培优冲刺07 数列递推公式与求和归类-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用）

这是一份培优冲刺07 数列递推公式与求和归类-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用），文件包含培优冲刺07数列递推公式与求和归类原卷版docx、培优冲刺07数列递推公式与求和归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
培优冲刺07 数列递推公式与求和归类
目录
TOC \ "1-3" \p " " \u 题型一：数列型恒成立求参…………………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971074 \h 1
题型二：是否存在型求参……………………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971075 \h 3
题型三：恒成立证明型………………………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971076 \h 6
题型四：求和型不等式证明………………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971077 \h 8
题型五：数列不定方程型……………………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971078 \h 11
题型六：恒成立求参：奇偶讨论型……………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971079 \h 12
题型七：下标数列………………………………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971080 \h 15
题型八：高斯取整数列型……………………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971081 \h 17
题型九：前n项积型不等式恒成立求参……………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971082 \h 20
题型十：先放缩再求和型证明不等式…………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971084 \h 23
题型十一：插入数型：等差型………………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971085 \h 26
题型十二：插入数列型…………………………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971086 \h 29
题型十三：新结构19题型压轴……………………………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Tc165971087 \h 31
题型一：数列型恒成立求参
1．（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）若数列满足，，m为常数．
(1)求证：是等差数列；
(2)若对任意，都有，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）等式两边同除以，用等差数列的定义证明；
（2）将条件转化为对恒成立，求的最大值即可．
【详解】（1）证明：因为，
等式两边同除以，得，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列．
（2）由（1）得，因此.
由对恒成立，得对均成立．
因为，不等式两边同除以，得，
即对恒成立，
当时，取最大值，所以，
所以实数m的取值范围为.
2．．（河北省石家庄二中教育集团2022-2023学年高三四校联考数学试题）已知等比数列满足，，且为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等比数列的通项公式和等差中项求解即可；
（2）由（1）得，利用错位相减法得，则原不等式转化为对任意正整数恒成立，求的最小值即可．
【详解】（1）因为数列是等比数列，且满足，
所以①，
②，
又因为为等差数列，所以，即③，
联立①②③解得，所以.
（2）由（1）得，
所以④，
⑤，
⑤④得
，
由题意即对任意正整数恒成立，
所以恒成立，则即可，
又因为，所以，即的取值范围是.
3．（重庆市巫山第二中学2022-2023学年高三数学试题）已知正项数列的前项和为，且，数列满足且.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，且，对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据与的关系和等差数列的定义可求出，根据递推公式和等比数列的定义求出；
（2）根据裂项公式求出，将恒成立化为对任意正整数恒成立，再根据数列的单调性求出的最大值，代入解不等式即可得解．
【详解】（1）∵，∴，
所以，
∴，化简.
∵，∴．又，解得，
∴是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴.
由，可得，，又，
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
则.
（2）由（1）知，则，
所以，
故即对任意正整数恒成立，
设，，
则，
即，则单调递减，，
，解得或.
故的取值范围为.
题型二：是否存在型求参
1．（上海市敬业中学2022届高三上学期数学试题）设正项数列的前项和为，首项为1，已知对任意整数，当时，（为正常数）恒成立．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：数列是递增数列；
(3)是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2是 (3)存在，.
【分析】（1）由已知条件，可令，代入，即可得到所求出数列通项公式，从而可证是等比数列；
（2）讨论公比q是否为1，求得，以及，由单调性的定义即可得证；
（3）假设存在正常数c使得为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．
【详解】（1）因为对任意正整数，
当时，总成立，
所以时，令，得，即，
当时，也成立，所以，所以数列是等比数列；
（2）当时，，随着的增大而增大；当，时，，，
由，综上可得数列是递增数列；
（3）假设存在正常数使得为等差数列．当时，，当时，，
由为等差数列，得，此时
当时，为等差数列，
所以存在使得为等差数列．
2．（四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，或；
【分析】（1）由题设且，应用关系求数列通项公式；
（2）由（1）知，构造且并利用导数研究单调性判断是否存在最大值，即可得结论．
【详解】（1）由题设且，
当时，，可得；
当时，，则；
由，故，
所以是首项、公差均为1的等差数列，故.
