广东省梅州市梅江区梅州中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题

这是一份广东省梅州市梅江区梅州中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分
1．已知，则的虚部是
A．B．C．D．
2．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为
A．B．C．D．
4．已知等差数列的前项和为，且，则
A．2B．3C．4D．6
5．直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
6．设向量与的夹角为，定义，已知，，则
A．B．C．D．
7．已知，，设点是圆上的点，若动点满足：，，则的轨迹方程为
A．B．C．D．
8．已知0为函数的极小值点，则的取值范围是
A． B． C．D．，
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则
A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B．在上单调递增
C．在，内有2个零点
D．在上的最大值为
10．已知函数的定义域为，不恒为零，且，则（ ）
A.B.为偶函数
C.在处取得极小值D.若，则
11、抛物线，点在其准线上，过焦点的直线与抛物线交于，两点
（点在第一象限），则下列说法正确的是
A．
B．有可能是钝角
C．当直线的斜率为时，与面积之比为3
D．当直线与抛物线只有一个公共点时，
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为 ．
13、某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有2％的杂质，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．
(参考数据：，)
14．已知双曲线的焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
求该圆锥的体积．
16.(15分)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．
17、 (15分)
已知为圆的圆心，是圆上的动点，点，若线段的中垂线
与相交于点．
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹分别相交于，两点，且与圆相交于，两点，求的取值范围．
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18、某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，
求X的分布列和数学期望；
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．
设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、
已知，证明：．
19、记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.
(1)求；
(2)证明数列是等比数列并求；
(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.
2024年梅州中学高三模拟测试题
数学答案
12 ． 13 8 14 ：．
1．【解答】解：因为，
所以，所以的虚部是．故选：．
2．【解答】解：当时，利用正弦函数的单两性知；
当时，或，
综上可知” ”是” “的充分不必要条件，故选：．
3．【解答】解：根据题意：从10个数中任取5个数，则基本事件为，
则这5个数的中位数是4的有：，故概率．故选：．
4．【解答】解：设等差数列的公差为，
则，
数列是公差为的等差数列，，解得，
．故选：．
5．【解答】解：以为原点，在平面中过作的垂线交于，
以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
直三棱柱中，，设，
，0，，，1，，
，，设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与线所成角的余弦值为．故选：．
6．【解答】解：，，，
即，则，故，得，
，，，
．故选：C．
7．【解答】解：由，可得，而，可知在的平分线上．
圆，圆心为原点，半径，连接，延长交于点，连接，
因为且，所以，且为中点，
因此，，
点在以、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，
可知，，由，得，故，双曲线方程为．
故选：．
8【解答】解：由题意得，的导函数为，
若，，在上单调递增，因为，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，成立；
若，当时，，在上单调递增，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，成立；
若，当时，，当时，，因为，
所以，不成立；
若，当时，，，
易得在递增，在上单调递减，不成立；
综上，的取值范围是．故选：B．
9．【解答】解：函数，
对于，的图象向右平移个单位长度得到，故错误；
对于，时，，，所以在上单调递增，故正确；
对于，令，可得，又，，则或，故正确；
对于，时，，，，，
所以在上的值域为，，故在上的最大值为1，故错误．故选：．
10.故选：．
11．【解答】解：对于，由抛物线可得准线方程为，
又点在其准线上，所以，解得，故正确；
对于，由选项可得，且焦点，
当直线的斜率存在时，设直线，，，，，
则，整理得，
所以，，因为，，，，
所以，
所以，因为，所以为锐角；
当直线的斜率不存在时，直线，
所以将代入抛物线可得，则，，
则，，所以，此时为直角，故错误；
对于，，，所以，
所以当时，，，解得，，所以，故正确；
对于，易得直线的斜率存在，设直线的方程为，
所以由，得到①，
因为直线与抛物线只有一个公共点，所以△，解得，
又因为点在第一象限，所以，则，①可变成，解得，故，
由选项可得此时，所以，故正确．
故选：．
12．【解答】解：令，可得，解得，
则展开式中的第3项为．故答案为：．
13【详解】设至少需要过滤n次，则，即，
∴，即，
又，∴，∴使产品达到市场要求的过滤次数最少为8次．
14．【解答】解：设，，由双曲线的定义可得，
在△中，由余弦定理可得，
即为，即有，
由三角形的中线长公式，可得
，
即，化为，则．故答案为：．
15【解答】解：（1）证明：圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，
平面， ·······1分
平面， ，·······2分
过点作底面圆的切线，点是切线与圆的切点，
， ······3分
，平面；
平面平面 ·······5分
（2）与圆相切，
，， ·······6分
，，，， ·······7分
，，
，，
解得，，
，是中点，， ·······8分
以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，0，，，，，，，，
，0，，，，，
，，，，，，·······9分
设平面的法向量，，，
则，取，得，，
平面的法向量，0，， ·······10分
平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
，
解得， ······12分
该圆锥的体积 ． ·······13分
16【详解】（1）当时，，
所以,得到， ·······2分
所以曲线在点处切线的斜率为． ·······3分
（2）当时，，易知的定义域为， ·······4分
又，· ······5分
因为，所以，
所以时，，时，， ·······6分
所以的单调递增区间为；单调递减区间为． ·······7分
（3）因为，所以 ， ·······8分
易知，当时，的定义域为，
所以恒成立，故在上单调递增，
又，所以不合题意， ·······10分
当时，的定义域为，此时， ·······11分
所以时，，时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以． ·······12分
设，则，
当时，，时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为．
所以， ·······14分
所以集合有且只有一个元素时． ·······15分
解：（1）由题意可得是线段的垂直平分线，
所以， ，·······3分
所以点的轨迹是以，为焦点，2为焦距，为长轴长的椭圆，， ·······5分
即有，，则，， ·······6分
所以椭圆的标准方程为；， ·······7分
（2）由（1）可得，椭圆右焦点为，
①若直线的斜率不存在时，直线方程为，则，，，，
所以，，则；， ·······10分
②若直线的斜率存在时，设直线方程为，，，，，
联立，得，
则，，， ·······11分
所以，，·······12分
因为圆心到直线距离，所以，，·······13分
所以，
因为，，所以，， ·······14分
综上：，． ·······15分
18、【详解】（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则，，， ·······3分
，
计算得．， ·······5分
所以． ·······6分
X的可能取值为0，1，2，3，，，
，，
，．
所以，X的分布列为：
，·······10分
证明：
因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以．
即．， ·······11分
因为，， 所以．
因为，，
所以． 即得，
所以．
即．
又因为，，
所以． 因为，，
所以． 即得证．， ·······17分
19、【详解】（1）因为，则，，·······1分
从而有，， ·······2分
由，则，， ·······3分
则，解得则有，， ·······4分
所以；， ·······5分
（2）由，则， ，·······6分
所以， ， ·······7分
故（非零常数），且， ， ·······8分
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， ·······9分
所以； ，·······10分
（3）由等比数列的前n项和公式得：， ，·······11分
因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，令，，， ·······12分
则，当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
又，且，，，则，，·······14分
当n为偶数时，原式化简为，所以当时，；， ·······15分
当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以；， ·······16分
综上可知，.，· ······17分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
A
C
D
A
C
A
B
BC
ABD
ACD
X
0
1
2
3
P