北京理工大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份北京理工大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知函数f（x）＝sinx，则＝（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣2
2．（4分）在等差数列{an}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（ ）
A．5B．8C．10D．14
3．（4分）若数列{an}满足an+1＝2an，且a4＝1，则数列{an}的前4项和等于（ ）
A．15B．14C．D．
4．（4分）如图1，为了满足游客的需求，欲在龙沙动植物园东侧修一条环湖公路（其中弯曲部分满足某三次函数），并与两条直道公路平滑连接（相切），根据图2所示，该环湖弯曲路段满足的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）已知为等比数列，则“a1＜a2”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
6．（4分）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第25层小球的个数为（ ）
A．324B．325C．326D．395
7．（4分）若在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]
8．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＜0，a3+a8＞0，则使得不等式Sn＜0成立的最大的n的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
9．（4分）已知4a＝ln4，eb＝1，5c＝ln5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c
10．（4分）设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a6a7＞1，，则下列结论错误的是（ ）
A．0＜q＜1B．a6a8＞1
C．Tn的最大值为T6D．T13＜1
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
11．（5分）已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则a2＝ ．
12．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是l，方程为y＝﹣x+4，则f′（2）＝ ．
13．（5分）已知函数则函数f（x）的零点个数为 ．
14．（5分）已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和．若a2是a1，S2的等差中项，S4＝15，则q＝ ，a1＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝，给出下列四个结论：
①函数f（x）存在两个不同的零点
②函数f（x）只有极大值没有极小值
③当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根
④若x∈[t，+∞）时，f（x）max＝，则t的最小值为2
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣2x2+x．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值与最小值．
17．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b2＝a4，b3＝a7，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
条件①：a1＝﹣3；
条件②：an+1﹣an＝2；
条件③：S2＝﹣4．
18．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+6n﹣2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{a2n}为等差数列．
19．（14分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝．已知直线x＝a分别交曲线y＝f（x）和y＝g（x）于点A，B，当a∈（0，e）时，设△OAB的面积为S（a），其中O是坐标原点．
（Ⅰ）写出S（a）的函数解析式；
（Ⅱ）求S（a）的最大值．
20．（15分）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．
21．（15分）对于有限数列{an}，n≤N，N≥3，N∈N*，定义：对于任意的k≤N，k∈N*，有
（1）S*（k）＝|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|ak|；
（2）对于c∈R，记L（k）＝|a1﹣c|+|a2﹣c|+|a3﹣c|+⋯+|ak﹣c|．
对于k∈N*，若存在非零常数c，使得L（k）＝S*（k），则称常数c为数列{an}的k阶ω系数．
（Ⅰ）设数列{an}的通项公式为，计算S*（4），并判断2是否为数列的4阶ω系数；
（Ⅱ）设数列{an}的通项公式为an＝3n﹣39，且数列{an}的m阶ω系数为3，求m的值；
（Ⅲ）设数列{an}为等差数列，满足﹣1，2均为数列{an}的m阶ω系数，且S*（m）＝507，求m的最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
1．（4分）已知函数f（x）＝sinx，则＝（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣2
