＝1，则b＝﹣2a＞0，再结合抛物线交y轴正半轴，故可判断①；由对称轴是直线x＝1，则当x＝﹣2时的函数值与x＝4时函数值相等，又由图象可得，当x＝4时，y＜0，故当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故可以判断②；由对称性当x＝﹣1时的函数值与当x＝3的函数值相等，所以当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，再结合b＝﹣2a，则可判断③正；由x1+x2＞2，故＞1，进而可得M，N的中间位置在对称轴的右侧，M离对称轴近，N离对称轴远，又抛物线开口向下，进而可以判断④．
【解答】解：由题意，抛物线开口向下，
∴a＜0．
又对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1．
∴b＝﹣2a＞0．
又抛物线交y轴正半轴，
∴c＞0．
∴abc＜0，故①正确．
由对称轴是直线x＝1，
∴当x＝﹣2时的函数值与x＝4时函数值相等．
又由图象可得，当x＝4时，y＜0．
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②错误．
由对称性当x＝﹣1时的函数值与当x＝3的函数值相等，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0．
又b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故③正确．
由题意，∵x1+x2＞2，
∴＞1．
∴M，N的中间位置在对称轴的右侧．
∴M离对称轴近，N离对称轴远．
又抛物线开口向下，
∴y1＞y2，故④正确．
故答案为：①③④．
6．（2024•余姚市一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，A（x1，m），B（x2，m）为该函数图象上的任意两点，其中x1＜x2，求当x1，x2为何值时，m＝8a；
（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，2），当a＜b时求3a+b的取值范围．
【分析】（1）依据题意，求出Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，进而结合a≠0可以判断Δ＞0，即可求解；
（2）依据题意，也有对称轴为直线x＝2，可得b＝﹣4a，从而y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，当y1＝y2＝8a时，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，然后计算即可求解；
（3）依据题意，由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即a＜0，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得，Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，
又a≠0，
∴a2＞0．
∴16a2＞0．
又对于任意的b都有b2≥0，
∴Δ＝b2+16a2＞0．
∴函数图象与x轴的交点个数为2．
（2）∵x＝2＝﹣，
∴b＝﹣4a．
∴抛物线表达式为y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，
当y1＝y2＝8a时，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，
解得x＝6或﹣2，
则x1＝﹣2，x2＝6．
（3）将（1，2）代入抛物线表达式得：2＝a+b﹣4a，则b＝3a+2，
∵a＜b，故a＜3a+2，
∴解得a＞﹣1．
∴抛物线的表达式为y＝ax2+（3a+2）x﹣4a，
由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，
∴抛物线开口向下，即a＜0．
∴函数的对称轴x＝﹣＝﹣﹣＜0，
解得a＜﹣，
∴﹣1＜a＜﹣．
∴﹣3＜3a＜﹣2．
故﹣1＜3a+2＜0，即﹣1＜b＜0．
∴﹣4＜3a+b＜﹣2．
∴3a+b的取值范围：﹣4＜3a+b＜﹣2．
题型04 二次函数解析式的求法
【中考真题练】
1．（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）．
【解答】解：由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
2．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
3．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
【中考模拟练】
1．（2023•思明区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是（1，3），当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣1）2+3
【分析】根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为（1，3），根据抛物线的顶点式求解．
【解答】解：由题意得：抛物线的顶点是（1，3），开口向上，
故选：D．
2．（2023•海淀区校级一模）将二次函数y＝x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 y＝（x﹣4）2﹣17 ．
【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣8x﹣1＝x2﹣8x+16﹣16﹣1＝（x﹣4）2﹣17，
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣17．
3．（2024•梅县区一模）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，且它的顶点坐标为（﹣1，6），则这条抛物线的解析式为 y＝﹣2（x+1）2+6 ．
【分析】先设顶点式y＝a（x+1）2+6，然后根据二次函数的性质确定a的值即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，6），
∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）2+6，
∵抛物线y＝a（x+1）2+6的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，
∴a＝﹣2，
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+6．
故答案为：y＝﹣2（x+1）2+6．
4．（2024•霍邱县模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若抛物线经过点（0，3），（4，3），则抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3 ；
（2）在（1）的条件下，抛物线经过点（m，k），（n，k），当1≤n﹣m＜8时，k的取值范围为 ﹣≤k＜15 ．
【分析】（1）由抛物线 y＝x2+bx+c （b，c为常数）经过点（0，3），（4，3），可得，解出b，c的值可得抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3；
（2）根据抛物线 y＝x2﹣4x+3 经过点（m，k），（n，k），知m，n 是关于 x2﹣4x+3﹣k＝0 的两个不相等的实数根，故m+n＝4，mn＝3﹣k，即可得n﹣m＝，从而，解得：﹣≤k＜15．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c （b，c为常数）经过点（0，3），（4，3），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3；
（2）∵抛物线 y＝x2﹣4x+3 经过点（m，k），（n，k），
∴当 y＝k 时，m，n 是关于 x2﹣4x+3﹣k＝0 的两个不相等的实数根，
∴m+n＝4，mn＝3﹣k，
∴，
∵1≤n﹣m＜8，
∴．
∴1≤4+4k＜64，
解得：﹣≤k＜15．
考点二：二次函数的图象性质应用
二次函数图象性质的应用主要体现在利用二次函数的顶点式求最值、利用点与二次函数图象的关系解决与其他几何图形的结合问题、以及二次函数与一元二次方程和不等式的关系等。