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，则，
若，即，则，
在上，递增，上，递减，
所以在有最大值，又，
对于，当时，，当时，，
综上，，故存在或使恒成立．
3．（江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式
(2)记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，.
【分析】（1）由等差数列通项公式得出，再由与的关系可得数列的通项公式．
（2）由（1）的结论结合错位相减求出，先得出的前三项，由等差数列的性质得出方程解出，再检验即可．
【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，则，因此，
当时，，则有，
因此，即，数列是常数列，有，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，
有，，，若数列成等差数列，则，解得，
当时，，则，从而数列成等差数列，
所以存在，使得数列成等差数列．
题型三：恒成立证明型
1．（2024高三·全国·专题练习）已知在数列中，，点，在直线上．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得（，且）恒成立？若存在，写出的表达式，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据已知条件点在直线上，可得，根据等差数列定义判断为等差数列，即可求解．
（2）根据已知条件得，化为，利用累加法求得，结合题意即可求解．
【详解】（1）因为点，在直线上，
所以，即.
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，.
（2）因为，所以，
所以，
即，所以，
，，
，
所以，
所以.
根据题意（，且）恒成立，
所以，所以存在关于的整式，
使得（，且）恒成立．
2．（广西南宁市第八中学2022-2023学年高三数学试题）在数列中，已知，，且对于任意正整数n都有.
(1)令，求数列的通项公式；
(2)设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使成立．
【答案】(1)；(2)存在，详见解析．
【分析】（1）由题可得，然后利用等比数列的定义及通项公式即得；
（2）由题可知，可得，令，利用等比数列的通项公式可得，即可得出，假设存在正整数满足题意，由题可得，即可求解．
【详解】（1）因为，所以，因为，且，
所以，且，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）可得，所以，令，则，所以，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，
所以，无论为何值，假设存在一个正整数使成立，
因为，即，可得，取，因此是一个正数，无论为何值，都有一个正整数使成立，取的正整数即可．
3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知公比不为1的等比数列的前n项和为，且成等差数列．
(1)求数列的公比；
(2)是否存在r，s， 且 使得成等差数列？若存在，求 出r，s，t的关系； 若不存在，请说明理由．
【答案】(1);(2)答案见解析．
【分析】（1）利用成等差数列和是等比数列,建立方程，求出公比即可；
（2）先假设存在,通过对数列求和，验证为等差数列矛盾，从而说明不存在．
【详解】（1）结合题意：成等差数列，所以，
由是等比数列，所以，
整理得，解得：（舍去），或.
（2）假设存在r，s， 且 使得成等差数列
由（1）可知，所以，
因为成等差数列，所以
，
即，整理得：，
在上式两边同时除，
得到：，
又所以，
因为，所以，
所以存在互不相等的正整数r，s， 且 时，使得成等差数列．
题型四：求和型不等式证明
1．（山东省德州市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列，数列的前n项和．
(1)求数列和通项公式；
(2)求的值；
(3)证明：．
【答案】(1)，(2)(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的基本量求等差数列的通项，根据找到数列的通项公式，然后再求数列的通项公式．
(2)分别求出奇数项和偶偶数项通项公式再求和．
(3)裂项相消法求和，再证明．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意得，解得，
故数列的通项公式．
因为：，当时，，
两式相减得，
又n＝1时，，所以，所以，
因为，所以，而，
即，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以．
（2）当k＝2m，时，，
当k＝2m－1，时，
所以
．
（3）由可得
＝因为，所以，所以．则原命题得证．
2．（2023上·山东·高三山东省实验中学校考）已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式：
(2)若，的前n项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析．
【分析】（1）已知求的问题，一定要分和进行讨论；
（2）用裂项相加法求和，再分为奇数、偶数讨论，确定的取值范围．
【详解】（1）因为，当时，.
