大题05 导数（精选30题）-【三轮冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）

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1．（2024·安徽·二模）已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值.
【答案】(1)；
(2)递增区间为，递减区间为，极大值，极小值.
【分析】（1）求出函数的导数，赋值求得，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由（1）的信息，求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值.
【详解】（1）函数，求导得，
则，解得，于是，，
所以所求切线方程为：，即.
（2）由（1）知，函数，定义域为，
求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
极大值，极小值.
2．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程；
（2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可．
【详解】（1）当时，，则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即．
（2），令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，则，符合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，．
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性.
(2)若使得，求参数的取值范围.
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
【分析】（1）对求导数，然后分类讨论即可；
（2）直接对和分类讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由，知.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，对有，
对有，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）的结论，知在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意的都有，
故恒成立，这表明此时条件不满足；
当时，设，由于，，
故由零点存在定理，知一定存在，使得，
故，从而，这表明此时条件满足.
综上，的取值范围是.
4．（2024·福建漳州·一模）已知函数，且．
(1)证明：曲线在点处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用导数的几何意义求得在处的切线方程，从而得证；
（2）分类讨论与，利用导数与函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
则，，
所以在处的切线方程为:，
当时，，故，
所以曲线在点处切线的方程过坐标原点.
（2）由（1）得，
当时，，则，故单调递减；
当时，令则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
5．（2024·山东·二模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)的减区间为，增区间为
(2)
【分析】（1）当时，，求导得，令，求确定的单调性与取值，从而确定的零点，得函数的单调区间；
（2）求，确定函数的单调性，从而确定函数的最值，即可得的取值范围．
【详解】（1）当时，，
则，
设，则恒成立，又，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的减区间为，增区间为；
（2），
设，则，所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
所以，即，
设，易知单调递增，且，
所以，解得，
综上，.
6．（2024·山东·一模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求a的取值范围．
【答案】(1)增区间，减区间
(2)
【分析】（1）将代入求导，然后确定单调性即可；
（2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．
【详解】（1）当时，，，
则，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2），
所以，
设，令，由于有两个极值点，
所以，解得．
由，，
得
，
即，令，
则，
所以在上单调递减，且，
所以，故a的取值范围是．
7．（2024·湖北·二模）求解下列问题，
(1)若恒成立，求实数k的最小值；
(2)已知a，b为正实数，，求函数的极值．
【答案】(1)1
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，然后分和讨论，确定单调性，进而得最值；
（2）先发现，当时，，当，时，取，，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.
【详解】（1）记，则需使恒成立，
，
当时，恒成立，则在上单调递减，
且在时，，不符合题意，舍去；
当时．令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要使恒成立，只要即可，
解得，所以k的最小值为1；
（2），，，，易知，
当时，，此时函数无极值；
当，时，，
取，，，，，，，
则，当时，由得，由（1）知，
当时，，
因为，所以，所以，即，当时，，
所以，则，所以，
即在上单调递增，在单调递减．
所以函数，，，
当时，同理有，
由得，即在上单调递增，在上单调递减．
所以函数，，，
综上可知，当时，函数没有极值；当时，函数有唯一的极大值，其中，没有极小值．
【点睛】关键点点睛：取，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数．
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求的最大值．
【答案】(1)极小值为，极大值为；
(2)3.
【分析】（1）判断函数为奇函数，利用导数求出在区间上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.
（2）利用导数证明当时，恒成立，当时，等价变形不等式并构造函数，利用导数并按导数为负为正确定的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.
【详解】（1）函数，，
即函数为奇函数，其图象关于原点对称，
当时，，求导得：
，
由于，由，得，解得，
由，得，解得，即在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在上有极小值，
从而在上的极小值为，极大值为.