题型01 二次函数的最值
【中考真题练】
1．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【分析】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
【解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：直线，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当时，y最小，
即，
当k＝2时，函数y的最小值为；
当k＝4时，函数y的最小值为，
故选：A．
2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣3
【分析】利用二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，
故选：C．
3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值
【分析】将（0，6）代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m＝3，再利用公式法求出二次函数最值．
【解答】解：由题意可得：6＝m2﹣m，
解得：m1＝3，m2＝﹣2，
∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，
∴m＞0，
∴m＝3，
∴y＝x2+3x+6，
∴二次函数有最小值为：＝＝．
故选：D．
4．（2023•泰安）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+．
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，y取得最大值，最大值＝．
故答案为：．
5．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ 或﹣ ．
【分析】根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∵A（3，0），四边形ABCO是矩形，
∴B（3，4），
①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b＝；
②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b＝﹣，
综上所述，b＝或b＝﹣，
故答案为：或﹣，
【中考模拟练】
1．（2024•浙江模拟）已知：，，m+n＝2，则下列说法中正确的是（ ）
A．n有最大值4，最小值1
B．n有最大值3，最小值
C．n有最大值3，最小值1
D．n有最大值3，最小值
【分析】依据题意，由m+n＝2，从而n＝2﹣m＝﹣（a﹣1）2+3，进而根据二次函数的性质可得，﹣≤n≤3，再结合1≤b≤4，可得1≤n≤4，最后可得n的范围，故可判断得解．
【解答】解：由题意，∵m+n＝2，
∴n＝2﹣m＝2﹣（a2﹣a﹣）＝﹣a2+a+＝﹣（a﹣1）2+3．
又当a＝0时，n＝；a＝4时，n＝﹣；a＝1时，n取最大值为3．
∴当0≤a≤4时，﹣≤n≤3．
∵1≤b≤4，
∴≤≤1．
∴1≤≤4．
∴1≤n≤4．
又﹣≤n≤3，
∴1≤n≤3．
∴n有最大值3，最小值1．
故选：C．
2．（2024•全椒县一模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，则m+n＝（ ）
A．﹣14B．﹣6C．﹣8D．2
【分析】先用a表示b，然后代入2a2﹣4b中，利用配方法进行配方，再根据a≥0，b≥0确定a的取值范围，根据二次函数的增减性确定m，n的值，即可得出答案．
【解答】解：∵2a+b＝2，
∴b＝2﹣2a，
设y＝2a2﹣4b
＝2a2﹣4（2﹣2a）
＝2a2+8a﹣8
＝2（a2+4a﹣4）
＝2（a2+4a+4﹣8）
＝2[（a+2）2﹣8]
＝2（a+2）2﹣16，
∵a≥0，b≥0，
∴，
解得：0≤a≤1，
∵2＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为a＝﹣2，
当a＞﹣2时，y随a的增大而增大，
当a＝0时，y最小，即m＝2×22﹣16＝﹣8，
当a＝1时，y最大，即n＝2×32﹣16＝2，
∴m+n＝﹣8+2＝﹣6．
故选：B．
3．（2023•衢江区三模）在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（ ）
A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值
B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值
C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值
D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值
【分析】设直线y＝kx+p，联立直线与抛物线解析式得出a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的两根，进而根据a＜c，得出B（c，a）在y＝x的下方，得出0＜c≤1，则0＜a≤1，即可得出ac＞0，进而结合选项，进行判断即可求解．
【解答】解：依题意，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A（a，b），B（c，a）两点，设直线y＝kx+p，
联立
即x2﹣kx﹣p＝0，
∴a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的两根，
即ac＝﹣p，a+c＝k，
∵a＜c，
∴B（c，a）在y＝x的下方，
联立，
解得：或，
∴0＜c≤1，
∵B（c，a）在抛物线上，则a＝c2，
∴0＜a≤1，
∴ac＞0，
当ac＞0且a+c＝1，
∴x2﹣x﹣p＝0，
∴p＝x2﹣x有最小值，
故选：A．
4．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，，∠B＝60°，∠D＝120°，当四边形ABCD面积最大时，作AE平分该四边形ABCD面积交BC于点E，则此时线段BE的长为 ．
【分析】依据题意，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，由AB＝BC＝4，∠B＝60°，得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质求出AC＝4，BF＝2，当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，过点D作DG⊥AC于点G，则AG＝2，进而求出S△ADC＝4，S△ABE＝3BE，S△AEC＝3（BC﹣BE），由AE平分四边形ABCD的面积，得出3BE＝3（4﹣BE）+4，即可求出BE值．
【解答】解：如图，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝BC＝4，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝4，BF＝BC＝2．
当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，
过点D作DG⊥AC于点G，则AG＝AC＝2．
∵∠D＝120°，
∴∠DAG＝30°．
∴DG＝＝2．
∴S△ADC＝•AC•DG＝×4×2＝4．
∵sinB＝，
∴AF＝AB•sin60°＝4×＝6．
∴S△ABE＝•BE•AF＝×BE×6＝3BE．
S△AEC＝•EC•AF＝×（BC﹣BE）×6＝3（4﹣BE）．
∵AE平分四边形ABCD的面积，
∴S△ABE＝S△AEC+S△ADC．
∴3BE＝3（4﹣BE）+4．
∴BE＝．
故答案为：．
5．（2024•阳新县一模）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，当﹣≤x≤，y有最大值为﹣3，则a的值为 2+或﹣ ．
【分析】先计算二次函数的对称轴，再分三种情况进行讨论：
①当﹣≤﹣时，即a≥1，如图1，确定当﹣≤x≤，y随x的增大而减小，得当x＝﹣时，y＝﹣3，代入可得a的值；
②当﹣＜﹣＜时，即﹣1＜a＜1，如图2，同理可得a的值；
③当﹣≥时，即a≤﹣1，如图3，同理可得a的值．
【解答】解：对称轴：x＝﹣＝﹣，
分三种情况：
①当﹣≤﹣时，即a≥1，如图1，
当﹣≤x≤，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣时，y＝﹣3，
