培优冲刺01 抽象函数模型与双函数归类-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用）

这是一份培优冲刺01 抽象函数模型与双函数归类-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用），文件包含培优冲刺01抽象函数模型与双函数归类原卷版docx、培优冲刺01抽象函数模型与双函数归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
培优冲刺01抽象函数模型与双函数归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc26005" 题型一： 抽象函数具体化模型1：过原点直线型 PAGEREF _Tc26005 \h 1
\l "_Tc5030" 题型二：抽象函数具体化模型2：不过原点的直线型 PAGEREF _Tc5030 \h 3
\l "_Tc32589" 题型三：抽象函数具体化模型3：tanx型 PAGEREF _Tc32589 \h 5
\l "_Tc9079" 题型四：抽象函数具体化模型4：一元二次型 PAGEREF _Tc9079 \h 6
\l "_Tc26502" 题型五：抽象函数具体化模型5：余弦函数型 PAGEREF _Tc26502 \h 8
\l "_Tc6112" 题型六：抽象函数具体化模型6：一元三次函数型 PAGEREF _Tc6112 \h 10
\l "_Tc6752" 题型七：抽象函数具体化模型7：正弦函数型 PAGEREF _Tc6752 \h 13
\l "_Tc8169" 题型八：抽象函数具体化模型8：正余弦函数辅助角型 PAGEREF _Tc8169 \h 15
\l "_Tc27301" 题型九：双函数：系数不是1型 PAGEREF _Tc27301 \h 18
\l "_Tc16601" 题型十：双函数：双函数综合 PAGEREF _Tc16601 \h 20
\l "_Tc433" 题型十一：双函数：导数型双函数性质 PAGEREF _Tc433 \h 22
题型一： 抽象函数具体化模型1：过原点直线型
1．（多选题）（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．复合函数为偶函数
C．复合函数为偶函数
D．当，不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】A，应用赋值法，，，则，结合单调性的定义即可判断，B，举反例，即可判断；C，结合偶函数的定义即可判断；D结合赋值法与抽象函数的单调性即可求解．
【详解】模型解法：显然该函数复合y=kx型，且k<0.
A正确。
再由内外复合函数知=k*sinx，是奇函数，故B错误；=kcsx。为偶函数，C正确
对 于D．当，不等式。即，，．故选：ACD
常规解法：A．正确，设，，则，
，，
设，即，
当时，，
当时，，即，
在上单调递减；
B．错误，取一个符合要求的具体函数，如：，则，为奇函数；
C．正确，的定义域为，且，则，所以为偶函数；
D．正确，由，又在上单调递减，
令，则，则，
则，即，，．故选：ACD
2. （多选题）（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在区间上有最大值
【答案】ABC
【分析】令，求得，可判定A正确；令，推得，可判定C正确；用代替，可判定B正确；由，因为的符号不确定，可判定D不正确．
【详解】由定义在上的函数满足，
令，可得，可得，所以A正确；
令，可得，因为，可得，
所以函数为定义域上的奇函数，所以C正确；
用代替，可得，所以B正确；
任取，且，则，
则，
其中的符号不确定，所以函数的单调性不确定，
所以在区间上的最大值不一定为，所以D不正确．
故选：ABC.
3. （多选题）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D错误．
故选：ABC．
题型二：抽象函数具体化模型2：不过原点的直线型
1．（2024·山东泰安·一模，多选）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．有最大值
C．D．函数是奇函数
【答案】ACD
【分析】
根据题意，利用抽象函数的的性质，利用赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解．
【详解】对于A中，令，可得，令，
则，解得，所以A正确；
对于B中，令，且，则，
可得，
若时，时，，此时函数为单调递增函数；
若时，时，，此时函数为单调递减函数，
所以函数不一定有最大值，所以B错误；
对于C中，令，可得，
即，
所以
，所以C正确；
对于D中，令，可得，可得，
即，所以函数是奇函数，所以D正确；
故选：ACD.
2. （多选题）（2024·安徽安庆·二模）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ）
A．B．
C．函数为减函数D．函数的图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】
对A：借助赋值法令计算即可得；对B：借助赋值法令，计算即可得；对C：结合函数单调性的定义及赋值法令计算即可得；对D：结合函数对称性及赋值法令计算即可得．
【详解】对A：令，则有，故，故A正确；
对B：令，，则有，故，故B错误；
对C：令，则有，其中，，
令，，即有对、，当时，恒成立，
即函数为减函数，故C正确；
对D：令，则有，又，
故，故函数的图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD.