当时，，所以，
，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故：.
（2）证明：因为，
所以.
当n为奇数时，，因为，所以，所以
当n为偶数时，，因为，所以，所以．综上，.
3．（2023上·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校联考阶段练习）已知数列满足，数列满足，，其中为数列的前项和．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和，并证明：.
【答案】(1)证明见解析，(2)，证明见解析
【分析】（1）由，有，可得数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）由和的关系得数列的递推公式，累加法求出的通项，得数列的通项，错位相减法求，并确定范围．
【详解】（1）由，可得，即，
又，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则有，可得数列的通项公式为；
（2）由，有，即，
则当时，有：，
时也满足，所以数列的通项公式为得，则①，
②，②-①得：，
解得，由，，所以，
又所以递增，所以，因此，.
题型五：数列不定方程型
1．（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）已知等差数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)试求所有的正整数，使得为整数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；
（2）求出，可得出，根据为正整数可求得的值．
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，
.
（2）解：由（1）可得，则，
所以，，
则，
因为为正整数，且为大于的正奇数，故，解得
故只有时，为整数成立．
2．（23-24高三·上海·模拟）已知函数的图像过点和.
（1）求函数的解析式；
（2）记是正整数，是的前n项和，解关于n的不等式；
（3）对于（2）中的数列，整数是否为中的项？若是，则求出相应的项；若不是，则说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不是数列中的项，理由见解析
【分析】（1）将点A、点B代入函数解析式，求得a，b即可．
（2）易得，再由等差数列前n项和公式得到，解不等式即可．
（3）令，再论证方程是否有正整数解即可．
【详解】（1）因为函数的图像过点和，所以，解得，
所以.
（2）由（1）知：，所以
所以，即为，所以，解得，故
（3）由（2）知，设，令，
当时，，，，，
由（2）知当时，易知，
当时， ，所以单调递增，
当时，，当时，.
因此不是数列中的项．
3．（22-23高三·湖北·联考）已知等比数列的前项和为，首项，若，，成等差数列且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为整数，是否存在正整数使成立？若存在，求正整数及；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在时满足条件，理由见解析．
【分析】（1）由已知求出，即可；（2）根据等比数列求和公式求出，然后将数列的通项公式及代入化简即可解决问题．
【详解】（1）设等比数列的公比为，则
即，∴，∴或.
又即，∵，∴，，∴.
（2），，∴，
∵为整数，∴时.
∴存在时满足条件．
题型六：恒成立求参：奇偶讨论型
1．（重庆市第一中学校2022-2023学年高三数学试题）已知数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列前项和为，是否存在实数，使得对任意，恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若处存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，0.
【分析】（1）根据给定的递推公式，探讨数列的性质，再求出其通项公式作答．
（2）由（1）求出，利用错位相减法求出，再结合数列不等式恒成立求解作答．
【详解】（1）数列的前项和为，，当时，，两式相减得：
，即有，而，即，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
则，
两式相减得：，
于是得，显然，，
假设存在实数，使得对任意，恒成立，
则存在实数，使得对任意恒成立，即，成立，
当为正偶数时，，当为正奇数时，，从而，
所以存在实数，使得对任意，恒成立，的值为0.
2．（天津市青光中学2022-2023学年高三上学期数学试题）已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)见解析
【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式，结合题设求基本量，进而写出和的通项公式；
（2）由（1）得，应用错位相减法求前项和；
（3）由（1）得，要使题设不等式恒成立即在上恒成立，讨论的奇偶性，判断是否存在使之成立．
【详解】（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故，
∴，
若的公比为且，结合题设可得：，又，故，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
以上两式相减，得：，
∴.
（3）由题设，，要使任意恒有，
∴，则恒成立
当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
综上，存在实数，使得对任意的，恒有.
3．（22-23高三·吉林·阶段练习）数列中，，点在直线上．
求数列的通项公式；
令，数列的前n项和为．
求；
是否存在整数，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合等差数列的定义可知数列为等差数列，公差为，据此求解其通项公式即可；
（2）(ⅰ)由题意可得，然后裂项求和确定其前n项和即可．
(ⅱ)由题意分类讨论为奇数和为偶数两种情况可得取值集合为.
