四川省眉山市仁寿第一中学北校区2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省眉山市仁寿第一中学北校区2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附解析），共19页。

注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号写在答题卡上；
2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上，非选择题部分用0.5mm的黑色签字笔在答题卡相应位置作答！
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题
1. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A. 10.9B. -10.9C. 5D. -5
2. 已知函数（ ）
A. 12B. C. 3D. 6
3. 函数单调递增区间（ ）
A. B. C. D.
4. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则的图象是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 函数在上单调递增B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数有最大值
11. 设函数的导函数为，则（ ）
A. B. 是的极值点
C. 存零点D. 在单调递减
12. （多选）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”，则下列函数在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（选择题共90分）
二、填空题（每题5分，共计20分）
13. 设函数的导数为，且，则____________.
14. 若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
15. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
16. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，则不等式的解集为___________.
三、解答题（6个大题，共计70分）
17. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
18. 已知是的一个极值点.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设函数，若函数在区间[1，2]内单调递减，求实数的取值范围.
19. 从旅游景点到有一条的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目.已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为，当游轮速度为时，燃料费用为每小时60元，单程票价定为150元/人.
（1）若一艘游轮单程以速度航行，所载游客为180人，则轮船公司获利是多少？
（2）如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？
20. 已知函数.
（1）求函数f(x)单调递增区间；
（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.
21. 已知函数.
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）若函数在区间内存在极小值，求实数取值范围.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求整数k的最大值.25届高二下学期4月月考
数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页；满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号写在答题卡上；
2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上，非选择题部分用0.5mm的黑色签字笔在答题卡相应位置作答！
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题
1. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A. 10.9B. -10.9C. 5D. -5
【答案】D
【解析】
【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．
【详解】解：因为，
所以，
令，得瞬时速度为．
故选：D.
2. 已知函数（ ）
A. 12B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由导数的概念，基本初等函数的导函数计算即可.
【详解】，
，
故选：B.
3. 函数的单调递增区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出导函数，令，解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数，所以，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，
故选：C.
4. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数几何意义可知，可求得；根据为两曲线公共点可构造方程求得，代入可得结果.
【详解】，，，，，
又为与公共点，，，解得：，
.
故选：D.
5. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数在上单调递增，由在上恒成立求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
则，解得或，
所以实数a的取值范围是，
故选：D
6. 已知，则的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】探讨函数的奇偶性，再利用导数探讨函数的单调性即可判断得解.
【详解】函数的定义域为R，，
则函数是奇函数，其图象关于原点对称，B错误；
求导得，当且仅当时取等号，
因此函数在R上单调递增，AC错误，D符合要求.
故选：D
7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
由在有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求．
【详解】解：因为有两个不同的极值点，
所以在有2个不同的零点，
所以在有2个不同的零点，
所以，
解可得，．
故选：．
8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.
【详解】令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以，
故选：A
二､多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论
【详解】解：直线的斜率为，
由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；
由的导数为，而，解得，故B正确；
由的导数为，而有解，故C正确；
由的导数为，而，解得，故D正确，
故选：BCD
【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 函数在上单调递增B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数有最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可得的单调性，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可知：当时，（不恒为0）；
当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
可知：A错误；B正确；
且函数在处取得极大值，故C正确；
虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；
故选：BC.
11. 设函数的导函数为，则（ ）
A. B. 是的极值点
C. 存在零点D. 在单调递减
【答案】AD
【解析】
【分析】判断导数的符号，可判断ABD选项的正误；判断函数值符号可判断C象限的正误.
【详解】函数的定义域为，对任意的，，C错；
因，且，
所以，函数在上为减函数，故AD对，B错.
故选：AD.
12. （多选）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”，则下列函数在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可
【详解】对于A，由得恒成立，所以A符合.
对于B，又，对于 唯一，所以B不符合.
对于C，，，又，对于 ，使得唯一，所以C不符合.
对于D，，，又，对于 使得不唯一所以D符合.
故选：AD.
第Ⅱ卷（选择题共90分）
二、填空题（每题5分，共计20分）
13. 设函数的导数为，且，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据求导法则，建立方程，可得答案.
【详解】由题意，可得，
所以，即，
解得：，
所以.
故答案为：.
