北京市中国人民大学附中朝阳学校2023-2024学年高一上学期期末数学试卷

这是一份北京市中国人民大学附中朝阳学校2023-2024学年高一上学期期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了解答题共6小题，共80分等内容，欢迎下载使用。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{1，2}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．{1）D．{1，2}
2．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝lnxB．y＝x3C．D．y＝2|x|
3．（4分）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（ ）
A．“都是白球”与“至少有一个白球”
B．“恰有一个白球”与“都是红球”
C．“都是白球”与“都是红球”
D．“至少有一个白球”与“都是红球”
4．（4分）已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数，方差s2＝1，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别是（ ）
A．3，2B．3，4C．2，4D．2，2
5．（4分）已知a，b∈R，则“”是“a＞b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（4分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A．[，3）B．（0，3）C．（1，3）D．（1，+∞）
7．（4分）在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则＝（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）已知1＜x＜2，，，c＝lg2（2x），则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．b＞c＞a
9．（4分）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题．记p为实际声压，通常我们用声压级L（p）（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级L（p）与声压p存在近似函数关系：，其中a为常数，且常数p0（p0＞0）为听觉下限阈值．若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压p1为穿软底鞋走路的声压p2的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为L（p1）＝60分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级L（p2）的3倍．若住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为p′，则（ ）
A．a＝20，B．a＝20，
C．a＝10，D．a＝10，
10．（4分）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．
收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→QB．P→B→QC．P→C→QD．P→D→Q
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）若p：∀x∈（0，+∞），，则￢p为 ．
12．（5分）已知函数f（x）是幂函数，若，则f（4）＝ ．
13．（5分）已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是 ，乙组数据的25%分位数是 ．
14．（5分）有四张大小相同标有数字的卡片，如图所示．从这四张卡片中随机抽一张，令事件Ai：“抽到卡片上有数字i”，i＝1，2，3，则P（A1）＝ ；已知命题p：事件A2与A3相互独立，则p为 命题（用“真”“假”填空）
15．（5分）定义域为R的函数f（x）同时满足以下两条性质：
①存在x0∈R，使得f（x0）≠0；
②对于任意x∈R，有f（x+1）＝2f（x）．
根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数．
（ i）若f（x）是增函数，则f（x）＝ ；
（ⅱ）若f（x）不是单调函数，则f（x）＝ ．
16．（5分）设函数f（x）＝ax+bx﹣cx，其中a，b，c是△ABC的三条边长，且有c＞a，c＞b．给出下列四个结论：
①若a＝b，则f（x）的零点均大于1；
②若a＝2，b＝3，c＝4，则对任意x∈（0，+∞），ax，bx，cx都能构成一个三角形的三条边长；
③对任意x∈（﹣∞，1]，f（x）＞0；
④若△ABC为直角三角形，则对任意n∈N*，f（2n）≤0．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（13分）已知全集U＝R，集合A＝（x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（Ⅰ）分别求A∩B，A∪（∁UB）；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩C≠∅，求a的取值范围．