代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣1+2a﹣a2+2a，
解得：a1＝2+，a2＝2﹣（舍）；
②当﹣＜﹣＜时，即﹣1＜a＜1，如图2，
当x＝﹣时，y＝﹣3，
代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣a2+2a2﹣a2+2a，
解得：a＝﹣（舍），
③当﹣≥时，即a≤﹣1，如图3，
当﹣≤x≤，y随x的增大而增大，
∴当x＝时，y＝﹣3，
代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣1﹣2a﹣a2+2a，
解得：a1＝﹣，a2＝（舍）；
故答案为：2+或﹣．
6．（2024•渠县校级一模）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是 厘米 ．
【分析】设移动时间为t s，用含t的代数式表示出PC，QC，在Rt△PCQ中，根据勾股定理，列出PQ关于t的代数式，应用配方的方法，即可求出线段PQ的最小值，
【解答】解：设移动时间为t s，则，PC＝6﹣t，QC＝t，
在Rt△PCQ中，，
整理得：，
当t＝3时，PQ取得最小值，此时，
故答案为：厘米．
7．（2024•浙江模拟）已知二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．
（3）若点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，则b﹣a的最大值为多少？
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象上点的坐标特征得出y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，由x1+2x2＝2可知x1＝2﹣2x2，即可求得y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝5（x2﹣）2﹣，利用二次函数的性质即可求得最小值；
（3）由题意可知当点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的同侧时b﹣a的值最小，当点P（a，n）和Q（b，n+2）在异侧是b﹣a的值最大，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5），
∴5＝25﹣10k+k﹣2，
∴k＝2，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x；
（2）∵A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，
∴y1＝﹣4x1，y2＝﹣4x2，
∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，
∵x1+2x2＝2，
∴x1＝2﹣2x2，
∴y1+y2
＝﹣4x1+﹣4x2
＝（2﹣2x2）2﹣4（2﹣2x2）+﹣4x2
＝5﹣4x2﹣4
＝5（x2﹣）2﹣，
∵5＞0，
∴y1+y2的最小值是﹣；
（3）∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴t图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，
∴点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的右侧，此时b﹣a＝1，则b＝a+1，
∴a2﹣4a＝n①，（a+1）2﹣4（a+1）＝n+2②，
②﹣①得a＝，
∴b＝a+1＝，
∴此时点P（，n）和Q（，n+2），
当点P是点（，n）的对称点时，则b﹣a的值最大，
∵对称轴为直线x＝2，
∴点（，n）的对称点为（，n），
∴此时a＝，
∴b﹣a的最大值为：﹣＝2．
题型02 二次函数图象上点的坐标特征
【中考真题练】
1．（2023•衢州）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．m＞2
【分析】根据已知条件列不等式即可得到结论．
【解答】解：∵a＜0，
∴y＝﹣3a＞0，
∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，
∴4am2﹣8am＞﹣3a，
∴4m2﹣8m+3＜0，
∴＜m＜①，
∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．
∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，
∴3am2＜4am，
∵a＜0，m＞0，
∴am＜0，
∴m＞②，
由①②得＜m＜．
故选：C．
2．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值为﹣2，
故选：B．
3．（2023•南充）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（ ）
A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P（m，n）代入y＝ax2（a≠0）即可求出n＝am2，然后将四个选项中的坐标代入y＝a（x+1）2中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，
∴n＝am2，
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n+1，故点（m，n+1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故A不合题意；
把x＝m+1代入y＝a（x+1）2得a（m+2）2≠n，故点（m+1，n）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故B不合题意；
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n﹣1，故点（m，n﹣1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故C不合题意；
把x＝m﹣1代入y＝a（x+1）2得a（m﹣1+1）2＝am2＝n，故点（m﹣1，n）在抛物线y＝a（x+1）2上，D符合题意；
故选：D．
4．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（ ）
A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝﹣4，从而求得x1+x2+x3的取值范围．
【解答】解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝4，
∴直线y＝3x+19与抛物线的交点的横坐标为﹣5，4，
∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，﹣5），
把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，
若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4，
∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9，
故选：A．
5．（2023•济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），从而可以求得A（0，2），进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），从而建立方程求得解，可以判断③；设B（x，y），再由倍增点的意义得出y＝2（x+1），再利用两点间的距离公式表示出P1B，然后利用配方可以判断④，从而可以得解．
【解答】解：依据题意，由“倍增点”的意义，
∵2（1+3）＝8+0，2（1﹣2）＝﹣2+0，
∴点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”．
∴①正确．
对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），
∴2（x+1）＝x+2+0．
∴x＝0．
∴A（0，2）．
∴②错误．
对于③，可设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），
∴2（x+1）＝x2﹣2x﹣3．