【详解】（1）因为，在直线，
所以，即数列为等差数列，公差为，
所以-1.
（2）(ⅰ)，
，.
(ⅱ)存在整数使得不等式(n∈N)恒成立．因为＝.
要使得不等式(n∈N)恒成立，应有：当为奇数时，，即-.
所以当时，的最大值为－，所以只需－．当为偶数时，，
所以当时，的最小值为，所以只需．可知存在，且.
又为整数，所以取值集合为.
题型七：下标数列
1．（2023江苏高考模拟）已知数列满足：（为常数），数列中，。⑴求；⑵证明：数列为等差数列；
⑶求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。
【答案】（1），，； （2）首项为，公差为的等差数列；（3）见解析．
【详解】⑴由已知，得，
⑵
，又
数列是首项为，公差为的等差数列
⑶证明：由⑵知若三个不同的项成等比数列，、、为非负整数，且，则：，得
若，则，得，这与矛盾。
若，则、、为非负整数 是有理数
2.(湖北省黄冈中学2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题)设是等差数列，是等比数列．已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列满足，设数列的前项和为，求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，根据条件求出，，再代入通项公式即可；
（2）利用等差数列和等比数列的前项和公式求和，即可得答案；
【详解】
（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，
由，，，，
可得，，
解得，，
则，，；
（2）
.
3.(河北省衡水市第二中学2023届高考模拟数学试题)定义集合，数列满足
(1)定义数列，证明：为等比数列
(2)记数列的前项和为，求满足的正整数
【答案】(1)证明见解析(2)5
【分析】（1）根据数列的递推公式求出，再根据等比数列的定义可证结论正确；
（2）求出，再根据累加法求出，然后解方程可得结果．
【详解】（1）依题意可得，，，，
当时，
，又，都适合上式，所以，
因为，所以为等比数列．
（2）依题意得，，,
所以，
又， ，，，，所以
，
所以
，
由，得，得，
得，得，得.
题型八：高斯取整数列型
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围；
(3)，求数列的前项和．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）设出数列公比，数列公差，结合题意计算即可得；
（2）由，即可得，令，由的值，可得数列的单调性，计算出前五项，即可得的取值范围；
（3）分奇偶讨论后，分别借助错位相减法与裂项相消法求和计算即可得．
【详解】（1）设数列首项，设公比，设数列首项，设公差，
∵，即，∴，（舍去），，∴．；
（2），
其中，∴，
集合，设，，
所以当时，，当时，．
计算可得，，，，，因为集合有4个元素，；
（3），，
设，
，
则
，所以，
当n为奇数时，，设
，
所以.
2．（23-24高三·河北保定·）已知等差数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．
（说明：）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）采用分组求和和裂项相消法可求得，由取整运算定义可得，分类讨论可求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，
；
则当时，；当时，；
当时，；
综上所述：.
3．（23-24高三上·天津）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围；
(3)，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)，(2)(3)证明见解析
【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式；
（2）求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出；
（3）设，错位相减法求和得到，设，裂项相消法得到，从而求出，求和证明出结论．
【详解】（1）设数列首项，设公比，设数列首项，设公差，
∵，即，
∴，（舍去），，
∴．；
（2），
其中，
∴，
集合，设，
，
所以当时，，当时，．
计算可得，，，，，
因为集合有4个元素，．
（3），，设①，
②，上式①-②得，
，所以，
当n为奇数时，，则
，
.
题型九：前n项积型不等式恒成立求参
1．（23-24高三·江西·阶段练习）已知数列和满足，，且.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)，，(2)(3)
【分析】（1）利用条件得到的关系，再利用倒数法，结合等差数列的定义即可得解；
（2）利用裂项求和法即可得解；
（3）构造新数列，将问题转化为，再利用作商法求得，从而得解．
【详解】（1）依题意，易知，由，得，
又，所以（），整理得（），又，则，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，则，所以，
所以.