18．（13分）在△ABC中，点D，E分别在边BC和边AB上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD交CE于点P，设，．
（Ⅰ）用表示和；
（Ⅱ）若，＝t，用，表示，并求实数t的值；
（Ⅲ）在边AC上有点F，使得，求证：B，P，F三点共线．
19．（14分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．
（Ⅰ）将所抽取的100个新养殖法网箱中产量低于40kg和不低于65kg的网箱收集到一起，再从中随机抽取2箱，恰有一箱产量不低于65kg的概率．
（Ⅱ）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55kg的概率；
（Ⅲ）求频率分布直方图中a的值．假定新、旧网箱养殖方法网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）
20．（13分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，f（x2）+f（﹣kx+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
21．（13分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M：反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1）判断函数f（x）＝2x是否具有性质M，若具有性质M，求出对应的x0的值；若不具有性质M，说明理由．
（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围．
（3）证明函数g（x）＝2x+x2具有性质M．
22．（14分）已知集合A＝{1，2，3，…，n}（n∈N，n≥3），W⊆A且W中元素的个数为m（m≥2）．若存在u，v∈W（u≠v得u+v为2的正整数指数幂，则称W为A的弱P（m）子集；若对任意的s，t∈W（s≠t），s+t均为2的正整数指则称W为A的强P（m）子集．
（Ⅰ）请判断集合W1＝{1，2，3}和W2＝{2，3，4}是否为A的弱P（3）子集，并说明理由；
（Ⅱ）是否存在A的强P（3）子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若n＝11，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱P（m）子集，求m的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{1，2}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．{1）D．{1，2}
【解答】解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{1，2}，
则A∪B＝{x|x＜2}∪{1，2}＝{x|x≤2}＝（﹣∞，2]．
故选：B．
2．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝lnxB．y＝x3C．D．y＝2|x|
【解答】解：A选项，y＝lnx的定义域为（0，+∞），定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A错误；
B选项，y＝f（x）＝x3的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x3＝﹣f（x），故y＝x3为奇函数，故B错误；
C选项，设g（x）＝，因为g（2）＝，g（）＝，
所以y＝g（x）＝在（0，+∞）上不单调递增，故C错误；
D选项，y＝h（x）＝2|x|的定义域为R，且h（﹣x）＝2|x|＝2|x|＝h（x），故h（x）＝2|x|为偶函数，
又当x＞0时，h（x）＝2x，在（0，+∞）上单调递增，故满足要求，故D正确．
故选：D．
3．（4分）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（ ）
A．“都是白球”与“至少有一个白球”
B．“恰有一个白球”与“都是红球”
C．“都是白球”与“都是红球”
D．“至少有一个白球”与“都是红球”
【解答】解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球的所有情况有：一个白球，一个红球；两个白球；两各红球，
A：至少有一个白球包括两个白球和一个白球，一个红球，A不符合题意；
B：恰有一个白球与都是红球为互斥事件，但不是对立事件；
C：都是白球和都是红球为互斥事件，但不是对立事件；
D：至少有一个白球包括一个白球，一个红球和两个白球，与都是红球对立．
故选：D．
4．（4分）已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数，方差s2＝1，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别是（ ）
A．3，2B．3，4C．2，4D．2，2
【解答】解：由题意，数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数为2+1＝2×1+1＝3，
方差为22s2＝4×1＝4．
故选：B．
