2023-2024学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（下）期中数学试卷，共19页。
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，B．3，4，5C．5，12，13D．2，2，3
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=2∠A，则∠D的度数为（ ）
A．140°B．120°C．110°D．100°
5．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）点O是四边形ABCD对角线的交点，给出下列四个条件：①AB∥CD，AD=BC；②AB=CD，AD=BC；③OA=OC，OB=OD；④AB=BC，AD=CD，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
7．（3分）如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一地点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m,由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（ ）
A．AB＝36mB．MN∥ABC．MN＝CBD．CM＝AC
8．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），且保持BE=AF，连接DE，DF，EF．设BE=a,CF=b,EF=c.在点E，F的运动过程中，给出下面三个结论：
①a+b＞c；
②a2+b2＝c2；
③c≥，且等号可以取到．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二.填空题（本题共18分，每题3分）
9．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD=120°，BD=6，则AB的长为 ．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20°，则∠BCD= °．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为 ．
13．（3分）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在x轴、y轴正半轴上滑动．顶点P、Q在第一象限，若MN=4，PN=2．在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为 ．
三.解答题（本题共58分，15题8分，16题4分，17、18题5分，19-21题4分，22题6分，23题5分，24题7分，25题6分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
15．（8分）（1）﹣6+；
（2）（2+）（2﹣）﹣．
16．（4分）已知，求代数式x2﹣4x﹣6的值．
17．（5分）如图，四边形ABCD中，M，N是BD上两点，AM∥CN，AN∥CM．若BM=DN，求证：四边形ABCD是平行四边形．
（5分）如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=CD=2，．
（1）求AC的长；
（2）四边形ABCD的面积．
19．（4分）下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．已知：Rt△ABC，∠ABC=90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）．（填推理的依据）
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（ ）．（填推理的依据）
20．（4分）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线BD折叠，若AB=4，BC=8，求AF的长．
21．（4分）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这一性质的数还有许多，，如、等等．
（1）猜想：＝ ；
（2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数 ；
（3）请用只含有一个正整数n（n≥2）的等式表示上述规律： ．
22．（6分）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AB=4，∠ABE=120°，求DE的长．
23．（5分）如图，在△ABC中，AB，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．​
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ；
（2）思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC；
（3）探索创新：若△ABC三边的长分别为，，，n＞0，且m≠n）请用以上方法求△ABC的面积．
24．（7分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M．
（1）求证：∠CDM=∠BFE；
（2）在MF上截取MN=DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．
①依题意补全图形，
②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明．