3．（23-24高三下·江西·开学考试，多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为上的减函数
【答案】ABC
【分析】令，解得即可判断A；令求得，令求得，令求得即可判断B；令可得，即可判断C；由AB即可判断D.
【详解】A：令，代入，
得，解得，故A正确；
B：令，代入，
得，又，所以；
令，代入，
得，
令，代入，
得，所以，故B正确；
C：令，代入，
得，则，
所以函数为奇函数，故C正确；
D：由选项AB知，，，则，
所以函数不为R上的减函数，故D错误．
故选：ABC
题型三：抽象函数具体化模型3：tanx型
1. （多选题）（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数满足，，则（ ）
A．B．
C．的定义域为RD．的周期为4
【答案】ABD
【分析】赋值，令，即可判断A；令，可判断C；令，结合函数奇偶性定义可判断B；令，推出，即可推出函数的周期，判断D.
【详解】令，则，即，A正确，
令，则无意义，即的定义域不为R，C错误；
由可知，
令，则，即，故，B正确；
，
故，即的周期为4，D正确，
故选：ABD
2. （多选题）（23-24高二上·广东茂名·期中）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．为周期函数，且2为的周期D．
【答案】AD
【分析】对于选项A：令，即可得出答案；对于选项B：令，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；对于选项C：令，得出，即可根据周期定义得出答案；对于选项D：根据周期得出答案．
【详解】A选项：令，得，故A正确；
B选项：令，则，因此，
又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误；
C选项：令，则，
所以，因此，
所以为周期函数，且周期为4，故C错误；
D选项：，故D正确．
故选：AD.
3．（23-24高一上·重庆永川·期末）已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，，均有．若，则的取值范围是（e是自然对数的底数）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数的性质先判断函数为奇函数，再由单调性定义证明函数单调性，即可求解不等式．
【详解】对任意的，，都有，
令，则，，
即，由，可得，
令，则，
∴，∴是奇函数．
设，，且，则，令，
则，
由是奇函数，可得，
∵当时，，且，，∴，
由函数是奇函数，可得当时，，
∴，即，即，
∴函数在上是增函数，∴函数在上是增函数，
则不等式等价于，解得，
即不等式的取值范围是.
故选：B
题型四：抽象函数具体化模型4：一元二次型
1. （多选题）（23-24高三下·重庆·开学考试）已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．B．的图像关于点成中心对称
C．D．
【答案】ACD
【分析】
对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得．
【详解】对A：令，则有，即，故A正确；
对B：令，则有，又，故，
令，，则有，故，故B错误；
对C：令，则有，即，
则
，故C正确；
对D：令，则有，即，
则，即，又，故，
则，故D正确．故选：ACD.
2. （多选题）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A．B．可能是偶函数
C．D．可能是奇函数
【答案】AB
【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果．
【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确；
令，得，则，
对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确；
对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误；
对于选项C，令，得，所以选项C错误；
故选：AB.
3. （多选题）（23-24高三上·河北保定·开学考试）已知函数的定义域为，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】ABC
【分析】求得，判断A，再令求得，从而令，可得，判断B，已知等式变形为，令，则，由赋值法得是奇函数，判断C，再计算出，判断D．
【详解】令，可得，故A正确；
令，可得，令，可得，则，故B正确；
由，可得，令，则，令，可得，令，则，所以是奇函数，即是奇函数，故C正确；
因为，所以不是偶函数，故D错误．
故选：ABC．
题型五：抽象函数具体化模型5：余弦函数型
1. （多选题）（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则（ ）
A．B．是偶函数
C．，D．，
【答案】ABD
【分析】用赋值法，令求得判断A，令判断B，求出判断C，令得出递推关系，进而得出函数的周期性，然后由周期性计算判断D．
【详解】在中，又有，
令得，所以，A正确；
令得，所以，是偶函数，B正确；
令得，所以，
令得，所以，
令得，，C错误；
令得，所以，
由此，即，
所以，是周期为6的周期函数，
，，，
，
所以，D正确．
故选：ABD．
2. （多选题）（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（ ）
A．B．是偶函数
C．是奇函数D．
【答案】ABD
【分析】令可求得的值，令，可求得的值，可判断A选项；推导出为偶函数，且，可判断B选项；由结合函数的奇偶性可判断C选项；利用函数的周期性可判断D选项．
【详解】对于A选项，令可得，
因为，则，
令，，可得，则，A对；
对于B选项，令可得，
所以，，故函数为偶函数，
令可得，
即，故，
因为函数为偶函数，则函数为偶函数，B对；
对于C选项，因为，
因为函数为偶函数，则函数也为偶函数，C错；
对于D选项，由B选项可知，函数是周期为的周期函数，
因为，，
所以，，D对．
故选：ABD.