5．（4分）已知a，b∈R，则“”是“a＞b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由，可得：
若，则，当ab＜0时，b＞a，故不能推出a＞b；
若a＞b，则当ab＜0时，＞0，可得，也不能推出．
综上所述，“”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．（4分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A．[，3）B．（0，3）C．（1，3）D．（1，+∞）
【解答】解：∵f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴x＜1时，f（x）＝（3﹣a）x﹣a是增函数
∴3﹣a＞0，解得a＜3；
x≥1时，f（x）＝lgax是增函数，解得a＞1．
∵f（1）＝lga1＝0
∴x＜1时，f（x）＜0
∵x＝1，（3﹣a）x﹣a＝3﹣2a
∵x＜1时，f（x）＝（3﹣a）x﹣a递增
∴3﹣2a≤f（1）＝0，解得a．
所以≤a＜3．
故选：A．
7．（4分）在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，
则＝＝＝2．
故选：B．
8．（4分）已知1＜x＜2，，，c＝lg2（2x），则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．b＞c＞a
【解答】解：因为1＜x＜2，所以t＝lg2x∈（0，1），
故，c＝lg2（2x）＝1+lg2x＝1+t，
c﹣b＝1+t﹣2t＝1﹣t＞0，故c＞b，
b﹣a＝2t﹣t2＝t（2﹣t）＞0，故b＞a，
所以c＞b＞a．
故选：B．
9．（4分）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题．记p为实际声压，通常我们用声压级L（p）（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级L（p）与声压p存在近似函数关系：，其中a为常数，且常数p0（p0＞0）为听觉下限阈值．若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压p1为穿软底鞋走路的声压p2的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为L（p1）＝60分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级L（p2）的3倍．若住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为p′，则（ ）
A．a＝20，B．a＝20，
C．a＝10，D．a＝10，
【解答】解：由题意，
得a＝20，
则，
因此，
，
则，
，
则．
故选：A．
10．（4分）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．
收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→QB．P→B→QC．P→C→QD．P→D→Q
【解答】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；
A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；
同理可知C点路线优于A点路线，
综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故选：B．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）若p：∀x∈（0，+∞），，则￢p为 ∃x∈（0，+∞）， ．
【解答】解：若p：∀x∈（0，+∞），，则￢p为“∃x∈（0，+∞），”．
故答案为：∃x∈（0，+∞），．
12．（5分）已知函数f（x）是幂函数，若，则f（4）＝ 2 ．
【解答】解：设f（x）＝xα，
则＝＝x2＝，
则f（4）＝x4＝2．
故答案为：2．
13．（5分）已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是 45 ，乙组数据的25%分位数是 35 ．
【解答】解：根据茎叶图知，甲组数据按从小到大排列为28，31，39，42，45，55，57，58，66；排在中间的一位是中位数，是45；
乙组数据从小到大排列为29，34，35，42，46，48，53，55，67；计算9×25%＝2.25，所以25%分位数是第3个数，为35．
故答案为：45；35．
14．（5分）有四张大小相同标有数字的卡片，如图所示．从这四张卡片中随机抽一张，令事件Ai：“抽到卡片上有数字i”，i＝1，2，3，则P（A1）＝ ；已知命题p：事件A2与A3相互独立，则p为 真 命题（用“真”“假”填空）
【解答】解：事件Ai：“抽到卡片上有数字i”，i＝1，2，3，
则P（A1）＝；
P（A2）＝＝，P（A3）＝＝，P（A2A3）＝，
∵P（A2A3）＝P（A2）P（A3），
∴命题p：事件A2与A3相互独立是真命题．
故答案为：；真．
15．（5分）定义域为R的函数f（x）同时满足以下两条性质：
①存在x0∈R，使得f（x0）≠0；
②对于任意x∈R，有f（x+1）＝2f（x）．
根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数．
（ i）若f（x）是增函数，则f（x）＝ 2x ；
（ⅱ）若f（x）不是单调函数，则f（x）＝ ．
