广东省惠州市博罗县2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份广东省惠州市博罗县2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z•＝（ ）
A．B．C．2D．4
2．（5分）已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m∥n”是“α∥β”的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分又非必要
3．（5分）在△ABC中，，则A＝（ ）
A．30°B．45°C．120°D．150°
4．（5分）设，是两个单位向量，且||＝，那么它们的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝sinx图象的最高点，Q是y＝sinx的图象与x轴的交点，则的坐标是（ ）
A．B．（π，0）C．（﹣π，0）D．（2π，0）
7．（5分）已知轴截面为正方形的圆柱MM′的体积与球O的体积之比为，则圆柱MM′的表面积与球O的表面积之比为（ ）
A．1B．C．2D．
8．（5分）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60m到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50mB．30mC．25mD．15m
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分
（多选）9．（6分）设z＝1﹣i，则（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．（6分）已知直线l，m，平面α，β，则下列说法错误的是（ ）
A．m∥l，l∥α，则m∥α
B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，则α∥β
C．l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β
D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M，则α∥β
（多选）11．（6分）下列说法中错误的是（ ）
A．若都是非零向量，则“”是“与共线”的充要条件
B．若都是非零向量，且，则
C．若单位向量满足，则
D．若I为三角形ABC外心，且，则B为三角形ABC的垂心
三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．（5分）若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 ．
13．（5分）已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为 ．
14．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆直径2R＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）已知向量．
（1）若，求λ+μ的值；
（2）若，求与的夹角的余弦值．
16．（15分）如图所示，在正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝，求；
（1）正四棱锥S﹣ABCD的表面积；
（2）若M为SA的中点，求证：SC∥平面BMD．
17．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）求的最大值．
18．（17分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求xy的取值范围．
19．（17分）设f（z）是一个关于复数z的表达式，若f（x+yi）＝x1+y1i（其中x，y，x1，y1∈R，i为虚数单位），就称f将点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）．例如：将点（0，1）“f对应”到点（0，﹣1）．
（1）若f（z）＝z+1（z∈C），点P1（1，1）“f对应”到点Q1，点P2“对应”到点Q2（1，1），求点Q1、P2的坐标．
（2）设常数k，t∈R，若直线l：y＝kx+t，f（z）＝z2（z∈C），是否存在一个有序实数对（k，t），使得直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对（k，t）；若不存在，请说明理由．
（3）设常数a，b∈R，集合D{z|z∈C且Rez＞0}和A＝{w|w∈C且|w|＜1}，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有f（z）∈A；②对于集合A中的任意一个元素w，都存在集合D中的元素z使得w＝f（z）．请写出满足条件的一个有序实数对（a，b），并论证此时的f（z）满足条件．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：木题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z•＝（ ）
A．B．C．2D．4
【解答】解：因为（1﹣i）z＝2i，
所以＝﹣1+i．
故＝2．
故选：C．
