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2024年甘肃省武威市天祝藏族自治县祁连中学联片教研中考三模数学试题（原卷版+解析版）
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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查相反数的定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数．根据相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：C．
2. 下列计算结果，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项正确；
D、，该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3. 直尺和三角板如图摆放，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角板中角度的特点求出的度数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋，其中正确的序号是（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及平角为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+（a-）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
综上，正确的说法是①②④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
5. 已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可．
【详解】解：，
正比例函数的图象经过一、三象限，
点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且，
在第三象限，在第一象限，
由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
在第一象限，
，，
．
故选：D．
6. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）
A. 9.6B. 4C. 5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂径定理求出AC的长，易证：△AEO∽△AFC，求出CF长，即可求解．
【详解】解：∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEO＝90°，
∵OE＝3，OB＝OA=5，
∴AE＝，
∴AC＝8，
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，
∴△AEO∽△AFC，
∴，即：，
∴，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CF＝＝9.6．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质定理，勾股定理，熟练掌握应用垂径定理是解题的关键．
7. 如图，在钝角三角形中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A点是公共点，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似，
则，
①当D与B对应时，有，
∴，
∴，
∴；
②当D与C对应时，有，
∴，
∴，
∴，
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或，
故选：D．
8. 如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A. 10米B. 10米C. 20米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
【详解】∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，
∴=tan30°．
∴．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，
∴BC=．
∵CD=20，
∴CD=BD﹣BC=．
解得：AB=．
故选A．
9. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．因此，
A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；
B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；
C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确；
D、球体主视图与俯视图都是圆，错误．
故选C．
10. 如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
直线一定过点，，
把代入得，，此时反比例函数过整点，，，
阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点，
的取值可能是4，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键．
二、填空题（共24分）
11. 若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次根式的非负性确定的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，解题关键是根据非负数的性质确定字母的值．
12. 已知，则____________．
【答案】或
【解析】
【分析】设，再把方程同时除以，即可得到关于一元二次方程，解方程后检验即可．
【详解】设，则
∵，
∴，
，
∴，
整理得，
解得
当，即时，去分母整理得到，，此方程有解；
当，即时，去分母整理得到，，此方程有解；
综上所述，或
故答案为：或
【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．解题的关键是除以构造与相关的方程．也考查解一元二次方程及分式方程．
13. 如图，直角坐标系中，平行四边形的顶点B在x轴的正半轴上，A、C在第一象限，反比例函数的图象经过点A，与交于点D，轴于点E，连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，连结，则的面积为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的几何意义，得出，结合点F在第三象限，故再设设的解析式为，运用待定系数法求，得出，根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质，得出，结合，代入数值进行化简，即可作答．
【详解】解：设
∵反比例函数图象经过点A，
∴
∵连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，
设
把代入，解得
∴，
∴，
则，
解得
∵点F在第三象限，
∴（正值已舍去），
∴或，
∵轴于点E，
∴点E的坐标为，
设的解析式为
把和代入，
得
解得
∴的解析式为，
∵点D在上，且在上
∴
整理得
即
∴
∵点D在第一象限
∴
如图：过点D作轴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
则，
即，
∴，
则，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
14. 如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，若P是⊙C上一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大，易证△OBD∽△PBC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OD的长，则AD的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：当直线BP与圆相切时，切点在轴的右边，此时最长，则△ABD的面积最大．
A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，
连接PC，则∠CPB=90°，
在直角△BCP中，．
∵为的切线，则∠CPB=90°．
∴∠DOB=∠CPB=90°
又∵∠DBO=∠CBP，
∴△OBD∽△PBC，
∴，
∴．
∴，
∴S△ABD=AD•OB=．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解△ADB的面积最大的条件是关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，是以菱形的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，则点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质和等腰三角形的性质，进行计算，即可得到答案．
【详解】解：如图：
∵点与点关于轴对称，
∴，，
是以菱形的对角线为边的等边三角形，，
，
，
在菱形中，，，
∴，，
∴，
在中，，∴，
∴
又∵，
∴
∴，
，
点的坐标是．
故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质和平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和平面直角坐标系．
16. 如图，已知，，则___________．
【答案】##度
【解析】
【分析】首先根据已知条件得出直线平行，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的就是平行线的判定和性质定理，属于基础题型；解决这个问题的关键就是证明平行线求解．
17. 如图，在中，，D是的中点．若，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出，然后再求出即可．
【详解】解：∵在中，，D是的中点．若，
∴，，
∴．
故答案为：8．