【解答】解：（i）f（x）＝2x，
（ii）．
16．（5分）设函数f（x）＝ax+bx﹣cx，其中a，b，c是△ABC的三条边长，且有c＞a，c＞b．给出下列四个结论：
①若a＝b，则f（x）的零点均大于1；
②若a＝2，b＝3，c＝4，则对任意x∈（0，+∞），ax，bx，cx都能构成一个三角形的三条边长；
③对任意x∈（﹣∞，1]，f（x）＞0；
④若△ABC为直角三角形，则对任意n∈N*，f（2n）≤0．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【解答】解：对于①，因为a＝b，所以f（x）＝2ax﹣cx，
令f（x）＝0，则有2ax﹣cx＝0，2ax＝cx，2＝，
所以x＝2，
因为c＞a＞0，所以＞1，
又因为a+a＝2a＞c，所以＜2，
所以1＜＜2，
所以2＞＝1，
所以当a＝b时，函数的零点大于1，故①正确；
对于②，因为a＝2，b＝3，c＝4，当x＝2∈（0，+∞）时，
ax＝4，bx＝9，cx＝16，此时4+9＝13＜16，不能够成三角形的三边，故错误；
对于③，因为a+b＞c，c＞a＞0，c＞b＞0，
所以0＜＜1，0＜＜1，
所以当x∈（﹣∞，1]时，
f（x）＝ax+bx﹣cx＝cx[（）x+（）x﹣1]＞cx（+﹣1）＝cx•＞0，故正确；
对于④，因为△ABC为直角三角形，
所以c2＝a2+b2，
所以f（2n）＝a2n+b2n﹣c2n＝a2n+b2n﹣（a2+b2）n≤0（n＝1时等号成立），故正确．
所以说法正确的是：①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（13分）已知全集U＝R，集合A＝（x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（Ⅰ）分别求A∩B，A∪（∁UB）；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩C≠∅，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）集合A＝（x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x||x﹣3|＜1}＝{x|2＜x＜4}，
∴A∩B＝{x|2＜x≤3}，∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，
∴A∪（∁UB）＝{x|x≤3或x≥4}；
（Ⅱ）∵B∪C＝B，∴C⊆B，
①当C＝∅时，2a＞a+2，∴a＞2，
②当C≠∅时，则，
解得1＜a＜2，
综上所述，a的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）；
（Ⅲ）若A∩C＝∅，
①当C＝∅时，2a＞a+2，∴a＞2，
②当C≠∅时，或，
∴a＜﹣1或＜a≤2，
综上所述，若A∩C＝∅，则a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），
所以若A∩C≠∅，则a的取值范围[﹣1，]．
18．（13分）在△ABC中，点D，E分别在边BC和边AB上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD交CE于点P，设，．
（Ⅰ）用表示和；
（Ⅱ）若，＝t，用，表示，并求实数t的值；
（Ⅲ）在边AC上有点F，使得，求证：B，P，F三点共线．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，＝＝，所以＝+＝﹣+，
＝﹣＝﹣＝﹣；
（Ⅱ）因为＝，所以＝+＝+（﹣）＝+，
又因为＝+＝+t＝+t（﹣+）＝t+（1﹣t），
所以t＝；
（Ⅲ）证明：由＝﹣＝﹣，得＝＝（﹣），
所以＝+＝+（﹣）＝+＝（+），
所以＝，
因为与有公共点B，所以B，P，F三点共线．
19．（14分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．
（Ⅰ）将所抽取的100个新养殖法网箱中产量低于40kg和不低于65kg的网箱收集到一起，再从中随机抽取2箱，恰有一箱产量不低于65kg的概率．
（Ⅱ）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55kg的概率；
（Ⅲ）求频率分布直方图中a的值．假定新、旧网箱养殖方法网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）
【解答】解：（Ⅰ）[35，40）的频数为0.004×5×100＝2，
[65，70]的频数为0.008×5×100＝4，
再从中随机抽取2箱，基本事件总数n＝＝15，
恰有一箱产量不低于65kg包含的基本事件个数m＝＝8，
∴恰有一箱产量不低于65kg的概率为P＝＝．
（Ⅱ）设事件A，B分别表示：
从运用旧，新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg，
用频率估计概率，则P（A）＝（0.020+0.012+0.012）×5＝0.22，
P（B）＝（0.046+0.010+0.008）×5＝0.32，
∵A，B相互独立，
∴估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55kg的概率为：
P（A+）＝P（A）P（）+P（）P（B）
＝0.22×0.68+0.78×0.32
＝0.3992．
（Ⅲ）旧养殖法的平均值估计为：