∴x＝5或﹣1．
∴此时满足题意的“倍增点”有（5，12），（﹣1，0）两个．
∴③正确．
对于④，设B（x，y），
∴2（x+1）＝y+0．
∴y＝2（x+1）．
∴P1B＝＝＝．
∴当x＝﹣时，P1B有最小值为．
∴④正确．
故选：C．
6．（2023•岳阳）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（ ）
A．s＜﹣1B．s＜0C．0＜s＜1D．﹣1＜s＜0
【分析】将（k，2k）代入二次函数，得（t+1）k2+tk+s＝0，是关于k的二次方程．若它总有两个不同的实根，必有Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．t2﹣4s（t+1）是关于t的一元二次方程，其图象开口向上，若它恒大于0，则与x轴无交点，故有Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，解此一元二次不等式即可．
【解答】解：将（k，2k）代入二次函数，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．
∵（t+1）k2+tk+s＝0是关于k的一元二次方程，总有两个不同的实根，
∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．
令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s
∵f（t）＞0，
∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，
即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1．
故选：D．
7．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【分析】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【中考模拟练】
1．（2024•韩城市一模）已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a＞0）图象上的两点（﹣5，y1）和（x2，y2），若y1＞y2，则x2的取值范围是（ ）
A．x2＞﹣5B．x2＜﹣2C．﹣5＜x2＜1D．﹣5＜x2＜﹣2
【分析】由y＝ax2+4ax+c可知图象开口向下，求出对称轴，图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝ax2+4ax+c，a＞0，
∴函数图象开口向上，对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∵y1＞y2，
∴A（﹣5，y1）到对称轴的距离分别为：3，
∵函数图象开口向上，
∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越大，即函数值越大，
∴|x2﹣（﹣2）|＜3，
∴﹣5＜x2＜1
故选：C．
2．（2024•秀峰区校级模拟）二次函数（m为常数）的图象经过点，，C（0，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，图象开口向下，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣x+n，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵二次函数y＝﹣x2﹣x+n的图象经过A（，y1）、B（﹣，y2）、C（0，y3）三点，
∴B（，y2）关于对称轴的对称点为（﹣2，y2），
∵﹣2＜0＜，
∴y1＜y3＜y2
故选：B．
3．（2024•龙湖区一模）如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是（﹣1，﹣2）、（1，2），点C在抛物线y＝﹣x2+bx的图象上，则b的值是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【分析】作MN⊥x轴，BM⊥MN于M，DN⊥MN于N，利用三角形全等的即可得出C点坐标，代入y＝﹣x2+bx即可得出b的值．
【解答】解：作MN⊥x轴，BM⊥MN于M，DN⊥MN于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝90°，BC＝DC，
∴∠BCM+∠DCN＝90°＝∠BCM+∠CBM，
∴∠DCN＝∠CBM，
∵∠BMC＝∠CND＝90°，
∴△CBM≌△DCN（AAS），
∴CN＝BM，DN＝CM，
设C（a，b），
∵点B、D的坐标分别是（﹣1，﹣2）、（1，2），
∴，解得，
∴C（2，﹣1），
∵点C在抛物线y＝﹣x2+bx的图象上，
∴﹣1＝﹣×4+2b，
∴b＝，
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，对点M（a，b）和点M′（a，b′）给出如下定义：若b′＝，则称点M′（a，b′）是点M（a，b）的伴随点．如：点A（1，﹣2）的伴随点是A′（1，﹣6），B（﹣1，﹣2）的伴随点是B′（﹣1，2）．若点Q（m，n）在二次函数y＝x2﹣4x﹣2的图象上，则当﹣2≤m＜5时，其伴随点Q′（m，n′）的纵坐标n′的值不可能是（ ）
A．﹣10B．﹣1C．1D．10
【分析】先根据二次函数的性质求出当﹣2≤m＜0时，﹣2＜n≤10，当0≤m＜5时，﹣6≤n＜3 进而根据定义得到当﹣2≤m＜0时，n′＝|n|，即0≤n′≤10，当0＜m＜5时，n′＝n﹣4，即﹣10≤n′＜﹣1，由此即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数解析式为 y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，
∴二次函数对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣6），
∵点Q（m，n）在二次函数y＝x2﹣4x﹣2的图象上，﹣2≤m＜5，
∴当﹣2≤m＜0时，n′＝|n|，当0≤m＜5时，n′＝n﹣4，
∵当x＝2时，y＝﹣6，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣2＝10，
当x＝0时，y＝x2﹣4x﹣2＝﹣2，
当x＝5时，y＝52﹣4×5﹣2＝3，
∴当﹣2≤m＜0时，﹣2＜n≤10，则0＜n′≤10，
当0≤m＜5时，﹣6≤n＜3，则﹣10≤n′＜﹣1；
故选：B．
5．（2024•浙江一模）对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“阴阳函数”．例如：一次函数y＝x+2，它的“阴阳函数”为y＝，若点P（m，2）在二次函数y＝x2+2x﹣3的“阴阳函数”的图象上时，则m的值为（ ）
A．﹣1+或﹣1﹣B．
C．或D．
【分析】写出二次函数y＝x2+2x﹣3的“阴阳函数”，代入计算．
【解答】解：二次函数y＝x2+2x﹣3的“阴阳函数”为y＝，
①当m＜0时，将P（m，2）代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣m2﹣2m+3＝2，
解得：m＝﹣1+（舍去）或m＝﹣1﹣，
当m≥0时，将P（m，2）代入y＝x2+2x﹣3得：m2+2m﹣3＝2，
解得：m＝﹣1+或m＝﹣1﹣（舍去）．
综上所述：m＝﹣1﹣或m＝﹣1+．
故选：A．
6．（2024•绿园区一模）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和B（0，3），点P是抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为 ．
【分析】根据抛物线上点的坐标特征，先求出抛物线解析式，再设P点坐标为（m，﹣m2+2m+3），代入OQ+PQ后化为顶点式解答最值即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
设P点坐标为（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），
∴OQ+PQ＝m﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，OQ+PQ有最大值，最大值为．
故答案为：．
