2024年陕西省西安市长安区九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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数学
注意事项：
1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小影3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. 12C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】解：；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键．
2. 第届亚洲杯足球赛将于年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，即可
【详解】A、 属于中心对称图形，符合题意；
B、 属于轴对称图形，故不符合题意；
C、 不是中心对称，故不符合题意；
D、 不是中心对称，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形的知识，解题的关键是学会识别中心对称图形．
3. 如图，为等边三角形，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据平行线性质得，最后根据周角的定义可得出的度数．此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，幂的乘方计算，合并同类项和去括号，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系， 根据函数图象找到当直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围为，
∴不等式的解集为，
∴不等式的解集为，
故选：B
6. 在矩形中，，过点作,交于点E，则线段的长为（ ）

A. 4B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，利用含角的直角三角形的性质得出，进而解答即可．
【详解】解：设线段与交于点O,
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出，利用含角的直角三角形的性质得出解答．
7. 如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接由垂径定理得设，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可，
【详解】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接，如图所示∶
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∴
在中，由勾股定理得∶
，
即∶’，
解得∶
即截面的半径长是．
故选∶C．
8. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝m，则m的值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件可判定三点中必有一点在二次函数y＝x2﹣4x+3的顶点上，通过求解二次函数的顶点的坐标及与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式可求解m值．
【详解】二次函数y＝x2﹣4x+3的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝m，
三点中必有一点是二次函数图形的顶点，
，
顶点坐标为，
令，解得或，
图象与x轴的交点为，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，判定P1，P2，P3点的位置是解题的关键．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 因式分解：________．
【答案】．
【解析】
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法，公式法进行因式分解．
10. 如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=________°．
【答案】360°
【解析】
【分析】根据多边形外角和定理：多边形外角和为360°， 即可解答本题．
【详解】解：由图可知
∵∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6是六边形六个内角所对应的六个外角
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6== 360°，
故填: 360°．
【点睛】本题主要考查多边形的外角和为360°的性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
11. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的高，则__________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了求三角形的高，割补法求三角形面积，勾股定理，先利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式求出即可．
【详解】解：，
由勾股定理得，
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，反比例函数的图象经过点，将直线向上平移若干个单位长度后交轴于点，交反比例函数的图象于点，若，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数，解直角三角形，平移的性质等．过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，
，
，，
．
在反比例函数的图象上，
．
将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，
，
，
轴，
，
，
，
，
，即点C的横坐标为，
将代入，得，
点的坐标为．
13. 如图，在中，，，、为边上两点（点在点的左侧），且，若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】过点E作，垂足为G，将逆时针旋转至与重合，得到，连接，则，解直角三角形求出，证明，得到，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：过点E作，垂足为G，将逆时针旋转至与重合，得到，连接，则，
∴，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
∵，
∴在与中，，
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
设，则
∴，
解得，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
先去分母，再移项、合并即可得．
【详解】解：，
去分母得，
移项得，
合并同类项得．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，先化简二次根式，再计算乘方和去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
16. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】先算异分母分式加法，再利用分式除法法则计算即可得出答案．
【详解】原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握异分母分式加减法则是解本题的关键．
17. 如图，在锐角三角形中，D为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
连接，作的垂直平分线交于点F即可．
【详解】解：如图所示，
连接，作的垂直平分线交于点F，点F即为所求．
有作图可得，
，
．
18. 如图，点C、F、B、E在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由，得到，由得到，用即可证明．
【详解】证明：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）请以原点为位似中心，在轴左侧画一个，使与位似，且位似比为；
（2）若与直线同时相切，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换，切线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理：
（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可．
（2）连接，由位似图形的性质可得，求出，利用勾股定理得，，则可利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则之间的距离为，再由与直线同时相切，且，得到到直线的距离为，即的半径为，则的面积为为．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
由位似图形的性质可得，