0.012×5×27.5+0.014×5×32.5+0.024×5×37.5+0.034×5×42.5+0.04047.5×5×47.5+0.032×5×52.5+0.020×5×57.5+0.012×5×62.5+0.012×5×67.5＝47.1，
新养殖法的平均值估计为：
0.004×5×37.5+0.020×5×42.5+0.044×5×47.5+0.068×5×52.5+0.046×5×57.5+0.010×5×62.5+0.008×5×67.5＝52.35，
∵52.35＞47.1，
∴该养殖场下一年应采用新养殖法更合适．
20．（13分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，f（x2）+f（﹣kx+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数是奇函数，
所以f（0）＝＝0，即a＝﹣1，
所以f（x）＝，经检验符合题意，
故a＝﹣1；
（Ⅱ）f（x）在R上单调递增，证明如下：
因为f（x）＝＝1﹣，
任取x1＜x2，
所以＜0，1+＞0，1+＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＝＝＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又x∈（0，+∞）时，f（x2）+f（﹣kx+1）＞0恒成立，
所以f（x2）＞﹣f（﹣kx+1）＝f（kx﹣1），
所以x2＞kx﹣1，
则k＜x+在x＞0时恒成立，
因为x+＝2，当且仅当x＝1时等号成立，
所以k＜2，
故k的范围为{k|k＜2}．
21．（13分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M：反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1）判断函数f（x）＝2x是否具有性质M，若具有性质M，求出对应的x0的值；若不具有性质M，说明理由．
（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围．
（3）证明函数g（x）＝2x+x2具有性质M．
【解答】解：（1）将f（x）＝2x代入f（x0+1）＝f（x0）+f（1），可得，解得x0＝1，
所以函数f（x）＝2x具有性质M，且x0＝1．
（2）由题意，h（x）的定义域为R，a＞0，
因为h（x）具有性质M，所以存在x0，使得h（x0+1）＝h（x0）+h（1），代入得：，化简整理得有实根，
若a＝2，得，
若a≠2，由Δ≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得，
所以，
综上可得．
（3）证明：将g（x）＝2x+x2代入条件式f（x0+1）＝f（x0）+f（1），
可得，令φ（x）＝2x+2x﹣2，x∈R，
由φ（0）＝﹣1＜0，φ（1）＝2＞0，
所以函数φ（x）在（0，1）上存在零点x0使得φ（x0）＝0，
即成立，所以函数g（x）＝2x+x2具有性质M．
22．（14分）已知集合A＝{1，2，3，…，n}（n∈N，n≥3），W⊆A且W中元素的个数为m（m≥2）．若存在u，v∈W（u≠v得u+v为2的正整数指数幂，则称W为A的弱P（m）子集；若对任意的s，t∈W（s≠t），s+t均为2的正整数指则称W为A的强P（m）子集．
（Ⅰ）请判断集合W1＝{1，2，3}和W2＝{2，3，4}是否为A的弱P（3）子集，并说明理由；
（Ⅱ）是否存在A的强P（3）子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若n＝11，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱P（m）子集，求m的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）W1是A的弱P（3）子集，W2不是A的弱P（3）子集．
理由如下：1+3＝22，W1中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以W1是A的弱P（3）子集．
2+3＝5，3＝4＝7，2+4＝6，W2中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以W2不是A的弱P（3）子集．
（Ⅱ）不存在A的强P（3）子集．
理由如下：假设存在A的强P（3）子集W＝{a，b，c}，不妨设a＜b＜c，a，b，c为正整数，
，，，则k1＜k2＜k3，k1，k2，k3为正整数，k2≤k3﹣1，
则，，代入中，所以，
所以a＜0，与a为正整数矛盾，所以不存在A的强P（3）子集．
（Ⅲ）设A1＝{1，3}，A2＝{5，11}，A3＝{6，10}，A4＝{7，9}，B1＝{2}，B2＝{4}，B3＝{8}，
若W不是A的弱P（m）子集，则W最多能包含A1，A2，A3，A4中的一个元素以及B1，B2，B3中的元素，一共7个元素，
令W0＝{3，11，10，9，2，4，8}，W0中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以W0不是A的弱P（7）子集，
当m≤7时，W0的任意一个元素个数为m的子集都不是A的弱P（m）子集，
当m≥8时，A1，A2，A3，A4中至少有一个集合是W的子集，此时W中一定存在两数之和为2的正整数幂，
即A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱P（m）子集，所以m的最小值为8．