（2）易知，
所以.
（3）原不等式可化为，
设，则，
因为，又，
所以，则，即是单调递增数列，
所以，
由，得，即实数k的取值范围为.
2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列满足，数列满足．
(1)求，的值及数列的通项公式；
(2)若（，），求的取值范围；
(3)在数列中，是否存在正整数，，使，，（，，）构成等比数列？若存在，求符合条件的一组的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；(2)(3)存在，.
【分析】（1）由与数列的递推关系证明是等差数列，进而得通项；
（2）分离参数得，再构造数列，研究单调性求解最值可得的取值范围；
（3）由，，构成等比数列得，由整数的性质
【详解】（1）（1）由已知得：，
．
因为，，所以，
而，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为．
（2）不等式化为：，设，
则，所以在上单调递增，
所以，因为在上恒成立，
所以，所以的取值范围为．
（3）若，，（，，）构成等比数列，
则，即：，所以，
由于，均为正整数，所以奇数必须是完全平方数，
又因为，所以，
则为奇数的平方，不妨取，，
所以，当时，，，即：，不满足题意，舍去；
当时，，，即：，，不满足题意，舍去；
当时，，，即：，.
所以符合条件的一组的值可以是．
3．（22-23高三·四川成都）设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为；
(3)求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)(3)
【分析】（1）根据数列递推式可得，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求得答案；
（3）将原不等式化为，即可分离参数，继而构造函数，判断其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案．
【详解】（1）当时，，则，
当时，，
即，即是以为首项，公差为1的等差数列，故
（2）由（1）可得，故，故，
则，故；
（3），则，
即，即对任意正整数都成立，
令，则，
故，即随着n的增大而增大，
故，即，即实数的最大值为.
题型十：先放缩再求和型证明不等式
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列不为常数数列且各项均为正数，数列的前n项和为，，满足，其中是不为零的常数，．
(1)是否存在使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)若数列是公比为的等比数列，证明：（且）．
【答案】(1)存在，(2)证明见解析．
【分析】（1）由与的关系和等差数列的性质求出的值，或由等差数列的通项公式与前n项和公式代入已知条件中求解．
（2）由已知求出数列的通项，得，结合等比数列前n项和公式证明结论．
【详解】（1）方法一：由题意可知①，②，
由得．
因为且，所以．
所以③．
若存在使得数列为等差数列，则（k是不为0的常数，），
代入③化简得到．由于不为常数数列且各项均为正数，
所以解得所以．此时，满足且为等差数列．
方法二：若是公差为d的等差数列，由，
则，
整理得到，
所以由③可得或．
（i）若，由①②解得；
（ii）若，代入①②解得，与题意不符．
综合以上可知存在使得为公差等于1的等差数列．
（2）由于是公比为的等比数列，，所以，
又，所以．令可知，所以．
因为且，所以，所以，所以，
又因为，所以．由于，
且当时，，所以，原不等式成立．
2．（2024·河北邢台·二模）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据，作差得到，从而是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式；
（2）由（1）知，再利用放缩法证明即可．
【详解】（1）由，当时，，则，
当时，，两式相减得，即，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
（2）由（1）知．当时，；当时，，
所以，所以，
所以当时，．
综上，．
3．（21-22高三·北京·强基计划）已知数列是公差d不等于0的等差数列，且是等比数列，其中．
(1)求的值．
(2)若，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据基本量法可求，从而可求的前项和．
（2）利用代数变形可得，可证明，从而证明题设中的不等式．
【详解】（1）根据题意，有，
因此，从而数列是首项为，公比为2的等比数列，有．从而．
（2）根据题意，有，因此，
分析通项，只需要证明，也即，
也即，也即，
也即，这显然成立，命题得证．
题型十一：插入数型：等差型
1．（2023·江苏苏州·统考三模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为2，且满足 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证：．
【答案】任意选取①②③，（1）；（2）证明见解析；
【分析】（1）选①，已知式变形得，数列是等比数列，求出后，利用可求得（已知）；
选②，用累加法求得；
选③，替换后同选①；
（2）求出，先说明时成立，时，用二项式定理展开可证．
【详解】（1）选①，，则，又，
所以数列是等比数列，公比为2，所以，，
时，，又，
所以；
选②，，则；
选③，，则，即，以下同选①；
（2）由（1），所以，
时，，时，，时，，时，，
时，，上面展开式中至少有6项，所以，综上，．
2．（2023上海闵行·统考一模）已知数列的各项均为整数，其前n项和为．规定：若数列满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列为“r关联数列”．
（1）若数列为“6关联数列”，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出，并证明：对任意，；
（3）若数列为“6关联数列”，当时,在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求，并探究在数列中是否存在三项，，其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3），不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意得到，，且．解得即可求出的通项公式．
（2）由（1）得，利用换元法证明数列的最小项为，即可证明对任意，.