3. （多选题）（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．2是函数的一个周期
【答案】ABD
【分析】对A：借助赋值法，令，计算即可得；对B：借助赋值法，令，结合偶函数定义即可得；对C：计算出，其与不满足该关系即可得；对D：借助赋值法，令，结合的值与周期函数的定义计算即可得．
【详解】对A：令，则有，又，
故有，故，故A正确；
对B：令，则有，又，
故有，即，又其定义域为，
故为偶函数，故B正确；
对C：令，，则有，
故，又，不符合，故C错误；
对D：令，则有，
由，故，则，故，
两式作差并整理得，故2是函数的一个周期，故D正确．
故选：ABD.
题型六：抽象函数具体化模型6：一元三次函数型
1. （多选题）（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（ ）
A．是奇函数B．是减函数
C．D．是的极小值点
【答案】ACD
【分析】令求出，令可确定奇偶性，将当作常数，作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值．
【详解】方法一：令，得，令，得，所以是奇函数，A正确；
令，
又，
，
令，，，或
在和上为增函数，在上为减函数，
是的极小值，故CD正确，B错误．
故选：ACD.
方法二：构造模型如下
2．（多选题）（2023·湖南永州·二模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．为奇函数B．在处的切线斜率为7
C．D．对
【答案】ACD
【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法结合对函数求导，可判断B；将变形为形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判断C；结合，利用作差法可判断D.
【详解】由题意定义域为的函数满足
令，则，
令，则，即，
故为奇函数，A正确；
由于，故，即，
则为偶函数，由可得，
由，令得，
故，令，则，B错误；
又，
则，
令，则，
由柯西方程知，，故，
则，由于，故，
即，则，C正确；
对
,
故，D正确，
故选：ACD
3. （多选题）（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（ ）
A．是奇函数
B．若，则
C．若，则为增函数
D．若，则为增函数
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【详解】对A：定义域为，关于原点对称；
对原式，令，可得，解得；
对原式，令，可得，即，
故是奇函数，A正确；
对B：对原式，令，可得，
又，则；
由A可知，为奇函数，故，故B正确；
对C：由A知，，又，对，
当时，；当时，；
故在时，不是单调增函数，故C错误；
对D： 在上任取，令，
则
，
由题可知，又，故，
即，，故在上单调递增，
也即在上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
题型七：抽象函数具体化模型7：正弦函数型
1．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A．B．是偶函数C．是增函数D．是周期函数
【答案】C
【分析】
对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意判断判断即可；对D，根据是增函数判断即可．
【详解】模型解法一：构造正弦双曲函数即可
常规解法二：
对A，令，则，得，故A错误；
对B，令，得，
由整理可得，
将变换为，则，
故，故，故是奇函数，故B错误；
对C，设，则，
且
，故，则.
又，是奇函数，故是增函数，故C正确；
对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误．
故选：C
2．（多选）（2023·福建莆田·二模）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合的奇偶性即可判断；对于D，先推得的一个周期为6，再依次求得，从而利用的周期性即可判断．
【详解】模型解法一：构造正弦函数即可
常规解法二：
对于A，因为，
令，则，故，则，故A正确；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
令，则，又不恒为0，故，
所以为奇函数，故B错误；
对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故，
令，则，故，又为奇函数，故，
所以，即，故C正确；
对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6，
因为，所以，对于，令，得，则，
令，得，则，令，得，令，得，
令，得，所以，
又，所以由的周期性可得：，故D正确．
故选：ACD.
3. （多选题）（2024·河南郑州·二模）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．
【答案】ACD
【分析】令，可判断A；令，可判断B；由函数图象的变换可得的图象关于对称，结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得，然后可判断D.
【详解】模型解法一：构造正弦函数即可
常规解法二：
令，得，即，A正确；
令，得，
又，所以对任意恒成立，
因为，所以不恒为0，
所以，即，B错误；
将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象，
因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，
所以，
又为奇函数，
所以，
所以，所以4为的周期．
由可得，C正确；
因为，，，
所以，D正确．
故选：ACD
题型八：抽象函数具体化模型8：正余弦函数辅助角型
1．（2024·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若，则函数（ ）
A．以为周期B．最大值是1
C．在区间上单调递减D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】D
【分析】利用赋值法，分别令，，，，，，得到逐项判断．
【详解】 模型解法一：构造即可。
常规解法二：
解：令，，得，令，，得，
令，，得，由以上3式，得，
即．则的周期为，故A错误；
的最大值为，故B错误；
令，则，故的在区间上不单调递减，故C错误；
因为，所以，且，
所以既不是奇函数也不是偶函数，故D正确．
故选：D.