（2）当时，恒成立，即恒成立，亦即恒成立，
令，求导得，
则函数在上为增函数，有，因此恒成立；
当时，恒成立，即不等式恒成立，
令，求导得：
令，求导得则
，
由，得，
当时，即时，，则函数在上单调递减，
则有，即，因此函数在上单调递减，有，即，
当时，即时，存在一个，使得，
且当时，，即在上单调递增，且，
则，于是在上单调递增，因此，即，与矛盾，
所以的最大值为3.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
9．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，，
(1)若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；
(2)记，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导可得，再分与两种情况分析原函数的单调性，当时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定的值；
（2）由（1）问的结论可知，，再累加结合放缩方法证明即可.
【详解】（1）的定义域为，且；
，因此；
i.时，，则此时令有，令有，
则在上单调递增，上单调递减，又，
于是，此时令，有，不符合题意；
ii.时，有零点0和，
若，即，此时令有，在上单调递减，
又，则，令，，有，不符合题意；
若，即，此时令有，在上单调递减，
又，则，令，有，不符合题意；
若，即，此时，在上单调递增，又，
则时，时；则时，也即对，，
综上，
（2）证：由（1）问的结论可知，时，；
且时，；
则时，，令，有，
即，
于是
将上述n个式子相加，；
欲证，只需证，只需证；
因为，
所以，得证：
于是得证.
【点睛】方法点睛：
（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；
（2）对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.
10．（2024·湖南·一模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)时；
（ⅰ）若，求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)
(2)
（ⅰ）（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）令时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.
（2）（ⅰ）设由得，再证明此时满足.
（ⅱ）根据（ⅰ）结论判断出在上单调递增，即
【详解】（1）当时，
所以切线方程为：即
（2）（ⅰ）
即，
设
又是的一个必要条件，即
下证时，满足
又，
设在上单调递减，
所以，
又即在单调递增.
时，；
下面证明时不满足，
，
令，
则，
，
∴在为增函数，
令满足，
则，
又∴,使得，
当时，，
∴此时在为减函数，
当时，，
∴时，不满足恒成立.
综上.
（ⅱ）设
由（ⅰ）知，
在上单调递增，即
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，讨论曲线与曲线的交点个数．
【答案】(1)；
(2)2．
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，
（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.
【详解】（1）依题意，，故，
而，故所求切线方程为，即．
（2）令，故，
令，
，令，
．
①当时，，
在上为减函数，即在上为减函数，
又，
在上有唯一的零点，设为，即．
在上为增函数，在上为减函数．
又
，
在上有且只有一个零点，在上无零点；
②当时，单调递减，
又，
在内恰有一零点；
③当时，为增函数，
，
单调递增，又，所以存在唯一，
当时，递减；当时，递增，，
在内无零点．综上所述，曲线与曲线的交点个数为2．
【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
12．（2024·广东佛山·二模）已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；
（2）借助换元法，令，，，可得、是方程的两个正根，借助韦达定理可得，，即可用、表示，进而用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.
【详解】（1）当时，，
，
则当，即时，，
当，即时，，
故的单调递减区间为、，单调递增区间为；
（2），令，即，
令，，则、是方程的两个正根，
则，即，
有，，即，
则
，
要证，即证，
令，
则，
令，则，
则在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，
又，则，故，
即，即.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，，，从而可结合韦达定理得、的关系，即可用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.
13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；
（2）把原函数有两个零点转化为在上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.
【详解】（1）当时，R），所以，
令，则，
所以，
所以的极小值为，无极大值.
（2）函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在上仅有两个零点，
易知，因为，所以.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，
所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
因为在上有两个零点，所以，所以.
因为，
令，则，
所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，
即当时，在上仅有两个零点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：
（1）确定的定义域.
（2）计算导数.
（3）求出的根.
（4）用的根将的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.，则在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；，则在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.
如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
14．（2024·江苏南通·二模）已知函数，，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若且恒成立，求的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2).
【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得；
（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】（1）（），
当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；
当时，，；，，
从而在上递增，在递减；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使.
，
由于，，所以恒成立，
当时，，当时，，
所以，解得：，
所以的最小值为.
15．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；
（2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明.
【详解】（1）由题意可得：的定义域为，，
当时，则在上恒成立，
可知在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）构建，
则，
由可知，
构建，
因为在上单调递增，则在上单调递增，
且，
可知在上存在唯一零点，
当，则，即；
当，则，即；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，
又因为，则，，
可得，
即，所以.
