天津市河东区2024年中考二模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份天津市河东区2024年中考二模数学试题（原卷版+解析版），文件包含天津市河东区2024年中考二模数学试题原卷版docx、天津市河东区2024年中考二模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．
答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算：的结果是（ ）
A. 5B. 1C. -1D. -5
【答案】A
【解析】
【分析】把减法化为加法，即可求解 。
详解】解：=，
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是关键．
2. 估计的值在（ ）
A. 4到5之间B. 5到6之间C. 6到7之间D. 7到8之间
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据估算无理数大小的方法解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
3. 如图是一个由7个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【详解】解：从正面看得到左边有3个小方形，右边有1个小正方形，
即主视图如图所示：
故选：C．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 礼B. 贤C. 下D. 士
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；
【详解】解：根据轴对称的定义，只有“士”字符合轴对称的定义，
故选：D．
5. 2024年2月27日，国务院新闻办发布会介绍京津冀协同发展十年来有关情况中提到，天津滨海新区改革开放取得实效，2023年天津港集装箱吞吐量突破了2200万标箱，比2014年增长58%．将2200用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故选：B．
6. 计算的值等于（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，然后在乘法，最后算加法即可．
【详解】解：
，
故选：C．
7. 计算的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把分子合并分解因式，然后约分即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：B．
8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据已知点C的坐标求出反比例函数解析式，利用解析式求出，最后进行比较即可．
【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点在第四象限，，
在第二象限，，
∴，
故选：C．
9. 若，是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及已知式子的值，求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入代数式即可得出答案．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：A．
10. 如图，在中，分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，分别交于点E，F，连接交于点O，连接并延长，再以O为圆心，长为半径作弧，交延长线于点C，连接，，则可以判定四边形为平行四边形的依据是（ ）

A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 一组对边平行且相等D. 对角线互相平分
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定，关键是根据线段垂直平分线的作法得出，进而利用作图得出，利用平行四边形的判定解答即可．
【详解】解：由作图可知，，，
∴四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
故选∶D．
11. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转得性质可得出，，，即可得出答案．
【详解】解：A．由旋转可知：，∴，故该选项符合题意；
B．与不一定平行，∴与不一定相等，故该选项不符合题意；
C．与不一定相等，∴与不一定相等，故该选项不符合题意；
D．由上述过程可知，与不一定平行，故该选项不符合题意；
故选∶A．
12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论：
①设每件涨价x元，则实际卖出件；
②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大；
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题.
根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值.
【详解】解：∵每星期可以卖出300件，
又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元，
∴实际卖出件.
故①正确；
设降价y元，那么卖出件，
根据题意可得：所获得的利润.
当时，利润最大，售价为：，利润最大为：.
故②错误；
设涨价x元，
由题意可得：所获利润
当时，利润最大，售价为：，利润最大为：.
综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大.
故③错误.
故答案选：B
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）．
2．本卷共13题，共84分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 一个不透明的袋中装有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其它差别．从中任意摸出1个球是蓝球的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出袋子中总的球数，再用蓝球的个数除以总的球数即可．
【详解】解：∵袋子中装有2个红球、3个绿球和4个蓝球，共有个球，
∴从袋子中任意摸出1个球是蓝球的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
14. 计算的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据平方差公式直接计算即可．
【详解】解：，
故答案为：2．
15. 计算：=______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：原式=，故答案为．
