浙江省杭州市萧山区萧山区红垦学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分．
2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、姓名、座位号等．
3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
一．选择题（每小题3分，共30分）
1. 若，则下列二次根式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．二次根式有意义的条件是，据此判断各选项即可得到答案．
【详解】解：A、有意义的条件是，所以时二次根式不一定有意义，不符合题意；
B、 有意义的条件是，所以时二次根式不一定有意义，不符合题意；
C、有意义的条件是，所以时二次根式一定有意义，符合题意；
D、有意义条件是 ，所以时二次根式不一定有意义，不符合题意．
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
3. 如图，A、P是直线m上任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）
A. AC=BPB. △ABC的周长等于△BCP的周长
C. △ABC的面积等于△ABP的面积D. △ABC的面积等于△PBC的面积
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．
故选D．
【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．
4. 一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数，一定不会发生变化的统计量是( )
A. 方差B. 平均数C. 中位数D. 众数
【答案】D
【解析】
【分析】根据选项，结合方差、平均数、中位数及众数的求法逐项验证即可得到答案．
【详解】A、原来数据的方差加入一个数后的方差一定发生了变化，不符合题意；
B、原来数据平均数是＝，加入一个数，平均数一定变化，不符合题意；
C、原来数据的中位数是3，加入一个数后，如果中位数一定变化，不符合题意；
D、原来数据的众数是2，加入一个数后众数仍为2，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查统计量的计算，熟记方差、平均数、中位数及众数的求法是解决问题的关键．
5. 若关于x的方程有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查方程有解的情况，解题的关键是根据题意分情况讨论．
根据题意分一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论即可求解．
【详解】当方程为一元二次方程时，，且，
即，
解得；，
故且，
当方程为一元一次方程时，，方程的根为，
综上，k的取值为，
故选：A．
6. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A. 0B. ±3C. 3D. －3
【答案】D
【解析】
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键．
7. 若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故选：B．
8. 如图大坝的演断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（ ）．
A. 6米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】分别过、作，，四边形为矩形，根据斜坡的坡比为结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，再根据勾股定理求得答案．
【详解】解：分别过、作，，
∴四边形为矩形，
斜坡的坡比，即，不妨设，则，
在中根据勾股定理：，
，解得或（不合题意，舍去），
又∵背水坡的坡比，
∴，
∴在中根据勾股定理得：
，
故选：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的运用， 根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．
【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为：
故选：C．
10. 对于一元二次方程，下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．
【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
，
则方程的判别式，
方程必有两个不相等的实根，
故②错误；
③∵方程两根为，且满足，
∴，
令，，
∴方程有两个实数根，令两根分别为，
∴，
，
∴方程，必有实根，，
故③正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，
故④正确．
故正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
二．填空题（每小题3分，共18分）
11. 如图，已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了绝对值和二次根式的化简，解题的关键是熟知负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身以及．根据a在数轴上的位置判断出的符号，再化简绝对值和二次根式即可．
【详解】解：由数轴可得，，则，
∴，
故答案为：．
12. 已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， 则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了平均数的概念，熟记公式是解决本题的关键．
根据平均数的计算公式即可求解．
【详解】一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为，
，
解得∶，
故答案为∶2．
13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为_______．
【答案】10
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．根据垂直平分线的性质可得，，即可求解．
【详解】解：由平行四边形的性质可得：，，
由题意可得：点在的垂直平分线上，
∴，
的周长．
故答案为：．
14. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系．根据题意，得到，代入，求解即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为；
令，
关于的一元二次方程化为，
的解为，
的解为，即或，
，
关于的一元二次方程的解是，
故答案为：．
16. 如图，将一副三角尺中，含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边重合，，分别是边，上的两点，与交于，且四边形是面积为的平行四边形，则线段的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点Q作于点F，根据已知条件得出，，，，设，，继而根据含30度角直角三角形的性质得出，根据四边形的面积得出，解方程得出，进而根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
过点Q作于点F，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
设，，
则，
在中，
，
四边形是面积为的平行四边形，
，
，
，
∵，则，
又，
是等腰直角三角形，
，
又四边形是平行四边形，则，，
，
，
，即，
，
解得：或（舍去），
，即，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三．解答题（本大题有8个小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质化简，然后再根据二次根式加减运算法则，进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. （1）关于 的方程，下列解法完全正确的是__________．