2．（2023·四川德阳·一模）已知函数的定义域为且，，那么（ ）
A．为偶函数B．
C．是函数的极大值点D．的最小值为
【答案】D
【分析】令再令，联立所得结论可得，取，把变为，可得，联立两个结论可求得函数的解析式，根据函数的解析式逐项分析即可．
【详解】 模型解法一：构造即可。
常规解法二：
令，得，即，①
令，结合，则，②
结合①②可得，用代替得，，③
对于中，取得，把变为，结合，
得，④
联立③④，
可得,对于A，，故A错误；
对于B，,故B错误；
对于C,，故C错误；
对于D,易得最小值为，故D正确，故选：D.
3. （多选题）（22-23高二下·山东德州·期末）已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（ ）
A．B．为奇函数C．为周期函数D．在内单调递减
【答案】BC
【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令进行判断，对于C，令进行判断，对于D，举例判断．
【详解】 模型解法一：构造即可常规解法二：
对于A，令，得，因为，，
所以，所以，所以A错误，
对于B，令，则，因为，
所以，所以为奇函数，所以B正确，
对于C，令，则，
所以，所以，
所以，所以，
所以的周期为，所以C正确，
对于D，因为，，，的周期为，
所以，
令，则，所以，得，
所以，所以在上不单调，所以D错误，
故选：BC
题型九：双函数：系数不是1型
1．（2022秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】推导出函数的图象关于直线对称，关于点对称，求得，结合对称性可判断各项的正误．
【详解】因为函数为偶函数，则，
令可得，所以，，
因为函数为奇函数，则，
所以，函数的图象关于直线对称，关于点对称，
又因为函数的定义域为，则，则，
、、的值都不确定．
故选：D.
2．（2023春·浙江丽水·高二统考期末）已知函数是奇函数，是偶函数，当时，，则下列选项不正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．的图象关于直线对称
C．的最大值是1
D．当时恒有
【答案】B
【分析】根据已知结合函数图象平移伸缩变换可得，所以的图象关于点对称，的图象关于直线对称，进而得出周期为4．根据在上的解析式，结合函数的对称性可得出在上的解析式以及单调性，根据对称性即可得出A项；求出在上的值域，根据对称性即可得出C、D项．
【详解】因为函数是奇函数，
所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以，；
因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，.
所以，，所以周期为4.
对于A项，因为的图象关于点对称，的图象关于直线对称，所以也是的对称中心．
因为时，，
，则，所以.
根据函数的对称性可知，，所以.
所以当时，单调递减．
又的图象关于点对称，所以在区间上单调递减，故A项正确；
对于B项，因为的图象关于点对称，周期为4，所以的图象关于点对称，故B项错误；
对于C项，由A知，当时，，所以.
又的图象关于直线对称，所以当时，有.
综上所述，当时，有.
因为周期为4，所以的最大值是1，故C项正确；
对于D项，由已知当时，.
又的图象关于直线对称，所以当时，.
综上所述，当时，恒成立．
因为的图象关于点对称，所以，当时，恒有，故D项正确．
故选：B.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则 ．
【答案】0
【分析】根据题意可得关于对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出的值，最后可求出的值．
【详解】解：因为为偶函数，所以＝，即＝，
所以函数关于对称，所以＝，又因为为奇函数，所以＝－，
所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，即＝－，
所以＝－，＝－＝，即＝，所以的周期为4，
在＝－中令 ，得，所以 ，即，
又因为，所以，即，所以所以当时，，
所以，所以，
，，
，所以则0.
故答案为：0.
题型十：双函数：双函数综合
1．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．关于点对称D．关于直线对称
【答案】A
【分析】根据函数，的奇偶性可推出以及的对称性，结合与的图象关于轴对称，推出的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得的奇偶性以及对称性，判断B,D.
【详解】由于是定义域为的奇函数，则的图象关于成中心对称，
是定义域为的偶函数，则的图象关于对称，
因为与的图象关于轴对称，则的图象关于对称，
又的图象关于成中心对称，则的图象关于成中心对称，
故为奇函数，A正确；
因为为奇函数，故，
由与的图象关于轴对称，可得，
故 ，故为奇函数，B错误；
由A的分析可知的图象关于对称，故C错误；
由A的分析可知的图象关于成中心对称，为奇函数，
则的图象也关于成中心对称，
而与的图象关于轴对称，
则的图象关于成中心对称，故D错误，
故选：A
2．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．-4052B．-4050C．-1012D．-1010
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性对称性结合求出函数的周期，根据一个周期内的函数值计算求解即得．
【详解】因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数．
由是奇函数可知，，所以，则，则，
所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期．
由得，，则，所以，
由得，，即，所以,
由，得，又1，所以；
在中，令，得，所以.