16. 一次函数的图象向上平移3个单位后，经过点关于原点的对称点，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数平移以及求关于原点对称的点，先求出关于原点的对称点，由平移的性质得出，然后把代入即可求出m的值．
【详解】解：点关于原点的对称点为：
一次函数的图象向上平移3个单位后变为：，
∵一次函数的图象向上平移3个单位后，经过点，
∴
解得：
故答案为：．
17. 如图，E为平行四边形外一点，且满足，，，．
（Ⅰ）平行四边形的面积为______；
（Ⅱ）若点M，N分别在线段，上，连接，当时，连接，，的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（Ⅰ）过点D作于点G． 则，求出，由直角三角形的性质可得出，由勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式计算即可．
（Ⅱ）作E关于的对称点，连接，，把平移到处，连接，，过点作的延长线与点H，则四边形为平行四边形，，，，证明四边形为平行四边形，则，由四边形为平行四边形，得出，，，由勾股定理求出，，由，可得出，最后由当三点共线时，可求出的最小值．
【详解】解：（Ⅰ）过点D作于点G，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：6．
（Ⅱ）作E关于的对称点，连接，，把平移到处，连接，，过点作的延长线与点H，如图，
则四边形为平行四边形，，，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴
，
∴
∵，，
∴，
当三点不共线时，，
当三点共线时，，
∴故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含直角三角形的性质，平行四边形的判定以及性质，利用轴对称求最小值以及勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆过格点A，B，C．
（1）的面积等于______；
（2）若点E，F为格点，且满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的切线，并简要说明的位置是如何找到的（不要求证明）__________________．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的面积、圆的切线的定义、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所需知识成为解题的关键．
（1）根据方格可以确定三角形的底和高，然后根据三角形的面积公式计算即可解答；
（2）先确定圆心，然后再根据相似三角形和正切的定义、切线的定义即可解答．
【小问1详解】
解：如图：的面积为：
【小问2详解】
解:如图，在以为对角线的矩形内确定两对角线的交点S，连接并延长交格点R；在正上方取两个小正方形，并确定其中心分别为,作直线交于O，O即为圆心；然后确定格点，连接，则即为所求；
证明：由图可知：,即，
∵S为矩形的对角线的交点，
∴，
∴
∴垂直平分，
由作图可知：垂直平分，
∴直线交的交点O为圆心，
设交、于M，N，
∴，
∴，
∴，
在中，，
取格点，形成,，
∴，
∵，
∴，即,
∴为圆O的切线．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得______；
（Ⅱ）解不等式②，得______；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为______．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集：
（Ⅰ）把未知数的系数化为1，即可得到不等式的解集；
（Ⅱ）先移项合并，再未知数的系数化为1即可得到不等式的解集；
（Ⅲ）根据求出每一个不等式的解集，将解集表示在数轴上表示出来；
（Ⅳ）根据在数轴上表示出来不等式的解集，从而确定不等式组的解集．
【详解】解：（Ⅰ）解不等式①，得，
故答案为：；
（Ⅱ）解不等式②，得，
故答案为：；
（Ⅲ）数轴表示如下所示：
（Ⅳ）由数轴可知原不等式组的解集为，
故答案为：．
20. 老年人的幸福与我国的幸福指数息息相关，为了了解老龄人口的状况，某社区开展了一次年龄（单位：岁）调查，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次接受调查的老年人人数为______和m的值为______；
（2）求统计的这组老年人年龄数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1）50，24
（2）这组数据的平均数是63.2， 众数是，中位数，
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的相关知识，以及平均数、众数和中位数的定义．
（1）根据条形统计图即可计算出总人数，用调查65岁的人数除以总人数即可求出m．
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．
【小问1详解】
解：本次接受调查的老年人人数为：（人）
，即，
故答案为：50，24．
【小问2详解】
观察条形统计图．
∵，
∴这组数据的平均数是．
∵在这组数据中，64出现了14次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是64．
∵把这些数从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的25，26的数都是64，
则，
∴这组数据中位数为64．
21. 已知是的直径，点C，点D在上．
（1）如图①，若且C是弧的中点，与延长线交于点E，求的大小；
（2）如图②，过点D作的切线l，若切线，且，，求弦的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接、，如图，先根据圆心角、弧、弦的关系，由 得到
，再根据平行线的性质得到，接着证明为等边三角形得到，进而得到，然后判断和都为等边三角形得到，从而得到的度数；
（2）连接，，过B点作于H点，根据切线的性质得到，再根据平行线的性质得到，即，利用圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质计算出，，然后利用勾股定理计算出，最后计算即可．
【小问1详解】
解：连接，，如下图
∵C是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴都为的等边三角形，
∴，
∴．
【小问2详解】
连接，，过B点作于H点，如图：
∵直线l为切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定以及性质，切线的性质以及勾股定理等知识，作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，，是两条南北向的笔直的公路，是公路上一座南北走向的大桥，一辆汽车在公路上由南向北行驶．已知在A处测得桥头C在北偏东方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在北偏东方向上，桥头D在北偏东方向上．