（2）选择合适的方法解方程
【答案】（1）丁；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
（1）对甲、乙、丙、丁的解题的过程进行判断，然后作答即可；
（2）利用因式分解法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：由题意知，丁的解法完全正确，
故答案为：丁；
（2）解：，
，
∴或，
解得，．
19. 某中学八年级甲、乙两班分别选名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示．
演讲比赛成绩条形统计图
（1）根据图中数据填写下表：
（2）根据上表数据你认为哪班的成绩较好？请说明你的理由．
【答案】（1）①8.5；②0.7；③8
（2）甲班的成绩好；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了方差、平均数、众数和中位数，理解方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是解答关键．
（1）根据众数、方差和平均数的定义及公式分别进行解答即可；
（2）从平均数、中位数以及方差的意义三个方面分别进行解答即可得出答案．
【小问1详解】
解：由统计表可知：甲班的数据从小到大排列为：7.5，8，8.5，8.5，10，
所以甲班的众数是8.5；
方差是：，
乙班的数据从小到大排列为：7，7.5，8，10，10，
所以乙班的中位数是8；
故答案为：①8.5；②0.7；③8；
【小问2详解】
解：甲班成绩好．
理由：因为甲、乙两班成绩的平均数相同，而甲班成绩的中位数高于乙班的中位数，甲班的方差小于乙班的方差，
所以甲班的成绩较好．
20. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．
求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
∴．
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
（）利用一元二次方程根的判别式判断即可得解；
（）先求解一元二次方程，再根据方程两个根都是负根判断的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵不论为何值，
∴方程有两个实数根．
【小问2详解】
解：∵关于一元二次方程中，，
∴，
∴，，
∵方程的两个根都是负根，
∴，
∴．
22. 某超市销售一种亚运会吉祥物挂件，每套进价为元，如果按每套元销售，每周可售出套，通过市场调查发现，每套挂件的售价每降低元，每周的销售量将增加套．
（1）每套亚运会吉祥物挂件的售价降低多少元时，该超市平均每周能盈利元？
（2）该超市平均每周销售这种亚运会吉祥物挂件的盈利能达到元吗？请说明你的理由．
【答案】（1）5元或12元
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据利润（售价进价降价）销售量列出方程求解即可；
（2）设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，根据利润（售价进价降价）销售量列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，即，
解得：，，
答：每套亚运会吉祥物挂件的售价降低5元或12元时，该超市平均每周能盈利2400元；
【小问2详解】
解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，
∵，
∴方程无实数解，
答：盈利不能达到3000元．
23. 综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子
如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子．(纸板厚度忽略不计)

（1）求将要剪去的正方形的边长；
（2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图(用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕)；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
【答案】（1）剪去正方形的边长为
（2）①图见解析；②剪去的正方形的边长为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
（1）设剪去的正方形的边长为．根据底面积为，列出一元二次方程，解方程，即可求解．
（2）①根据题意画出图形，②设剪去的正方形的边长为，根据折成的有盖长方体盒子的表面积为，可列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设剪去的正方形的边长为．
根据题意列方程为．
解，得，．
当时，，，所以不符合题意舍去．
答：剪去正方形的边长为3cm；
【小问2详解】
①画出的图形如图所示．

②设剪去的正方形的边长为．
根据题意得：．
解得(舍)，．
答：剪去的正方形的边长为．
24. 如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝0.5s时，△APQ的面积；
（3）当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．
【答案】（1）4cm2；（2）cm2；（3）或3
【解析】
【分析】（1）过点B作BE⊥CD于点E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出平行四边形的高，从而求出结论；
（2）过点Q作QM⊥AP，分别计算出t＝0.5s时，AP，AQ和QM的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点P在线段AB上，点Q在线段AD上和点P在线段BC上，点Q在线段CD上，两种情况计算即可．
【详解】解：（1）平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm
∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm
如图，过点B作BE⊥CD于点E，
∵∠C＝30°
∴BE＝BC＝1cm
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BE＝4×1＝4cm2
（2）当t＝0.5s时，
AP＝2×0.5＝1cm，AQ＝1×0.5＝0.5cm
如图，过点Q作QM⊥AP
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C
∵∠C＝30°
∴∠A＝30°
∴QM＝AQ＝×0.5＝（cm）
∴△APQ的面积为：×AP×QM＝×1×＝（cm2）
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为4cm2．
∴当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△APQ的面积为：4×＝（cm2）
当点P在线段AB上运动t秒时，点Q在AD上运动t秒，AP＝2tcm，AQ＝tcm，高为＝cm
∴×2t×＝
∴t＝﹣（舍）或t＝
∴t＝时符合题意；
当点P运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点Q也运动到线段CD上，
如图，过点P作MN垂直CD于点M，垂直于AB延长线于点N
∵四边形ABCD为平行四边形，∠C＝30°，
∴AB∥CD
∴∠PBN＝∠C＝30°
PN＝PB＝（2t﹣4）＝（t﹣2）（cm），PM＝1﹣（t﹣2）＝（3﹣t）（cm）
S△APQ＝4﹣×4×（t﹣2）﹣×[4﹣（t﹣2）]×[1﹣（t﹣2）]﹣（t﹣2）×1＝
∴4﹣2t＋4﹣（6﹣t）（3﹣t）﹣＋1＝
化简得：t2﹣4t＋3＝0
∴（t﹣1）（t﹣3）＝0
∴t＝1（不符合题意，舍）或t＝3
当t＝3时，点P位于点C处，点Q位于线段CD上，符合题意．
综上，t的值为或3．
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和一元二次方程的应用，掌握平行四边形的性质和各图形的面积公式是解决此题的关键．
甲
乙
两边同时除以
得到．
移项得，
，
，
．
丙
丁
整理得，
，
，
，
．
整理得，
配方得，
，
，
．
平均数
中位数
众数
方差
甲班
①___
②___
乙班
③___