7．（2024•东营区校级一模）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4，…，A2024在抛物线第一象限的图象上．点B1，B2，B3，B4，…，B2024在y轴的正半轴上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2023A2024B2024都是等腰直角三角形，则B2023A2024＝ ．
【分析】设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，再代入二次函数的解析式求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式求出m，同理求出第2024个等腰直角三角形的直角边长，最后求出斜边即可解答．
【解答】解：设A1B1＝x，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OB1＝x，
∴A1的坐标为（x，x），代入二次函数，则，解得x＝1或x＝0（舍），
设A2B2＝m，
∵△B1A2B2是等腰直角三角形，
∴B1B2＝m，
∴A2的坐标为（m，1+m），代入二次函数，得，解得m＝2或m＝﹣1（舍），
同理可求出A3B3＝3，A4B4＝4，
∴B2024A2024＝2024，
根据勾股定理可得，
故答案为：．
题型03 抛物线与x轴的交点
【中考真题练】
1．（2023•甘孜州）下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．图象与x轴没有交点
C．当x＜2时，y随x增大而增大
D．图象的顶点坐标是（2，﹣3）
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解答即可．
【解答】解：A、∵a＝1＞0，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、∵y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣4x+1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，
即图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴图象的顶点坐标是（2，﹣3），
故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2
【分析】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．
【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故选：B．
3．（2023•宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
【分析】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据a＞0得，据此可对选项C进行判断．
【解答】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴点A（1，2）不在该函数的图象上，
故选项A不正确；
②当a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
即当x＝2时，y＝﹣1＜0，
故得选项B不正确；
③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，
故选项C正确；
④∵该抛物线的对称轴为直线：，
又∵a＞0，
∴，
∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，
故选项D不正确．
故选：C．
4．（2023•自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（ ）
A．10B．12C．13D．15
【分析】根据二次函数的性质可知＝﹣，再根据经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长．
【解答】解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，
∴＝﹣，Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，
∴b＝c+1，b2≤4c，
∴（c+1）2≤4c，
∴（c﹣1）2≤0，
∴c﹣1＝0，
解得c＝1，
∴b＝c+1＝2，
∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|
＝|4b+c﹣1﹣2+3b|
＝|7b+c﹣3|
＝|7×2+1﹣3|
|14+1﹣3|
＝12，
故选：B．
5．（2023•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：
①＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），则y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解为x1＝，x2＝﹣．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由二次函数的图象可判断出个系数的符号，即可判断①，由对称轴可判断②，然后根据增减性可判断③，由根与系数的关系可判断④．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．
∴对称轴为直线x＝，即﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a＝﹣b，
把（﹣2，0）代入解析式得4a﹣2b+c＝0，把a＝﹣b，
∴﹣4b﹣2b+c＝0，
∴c＝6b，故②错误；
∵抛物线开口向下，
∴越靠近对称轴的点的函数值越大，
∴y2＜y1＜y3，故③正确；
a＝﹣b，c＝6b，选项④可变成6bx2+bx﹣b＝0，即6x2+x﹣1＝0；即可求出两根，x2＝，
故④错误．
故选：D．
6．（2023•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ 4 ．
【分析】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，
∴点D的横坐标为：2×2﹣0＝4，
∴CD＝4﹣0＝4，
故答案为：4
7．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 （3，0）或（4，0） ．
【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：当k＝0时，函数解析式为y＝﹣x﹣3，
它的“Y函数”解析式为y＝x﹣3，它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）；
当k≠0时，此函数为二次函数，
若二次函数的图象与x轴只有一个交点，
则二次函数的顶点在x轴上，
即，
解得k＝﹣1，
∴二次函数的解析式为＝，
∴它的“Y函数”解析式为，
令y＝0，
则，
解得x＝4，
∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0），
综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）．
故答案为：（3，0）或（4，0）．
8．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 9 ．
【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案为：9．
9．（2023•赤峰）如图，抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 和 ．
【分析】先根据题意画出图形，先求出D点坐标，当E点在线段BC上时：∠DEB 是△DCE 的外角，∠DEB＝2∠DCB，而∠DEB＝∠DCE+∠CDE，所以此时∠DCE＝∠CDE，有 CE＝DE，可求出BC 所在直线的解析式y＝﹣x+5，设E点（a，﹣a+5）坐标，再根据两点距离公式，CE＝DE，得到关于a的 方程，求解a的值，即可求出E点坐标；当E点在线段CB的延长线上时，根据题中条件，可以证明 BC2+BD2＝DC2 得到∠DBC为直角三角形，延长EB至E′，取BE′＝BE，此时，∠DE'E＝∠DEE'＝2∠DCB，从而证明E′是要找的点，应为 OC＝OB，△OCB 为等腰直角三角形，点E和E′关于B点对称，可以根据E点坐标求出E′点坐标．
【解答】解：根据D点坐标，有m＝22﹣6×2+5＝﹣3，所，以D点坐标（2，﹣3），