16．（2024·福建·模拟预测）已知函数在处的切线在轴上的截距为．
(1)求的值；
(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助函数与方程的关系，可将有且仅有两个零点转化为方程有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.
【详解】（1），，，
则函数在处的切线为：，
即，令，则有，即；
（2）由，即，
若有且仅有两个零点，则方程有两个根，
即方程有两个根，
令，则，
则当时，，则当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
又时，，时，，
故当时，方程有两个根，即有且仅有两个零点.
17．（2024·浙江杭州·二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
【答案】(1)答案见解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况，分别求出函数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
且，
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，令，即，解得，，
因为，所以，则，
所以当时，
当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减；
当时，此时，
所以时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时在单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知．
（ⅱ）由（1）在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，所以，则，
又，
又，
所以在上没有零点，
又，则，则，，
则，
所以，所以在上存在一个零点，
综上可得函数有且只有一个零点．
18．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）利用导数分类讨论判断函数的单调性，即可求解；
（2）先利用导数证明不等式，分离变量可得恒成立，进而，即可求解.
【详解】（1）函数，的定义域为，且．
当时，，恒成立，此时在区间上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）设，则，
在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，
所以，所以（当且仅当时等号成立）．
依题意，，恒成立，即恒成立，
而，
当且仅当时等号成立．
因为函数在上单调递增，，，
所以存在，使得成立．
所以，即a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
19．（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；
（2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.
【详解】（1）由题可得
因为，所以，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意得，斜率
，
,
由得，
，即，即
令，不妨设，则，
记
所以，所以在上是增函数，所以，
所以方程无解，则满足条件的两点不存在.
20．（2024·广东深圳·二模）已知函数，是的导函数，且．
(1)若曲线在处的切线为，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导可得的值，再由导数意义可求切线，得到答案；
（2）设函数，利用导数研究函数的单调性从而求出最小值大于0，可得证.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以．
则曲线在点处的切线斜率为．
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即得，．
（2）设函数，，
则，
设，则，
所以，当时，，单调递增．
又因为，
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减．
又当时，，
综上在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
即，
所以，当时，．
21．（2024·辽宁·二模）已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；
（2）构造函数，将问题转化为恒成立；求导后，分别在、和的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.
【详解】（1），，
在处的切线为，，
解得：，.
（2）由得：，
令，则当时，恒成立；
；
①当时，，，，
在上单调递减，，不合题意；
②当时，，
i.当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，符合题意；
ii.当，即时，
若，则，在上单调递减，
此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
22．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间和极值；
(3)若对任意，有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的单调递减区间为：；递增区间为：，
的极大值为，无极小值
(3)
【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可.
（2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可.
（3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可.
【详解】（1）当时，，
则，，，
所以切线方程为．
（2）当时，，．
令，，
故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点
即：0是在R上的唯一零点
当x变化时，，的变化情况如下表：
的单调递减区间为：；递增区间为：
的极大值为，无极小值
（3）由题意知，即，即，
设，则，
令，解得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，
所以
23．（2024·安徽合肥·二模）已知曲线在点处的切线为．
(1)求直线的方程；
(2)证明：除点外，曲线在直线的下方；
(3)设，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义写出切线方程；
（2）令，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以，当且仅当等号成立，得到证明；
（3）求导得到的单调性，结合函数图象得到，不妨令，结合曲线在点的切线方程为，得到，转化为证明，又，只要证，令，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案.
【详解】（1）因为，
所以，
所以直线的方程为：，即
（2）令，则，
令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以除切点之外，曲线在直线的下方．
（3）由，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
当时，．
因为，则，不妨令．
因为曲线在点的切线方程为，
设点在切线上，有，故，

由（1）知时，，
则，即，
要证：，
只要证：，
只要证：，
又，
只要证：，
令，
则，
易证在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，所以成立，
所以原命题成立．
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到，且，从而只需证明，再勾股函数进行求解.