【解答】解：∵f′（x）＝csx，∴f′（0）＝1，
∴．
故选：A．
2．（4分）在等差数列{an}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（ ）
A．5B．8C．10D．14
【解答】解：∵在等差数列{an}中a1＝2，a3+a5＝10，
∴2a4＝a3+a5＝10，解得a4＝5，
∴公差d＝＝1，
∴a7＝a1+6d＝2+6＝8
故选：B．
3．（4分）若数列{an}满足an+1＝2an，且a4＝1，则数列{an}的前4项和等于（ ）
A．15B．14C．D．
【解答】解：由题意得，数列{an}是以2为公比的等比数列，
又a4＝1，所以a3＝，a2＝，a1＝，
所以{an}的前4项和为1+＝．
故选：C．
4．（4分）如图1，为了满足游客的需求，欲在龙沙动植物园东侧修一条环湖公路（其中弯曲部分满足某三次函数），并与两条直道公路平滑连接（相切），根据图2所示，该环湖弯曲路段满足的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y＝﹣x相切，在（2，0）点处与y＝3x﹣6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．
A、y′＝x2﹣1，将2代入，此时导数为﹣1，与点（2，0）处切线斜率为3矛盾，故A错误；
B、y′＝+x﹣2，将0代入，此时导数为﹣2，与点（0，0）处切线斜率为﹣1矛盾，故B错误．
C、y′＝+x﹣3，将0代入，此时导数为﹣3，不为﹣1，故C错误；
D、y′＝﹣x﹣1，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，3，符合题意，故D正确；
故选：D．
5．（4分）已知为等比数列，则“a1＜a2”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则“a2＞a1”⇔a1（q﹣1）＞0，⇔，或．
由数列{an}为递增数列，可得，或．
∴“a1＜a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A．
6．（4分）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第25层小球的个数为（ ）
A．324B．325C．326D．395
【解答】解：记第n层有an个球，则a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，
结合高阶等差数列的概念知a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝4，⋯，an﹣an﹣1＝n（n≥2），
则第25层的小球个数：
a25＝（a25﹣a24）+（a24﹣a23）+⋯+（a2﹣a1）+a1＝25+24+23+⋯+2+1＝325．
故选：B．
7．（4分）若在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]
【解答】解：∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＝x2+2x﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立，
∵f′（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥f′（1）＝3﹣a≥0，解得：a≤3，
∴a的取值范围为（﹣∞，3]．
故选：D．
8．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＜0，a3+a8＞0，则使得不等式Sn＜0成立的最大的n的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：因为等差数列{an}中a3+a8＞0，d＞0，则a1+a10＞0，则S10＞0，
因为a5＜0，9a5＜0，即S9＜0，
所以使得不等式Sn＜0成立的最大的n的值为9．
故选：B．
9．（4分）已知4a＝ln4，eb＝1，5c＝ln5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c
【解答】解：由题意得a＝，b＝＝，c＝，
令f（x）＝（x＞0），
则f′（x）＝，
由f′（x）＜0得x＞e，即f（x）在（e，+∞）上单调递减，
又e＜4＜5，则f（e）＞f（4）＞f（5），即＞＞，
∴b＞a＞c．
故选：D．
10．（4分）设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a6a7＞1，，则下列结论错误的是（ ）
A．0＜q＜1B．a6a8＞1
C．Tn的最大值为T6D．T13＜1
【解答】解：①若q＜0，∵a1＞1，则a6＜0，a7＞0，∴a6a7＜0与a6a7＞1矛盾，
②若q≥1，∵a1＞1，则a6＞1，a7＞1，∴＞0与＜0矛盾，
∴0＜q＜1，故A正确，
∵＜0，则a6＞1，0＜a7＜1，∴a6a8＝＜1，故B错误，
∵a6＞1，0＜a7＜1，∴Tn的最大值为T6，故C正确，
∵T13＝a1a2…a13＝＜1，故D正确．
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
11．（5分）已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则a2＝ 2 ．
【解答】解：∵Sn＝2n，
∴a1＝S1＝2，a1+a2＝S2＝4，
∴a2＝2，
故答案为：2．
12．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是l，方程为y＝﹣x+4，则f′（2）＝ ﹣1 ．
【解答】解：因为在点P（2，y）处的切线y＝﹣x+4的斜率为﹣1，
