热点题爆破05 指数对数幂函数及其函数模型的应用-【考前冲刺】2024年新高考数学考前三轮复习精讲

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1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
热点题爆破05 指数对数幂函数
及其函数模型的应用
1．（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【详解】由，，，可得，
所以，则.
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由对数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意知，，两边同时取对数得，，即.
故选：A.
3．（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知，
，
，
所以，，；
当时，，
所以
，
取，则，
所以
，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：.
4．（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由条件求出，结合对数运算，基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为，
所以，，
所以，A正确；
，B正确，
，C错误，
由，可得，D正确，
故选：ABD.
5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】当时，可求得，继而求得，逐项判定即可.
【详解】有题意可知，，
当，则，
即，，
则，
其是关于的单调递增函数，
当时，，
当时，，
则，故B正确；
当时，，
故A错误；
当时，，
此时满足， ，故C正确，D错误，
故选：BC.
6．（2023·河北·模拟预测）已知，，为正实数，下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】对于A：利用基本不等式结合对数函数单调性分析判断；对于B、C：利用基本不等式分析判断；对于D：利用作差法比较大小.
【详解】因为，，为正实数，则有：
对于A：虽然，当且仅当时，等号成立，
但无法确定与1的大小关系，则对数函数的单调性无法确定，
所以的大小关系无法确定，故A错误；
对于B：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：因为，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：使用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．
7．（2024·辽宁辽阳·一模）若，则 ， .
【答案】 -2 2
【分析】第一空，根据对数的运算性质即可求得答案；第二空，化简为，求得其结果，再根据对数运算，即可求得答案.
【详解】因为，故；
，
故，
故答案为：-2；2.
8．（2024·河南·模拟预测）若是偶函数，则实数 ．
【答案】
【分析】因为是偶函数，所以，据此即可求解,注意检验.
【详解】因为是偶函数，定义域为，
所以，所以，
所以，所以，此时，
满足题意.
故答案为：.
9．（2024·江苏·一模）已知，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】依题意可得，则，令，利用导数求出的最小值，即可得解.
【详解】，，
，，，
即，所以，
令，，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当且仅当时取得.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过和1的比较可得答案.
【详解】因为，，所以．
故选：C
2．（2024·云南昆明·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用函数单调性确定大小，通过作差，判断正负即可确定大小即可.
【详解】设，则，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
，则，
又，得，
所以，
故选：A
3．（2024·安徽阜阳·一模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.
【详解】，
，
，
.
故选：D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断.
【详解】因为，，所以；
又因为，则，
即，所以，即；
所以．
故选：A．
5．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
【答案】B
【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
【详解】设火星的公转周期为，长半轴长为，火星的公转周期为，长半轴长为，
则，，且
得： ，
所以，，即：.
故选：B．
6．（2024·全国·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知公式及对数运算可得结果.
【详解】由题意，，即，等号两边同时取自然对数得
，即，所以．
故选：C．
7．（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．11B．15C．19D．21
【答案】A
【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.
【详解】，
即，则，得.
故选：A
8．（2024·贵州遵义·一模）近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要）（ ）
A．8年B．10年C．12年D．20年
【答案】C
【分析】设经过个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，可得，两边同时取对数可求出答案.
【详解】设经过个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，
所以，所以，
两边同时取对数可得：，
所以，所以，
而，
所以该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要12年.
故选：C.
9．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性即可判断AB；根据指数函数的单调性即可判断C；构造函数，利用导数判断出函数的单调性即可判断D.
【详解】对于AB，因为，所以，故A错误；
因为，所以，但不一定大于1，
故不一定大于0，故B错误；
对于C，因为，则，所以，故C错误；
对于D，不等式等价于，两边取自然对数得，
因为，所以原不等式等价于，
设函数，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
故当时，，所以，
故在上单调递减，
所以，即，故D正确．
故选：D．
10．（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将题设条件等价变形为进行放缩移项得到构造函数，利用其单调性即可得到.
【详解】由可得
因，则有即（*）
设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于发现条件中指对数的结构特征，通过凑项、放缩，使之出现相同的数学结构，进行构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.
二、多选题
11．（2024·广西柳州·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用幂函数、对数函数、指数函数的性质，结合特殊值法即可得解.
【详解】对于A，因为在上单调递增，，
所以，即，故A正确；
对于B，取，满足，但，故B错误；
对于C，因为，所以，则，故C正确；
对于D，取，此时，故D错误.
故选：AC.
12．（2024·山西·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式结合对数和指数的运算逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，故A错误；
对于B，因为，所以，故，
又因，当且仅当时取等号，
所以，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BCD.
13．（2024·江苏·一模）已知，且，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
用对数表示x，y，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．
【详解】
∵，∴，同理，
∵在时递增，故，故A正确；
∵，∴B错误；
∵，，∴，当且仅当时等号成立，而，故，∴C正确；
∴，即，∴D正确．
故选：ACD．
14．（2024·贵州毕节·二模）已知，则下列式子中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】
由指对互化得到，，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.
【详解】
由已知可得 ，
所以 , 故A错误;
所以, 故B正确;
由 , 当且仅当 , 即 时取等号, 显然取不到，所以, 故C正确;
,当且仅当,
即 时取等号, 显然取不到所以，故D正确；
故选：BCD.
15．（2024·贵州遵义·一模）已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用导数证明，利用不等式的性质，结合函数的单调性可得，再逐项判断即可得解.
【详解】令函数，求导得，函数在上递增，
，即当时，，则当时，，
于是，而函数在上递增，因此，
对于A，，A正确；
对于B，函数在上递减，则，B错误；
对于C，函数在上递减，则，C正确；
对于D，，则，D错误.
故选：AC
三、填空题
16．（2024·山东·二模）计算： ．
【答案】1
【分析】根据对数运算法则得到答案.
【详解】根据对数的性质，底的对数是1，1的对数是0，因此．
故答案为：1
17．（2024·山东聊城·一模）若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】
借助分段函数的性质，求出时值域，可得时，有恒成立，解出即可得.
【详解】当时，，此时，
故当时，有恒成立，
即在时恒成立，即，即.
故答案为：.
18．（2024·云南·模拟预测）若为奇函数，则 .
【答案】
【分析】
根据对数函数的性质令，求出函数的定义域，又奇函数的定义域关于原点对称得到方程，求出的值，再代入检验.
【详解】
对于函数，
令，解得或，
所以函数的定义域为，
又为奇函数，所以，所以，
此时，定义域为，
且，满足为奇函数.
故答案为：
19．（2024·全国·模拟预测）已知，则 ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系，再利用对数的运算性质及换底公式计算得解.
【详解】依题意，，
则．
故答案为：3
20．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由，根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断性质，再由性质得即可求范围.
【详解】由题设，定义域为，
，即为偶函数，
在上，令，且，
则，
由，故，即函数在上递增，
而在定义域上递增，故在上递增，
所以，可得，
故，可得.
故答案为：