2．（5分）已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m∥n”是“α∥β”的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分又非必要
【解答】 解：如图，将α，β，γ平面视为一个三棱柱的三个侧面，
设α∩β＝a，a，m，n为三棱柱三条侧棱所在的直线，
则由m∥n得不到α∥β，充分性不成立，
若α∥β，且α∩γ＝m，β∩γ＝n，
由面面平行的性质定理可得m∥n，必要性成立，
所以是必要非充分条件．
故选：B．
3．（5分）在△ABC中，，则A＝（ ）
A．30°B．45°C．120°D．150°
【解答】解：在△ABC中，，
可得csA＝＝，A∈（0°，180°），
所以A＝30°．
故选：A．
4．（5分）设，是两个单位向量，且||＝，那么它们的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，且，
∴＝，
∴，
∴，且，
∴．
故选：C．
5．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，
故 ．
故选：C．
6．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝sinx图象的最高点，Q是y＝sinx的图象与x轴的交点，则的坐标是（ ）
A．B．（π，0）C．（﹣π，0）D．（2π，0）
【解答】解：由题意以及题图可知Q（π，0），O（0，0），所以．
故选：B．
7．（5分）已知轴截面为正方形的圆柱MM′的体积与球O的体积之比为，则圆柱MM′的表面积与球O的表面积之比为（ ）
A．1B．C．2D．
【解答】解：设圆柱MM′底面圆半径为r，球O的半径为R，
则圆柱MM′的高为2r，由，可得，
所以圆柱MM′的表面积与球O的表面积之比为．
故选：B．
8．（5分）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60m到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50mB．30mC．25mD．15m
【解答】解：设AB＝x，x＞0，
在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝AB＝x，
在Rt△ABD中，由∠ADB＝30°，得BD＝AB＝x，
在△BCD中，有∠BCD＝90°﹣30°＝60°，CD＝60，
由余弦定理得：BD2＝CD2+CB2﹣2CD•CB•cs∠BCD，
即3x2＝3600+x2﹣2×60×x×cs60°，
整理得x2+30x﹣1800＝0，
解得x＝30或x＝﹣60（不合题意，舍去），
所以塔AB的高度是30m．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分
（多选）9．（6分）设z＝1﹣i，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由z＝1﹣i可得，
所以，即A正确；
可得，即B正确；
|z|2＝12+（﹣1）2＝2，，显然错误，即C错误；
，而，所以D错误．
故选：AB．
（多选）10．（6分）已知直线l，m，平面α，β，则下列说法错误的是（ ）
A．m∥l，l∥α，则m∥α
B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，则α∥β
C．l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β
D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M，则α∥β
【解答】解：选项A中，m可能在α内，也可能与α平行，故A错误；
选项B中，α与β也可能相交，故B错误；
选项C中，α与β也可能相交，故C错误；
选项D中，依据面面平行的判定定理可知α∥β，故D正确．
故选：ABC．
（多选）11．（6分）下列说法中错误的是（ ）
A．若都是非零向量，则“”是“与共线”的充要条件
B．若都是非零向量，且，则
C．若单位向量满足，则
D．若I为三角形ABC外心，且，则B为三角形ABC的垂心
【解答】解：对于A项，由与共线，
可取，
则，
又，
即“”是“与共线”的充分不必要条件，
故A项错误；
对于B项，由两边平方，展开得，
化简得：，
即，
故B项正确；
对于C项，由可得：，
两边平方得，
因是单位向量，
则，
则，
解得，
又由可得：，
两边平方得，
则，
解得，
则，
故C项错误；
对于D项，因为，
故由可得：，
故得点I为边AC的中点，
即三角形ABC的外心为AC的中点，
即AI＝BI＝CI，
故得AB⊥BC，
即B为三角形ABC的垂心，
故D项正确．
故选：AC．
三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．（5分）若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 3 ．
【解答】解：设球的半径为R，由题意可得，
解得R＝3．
故答案为：3．
13．（5分）已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为 ．
【解答】解：向量在向量上的投影向量是．
故答案为：．
14．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆直径2R＝ 2 ．
【解答】解：△ABC的面积为，
则，即tanC＝1，
0＜C＜π，
则C＝，
，