24．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在正数，使成立，求的取值范围；
(3)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立.
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）计算，然后分类讨论即可得到单调性；
（2）对和两种情况分别讨论，即可得到取值范围是；
（3）首先证明单调递减，即得唯一性；然后求导证明对任意的，都有；而对任意的，都有. 再利用该结论证明，从而得到存在性. 最后综合两方面即证得结论.
【详解】（1）对求导得.
当时，对有，故在上单调递增；
当时，有，而当时，，故当时，当时，从而在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）若，由于，故存在正数使得，条件满足；
若，则由（1）的结论，知在上单调递增，在上单调递减，从而此时对任意的都有，条件不满足.
综上，的取值范围是.
（3）设，，我们分唯一性和存在性两方面来证明.
唯一性：由，知的导数等于，而，故显然恒为负，从而在上单调递减.
特别地，在上单调递减.
这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证.
存在性：我们先考虑函数，这里. 由于，故当时，当时，从而在上单调递减，在上单调递增，从而对于任意的，都有，即.
这就得到，对任意，有.
从而，对任意的，都有；而对任意的，都有.
然后回到原题，首先我们有
.
同时我们又有
，，
故.
由零点存在定理，知一定存在，使得.
综合上述的存在性和唯一性两个方面，知存在唯一的，使得.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，对于存在唯一性的证明，将唯一性和存在性分开论证，则证明的逻辑会更加清晰，不易出现错误.
25．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
(1)若过点的直线与曲线切于点，求的值；
(2)若有唯一零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求，得到切点，再求导，求出得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，再由切线过点，可求的值.
（2）根据参数的不同取值范围，讨论函数的单调性，求出函数的极值，结合当趋近于0时，函数值的符号，又函数只有一个零点，就可以确定的取值范围.
【详解】（1）由题可得，，．
有，解得．
（2）因为，
令，，，
，，
由，所以在上递减，在上递增..
所以，当时，
（ⅰ）当时，，，
由.
所以在上递减，在上递增，当时，，，
当时，，所以有1个零点．
（ⅱ）当时，由，所以在上递减，在上递增，，
①若，有唯一零点.
②若，，当时，，
当时，，所以有2个零点，不合题意；
③若，，无零点，
（ⅲ）当时，设满足，
①若，在上大于等于0，故有单调递增，
，故有唯一零点；
②若，在递增，在递减，在递增，
，有唯一零点；
③若，在递增，在递减，在递增，，有唯一零点；
综上，若有唯一零点，a的取值范围是或.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
26．（2024·江苏南通·模拟预测）设函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由；
(3)求证：对任意的正数，都存在实数，满足：对任意的，.
【答案】(1)减区间，增区间
(2)在内有一个极值点
(3)证明见解析
【分析】（1）求解，利用，，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间．
（2），其中，再次构造函数令，分析的零点情况．，令，，列表分析得出单调性，判断，由，可判断的零点个数，即可判断的极值点个数．
（3）先猜想，恒成立．再运用导数判断证明．令，．，求解最大值，得出即可．
【详解】（1）当时，，，
令，，列表分析
故的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2），，其中，
令，，令，，
列表分析：
，
而，，，
若，则，，，
因此在上有一个零点，所以在内有一个极值点；
（3）猜想：，恒成立．
证明如下：
由（2）得在上单调递增，且，．
因为当时，，
所以．
故在上存在唯一的零点，设为．由
知，，，
又，而时，，
所以（1）．
即，．
所以对任意的正数，都存在实数，使对任意的，使．
补充证明
令，．，
所以在上单调递增．
所以时，，即．
补充证明
令，．，
所以在上单调递减．
所以时，，即．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是先猜想，恒成立，再运用导数判断证明，对于存在性问题，找到一个可存在的情况进行证明.
27．（2024·河北保定·二模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，试讨论的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求得的导数，可得切线斜率和切点，从而求得切线方程；
（2）由为奇函数，将问题转化为讨论在上的零点，求得导数，讨论，，和，求得的单调性、极值和最值，结合零点存在定理，即可得到零点个数.