所以f′（2）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（5分）已知函数则函数f（x）的零点个数为 2 ．
【解答】解：∵函数
∴当x＜1时，f（x）＝（x+1）ex＝0⇒x＝﹣1成立，
当x≥1时，f（x）＝x2﹣2x＝0⇒x＝2成立，（0舍）；
故函数f（x）的零点有﹣1和2两个，
故答案为：2．
14．（5分）已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和．若a2是a1，S2的等差中项，S4＝15，则q＝ 2 ，a1＝ 1 ．
【解答】解：设，由题意知，即，
解得q＝2，a1＝1；易知q≠1．
故答案为：2；1．
15．（5分）已知函数f（x）＝，给出下列四个结论：
①函数f（x）存在两个不同的零点
②函数f（x）只有极大值没有极小值
③当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根
④若x∈[t，+∞）时，f（x）max＝，则t的最小值为2
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【解答】解：对于①中，由f（x）＝0，可得x2+x﹣1＝0，解得，所以①正确；
对于②中，由，
令f′（x）＞0时，可得﹣1＜x＜2，当f′（x）＜0时，x＜﹣1或x＞2，
所以函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞），单调递增区间是（﹣1，2），
所以f（﹣1）是函数的极小值，f（2）是函数的极大值，所以②错误；
对于③中，当x→+∞时，f（x）→0，根据②可知，函数的最小值是f（﹣1）＝﹣e，可得函数的大致图象，
所以当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根，所以③正确；
对于④中，由B知函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞），单调递增区间是（﹣1，2），
其中，当t＝﹣1时，即在区间[﹣1，+∞）时，可得，所以④错误．
故答案为：①③．
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣2x2+x．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝x3﹣2x2+x，定义域为R，
则f′（x）＝3x2﹣4x+1，
所以f′（2）＝3×4﹣4×2+1＝5，又因为f（2）＝2，
所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣2＝5（x﹣2），即5x﹣y﹣8＝0；
（Ⅱ）函数f（x）＝x3﹣2x2+x，x∈[﹣1，4]，
则f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（x﹣1）（3x﹣1），
令f′（x）＝0得，x＝或1，
所以当x∈[﹣1，]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈[1，4]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又因为f（）＝，f（1）＝0，f（﹣1）＝﹣4，f（4）＝36，
所以函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值为36，最小值为﹣4．
17．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b2＝a4，b3＝a7，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
条件①：a1＝﹣3；
条件②：an+1﹣an＝2；
条件③：S2＝﹣4．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，不能选择①③作为已知条件，否则题目条件不完善．
若选择①②作为已知条件．
∵a1＝﹣3，an+1﹣an＝2，
∴数列{an}是以a1＝﹣3为首项，公差d＝2的等差数列．
∴an＝2n﹣5．
若选择②③作为已知条件．
∵an+1﹣an＝2，
∴数列{an}是以a1为首项，公差为d＝2的等差数列．
∵S2＝﹣4，∴a1+a2＝﹣4，则2a1+d＝﹣4，
解得a1＝﹣3，∴an＝2n﹣5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an＝2n﹣5，
设等比数列{bn}的公比为q，则b2＝a4＝3，b3＝a7＝9，
∴，．
∴等比数列{bn}的通项公式为．
可得．
∴Tn＝（a1+b1）+（a2+b2）+⋯+（an+bn）
＝（a1+a2+⋯+an）+（b1+b2+⋯+bn）
＝[﹣3+（﹣1）+⋯+（2n﹣5）]+（1+3+⋯+3n﹣1）
＝＝．
18．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+6n﹣2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{a2n}为等差数列．
【解答】解：（1）因为，
若n＝1，可得a1＝5；
若n＞2．可得，
由于a1＝5不符合an＝2n+5，
所以an＝；
（2）因为n∈N*，则2n≥2，由（1）可知：a2n＝2（2n）+5＝4n+5，
则a2（n+1）﹣a2n＝[4（n+1）+5]﹣（4n+5）＝4，
可知数列{a2n}是以首项a2＝9，公差d＝4的等差数列，
所以该数列的前n项和．
19．（14分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝．已知直线x＝a分别交曲线y＝f（x）和y＝g（x）于点A，B，当a∈（0，e）时，设△OAB的面积为S（a），其中O是坐标原点．
（Ⅰ）写出S（a）的函数解析式；