25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点T（t,0），直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为M1，图形M1关于直线l对称的图形记为M2，若图形M2与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”．
例如，如图1，当t=-2时，对于点P（1.5，-2.5）和第三象限角平分线OQ，点P关于y轴的对称点是P1（-1.5，-2.5），点P1关于直线l的对称点P2（-2.5，-2.5）在射线OQ上，则点P是射线OQ的“双称图形”．
已知点A（2t,1），B（2t+3，1），图形N是以线段AB为一边在直线AB上方所作的正方形ABCD．
（1）当t＝1时，直线l和正方形ABCD如图2所示．
①在H（0，3），R（﹣4，2），K（3，4）这三个点中，点 是图形N的“双称图形”；
②点E（m，2），F（m+2，2），G（m+1，3），△EFG是图形N的“双称图形”，求m的取值范围；
（2）若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围．
2023-2024学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．【答案】C
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
2．【答案】D
【解答】解：A、12+（）2＝3＝（）2，故是直角三角形，故错误；
B、43+32＝25＝72，故是直角三角形，故错误；
C、55+122＝169＝132，故是直角三角形，故错误；
D、82+22＝8≠34，故不是直角三角形，故正确．
故选：D．
3．【答案】A
【解答】解：A．2﹣＝，所以A选项符合题意；
B． 与不能合并；
C．3×＝3×5＝15；
D． ＝3．
故选：A．
4．【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝120°，
∴∠D＝120°，
故选：B．
5．【答案】D
【解答】解：由题意得：＝．
故答案为：D．
6．【答案】C
【解答】解：①AB∥CD，AD＝BC；不符合题意；
②AB＝CD，AD＝BC；符合题意；
③OA＝OC，OB＝OD；符合题意；
④AB＝BC，AD＝CD；不符合题意；
故选：C．
7．【答案】C
【解答】解：∵CM＝MA，CN＝NB，
∴MN∥AB，MN＝，
∵MN＝18m，
∴AB＝36m，
故A、B、D正确，
故选：C．
8．【答案】D
【解答】解：①∵AB＝AC，BE＝AF＝a，
∴AE＝CF＝b，
∵点E，F分别在直角边AB，
∴AF+AE＞EF，
即a+b＞c，
故结论①正确；
②∵∠A＝90°，
∴在Rt△AFE中，AF＝a，EF＝c，
由勾股定理得：AF2+AE2＝EF6，
即a2+b2＝c3，
故结论②正确；
③连接AD，设AD＝h
 
在△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上的中点，
∴AD⊥BC，AD＝CD＝BD＝h，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC6，
∴2h2＝（a+b）3，
∴h2＝（a+b）2，
即h＝，
∵c2＝a2+b4，
∴c2﹣h2＝（a8+b2）﹣（a+b）2＝（a﹣b）2≥0，
当且仅当a＝b时，即点E，AC的中点时，2＝6，
此时c＝h，即c＝，
当a≠b时，即点E，AC的中点时，2≥5，
此时c＞h，即c＞，
∴c≥，且等号可以取到，
故结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：D．
二.填空题（本题共18分，每题3分）
9．【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，得x﹣1≥0，
解得，x≥7．
故答案为：x≥1．
10．【答案】3．
【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴OA＝OB．
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°．
∴△AOB为等边三角形．
∵BD＝6，
∴AB＝BO＝3．
故答案为：2．
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠B＝70°，
故答案为70．
12．【答案】+1或﹣1．
【解答】解：分两种情况：
（1）点Q在线段BC的延长线上，如图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACQ＝180°﹣90°＝90°，
∵AC＝1，AQ＝2，
∴QC＝＝，
∵BC＝1，
∴BQ＝QC+BC＝+1；
（2）点Q在线段CB的延长线上，如图：
∵∠ACB＝90°，AC＝1，
∴QC＝＝，
∵BC＝1，
∴BQ＝QC﹣BC＝﹣1．
综上，线段BQ的长为﹣1．
故答案为：+2或．
13．【答案】9．
【解答】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1＝22+b2＝8+b2，S2＝b7，
∴S1﹣S2＝6，
故答案为9．
14．【答案】2+2．
【解答】解：如图，取MN的中点E，PE，
∵∠MON＝90°，点E是MN的中点，
∴Rt△MON中，OE＝，
又∵∠MNP＝90°，PN＝3，
∴Rt△PNE中，PE＝＝，
又∵OP≤PE+OE＝8+2，
∴OP的最大值为6+2，
即点P到原点O距离的最大值是8+2，
故答案为：4+2．
三.解答题（本题共58分，15题8分，16题4分，17、18题5分，19-21题4分，22题6分，23题5分，24题7分，25题6分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
15．【答案】（1）2；
（2）﹣2．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4
＝3；