设BC所在直线解析式为 y＝kx+b，其过点C（0，5）、B（5，0），
，
解得，
BC所在直线的解析式为：y＝﹣x+5，
当E点在线段BC上时，设E（a，﹣a+5），∠DEB＝∠DCE+∠CDE，而∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
因为E（a，﹣a+5），C（0，5），D（2，﹣3），
有，
解得：，，所以E点的坐标为：，
当E在CB的延长线上时，
在△BDC中，BD2＝（5﹣2）2+32＝18，
BC2＝52+52＝50，DC2＝（5+3）2+22＝68，
BD2+BC2＝DC2，
∴BD⊥BC 如图延长EB至 E'，取 BE'＝BE，
则有△DEE'为等腰三角形，DE＝DE'，
∴∠DEE′＝∠DE′E，
又∵∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DE′E＝2∠DCB，
则E′为符合题意的点，
∵OC＝OB＝5，∠OBC＝45°，
E′的横坐标：，纵坐标为 ；
综上E点的坐标为： 和 ．
10．（2023•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②当△ABM的面积为时，a＝；③当△ABM为直角三角形时，在△AOB内存在唯一一点P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+9．其中正确的结论是 ①② ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】①根据抛物线的对称性可得：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），再结合抛物线的性质可判断结论①；
②将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得b＝2a，c＝﹣3a，得出y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a），设抛物线对称轴交x轴于H，利用S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB，建立方程求解即可判断②；
③过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接AM、AB、BM，则四边形ACDO是矩形，根据△ABM为直角三角形，可得∠AMB＝90°或∠ABM＝90°，进而可得利用相似三角形的判定和性质求得a＝或1，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，可得△BPP′和△ABA′是等边三角形，即AA′2＝A′B2＝AB2＝，由于PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，可得当点O，点P，点P′，点A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，设A′（m，n），列方程组，求解即可求得m、n，再利用OA′2＝m2+n2，即可判断③．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∵抛物线的开口向上，
∴当﹣3≤x≤1时，y≤0；故①正确．
②将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得，
解得：，
∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a），
设抛物线对称轴交x轴于H，如图，
则H（﹣1，0），
∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，MH＝4a，OH＝1，
∵B（0，﹣3a），
∴OB＝3a，
∴S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB＝•AH•MH+•（MH+OB）•OH﹣OA•OB＝×2×4a+×（4a+3a）×1﹣×3×3a＝3a，
∵S△ABM＝，
∴3a＝，
∴a＝；故②正确．
③如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接AM、AB、BM，
则四边形ACDO是矩形，
∴∠C＝∠BDM＝∠AOB＝90°，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣3a），M（﹣1，﹣4a），
∴AC＝OD＝4a，OA＝CD＝3，OB＝3a，BD＝a，DM＝1，CM＝2，
∵△ABM为直角三角形，∠BAM＜90°，
∴∠AMB＝90°或∠ABM＝90°，
若∠AMB＝90°，则∠AMC+∠BMD＝90°，
∵AC∥OD，OA∥DC，
∴四边形ACDO是平行四边形，
∵∠AOD＝90°，
∴▱ACDO是矩形，
∴∠C＝∠BDM＝∠AOB＝90°，
∴∠AMC+∠MAC＝90°，
∴△AMC∽△MBD，
∴＝，即＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝；
若∠ABM＝90°，则∠ABO+∠MBD＝90°，
∵∠AOB＝∠BDM＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠MBD＝∠BAO，
∴△ABO∽△BMD，
∴＝，即＝，
∴a2＝1，
∵a＞0，
∴a＝1；
∵点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，
∴＜a＜1，
∴a＝，
∴OB＝，AB2＝，
如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，
∴BP＝BP′，PA＝P′A′，∠PBP′＝∠ABA′＝60°，
∴△BPP′和△ABA′是等边三角形，
∴BP＝PP′，AA′2＝A′B2＝AB2＝，
∴PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，
∴当点O，点P，点P′，点A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，
此时∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°，
设A′（m，n），
则A′T＝﹣n，AT＝﹣3﹣m，A′Q＝﹣m，BQ＝﹣n﹣，
在Rt△AA′T中，AT2+A′T2＝AA′2，
在Rt△BA′Q中，BQ2+A′Q2＝A′B2，
即，
解得：，
∴OA′2＝m2+n2＝（）2+（）2＝，
故③错误；
故答案为：①②．
【中考模拟练】
1．（2024•太原模拟）关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴为直线x＝﹣1
C．与y轴交于点（0，3）D．与x轴有两个交点
【分析】先将函数解析式化为顶点式和交点式，然后根据二次函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣3）（x+1），
∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴为直线x＝1，故选项B错误，不符合题意；
与y轴的交点坐标为（0，﹣3），故选项C错误，不符合题意；
与x轴有两个交点，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
2．（2024•西安校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．若点P在抛物线的对称轴上，线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）
C．（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）D．（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）
【分析】依据题意，把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，求出a，b可得解析式，再由抛物线的对称轴为x＝﹣1，当P点在x轴上方时，过点A'作A'M⊥x＝﹣1交于点M，证明△MPC≌△QAP（AAS），则PQ＝1，求得P（﹣1，1）；当P点在x轴下方时，△APA'为等腰直角三角形，求得AQ＝2，则P（﹣1，﹣2）．
【解答】解：由题意，把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．
∴对称轴是直线x＝﹣1．
当P点在x轴上方时，如图1，