（3）由（1）可知，当时，，由此可得出．假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，推导出故，这与题设矛盾，所以在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列．
【详解】（1）∵为“6关联数列”，
∴前6项为等差数列，从第5项起为等比数列．∴，，且．即，解得.
∴.
（2）由（1）得.：：，
：，可见数列的最小项为.，
由列举法知：当时，；当时，（），
设，则，．
（3）由（1）可知，当时，，因为：，.
故：．假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，
则：，即：，即（*）
因为，，成等差数列，所以，（*）式可以化简为，
即：，故，这与题设矛盾．
所以在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列．
3．（2023·安徽马鞍山·高三阶段练习）设数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论．
试题解析：（Ⅰ）∵，∴，
两式相减，得， 4分
又，∴，∴ 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以，， 8分
（解法1）则，，
两式相减，得所以. 13分
（解法2）设
，
∴；
∴. 13分
题型十二：插入数列型
1．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且．数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据与的关系，可得出，变形可得．然后根据等比数列的通项公式，即可得出．由已知可得，累乘法即可得出；
（2）设100项中，来自于数列中的有项．根据已知可推得，然后根据等差数列以及等比数列的前项和公式，即可得出答案．
【详解】（1）由已知可得，当时，有，，两式相减得：.
又因为，所以，，满足上式．所以，．又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，即.
又，所以，所以.
又，所以，当时，有，，，，，
两边同时相乘可得，
，所以，.
（2）设100项中，来自于数列中的有项．
若第100项来自于，则应有，
整理可得，，该方程没有正整数解，不满足题意；
若第100项来自于，则应有，
整理可得，.
当时，有不满足，
，故，
所以，数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项．
所以，.
2．（2023福建福州·高三福建省福州格致中学校考）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）分析中前40项中与各有多少项，分别求和即可．
【详解】（1）由题设得：，
∵，则，故是首项，公差为2的等差数列，
∴，
当时，得：，
当，由①，②，
由①－②整理得：，，
∴，故，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故.
（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前8项：，，……，，含有数列的前32项：，，，……，；
∴．
3．（2022·广东汕头·统考三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
【答案】(1)，
(2)11522
【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可．
【详解】（1）由得：∵
是首项，公差为2的等差数列∴又当时，得
当，由…①…②由①－②整理得：，
∵，∴，∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
题型十三：新结构19题型压轴
1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为．例如：时，，.
(1)写出，并求；
(2)判断88是否为数列中的项．若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列中的某一项，求及的值．
【答案】(1)，；
(2)88是数列的第30项；(3)，，
【分析】当时，此时，由集合新定义中的规则代入计算即可；
根据集合新定义，由，再列举出比它小的项即可；
方法一：由可得，再列举出比它小的项分别有以下7种情况，再求和；方法二：由可得，求得集合中的元素个数和最大的一个，可得，再求和可得.
【详解】（1）因为，此时，
，.