.
故选：A.
3.．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由是奇函数，是偶函数，可以得到是个周期函数，然后再对函数赋值，求出一个周期内的函数值，进而可求和．
【详解】因为，所以（利用“”替换上式中的“”），
故，又是偶函数，所以，故.
因为是奇函数，所以，即，
所以，所以，
即是周期为4的函数．由，得，故.
在中，令，则，故，
又，，
所以.
故选：B.
4（多选题）（2024·湖南·二模）已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．和均为奇函数B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解．
【详解】对于B，由，得，
又，，
的图象关于直线对称，，
，
，则是周期函数，且周期为，
所以，故B正确；
对于A，的图象关于直线对称，
是偶函数，
若为奇函数，则恒成立，不满足，故A错误；
对于C，由，得，
，
因为，则，
所以是周期函数，且周期为，则，故C正确；
对于D，由，得，
又，
由，得，故D正确．
故选：BCD.
题型十一：双函数：导数型双函数性质
1. （多选题）（2024·安徽黄山·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是奇函数B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出，令代值计算可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项．
【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称，
则，
即，所以，函数为偶函数，
又因为，则，
令，则，所以，为常值函数，
设，其中为常数，
当时，，此时，函数不是奇函数，A错；
对于B选项，因为，令，可得，
即，
等式两边求导得，即，
所以，函数的图象关于点对称，
在等式中，令可得，可得，B对；
对于C选项，因为，则，
可得，
所以，，C对；
对于D选项，在等式两边同时求导得，即，
所以，函数是以为周期的周期函数，
因为，所以，，，
，可得，
，，
由中令，可得，则，
，
所以，
，
因为，则，D对．
故选：BCD.
2. （多选题）（23-24高二上·浙江杭州·期末）设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．的图象关于对称D．函数为周期函数，且周期为4
【答案】AC
【分析】对于A，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D，根据和为偶函数找到的关系，求出周期；B：根据的性质，取特值求解；C：根据已知推导出.
【详解】A：因为为偶函数，所以，所以，
令，则，所以，故A正确；
D：因为，所以，
用代替原来的得，①
又为偶函数，所以，
用代替原来的得：，②
由①②得，③
又，用代替原来的得：，④
由③④联立得：，⑤
用代替原来的得：，⑥
⑥减去⑤得：，故为周期函数，且周期为，
用代替原来的得：，⑦
因为，用代替原来的得：，⑧
因为，用代替原来的得：，⑨
由⑦⑧⑨得：，
用代替原来的得：，
所以为周期函数，且周期为，故D错误；
B：因为常函数为满足题意得一组解，但，故B错误；
C：由，则，即，
又，则，即，故C正确；
故选：AC.
3. （多选题）（2024·河南·一模）已知定义在上的函数，其导函数分别为，且，
则（ ）
A．的图象关于点中心对称B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果．
【详解】由题意可得，两式相减可得①，
所以的图象关于点中心对称，A错误；
由②，②式两边对求导可得，可知是偶函数，
以替换①中的可得，
可得，所以是周期为4的周期函数，B正确；
因为，可知也是周期为4的周期函数，即，
两边求导可得，所以，C正确；
因为，令，则，即，
又因为是偶函数，所以，
又因为是周期为4的周期函数，则，
由可得，
所以，D正确．
故选：BCD
抽象函数模型1
---过原点直线型
有以下性质
①
②奇函数：，则
③可能具有单调性（结合其他条件）
相似的模型
抽象函数模型2
证明如下：
（b带正负，即＋b或－b）
抽象函数模型3
所以复合（k根据其余条件待定系数）
抽象函数模型4
此模型，b的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认．
抽象函数模型5
余弦函数型
（也可以直接用和差化积公式推导）
备注：这类函数，还有可能是双曲余弦函数型，不过较少出现
抽象函数模型6
则（其中b可以借助其他条件待定系数）
抽象函数模型7
正弦函数型，或者正弦双曲函数型
抽象函数模型8
正余弦函数辅助角型
形如

带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移
平移变换：左右或者上下
左加右减
常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
原函数与导函数奇偶性的关系如下：
原函数为奇函数，则其导数为偶函数。12
原函数为偶函数，且不是常数函数，则其导数为奇函数。
需要注意的是，如果原函数是偶函数且为常数函数，如f(x)=c，那么其导数f'(x)=0，既不是奇函数也不是偶函数。