18. 如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求出圆心角∠BOC的大小，然后利用弧长公式即可解决问题．本题考查切线的性质、弧长公式、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是记住弧长公式，求出圆心角是关键，属于中考常考题型．
【详解】解：
∵AB⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴ 的长为 = ．
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查切线的性质，弧长的计算，解题的关键是熟知弧长公式的运用．
三、计算题（共8分）
19. （1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）6
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算及特殊角三角函数值的混合运算，注意计算的准确性即可．
（1）分别计算零指数幂、三角函数值以及负整数指数幂即可；
（2）根据分式的混合运算法则即可求解．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
四、作图题（共6分）
20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．点P是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示、画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：
（1）直接写出的长为 ___________；
（2）请以为边，在图中画格点正方形；
（3）在图中边上画点Q，连接，使得四边形的面积为5．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理，即可求解，
（2）根据正方形的性质，网格线的特点，即可求解，
（3）连接点P与与的交点，并延长交于点Q，即为所求，
本题考查了，作图，勾股定理，正方形的判定，解题的关键是：熟练掌握网格线的特点．
【小问1详解】
解：根据勾股定理得：，
故答案为：，
【小问2详解】
解：如图所示，正方形即所求，
【小问3详解】
解：正方形的面积为：，
正方形的面积的一半为：5，
如图所示，线段即为所求．
五、解答题（共52分）
21. 甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1000kg土豆与乙班挖800kg土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖80kg土豆，分别求甲、乙两班平均每小时挖土豆的质量．
【答案】400千克，320千克
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的实际应用，设甲班平均每小时挖x千克土豆，则乙班平均每小时挖千克土豆，根据甲班挖1000kg土豆与乙班挖800kg土豆所用的时间相同列方程解答，正确理解题意列得分式方程是解题的关键．
【详解】设甲班平均每小时挖x千克土豆，则乙班平均每小时挖千克土豆，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
∴，
甲班平均每小时挖400千克土豆，乙班平均每小时挖320千克土豆．
22. 如图，已知，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明，再利用证明，从而得解．
【详解】证明：
即
在 中
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求点A的坐标和反比例函数的表达式；
（2）若点Р在y轴上，的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键．
（1）把代入，求得，所以，把代入，可求得k的值，即得答案；
（2）先求出点B的坐标，再利用三角形面积公式计算，即得答案．
【小问1详解】
把代入，
得，解得，
，
把代入，得，
反比例函数表达式为．
【小问2详解】
当时，，，
，
，
或．
24. 如图，测量小组在山谷底部A处测得观察M处时的仰角，转身观察N处时的仰角，然后测量小组向前走了50米来到点B处，在B处测得观察N处时的仰角．已知大桥与水平面平行，，试求大桥的长度．（参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，先证明四边形是矩形，再证明，求出，得到，得到，，再求出，即可得到答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴（米）．
25. 某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最擅长的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气； B．电解水；C．木炭还原氧化铜； D．一氧化碳还原氧化铜； E．铁的冶炼．要求每个学生必选且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
请结合统计图回答下列问题：
（1）填空： ， E所对应的扇形圆心角度数是 ；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级1100名学生中有多少人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”？
（3）某堂化学课上，小华学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C，D，E 三个实验均能产生二氧化碳，若小华从五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
【答案】（1）50，
（2）估计该校九年级 1100名学生中有165人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，列表或画树状图求概率，解题的关键是数形结合，根据题意画出树状图或列出表格．
（1）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用1100人乘以类所占的百分比即可；
（3）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
抽取的学生人数为 (人)，
选择C的学生人数为 (人)，
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，：
【小问2详解】
(人)，
答：估计该校九年级 1100名学生中有 165人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
【小问3详解】
根据题意列表如下：
由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有 6种，分别为(C， D)， (C， E)， (D， C)， (D， E)， (E， C)， (E， D)，
∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)
26. 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【答案】（1）60°；（2）5．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果．
【详解】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OD⊥AB，
∴＝，，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
27. 如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AD=3，（2）当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；
②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）
【解析】
【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED≌△CBD，在Rt△CEO中求出OE的长，从而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值．
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况利用平行四边形的性质讨论求解即可；
【详解】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4．
设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3．
∴AD=3．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），
∴，解得．∴抛物线的解析式为：．
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴，即，解得．
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴，即，解得．
∴当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点．
由得抛物线顶点，则：M（4，）．
∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）．
②EC为平行四边形的边，则ECMN，
设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；
将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，
此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；
将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，
此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）．
综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．
A
B
C
D
E
A
(A， B)
(A， C)
(A， D)
(A， E)
B
(B， A)
(B， C)
(B， D)
(B， E)
C
(C， A)
(C， B)
(C， D)
