湖北省宜昌市夷陵中学等校2023-2024学年高二下学期5月联合测评数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省宜昌市夷陵中学等校2023-2024学年高二下学期5月联合测评数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了已知，分别为双曲线，正数，满足“”的充要条件是等内容，欢迎下载使用。

数学试题
命题学校：夷陵中学命题人：夷陵中学高二数学命题组
考试时间：2024年5月21日15：00-17：00 试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.已知为虚数单位，复数，为的共轭复数，则（ ）
A.B.5C.D.4
3.在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，若，则（ ）
A.14B.28C.42D.56
4.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（ ）
A.240B.216C.180D.108
5.已知，分别为双曲线：的上、下两个焦点，点恰为抛物线：的焦点，记点为两曲线的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
6.湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（ ）
A.B.
C.D.
7.已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（ ）
A.B.C.D.
8.正数，满足“”的充要条件是（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（ ）
A.若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为
B.若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且
C.若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍
D.若，，，，则
10.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.存在点，使得
B.平面时，截正方体的截面积为
C.三棱锥的外接球的表面积为
D.点到平面的距离最大值为
11.已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则下列选项正确的是（ ）
A.函数的图象关于对称B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的常数项为______.（请用数字作答）
13.已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为______.
14.已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
数列的前项和，数列满足，.
（1）求，；
（2）记，求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）
如图，在三棱锥中，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.
（1）以频率作为概率，试求河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；
（2）该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：
试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.
18.（本小题满分17分）
如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，其离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点作椭圆的切线，，当直线与的斜率都存在时，它们的斜率之积是，当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点的轨迹为曲线.直线，分别交椭圆于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求曲线的方程；
（3）求面积的最大值.
19.（本小题满分17分）
如图，对于曲线，若存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在处的导数（即曲线在点的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径.
（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；
（2）（i）求证：平面曲线在点的曲率半径为（其中表示的导函数）；
（ii）若圆为函数的一个曲率圆，求圆半径的最小值；
（3）若曲线在，处有相同的曲率半径，求证：.
2023~2024学年高二年级5月联合测评
数学试题
参考答案
1.【答案】C
【解析】，，又，.
2.【答案】A
【解析】由题知，则，因此，则.
3.【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，有，由，，成等差数列可知，即，解方程可得（舍去），则.
4.【答案】C
【解析】按照是否取到0进行分类：①若从0，2，4取的2个数字中不含0，则共有个无重复数字的四位数；②若从0，2，4取的2个数字中含0，则共有个无重复数字的四位数.因此满足条件的共有个数.
5.【答案】A
【解析】抛物线的定义可知，因此平行于轴，
即，由抛物线的定义，可知，，因此.
6.【答案】A
【解析】如图，由可知，即，
由可知，即，
则，可得.
7.【答案】B
【解析】设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，圆台的高、母线长分别为，，由表面积公式知，
.
8.【答案】D
【解析】对于A项，当时，有，必要性不成立，故A项错误；
对于B项，当，时，但，必要性不成立，故B项错误；
对于C项，令函数，则，由在区间上单调递增，，，因此存在使得，即在区间上不单调，不满足充要条件，故C项错误；
对于D项，令函数，有恒成立，因此是在上的增函数，当时有，即恒成立，故D项正确.
9.【答案】AC
【解析】对于A项，第一次抽到红色小球且第二次抽到黄色小球的概率为，故A项正确；
对于B项，有放回地抽取，，则，故B项错误；
对于C项，依题意得，得，黑色小球的个数为，故C项正确；
对于D项，，，有，解得，则，因此，故D项错误.
10.【答案】BCD
【解析】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，，则点坐标为.
对于A项：，，若，则，即，得，又，故不存在点，使得，故A项错误；
对于B项，过点，，的截面为六边形且六边形为正六边形时垂直.此时过的截面经过对称中心，截面交，，于中点，也为中点，为的中点时，取，，的中点为，，，连接，，，，，故此时截面为正六边形，其面积，故B项正确；
对于C项，设中点，外接球球心，则面，设，，解得，，外接球表面积，故C项正确；
对于D项，设平面的法向量为，，，则即取，得一个法向量；点到平面的距离，考虑到，时，最大为，故D项正确.
11.【答案】ABD
【解析】为偶函数，，即有，A正确；，令，可得，又，，B正确；
，，①，②
将①②式与联立化简得，，，，即与的周期均为4，，
，，
，C错误；
又，
，，
，，，
，D正确.
12.【答案】10
【解析】展开式的通项，为了得到常数项，与相乘的项为，即，与1相乘的项为，即，因此常数项为.
13.【答案】
【解析】由直线方程可知，
即该直线过定点，的轨迹为以为直径的圆，因此长度的取值范围为.
14.【答案】
【解析】令，，当时，，在区间内无零点；
当时，，，
当，即时，为函数的零点.
当时，令，则，令，则，令，则，在区间上单调递减，区间上单调递增，，.
当时，在区间内有两个零点.综上，当时函数有三个零点.
15.解：（1）当时，；
当时，
检验满足成立.
数列的通项为，
由可知，
由等比数列的定义可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列.
数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
，①
②
①②可知，
解得.
16.解：在中，由，
，，知，
以点为原点，，所在直线为轴、轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
由为正三角形可知，.
在中，，，，
由余弦定理知，
解得，
设点，
解得.
又，，
可知，，.
.
.
又，平面.
（2）设平面的法向量的，
，.
则有
令可得.
由（1）知，平面的一个法向量为.
，
二面角余弦值为.
17.解：（1）频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，
设“梅雨期”水位的第80百分位数为，
，
，
“梅雨期”水位的第80百分位数为.
设该河流“梅雨期”水位小于为事件，水位在至为事件，水位大于为事件，
，，，
设该地发生1级灾害为事件，由条形图可知：，，，
，
，
.
（2）由（1）可知“梅雨期”该河流不发生灾害的概率为，
发生1级灾害的概率为0.155，发生2级灾害的概率为，
设第种方案的企业利润为，
若选择方案一，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），
若选择方案二，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），若选择方案三，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），14分由于，故企业应选择方案二.
18.解：（1），椭圆上的点到其焦点的最短距离为.
因此，.
由可知椭圆的标准方程为.
（2）当直线，斜率存在且不为0时，设其斜率分别为，，
设点，则，.
将直线：代入，
消去，化简得.
.
同理.
，为关于的方程的两个根，
因此（*）.
当直线，有一条的斜率不存在，另一条的斜率为0，
即，时，，与椭圆相切，满足（*）式.
综上所述，曲线的方程为.
（3）由（2）知，设点，则满足，有.
将直线：代入，
消去，化简得.
，可得.
进一步得到.
又由，，
.
.
同理可得.
，
而，
，当且仅当时取号.
综上所述，的最大值为.
19.解：（1）设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径.
记，，.
，.
抛物线在原点的曲率圆的方程为.
（2）（i）设曲线在的曲率半径为。
则
由知，，
.
（ii）若，则半径，
当且仅当时取等，故圆半径的最小值为.
（3）曲线在，处有相同的曲率半径，
则，
.
设，，则，，，
将两边展开，得到，从而.
故..
又，，
这意味着，
从而.
定义函数，则，
由于，函数在区间上单调递增，
故，.
方案
防控等级
费用（单位：万元）
方案一
无措施
0
方案二
防控1级灾害
80
方案三
防控2级灾害
200
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
A
B
C
A
A
题号
7
8
9
10
11
答案
B
D
AC
BCD
ABD