（2）当时，，
是数列中的项，
比它小的项分别有个，
有个，
有个，
所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项．
（3）是数列中的项，故，
则当时，，
方法一：比它小的项分别有以下7种情况：
①个数字任取7个得个，
②，得个，
③，得个，
④，得个，
⑤，得个，
⑥，得个，
⑦，得个，
所以比2024小的项共有个，
其中
故2024是数列的第329项，即.
方法二：共有元素个，
最大的是，其次为，
所以2024是数列的第项，即.
在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则.
2．．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且 ， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记 ，且 ，， 且
(1)若，，写出 ；
(2)若，写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；
(3)若 ， 且 ． 证明： ， 使得 ．
【答案】(1),，(2)或，理由见解析，(3)证明见解析．
【分析】（1）根据题意直接代入即可；
（2）由中最大和最小元素是和, 所以有， 则，所以．进而分类讨论即可；
（3）受（2）问启发，分别找出和中最大和最小元素，根据已知，则对应元素相等，再由得到，又，是中元素，又，,所以中元素比大的只可能有，，，，进而得证．
【详解】（1）由，得，，，，所以；
由得,,,,所以.
（2）由，所以，，所以对于，有， 则，所以.
当，由得，又，所以不符合题意，舍去；
当，由得，又，所以，
经检验不符合题意，舍去, 或符合题意；
（3）
，，
中最小元素是，最大元素是，
同理，中最小元素是，最大元素是，
又因为，所以，，即，
又，，,
又，又，是中元素，
又，
,所以中元素比大的只可能有，，，
，又,，
， 使得 ．
3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．
(1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
(2)已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．
【答案】(1)是“集”;不是“集”，理由见解析；(2)（i）；（ii）
【分析】
（1）根据“T集”的定义判断即可；
（2）（i）写出等差数列通项，得到向量的坐标，再分类讨论即可；
（ii）设，利用三角数阵和等比数列定义即可．
【详解】（1）是“集”;不是“集”．
理由：当或时，只要横纵坐标相等即可，则满足，
当，则；当，则；
当，则；当，则；
综上是“集”．
对于向量，若存在，使得.
则，故中必有一个为，此时另一个为或，显然不符合，则不是“集”．
（2）(i)因为中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为，
公差为2，故.
则向量的坐标中必含，设另一坐标为，
则或.
所以或，
故或，
所以或，所以或，
所以或即.
此时，不满足;
或，满足;
所以只可能为.
经检验是“集”，所以.
(ii)设.
由，得，由条件可变形为.
设集合
设集合则是“集”当且仅当关于原点对称．
因为是中唯一负数，共个数，
所以也只有个数．
由于，所以，已有个数．
对以下三角数阵：
注意到，所以.
又为常数)，故有穷数列为等比数列，
且通项公式.
分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解．
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论．
数列恒成立求参数关键“坑”：
数列是以正整数为“变量”的函数，所以求最小值时要注意正整数的取值范围
一般地，已知函数，
不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．
求和型不等式证明：
先求和再放缩，放缩时，可以直接放缩，可以借助数列的单调性放缩。
求和常用方法
1．形如（等差）（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减
2．形如（等差比）（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减
3．形如（，为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减
4．错位相减法求数列的前n项和
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
5．常见的裂项技巧：
（1）；
（2） ；
（3）
（4）
（5）指数型；
（6）对数型.
（7）
（8）
（9）
（10）等
正负相间讨论型：
1．奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2．如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
3．分奇偶讨论时，对于奇数，带入时要代入1，3，5等奇数。对于偶数，代入时要代入2.4.6．·····
下标数列
下标数列，最常用的是直接函数代入型，
下标数列，要注意随着下标数列的代入，对应的项数和新数列的性质，以及系数列与原母数列是否存在着联系，以利用解题突破
取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，
注意区分“和”与“积”的公式：
1．通项与前项和的关系是：
2．可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：
1.，得
2.时，，所以
常用的数列放缩式还有：
，
等，解题过程中，注意观察数列特征选择合适的放缩方法．
插入数型
1．插入数构成等差数列
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等差数列，公差记为，所以：
插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答．
关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答．