(C， E)
D
(D， A)
(D， B)
(D， C)
(D， E)
E
(E， A)
(E， B)
(E， C)
(E， D)
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查相反数的定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数．根据相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：C．
2. 下列计算结果，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项正确；
D、，该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3. 直尺和三角板如图摆放，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角板中角度的特点求出的度数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋，其中正确的序号是（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及平角为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+（a-）2=4，
解得a=，
则a2=2+，
S正方形ABCD=2+，
④说法正确，
综上，正确的说法是①②④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
5. 已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可．
【详解】解：，
正比例函数的图象经过一、三象限，
点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且，
在第三象限，在第一象限，
由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
在第一象限，
，，
．
故选：D．
6. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）
A. 9.6B. 4C. 5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂径定理求出AC的长，易证：△AEO∽△AFC，求出CF长，即可求解．
【详解】解：∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEO＝90°，
∵OE＝3，OB＝OA=5，
∴AE＝，
∴AC＝8，
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，
∴△AEO∽△AFC，
∴，即：，
∴，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CF＝＝9.6．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质定理，勾股定理，熟练掌握应用垂径定理是解题的关键．
7. 如图，在钝角三角形中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A点是公共点，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似，
则，
①当D与B对应时，有，
∴，
∴，
∴；
②当D与C对应时，有，
∴，
∴，
∴，
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或，
故选：D．
8. 如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A. 10米B. 10米C. 20米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
【详解】∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，
∴=tan30°．
∴．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，
∴BC=．
∵CD=20，
∴CD=BD﹣BC=．
解得：AB=．
故选A．
9. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．因此，
A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；
B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；
C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确；
D、球体主视图与俯视图都是圆，错误．
故选C．
10. 如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
直线一定过点，，
把代入得，，此时反比例函数过整点，，，
阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点，
的取值可能是4，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键．
二、填空题（共24分）
11. 若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次根式的非负性确定的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，解题关键是根据非负数的性质确定字母的值．
12. 已知，则____________．
【答案】或
【解析】
【分析】设，再把方程同时除以，即可得到关于一元二次方程，解方程后检验即可．
【详解】设，则
∵，
∴，
，
∴，
整理得，
解得
当，即时，去分母整理得到，，此方程有解；
当，即时，去分母整理得到，，此方程有解；
综上所述，或
故答案为：或
【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．解题的关键是除以构造与相关的方程．也考查解一元二次方程及分式方程．
13. 如图，直角坐标系中，平行四边形的顶点B在x轴的正半轴上，A、C在第一象限，反比例函数的图象经过点A，与交于点D，轴于点E，连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，连结，则的面积为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的几何意义，得出，结合点F在第三象限，故再设设的解析式为，运用待定系数法求，得出，根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质，得出，结合，代入数值进行化简，即可作答．
【详解】解：设
∵反比例函数图象经过点A，
∴
∵连结并延长交的延长线于点F，反比例函数的图象经过点F，
设
把代入，解得
∴，
∴，
则，
解得
∵点F在第三象限，
∴（正值已舍去），
∴或，
∵轴于点E，
∴点E的坐标为，
设的解析式为
把和代入，
得
解得
∴的解析式为，
∵点D在上，且在上
∴
整理得
即
∴
∵点D在第一象限
∴
如图：过点D作轴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
则，
即，
∴，
则，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
14. 如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，若P是⊙C上一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大，易证△OBD∽△PBC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OD的长，则AD的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：当直线BP与圆相切时，切点在轴的右边，此时最长，则△ABD的面积最大．
A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，
连接PC，则∠CPB=90°，
在直角△BCP中，．
∵为的切线，则∠CPB=90°．
∴∠DOB=∠CPB=90°
又∵∠DBO=∠CBP，
∴△OBD∽△PBC，
∴，
∴．
∴，
∴S△ABD=AD•OB=．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解△ADB的面积最大的条件是关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，是以菱形的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，则点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质和等腰三角形的性质，进行计算，即可得到答案．
【详解】解：如图：
∵点与点关于轴对称，
∴，，
是以菱形的对角线为边的等边三角形，，
，
，
在菱形中，，，
∴，，
∴，
在中，，∴，
∴
又∵，
∴
∴，
，
点的坐标是．
故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质和平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和平面直角坐标系．
16. 如图，已知，，则___________．
【答案】##度
【解析】
【分析】首先根据已知条件得出直线平行，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的就是平行线的判定和性质定理，属于基础题型；解决这个问题的关键就是证明平行线求解．
17. 如图，在中，，D是的中点．若，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出，然后再求出即可．
【详解】解：∵在中，，D是的中点．若，
∴，，
∴．
故答案为：8．
18. 如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求出圆心角∠BOC的大小，然后利用弧长公式即可解决问题．本题考查切线的性质、弧长公式、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是记住弧长公式，求出圆心角是关键，属于中考常考题型．