则，解得2R＝2．
故答案为：2．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）已知向量．
（1）若，求λ+μ的值；
（2）若，求与的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）因为，
所以．
因为，所以，
解得，
所以．
（2）因为，所以，
即2×4+3×1﹣（2×1+3x）＝0，
解得x＝3，所以，
故．
16．（15分）如图所示，在正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝，求；
（1）正四棱锥S﹣ABCD的表面积；
（2）若M为SA的中点，求证：SC∥平面BMD．
【解答】（1）解：因为SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝，
取CD的中点H，连接SH，
由题意可得SH＝＝＝，
由题意可得S侧面积＝4S△SCD＝4×CD×SH＝2××＝2，
所以S表面积＝S侧面积+SABCD＝2+（）2＝2+2；
（2）证明：连接BD交AC于O，由题意可得O为AC的中点，
连接OM，M为SA的中点，在△SAC中，可得OM∥SC，
OM⊂平面BMD，SC⊄平面BMD，
所以SC∥平面BMD．
17．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）求的最大值．
【解答】解：（1）由bsinA+acsB＝c及正弦定理得，sinBsinA+sinAcsB＝sinC，
因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以sinBsinA+sinAcsB＝sinAcsB+csAsinB，
即sinBsinA＝csAsinB，
因为sinB≠0，所以sinA＝csA，
所以tanA＝，
又A∈（0，π），所以A＝．
（2）由正弦定理知，，
所以＝＝＝•（2sinB+csB+sinB）
＝•（sinB+csB）＝sin（B+φ），其中tanφ＝（|φ|＜），
所以当B+φ＝时，的最大值为．
18．（17分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求xy的取值范围．
【解答】解：（1）由平面向量的加法法则，可得①，，②
因为M为线段BC中点，所以，
①②相加，结合，化简得，即．
（2）由AM与BD交于点N，可知存在实数t，使，
根据B、N、D三点共线，得，解得，即，所以．
（3）由题意，设，
代入并整理，可得．
又，根据平面向量基本定理，得，所以x＝y﹣1，可得．
因为，所以，
可得xy＝y（1﹣y）＝y2﹣y，相应二次函数的图象是开口向上的抛物线，关于直线x＝对称，
因此函数F（y）＝y2﹣y在区间单调为增函数，当y＝1时，（xy）min＝0，当y＝时，，
综上所述，xy的取值范围为．
19．（17分）设f（z）是一个关于复数z的表达式，若f（x+yi）＝x1+y1i（其中x，y，x1，y1∈R，i为虚数单位），就称f将点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）．例如：将点（0，1）“f对应”到点（0，﹣1）．
（1）若f（z）＝z+1（z∈C），点P1（1，1）“f对应”到点Q1，点P2“对应”到点Q2（1，1），求点Q1、P2的坐标．
（2）设常数k，t∈R，若直线l：y＝kx+t，f（z）＝z2（z∈C），是否存在一个有序实数对（k，t），使得直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对（k，t）；若不存在，请说明理由．
（3）设常数a，b∈R，集合D{z|z∈C且Rez＞0}和A＝{w|w∈C且|w|＜1}，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有f（z）∈A；②对于集合A中的任意一个元素w，都存在集合D中的元素z使得w＝f（z）．请写出满足条件的一个有序实数对（a，b），并论证此时的f（z）满足条件．
【解答】解：（1）由P1（1，1）知z＝1+i，则f（z）＝z+1＝2+i，故Q1（2，1），
设P2（x，y），则f（z）＝z+1＝（x+1）+yi，
由Q2（1，1）知x+1＝1，y＝1，则x＝0，y＝1，即P2（0，1）；
（2）直线l上的任意一点P（x，y）“对应”到点Q（x1，y1），
所以z＝x+yi，f（z）＝z2＝（x2﹣y2）+2xyi，且y＝kx+t，
所以x2﹣y2＝x1，2xy＝y1，即Q（x2﹣y2，2xy），
由题意，点Q（x1，y1）仍在直线l上，
则2xy＝k（x2﹣y2）+t，又y＝kx+t，
则2x（kx+t）＝k[x2﹣（kx+t）2]+t，
展开整理得（k3+k）x2+（2t+2k2t）x+kt2﹣t＝0，
则，解得k＝t＝0，
所以，所求的有序实数对（k，t）为（0，0）；
（3）满足条件的一个有序实数对为（﹣1，1），
即a＝﹣1，b＝1，f（z）＝，证明如下：
证明：设z＝x+yi，x，y∈R且x＞0，
则f（z）＝＝，
|f（z）|＝||＝，
因为（﹣x+1）2+y2﹣[（x+1）2+y2]＝﹣4x＜0，
所以（﹣x+1）2+y2＜（x+1）2+y2，
|f（z）|＝＜1，
即f（z）∈A，满足条件①；
设ω＝m+ni，m，n∈R，且|ω|＜1，即＜1，得m2+n2＜1，
由ω＝f（z）得ω＝，
则z＝＝﹣1+＝﹣1+＝﹣1+＝﹣1+﹣＝﹣，
则Rez＝＞0，满足条件②，
综上，满足条件的一个有序实数对为（﹣1，1）．