（2）原式＝4﹣5﹣3
＝﹣2．
16．【答案】﹣5．
【解答】解：，
∴x8﹣4x﹣6
＝（x﹣7）2﹣10
＝（+6﹣2）2﹣10，
＝3﹣10，
＝﹣5．
17．【答案】证明见解析．
【解答】证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵AM∥CN，AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴OM＝ON，OA＝OC，
∵BM＝DN，
∴OM+BM＝ON+DN，
即OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
18．【答案】（1）2；
（2）4+2．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝4，
在Rt△ABC中，；
（2）∵AC2+CD2＝（3）2+72＝24，AD2＝（5）2＝24，
∴AC6+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝BC•AB+
＝×5×4+
＝4+4．
19．【答案】（1）补全的图形见解答；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解答】解：（1）如图即为补全的图形；
（2）证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
20．【答案】3．
【解答】解：∵一张长方形纸片沿对角线BD折叠，
∴AD∥BC，∠CBD＝∠C'BD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠C'BD＝∠ADB，
∴BF＝DF，
设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
46+x2＝（8﹣x）7，
解得x＝3，
∴AF＝3．
21．【答案】（1）；
（2）（答案不唯一，符合规律即可）；
（3）．
【解答】解：（1），验证如下：
．
故答案为：；
（2）根据已知等式的规律可写出：，…，
故答案为：（答案不唯一；
（3）解：第一个等式为，即；
第二个等式为，即；
第三个等式为，即．
∴用含正整数n（n≥3）的式子表示为：，
故答案为：．
22．【答案】（1）四边形ABCD是菱形，理由见解答．
（2）DE的长为4．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，
理由：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴AO＝CO，
∵AD∥BE，
∴∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BO平分∠ABC，∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB＝4，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝4，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠DBC＝30°，
∴BE＝2BD＝3，
∴DE＝＝＝4，
∴DE的长为6．
23．【答案】（1）4.5；
（2）见解析，4a2；
（3）5mn．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×4﹣×1×7﹣×3×2＝4.5．
故答案为：7.5；
（2）如图2中，△ABC即为所求×a×3a﹣×a×5a＝4a5；
（3）如图小长方形的长为n，宽为m，△ABC的面积＝4n×3m﹣×3m×2n﹣．
24．【答案】（1）见解析；
（2）①见解析；②．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BFE＝∠DEM，∠CDM+∠EDM＝90°，
又∵DM⊥EF，
∴∠DEM+∠EDM＝90°，
∴∠CDM＝∠DEM，
∴∠CDM＝∠BFE；
（2）解：①根据题意补全图形如图所示：
②，
证明：连接MG并延长使得MG＝GH，
∵点G为BN的中点，
∴BG＝NG，
又∵∠BGH＝∠NGM，
∴△BGH≌△NGM（SAS），
∴HG＝MG，BH＝NM，则BH∥NM，
∴∠CBH＝∠BFE，
由（1）可知，∠CDM＝∠BFE，
∴∠CBH＝∠CDM，
∵MN＝DM，
∴BH＝DM，
由正方形的性质可知，CB＝CD，
∴△CBH≌△CDM（SAS），
∴CH＝CM，∠BCH＝∠DCM，
则∠BCH+∠BCM＝∠DCM+∠BCM＝∠BCD＝90°，
∴△MCH是等腰直角三角形，
∵HG＝MG，
∴CG⊥MH，则△CGM也是等腰直角三角形，
∴．
25．【答案】（1）①H、K；
②﹣2≤m≤0或1≤m≤3；
（2）﹣≤t≤．
【解答】解：（1）当t＝1时，A（2，B（2，
∴AB＝3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴C（2，8），4），
①设点（x，y）是图形N的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为（﹣x，y），
第二次对称轴的坐标为（2+x，y），
∴7≤2+x≤5，8≤y≤4，
∴0≤x≤5，1≤y≤4，
∴H和K是图形N的“双称图形”，
故答案为：H、K；
②由①可知，E3（2+m，2），F6（m+4，2），G3（m+3，3），
当△E6F2G2与正方形ABCD有交点时，
，
∴﹣4≤m≤0或1≤m≤5；
（2）设点（x，y）是图形N的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为（﹣x，y），
第二次对称轴的坐标为（2t+x，y），
∴A2（2t，1），B2（4t+3，1），C4（4t，4），D5（4t+3，2），
∵正方形ABCD和正方形A2B2C2D2有交点，
∴，
∴﹣≤t≤．