【详解】解：
∵AB⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴ 的长为 = ．
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查切线的性质，弧长的计算，解题的关键是熟知弧长公式的运用．
三、计算题（共8分）
19. （1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）6
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算及特殊角三角函数值的混合运算，注意计算的准确性即可．
（1）分别计算零指数幂、三角函数值以及负整数指数幂即可；
（2）根据分式的混合运算法则即可求解．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
四、作图题（共6分）
20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．点P是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示、画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：
（1）直接写出的长为 ___________；
（2）请以为边，在图中画格点正方形；
（3）在图中边上画点Q，连接，使得四边形的面积为5．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理，即可求解，
（2）根据正方形的性质，网格线的特点，即可求解，
（3）连接点P与与的交点，并延长交于点Q，即为所求，
本题考查了，作图，勾股定理，正方形的判定，解题的关键是：熟练掌握网格线的特点．
【小问1详解】
解：根据勾股定理得：，
故答案为：，
【小问2详解】
解：如图所示，正方形即所求，
【小问3详解】
解：正方形的面积为：，
正方形的面积的一半为：5，
如图所示，线段即为所求．
五、解答题（共52分）
21. 甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1000kg土豆与乙班挖800kg土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖80kg土豆，分别求甲、乙两班平均每小时挖土豆的质量．
【答案】400千克，320千克
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的实际应用，设甲班平均每小时挖x千克土豆，则乙班平均每小时挖千克土豆，根据甲班挖1000kg土豆与乙班挖800kg土豆所用的时间相同列方程解答，正确理解题意列得分式方程是解题的关键．
【详解】设甲班平均每小时挖x千克土豆，则乙班平均每小时挖千克土豆，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
∴，
甲班平均每小时挖400千克土豆，乙班平均每小时挖320千克土豆．
22. 如图，已知，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明，再利用证明，从而得解．
【详解】证明：
即
在 中
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求点A的坐标和反比例函数的表达式；
（2）若点Р在y轴上，的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键．
（1）把代入，求得，所以，把代入，可求得k的值，即得答案；
（2）先求出点B的坐标，再利用三角形面积公式计算，即得答案．
【小问1详解】
把代入，
得，解得，
，
把代入，得，
反比例函数表达式为．
【小问2详解】
当时，，，
，
，
或．
24. 如图，测量小组在山谷底部A处测得观察M处时的仰角，转身观察N处时的仰角，然后测量小组向前走了50米来到点B处，在B处测得观察N处时的仰角．已知大桥与水平面平行，，试求大桥的长度．（参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，先证明四边形是矩形，再证明，求出，得到，得到，，再求出，即可得到答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴（米）．
25. 某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最擅长的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气； B．电解水；C．木炭还原氧化铜； D．一氧化碳还原氧化铜； E．铁的冶炼．要求每个学生必选且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
请结合统计图回答下列问题：
（1）填空： ， E所对应的扇形圆心角度数是 ；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级1100名学生中有多少人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”？
（3）某堂化学课上，小华学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C，D，E 三个实验均能产生二氧化碳，若小华从五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
【答案】（1）50，
（2）估计该校九年级 1100名学生中有165人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，列表或画树状图求概率，解题的关键是数形结合，根据题意画出树状图或列出表格．
（1）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用1100人乘以类所占的百分比即可；
（3）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
抽取的学生人数为 (人)，
选择C的学生人数为 (人)，
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，：
【小问2详解】
(人)，
答：估计该校九年级 1100名学生中有 165人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
【小问3详解】
根据题意列表如下：
由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有 6种，分别为(C， D)， (C， E)， (D， C)， (D， E)， (E， C)， (E， D)，
∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)
26. 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【答案】（1）60°；（2）5．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果．
【详解】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OD⊥AB，
∴＝，，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
27. 如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AD=3，（2）当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；
②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）
【解析】
【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED≌△CBD，在Rt△CEO中求出OE的长，从而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值．
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况利用平行四边形的性质讨论求解即可；
【详解】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4．
设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3．
∴AD=3．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），
∴，解得．∴抛物线的解析式为：．
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴，即，解得．
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴，即，解得．
∴当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点．
由得抛物线顶点，则：M（4，）．
∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）．
②EC为平行四边形的边，则ECMN，
设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；
将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，
此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；
将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，
此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）．
综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．
A
B
C
D
E
A
(A， B)
(A， C)
(A， D)
(A， E)
B
(B， A)
(B， C)
(B， D)
(B， E)
C
(C， A)
(C， B)
(C， D)
(C， E)
D
(D， A)
(D， B)
(D， C)
(D， E)
E
(E， A)
(E， B)
(E， C)
(E， D)
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