14. 若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．
【详解】，
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
，
在区间上有最大值，则，解得．
故答案为：．
15. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
16. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，得，构造函数，然后求出函数的解析式，再确定的解析式，进一步不等式即可．
【详解】解：由题意，因为，所以，，
令，则，
，即
，，
不等式的解集等价于，
解得．
故答案为：．
三、解答题（6个大题，共计70分）
17. 已知函数.
（1）求曲线在点处切线方程；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）
（2）极小值为，无极大值
【解析】
【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极值.
【小问1详解】
解：的定义域为，，可得，.
故所求切线方程为，即.
小问2详解】
解：的定义域为，，令解得，
当变化时，、的变化情况如下表：
所以函数的极小值为，无极大值.
18. 已知是的一个极值点.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设函数，若函数在区间[1，2]内单调递减，求实数的取值范围.
【答案】（1）（1，）
（2）(－∞，－10]
【解析】
【分析】(1)求f′(x)，因为x＝1是f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝0，代入计算求出b的值，然后求导求f(x)的单调区间.（2）函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，则g′(x)在[1，2]上恒成立.
求g(x)导函数g′(x)，g′(x)≤0在[1，2]恒成立等价于当x∈[1，2]时a≤－2x2－x恒成立，求二次函数t＝－2x2－x的最小值，从而求出实数a的范围.
【小问1详解】
f(x)＝2x＋＋ln x，定义域为(0，＋∞).
∴f′(x)＝2－＋＝.
因为x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点，
所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.
解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.
所以f′(x)＝2－＋＝，
令f′(x)>0，得x>1.
所以函数f(x)的单调递增区间为（1，）.
【小问2详解】
函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，则g′(x)在[1，2]上恒成立.
又g′(x)＝2＋＋，g′(x)≤0在[1，2]恒成立等价于当x∈[1，2]时，a≤－2x2－x恒成立，
又t＝－2x2－x＝－2＋，x∈[1，2]是减函数，∴当x＝2时，t＝－2x2－x取得最小值－10.
所以a≤－10，即实数a的取值范围为(－∞，－10].
19. 从旅游景点到有一条的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目.已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为，当游轮速度为时，燃料费用为每小时60元，单程票价定为150元/人.
（1）若一艘游轮单程以的速度航行，所载游客为180人，则轮船公司获利是多少？
（2）如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？
【答案】（1）元；（2）轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为．
【解析】
【分析】（1）设游轮以每小时的速度航行，游轮单程航行的总费用为元，求出函数解析式，再根据利润收入成本计算可得；
（2）利用函数的单调性，即可求出函数的最小值．
【详解】解：设游轮以每小时的速度航行，游轮单程航行的总费用为元，
游轮的燃料费用每小时元，依题意，则，
，
（1）当时，（元，
轮船公司获得的利润是元．
（2）因为，所以，
令得，，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故当时，有极小值，也是最小值，，
所以轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为．
20. 已知函数.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）(－∞，－1)和；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出导数，解不等式，求出单增区间；
（2）利用三次函数的特征，要使f(x)有三个零点，只需f(x)极大值×f(x)极小值<0，解不等式即可.
【详解】解：(1)，则f′(x)＝3x2＋2x－1，
由f′(x)>0，得x<－1或x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.
（2）由（1）知，在取得极大值，在取得极小值
函数f(x)有三个零点，解得实数的取值范围.
【点睛】函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，
（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；
（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；
21. 已知函数.
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论与的大小关系.
【小问1详解】
当时，则函数，，
令，解得或，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，函数在上单调递增，
∴在时取得极小值为，且，
故在上的最大值为，最小值为.
【小问2详解】
∵，则
①当时，，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；
②当时，令，得或，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，
∴；
③当时，令，得或，
∴在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，
∴，解得.
综上所述：实数的取值范围是.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求整数k的最大值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）求出函数导数后，分三种情况讨论，即可求解函数单调区间；
（2）分离参数可得对于恒成立，令，利用导数求出函数，分析出，即可求出整数k的最大值.
【小问1详解】
由得.
当时，，故在上单调递增；
当时，令，解得.
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，，故在上单调递减.
【小问2详解】
原不等式等价于对于恒成立.
令，则.
令，则，所以在上单调递增.
又，，
所以存在，使得，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以，所以，
经验证时，恒成立，所以整数k的最大值为1.
x
－
0
＋
减
增