【详解】（1）当时，，.
，.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）因为，所以为奇函数.
又因为，所以只需要讨论在上的零点.
，.
令函数，
①当，即时，分段讨论：
当时，.
当时，，所以在上单调递减，即在上单调递减
因为，，所以存在，使得.
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
因为，，所以在上有1个零点，
在上有3个零点.
②当，即时，，在上单调递减，
所以在上没有零点，在上有1个零点.
③当，即时，分段讨论：
当时，.
当时，，所以在上单调递增，即在上单调递增.
因为，，所以存在，使得.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
所以在上没有零点，在上有1个零点.
④当，即时，分段讨论：
当时，.
当时，令函数，
.
所以在上单调递增，即在上单调递增.
因为，，所以存在，使得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以存在，使得.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
所以在上没有零点，在上有1个零点.
综上，当时，在上有3个零点；
当时，在上有1个零点.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
28．（2024·河北·二模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)若函数的图象上任意一点关于直线的对称点都在函数的图象上，且存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程,进而求得与轴的交点与轴的交点，计算可得结果；
（2）根据对称性求函数的解析式，将问题转化为存在，使成立，构造函数，转化为函数的最值问题并求解.
【详解】（1）由，得，
所以切线的斜率.
所以切线的方程为，即.
令，得，令，得，所以切线与轴交于点，与轴交于点，
所以切线与坐标轴围成的三角形的周长为.
（2）设，则，
由题意知在的图象上，
所以，所以.
由，
得，即，
因为存在，使成立，所以存在，使成立，
设，则，又，当且仅当时等号成立，
所以单调递增，
所以当时，，
可得，即实数的取值范围是
29．（2024·河北邯郸·二模）已知函数．
(1)是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知是的零点，是的零点．
①证明：，
②证明：．
【答案】(1)存在，且
(2)①证明见解析 ②证明见解析
【分析】（1）结合导数与函数单调性的关系，分与进行讨论即可得；
（2）①利用导数得到的单调性后，借助零点的存在性定理可得，解出即可得；②构造函数，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得从而得到，，从而可得，结合的范围即可得解.
【详解】（1）由题意得，
当时，，所以和在上都单调递增，符合题意；
当时，若和在上的单调区间相同，
则和有相同的极值点，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以无解，
综上，当时，和在上的单调区间相同；
（2）①由题意，有两个零点，，
若，则，所以在上单调递增，不符合题意，
若，则当时，单调递减，
当时，单调递增，
且当时，，当时，，
所以，解得，得证；
②令，得，即，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
在同一坐标平面内作出函数与函数的图象，
它们有公共点，如图，
故，且有，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，
故.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数，结合导数得到函数的单调性，从而得到.
30．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)当时，，求的最大值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求定义域，作商法结合基本不等式比较出；
（2）对求导，变形后，构造，求导，再构造，求导得到单调性，结合得到的单调性和极值，最值情况，求出答案；
（3）令，当时，由于恒成立，故无解，当时，，令，，求导得到函数单调性，又趋向于0时，趋向于2，故，从而得到，得到答案.
【详解】（1）定义域为，
当时，，，
由于，
令，
当且仅当，即时，等号成立，
又，故；
（2）当时，，
，
设，则，
令，
，
故在上单调递增，
又，故当时，，即，
即，故，所以，
则在恒成立，
当时，同理可得，则在上恒成立，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
故，所以的最大值为；
（3），令，
当时，，由于恒成立，故无解，舍去；
当时，，
令，，
，
下面证明,，
令，，则，，其中，
令，，则，，其中，
令，，则，，
当时，，故在上单调递增，
故，故在上单调递增，
故，故在上单调递增，
故，即,，
则，，
则，
，
由于，而，故，
则，故在上单调递增，
又趋向于0时，趋向于2，故，
故令，解得，此时有解，故存在零点，
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
x
0
0
极大值
1
0
单调递减
单调递增

0
单调递减
单调递增
0
单调递减
单调递增