（1）求线段的长和的度数；
（2）设两条公路之间的距离的长度为x（单位：m）．
①用含有x及的式子表示线段的长；
②若，求大桥的长度（，，结果保留整数）．
【答案】（1），
（2）①米②米
【解析】
【分析】本题主要考查了方向角，平行的性质以及解直角三角形的相关计算．
（1）根据题意可得出，．
（2）过点B作于H． 可得出四边形为矩形，，①由题意得出，由平行线的性质可得出，解直角三角形即可得出．②由平行的性质可得出，解求出，，再得出为等腰直角三角形，即可得出，最后根据线段得和差关系求出．
【小问1详解】
解：根据题意可得：，
;
【小问2详解】
过点B作于H．

∴四边形为矩形，
∴，，
①由题意得：，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
解的长为：米．
②∵
∴，
在，
，，
∴，
即，
解得：米，
则米，
在中，
∵，
∴，
∴，
即求大桥的长度为．
23. 已知甲、乙、丙三地依次在同一条直线上，乙地距离甲地，丙地离甲地，一艘游轮从甲地出发，先用了匀速航行到乙地；从乙地驶出后接着匀速航行了到丙地；从丙地进行休整后，返航回甲地．在返航途中，因天气影响匀速航行了后减速，继续匀速航行回到甲地．下面图中x表示时间，y表示游轮离甲地的距离．图象反映了这个过程中游轮离甲地的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）①填表：
②填空：游轮从乙地到丙地的速度为______；
③当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当游轮到达乙地时，一艘货轮从甲地出发匀速航行去丙地，已知货轮的速度为，求货轮追上游轮时离甲地的距离是多少？（直接写出结果即可）．
【答案】（1）①200；360；120；②20；③
（2）货轮追上游轮时离甲地距离是
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用：
（1）①根据图象，用时间×速度=路程即可求解；
②用“路程÷时间=速度”即可求解；
③分两种情况：当时，当时，根据图象求出函数解析式即可求解；
（2）根据题意列出方程可得货轮追上游轮时，再列式计算即可；
能从图象中获取相关信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：①游轮离开甲地，与甲地的距离为：
，
游轮离开甲地，与甲地的距离为：
，
游轮离开甲地，与甲地的距离为：，
故答案为：200；360；120；
②，
答：游轮从乙地到丙地的速度为，
故答案为：20；
③当时，
，
当时，
，
．
【小问2详解】
由题意得：
，
解得：，
，
答：货轮追上游轮时离甲地的距离是．
24. 将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P在y轴正半轴上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与边相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设．
（1）填空：如图①，当时，的大小为______，点的坐标为______；
（2）如图②，若折叠后重合部分为五边形，点C的对应点为，，分别与边，相交于点D，E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围；
（3）求折叠后重合部分的面积的最大值，以及相应的t的值（请直接写出结果即可）．
【答案】（1），
（2）,
（3）当时，折叠后重合部分的面积最大为
【解析】
【分析】（1）先根据折叠的性质得，作，即可得出，然后求出和即可解答；
（2）根据题意先表示，再根据，表示，然后根据表示，最后在含的直角三角形中表示，再求出取值范围即可；
（3）求出不同t时的重合部分的面积表达式，利用函数表达式求出最大面积即可．
【小问1详解】
解：在中，，
，
由折叠得，
，，
如图，过点作，垂足为H，则．
,，
，
，
当时，．
【小问2详解】
解：∵点，
∴．
又，
．
同（1）知，，
∵四边形是正方形，
，
．
，
．
在中，，
，，
，
当点与重合时，，解得：．
∴t的取值范围是．
【小问3详解】
解：设t时的重合部分的面积为S
当时重叠部分如图①所示，则，，
；
当时如下图所示：
在中，，
，
，
，
由折叠易得,
，
当时，S最大为；
当时，如下图所示：
．
当时，S取得最大值．
综上所述，当时，S取得最大值．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含直角三角形的性质、正方形的性质、解直角三角形等知识点．理解重叠图形的变化规律是解题的关键．
25. 已知抛物线（a，b，c为常数）．
（1）若直线l：是抛物线的对称轴，且．
①求抛物线与x轴的交点坐标；
②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标；
（2）若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值．
【答案】（1）①②当面积最大时，此时
（2）
【解析】
【分析】（1）①由待定系数法求出抛物线解析式，再另即可求出抛物线与x轴的交点坐标；②连接并长，过P作轴，交丁点Q，设，求出的函数解析式，则，根据两点之间的距离公式求出，再根据，即可得出，利用二次函数的性质可得出当时，面积有最大值，进一步即可求出点P的坐标．
（2）先用待定系数法求出抛物线解析式以及点C的坐标，过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G，则，进一步可得出，由选旋转的性质可得出，结合已知条件可得出，利用证明，由全等的性质可得出，由角平分线的性质定理可得出，即，再用待定系数法求出，进一步可求出的坐标，设，根据，列出关于n的方程求解即可．
【小问1详解】
解：①∵是抛物线的对称轴，且
∴，
∴，
∴抛物线为，
∵，
∴时，
∴抛物线与x轴的交点坐标为．
②连接并长，过P作轴，交丁点Q，
设，
∵点，
∴的解析式为：，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴当时，面积有最大值，
此时．
【小问2详解】
∵抛物线过点，得，
又∵，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴
过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G，
则，
∴，
设与x轴交于K，由旋转可得，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴
∵
∴的解析式为，
∴，
解得，，
∴，
设，
∵，
∴
解得：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，二次函数综合面积问题，全等三角形的判定以及性质，旋转的性质，两点之间的距离公式等等知识点，作出正确的辅助线是解题的关键．
游轮离开甲地的时间/
10
15
20
58
游轮离开甲地的距离/
______
280
______
______