过点A'作A'M⊥x＝﹣1交于点M，
∵∠APA'＝90°，
∴∠MPA'+∠MCP＝90°，∠MPC+∠APQ＝90°，
∴∠MCP＝∠APQ，
∵AP＝A'P，
∴△MPA'≌△QAP（AAS），
∴MP＝AQ＝2，MA'＝PQ，
设PQ＝m，则MA'＝m，MQ＝m+2，
∴A'（﹣1+m，m+2），
∵A'在抛物线上，
∴﹣（﹣1+m）2＝2（﹣1+m）+3＝m+2，
∴m＝﹣2（舍）或m＝1，
∴P（﹣1，1），此时点A'与点C重合；
当P点在x轴下方时，如图2，
∵AP＝A'P，∠APA'＝90°，
∴△APA'为等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∴PQ＝AQ＝2，
∴P（﹣1，﹣2）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
故选：C．
3．（2024•郾城区一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B，连接AB．将Rt△OAB向左上方平移，得到RtΔO′A′且点O′A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为（ ）
A．y＝﹣xB．y＝﹣x+1C．y＝x+1D．y＝x+3
【分析】求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′（﹣1，n），则B′（﹣4，n+3），把B′（﹣4，n+3）代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A'B'的表达式．
【解答】解：如图，∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B
令y＝0，解得x＝﹣3或1，
令x＝0，求得y＝﹣3，
∴B（﹣3，0），A（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴A′的横坐标为﹣1，
设A′（﹣1，n），则B′（﹣4，n+3），
∵点B'落在抛物线上，
∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，
∴A′（﹣1，2），B′（﹣4，5），
设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线A'B'的表达式为y＝﹣x+1，
故选：B．
4．（2024•宁波模拟）已知ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），则（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝1B．x1x2x3x4＝1
C．D．
【分析】根据根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，x3+x4＝﹣，x3•x4＝，然后代入求值即可．
【解答】解：∵ac≠0，二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0的根分别是：x1、x2、x3、x4．
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，x3+x4＝﹣，x3•x4＝．
则：A、x1+x2+x3+x4＝﹣﹣＝﹣，所以等式x1+x2+x3+x4＝1不一定成立，不符合题意；
B、x1x2x3x4＝•＝1，符合题意；
C、＝＝，所以等式不一定成立，不符合题意；
D、＝＝，所以等式不一定成立，不符合题意；
故选：B．
5．（2024•莘县一模）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2020，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
【分析】根据题意可以得到：整个函数图象每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，而2020＝12×168+4，由此即可计算．
【解答】解：由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，
又因为2020＝12×168+4，
所以m的值等于x＝4时的纵坐标，
所以m＝﹣42+6×4＝8．
故选：D．
6．（2024•辽宁模拟）如图，抛物线y＝﹣x+3与x轴相交于A，B两点．点C的坐标为（，0），点P在抛物线上，将线段PC绕点P顺时针旋转90°得到线段PD，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为 （0，） ．
【分析】过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，可证明△PND≌△PMC，则P（x，x），将P点代入抛物线解析式，即可求得P点坐标，进一步求得DN＝CM，即可求得点D的坐标．
【解答】解：令y＝0，则﹣x+3＝0，
解得x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴∠MPN＝90°，
∵∠CPD＝90°，
∴∠NPD＝∠MPC，
∵CP＝PD，∠OND＝∠PMC＝90°，
∴△PND≌△PMC（AAS），
∴PN＝PM，DN＝CM，
∴P（x，x），
∴x＝﹣x+3，即x2+x﹣6＝0，
解得x＝2或x＝﹣3（舍去），
∴P（2，2），
∴PN＝OM＝2，PM＝ON＝2，
∵点C的坐标为（，0），
∴DN＝CM＝2﹣＝，
∴OD＝2+＝，
∴D（0，）．
故答案为：（0，）．
7．（2024•徐州模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 （﹣2，5）或（1，﹣4） ．
【分析】由于抛物线y＝x2﹣2x+k与y轴交于点C（0，﹣3），代入解析式中即可求出k，而△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，所以有两种情况：
①若QC⊥BC与C，设经过C点和Q点的直线可以表示为y＝mx﹣3，而直线BC的解析式利用待定系数法可以求出，然后利用QC⊥BC与C可以求出m，联立直线CB、CQ的解析式组成方程组即可求出交点Q的坐标；
②若点B为直角定点，那么利用同样的方法也可以求出Q的坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
∴y＝x2﹣2x﹣3，B点坐标为（3，0），
假设存在一点Q，则QC⊥BC与C，
设经过C点和Q点的直线可以表示为：y＝mx﹣3，
而直线BC可以表示为：y＝x﹣3，
∵QC⊥BC，
∴m＝﹣1
∴直线CQ解析式为：y＝﹣x﹣3，
联立方程组：，
解得x＝0或者x＝1，
舍去x＝0（与点C重合，应舍去）的解，
从而可得点Q为（1，﹣4）；
同理如果点B为直角定点，同样得到两点（3，0）（同理舍去）和（﹣2，5），
从而可得：点Q的坐标为：（1，﹣4）和（﹣2，5）．
题型04 二次函数与不等式（组）
【中考真题练】
1．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①根据函数的图象特征即可得出结论．
②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论．
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出结论．
④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出y得取值范围．
【解答】解：①∵直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax+bx﹣3相交于点A，B，
∴由图象可知：当﹣2＜x＜3时，直线y1＝mx+n在抛物线y2＝ax+bx﹣3的上方，
∴y1＞y2，
∴①正确．
②由图象可知：抛物线y2＝ax+bx﹣3有两个交点，
∴方程ax2+bx﹣3＝0有两个不相等的实数根．
∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，
∴②正确．
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝﹣1时，t1＝0，
当x＝4时，t2＝5，
∴t1＜t2，
∴③正确．
④由③可知（﹣2，5）与点（4，5）关于对称轴x对称，
∴对称轴x＝＝1．
将x＝1代入抛物线解析式得y＝﹣4，
∴当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5．