∵，
∴，，
，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴之间的距离为，
∵与直线同时相切，且，
∴到直线的距离为，
∴的半径为，
∴的面积为为．
20. 西安作为国际知名旅游城市，不仅有看不尽的美景，还有吃不完的美食．小杨和小田到西安旅游，民宿附近的饮食街刚好有“羊肉泡馍”、“手擀面”、“凉皮配肉夹馍”、“葫芦头配泡菜”这四种特色美食，他们两人分别从这四种美食中选一种用餐．（每位游客选择每种特色美食的可能性均相同）
（1）小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是______；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求他们两人选择不同美食的概率（四种特色美食依次用、、C、D表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率及两步概率问题，熟练掌握列举法求两步概率问题及简单概率公式是解决问题的关键．
（1）根据简单概率公式直接求解即可得到答案；
（2）根据题意，列出表格，得到可能的结果，利用简单概率公式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：饮食街有“羊肉泡馍”、“手擀面”、“凉皮配肉夹馍”、“葫芦头配泡菜”四种特色美食，则小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是；
小问2详解】
解：四种特色美食依次用、、C、D表示，列出表格为：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小杨和小田两人购买不同美食的结果有12种，她们两人购买不同特产的概率为．
21. 如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？
小华拿着一部长为的手机站在广场上离大雁塔的点处（即米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到手机的距离为．则大雁塔的高度为多少米？（精确到）
【答案】大雁塔的高度约为．
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可解题．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点，
，
，
由题知：，，，
，
，
，即，
解得：．
答：大雁塔的高度约为．
22. 如图，小宇妈妈在超市购买某种水果所付金额（元）与购买水果的质量（千克）之间的函数图象如图所示．
（1）求时，与之间的函数关系式；
（2）请你帮小宇妈妈计算：一次性购买8千克这种水果比平均分2次购买可节省多少元？
【答案】（1）；
（2）一次性购买8千克这种水果比平均分次购买可节省3元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数实际应用：
（1）根据图象可知，图象经过，两点，设函数解析式为：，将两点代入函数解析式中求解即可；
（2）计算出当时，函数的关系式，将代入函数关系式，，代入中分别计算出一次性购买8千克这种水果和平均分次购买的费用，在计算费用之差即可．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式为：，
将，代入关系式中得：，
解得，
∴与之间的函数关系为：；
【小问2详解】
解：设时，，
把代入中得，解得
∴，
当时，，
故平均分次购买所需总费用为：（元），
将，代入中得：（元），
（元），
故一次性购买8千克这种水果比平均分次购买可节省3元．
23. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为______；
（2）表格中的____，_____（填“”“”或“”）；
（3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
【答案】（1）图见解析，
（2）7.5，
（3）选择乙公司，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，方差的意义，求中位数，扇形统计图，解题的关键是熟练掌握扇形统计图的特点．
（1）求出甲公司配送速度得分为9分的频数，补全频数分布直方图即可；用乘以扇形统计图中“7分”的百分比，即可得扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）根据中位数的定义可得m的值；根据方差的意义可得答案．
（3）根据配送速度和服务质量得分统计表分析即可．
【小问1详解】
解：甲公司配送速度得分为9分的频数为．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中圆心角α的度数为．
【小问2详解】
解：由频数分布直方图可得，．
由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小，
∴．
故答案为：；＜．
【小问3详解】
解：选择乙公司．
理由：乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司，说明乙公司的整体配送速度较快（答案不唯一，合理即可）．
24. 如图，是直径，是上一点，弦于点，交于点，若．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，弧与圆周角之间的关系，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等：
（1）先证明，则由等弧所对的圆周角相等可得；
（2）先得到，解，得到，设，则，解，得到，则，进而得到，在中，由勾股定理得，即，解得或（舍去），则，的半径为5．
【小问1详解】
证明：∵D是的中点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的直径，
∴，
在中，，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴的半径为5．
25. 如图，拋物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，探究抛物线的对称轴直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，，，，，
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数动点特殊三角形问题，属于二次函数综合题，解答本题的关键是先求出解析式，设点分类讨论等腰三角形的腰．
（1）将点，代入即可得到答案；
（2）由（1）知：拖物线的对称轴为：，，所以抛物线的对称轴为：， 令，根据两点间距离公式得到三角形三边的平方的代数式，再分类讨论腰相等列式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：将点，代入得：
，
解得：，
所以抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
存
由（1）知：抛物线的对称轴为：，，
所以抛物线的对称轴为：，
令，
所以，，，
①当时，，解得：，，
所以，；
②当时，，
解得：，，
所以，；
③当时，解得：，
所以
综上，满足要求的点的坐标为，，，，．
26. 如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、．
（1）①四边形的形状为_____________；
②连接、，当点，，共线时，的值为_____________．
（2）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、．
【答案】（1）①平行四边形；②6．
（2）米
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平移的性质：
（1）①根据平行的性质得到，据此可证明四边形是平行四边形；②由正方形的性质得到，，由勾股定理得，由平行线的性质得到，则，由勾股定理得到，再由正方形的性质和平行四边形的性质得到，，则；
（2）如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接，则四边形和四边形都是平行四边形，可得，则当四点共线时，最小，即此时最小；如图所示， 分别延长交于H，则，进而得到，则米，米，进一步得到米，米，则米， 即可得到的最小值为米．
【小问1详解】
解：①由平行的性质可得，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
②∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由正方形的对称性可得，
由平行四边形的性质可得，
∴，
故答案为：6；
【小问2详解】
解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接，
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∴当四点共线时，最小，即此时最小；
如图所示， 分别延长交于H，
∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、，
∴，
∴，
∴米，
∴米，
∴米，米，
∴米，
∴的最小值为米．
项目
统计量 快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
乙
8
8
7