广东市深圳市2024届高三下学期三模数学试题

这是一份广东市深圳市2024届高三下学期三模数学试题，共11页。试卷主要包含了已知数列满足，已知椭圆，直线与交于两点，且，设函数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数的实部大于0，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
4．已知数列满足：，且数列为等差数列，则（ ）
A．10B．40C．100D．103
5．如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆，直线与交于两点，且．则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
7．某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）
A．2025种B．4050种C．8100种D．16200种
8．设函数．若实数使得对任意恒成立，则（ ）
A．B．0C．1D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（ ）
A．0B．4C．8D．16
10．已知函数有最小正零点，，若在上单调，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，三棱台的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（ ）
A．该三棱台的体积最小值为B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．写出函数的一条斜率为正的切线方程： .
13．两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则 .
14．双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．数列中，，，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前n项和为，且满足，，求.
16．如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为.
（1）当时，求后质点移动到点O的位置的概率，
（2）记后质点的位置对应的数为X，若随机变量X的期望，求p的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，点M在PD上，点N为BC的中点，且平面MAC.
（1）证明：平面PAN，
（2）若，求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值.
18．已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设，的离心率分别为，且.
（1）求，的方程，
（2）设P为上一点，且在第一象限内，若直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，设AB，CD的中点分别为M，N，记直线MN的斜率为k，当k取最小值时，求点P的坐标.
19．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，.注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
（1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位，
（2）由该公式可得：.当时，试比较与的大小，并给出证明，
（3）设，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,C
11．【答案】B,D
12．【答案】（合理即可）
13．【答案】0.86
14．【答案】2
15．【答案】（1）解：因为，所以，
所以数列是公差为8的等差数列，其首项为，于是，
则，则
.
（2）解：由（1）问知，，则，
又，则，两式相乘得，即，因此与同号，
因为，所以当时，，此时，
当n为奇数时，，
n为偶数时，：
当时，，此时，
当n为奇数时，，
n为偶数时，；
综上，在时，；时，.
16．【答案】（1）解：后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，
所求概率为：.
（2）解：X所有可能的取值为-2，0，2，4，且
，
，
，
，
由，解得，
又因为，故p的取值范围为.
17．【答案】（1）解：连接BD交AC与点O，连接OM如图所示：
易知平面PBD与平面MAC的交线为OM，
平面MAC，，
又O为BD的中点，M为PD的中点.
取PA的中点E，连接EM，EN，
，
，EMCN为平行四边形，，
又平面PAN，平面PAN，平面PAN.
（2）解：取AB的中点S，连结PS，CS，，
，且，又，且，
，，
又AB，SC是平面ABCD内两条相交的直线，平面ABCD.
以S为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，，
由M为PD的中点，N为BC的中点，可得，
，，，
设是平面PAN的法向量，
则即，可取，
设是平面MAC的法向量，
则即，可取，
设平面PAN与平面MAC的夹角为，
则，
即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：依题意可得，得，
由，得，解得，
故的方程为，的方程为.
（2）解：易知，
设，直线，的斜率分别为，
则，，，
在，即有，
可得为定值.
设直线的方程为：，联立
可得恒成立，
设，则有，
可求得，
设直线的方程为：，，
同理可得，
则
由可得：，
点P在第一象限内，故，
当且仅当，即时取等号，
而，故等号可以取到.
即当k取最小值时，，联立，
可解得，
故的方程为：，的方程为：，
联立可解得，即有.
另外可以分别设直线方程和求解，
此时：，，
也可以直接通过的横纵坐标代换来求解，
此时：，
19．【答案】（1）解：由该公式可得，
故
（2）解：结论：，
证明如下：
令，
令，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
即证得，即.
（3）解：由（2）可得当时，，且由得，
当且仅当时取等号，故当时，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得