当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5．
∴④错误．
故选：B．
2．（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣，a＝﹣，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a﹣+c＜0，
∴2a﹣c＞0，
∴﹣b﹣c﹣c＞0，
∴﹣2b﹣3c＞0，
∴2b+3c＜0，
∴③正确．
如图：
设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，
由图知，y1＜y2时，0＜x＜2，
故④正确．
故选：C．
【中考模拟练】
1．（2024•江汉区一模）已知点A（x1，y1）在抛物线y1＝nx2﹣2nx+n上，点B（x2，y2）在直线y2＝﹣nx+n，当n＞0时，下列判断正确的是（ ）
A．当x1＝x2＜1时，y1＜y2B．当x1＝x2＞1时，y1＜y2
C．当y1＝y2＞n时，x1＞x2D．当y1＝y2＜n时，x1＞x2
【分析】由题意可知，抛物线y1＝nx2﹣2nx+n与直线y2＝﹣nx+n都恒过定点（1，0），与y轴的交点都为（0，n）．再结合图象可得答案．
【解答】解：∵y1＝nx2﹣2nx+n＝n（x2﹣2x+1）＝n（x﹣1）2，y2＝﹣nx+n＝﹣n（x﹣1），
∴抛物线y1＝nx2﹣2nx+n与直线y2＝﹣nx+n都恒过定点（1，0），与y轴的交点都为（0，n）．
画出大致图象如下：
由图可知，当x1＝x2＜0时，y1＞y2，当0＜x1＝x2＜1时，y1＜y2，当x1＝x2＞1时，y1＞y2，当y1＝y2＞n时，x1＞x2，
当y1＝y2＜n时，若x1＜1，则x1＜x2；若x1＞1，则x1＞x2．
故C选项正确，符合题意．
故选：C．
2．（2024•永城市校级一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，2），其对称轴是直线x＝，则不等式ax2+bx+c≤2的解集是（ ）
A．x≤0B．x≤﹣1或x≥2C．0≤x≤1D．x≤0或x≥1
【分析】由题意得，点A关于对称轴对称的点的坐标为（1，2），则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝2的交点坐标为（0，2），（1，2），结合图象可得答案．
【解答】解：∵点A（0，2），抛物线的对称轴是直线x＝，
∴点A关于对称轴对称的点的坐标为（1，2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝2的交点坐标为（0，2），（1，2），
∴不等式ax2+bx+c≤2的解集是x≤0或x≥1．
故选：D．
3．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x＜2时，y1＞y2；②x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣4，t1），（1，t2）是抛物线上的两点，则t1＞t2；④对于抛物线，当﹣3＜x＜2时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，即可判断③．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为﹣3＜x＜2，
∴当﹣3＜x＜2时，y1＞y2，故①正确；
∵二次函数与x轴的一个交点坐标为当（﹣3，0），
∴x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，故②正确；
∵抛物线经过（2，5），（﹣3，0）
∴4a+2b﹣3＝5，9a﹣3b﹣3＝0，
∴a＝1，b＝2，
∴抛物线对称轴为直线，
∵函数开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞1﹣（﹣1）＝2，
∴t1＞t2，故③正确；
由函数图象可知，当﹣3＜x＜2时，y2的取值范围是不是0＜y2＜5，故④错误，
故选：B．
4．（2024•沭阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是 x＜﹣2或x＞4 ．
【分析】由图象可得在点A左侧或点B右侧，抛物线在直线上方，根据点A，B坐标求解．
【解答】解：∵点A，B横坐标分别为﹣2，4，
∴﹣2＜x＜4时，抛物线在直线下方，
∴ax2+c＜mx+n的解集是﹣2＜x＜4．
故答案为：﹣2＜x＜4．
5．（2024•玄武区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根；④不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则根据对称轴方程可对①进行判断；利用x＝1时，y＜0可对②进行判断；根据二次函数的性质得到a＞0，则抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝a有两个公共点，从而可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，把方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则x+1＝﹣1或x+1＝3，解得x1＝﹣2，x2＝2，然后写出抛物线y＝a（x+1）2+b（x+1）+c在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
即﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝a有两个公共点，
即方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，
∴对于方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0有x+1＝﹣1或x+1＝3，
即方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝2，
∵y＝a（x+1）2+b（x+1）+c的开口向上，
∴当﹣2＜x＜2时，y＜0，
即不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2，所以④正确．
故答案为：①③④．
易错点01：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：；
其中抛物线的顶点坐标的纵坐标与一元二次方程解法中的公式法的表达式比较相似，需要重点加以区分；
易错点02：抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
解题大招：对于上的各个点，
当时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越小；
当时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数有最大值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越大；
易错点：抛物线平移步骤：①将一般式转化为顶点式，
②根据“左加右减（x），上加下减（整体）”来转化平移所得函数解析式；
解题大招：的轴对称变换规律
解题大招01：二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用
b的特征与作用(a与b“左同右异”）
c的特征与作用
解题大招02：二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…
解题大招：当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
解题大招：牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质；
易错点01：求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次
方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
易错点02：求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。
解题大招01：当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。
解题大招02：由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。