（Ⅱ）求S（a）的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，S（a）＝＝×，a∈（0，e），
因为a∈（0，e），所以＞1，lna＜1，
所以，
所以S（a）＝＝﹣，a∈（0，e）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S（a）＝﹣，a∈（0，e），
则S′（a）＝﹣（lna+1），
令S′（a）＝0得，a＝，
所以当a∈（0，）时，S′（a）＞0，S（a）单调递增；当a∈（，e）时，S′（a）＜0，S（a）单调递减，
所以当a＝时，S（a）取得极大值，也是最大值，为S（）＝，
即S（a）的最大值为．
20．（15分）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．
f′（x）＝ex（ax2﹣x+1+2ax﹣1）＝ex（ax2﹣x+2ax），∴f′（0）＝0，
∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程为y﹣1＝0．
（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．
①若a＝0，则f′（x）＝﹣xex，
x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴0是函数f（x）的极大值点．
②a≠0时，f′（x）＝axex（x﹣），令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝，
下面对a分类讨论：a＝时，f′（x）＝x2ex≥0，函数f（x）在R上单调递增，无极值点，舍去．
a＞时，x2＜0，
列出表格：
0为函数f（x）的极小值点，舍去．
a＜0时，x2＜0，
列出表格：
0为函数f（x）的极大值点，满足题意．
0＜a＜时，x2＞0，列出表格：
列出表格：
0为函数f（x）的极大值点，满足题意．
∴a的取值范围是（﹣∞，）．
（3）结合（2）：a≤0，或a≥时，f（x）不存在最小值．
例如a＞或a＜0，0是函数f（x）的极大值点，且f（0）＝1．x→﹣∞时，f（x）→0，无最小值，舍去．
0＜a＜时，x→﹣∞时，f（x）→0．x2是极小值点，x2＞0，满足：a﹣x2+2ax2＝0，x2＝，
需要f（x2）＝f（）＝（a﹣x2+1）＝（1﹣2ax2）＝[1﹣2（1﹣2a）]≤0，解得：0＜a≤．
因此函数f（x）存在最小值，a的取值范围是（0，]．
21．（15分）对于有限数列{an}，n≤N，N≥3，N∈N*，定义：对于任意的k≤N，k∈N*，有
（1）S*（k）＝|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|ak|；
（2）对于c∈R，记L（k）＝|a1﹣c|+|a2﹣c|+|a3﹣c|+⋯+|ak﹣c|．
对于k∈N*，若存在非零常数c，使得L（k）＝S*（k），则称常数c为数列{an}的k阶ω系数．
（Ⅰ）设数列{an}的通项公式为，计算S*（4），并判断2是否为数列的4阶ω系数；
（Ⅱ）设数列{an}的通项公式为an＝3n﹣39，且数列{an}的m阶ω系数为3，求m的值；
（Ⅲ）设数列{an}为等差数列，满足﹣1，2均为数列{an}的m阶ω系数，且S*（m）＝507，求m的最大值．
【解答】解：（ I）因数列{an}通项公式为，所以数列{|an|}为等比数列，且．
得S*（4）＝|a1|+|a2|+|a3|+|a4|＝30．
数列{an}通项公式为，所以当c＝2时，L（4）＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+|a3﹣2|+|a4﹣2|＝﹣（a1﹣2）+（a2﹣2）﹣（a3﹣2）+（a4﹣2）＝|a1|+2+|a2|﹣2+|a3|+2+|a4|﹣2＝．
所以2是数列{an}的4阶ω系数．
（ II）因为数列{an}的m阶ω系数为3，所以当c＝3时，存在m，使L（m）＝S*（m）成立．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，则．
令an≥0，则n≥13．
所以，
设等差数列{an﹣3}的前n项和为Tn，an﹣3＝3n﹣42，
则．
令an﹣3≥0，则n≥14．
所以，
当m≤13时，L（m）≠S*（m），
当m≥14时，L（m）＝S*（m），
则，解得m＝26．
（ III）设数列{an}为等差数列，满足﹣1，2均为数列{an}的m阶ω系数，S*（m）＝507，
则存在k∈N*，使|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|am|＝|a1+1|+|a2+1|+|a3+1|+⋯+|am+1|＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+|a3﹣2|+⋯+|am﹣2|＝507成立．
设数列{an}的公差为d，构造函数f（x）＝|x﹣d|+|x﹣2d|+|x﹣3d|+⋯+|x﹣md|﹣507．
由已知得 f（am+d）＝|am|+|am﹣d|+|am﹣2d|+⋯+|am﹣（m﹣1）d|﹣507＝|am|+|am﹣1|+|am﹣2|+⋯+|a1|﹣507＝0．
所以，函数f（x）至少有三个零点am+d，am+d+1，am+d﹣2．
由函数f（x）的图象与性质，可知m为偶数，且满足，
得
所以3m2≤4×507，解得m≤26．
构造等差数列{an}为：﹣37，﹣34，﹣33，…，38．
可知当m＝26时命题成立，即m的最大值为26． x
（﹣∞，x2）
x2
（x2，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
（﹣∞，x2）
x2
（x2，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
（﹣∞，0）
0
（0，x2）
x2
（x2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增