2024莆田一中高二下学期期中考试数学试题

这是一份2024莆田一中高二下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A.B.1C.2D.4
2.已知的展开式中各项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，若，则展开式中的常数项为（ ）
A.180B.60C.280D.240
3.函数的图象大致是（ ）
A.B.
C.D.
4.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ）
A.B.C.D.
5.已知6位学生在游乐场游玩A，B，C三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A.180种B.210种C.240种D.360种
6.双曲线的左、右焦点分别为，，过作轴垂线交双曲线于A，B两点，为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
7.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A.B.C.2D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.对于事件A，B，若，且，，则
B.若随机变量，，则
C.相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强
D.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好
10.已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A.B.
C.的值是中最大的D.使成立的最大正整数数的值为198
11.对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，则称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（）
A.函数有1个不动点
B.函数有2个不动点
C.若定义域为的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D.若在区间上存在不动点，则实数满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设等差数列的前项和为，，则__________.
13.设函数（为实数），若在上单调递减，实数的取值范围__________.
14.如图所示，在椭圆中，为其两焦点，过两焦点作直线，，连接各边，若图中阴影部分面积与的面积之比为2：3，则直线AB的斜率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
16.（15分）某市春节期间7家超市的广告费支出（万元）和销售额（万元）数据如下：
（1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；
（2）用二次函数回归模型拟合与的关系，可得回归方程：，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的相关指数分别约为0.93和0.75，请用说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测超市应支出多少万元广告费，能获得最大的销售额？（精确到个位数）
参数数据及公式：，，，，.
17.（15分）某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种.
方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分；
若甲乙两位老师参加比赛，已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.
假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立.
（1）求甲得分不低于2分的概率；
（2）求乙得分的分布列及期望；
（3）求甲胜出的概率.
18.（17分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若，，求实数的取值范围.
19.（17分）已知点P、A、B是抛物线上的点，且.
（1）若点的坐标为，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由.
（2）若，求面积的最小值.
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告费支出
1
2
4
6
11
13
19
销售额
19
32
40
44
52
53
54
莆田一中2023-2024学年度下学期第一学段考试试卷答案
一、单选题
1~8CDDBCCAB
二、多选题
9.AC10.ABD11.ACD
三、填空题
12.2613.14.
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.解：（l）设等比数列的公比为，则，
由，，成等差数列，可得，即，
又，所以，即，解得或（舍），
所以；
（2）由（1）可得，所以，
所以.
16.解：（1）由题意，，，，，
，，
与的线性回归方程是；
（2），二次函数回归模型比线性回归模型好.
在中，令.
超市要获得最大的销售额，应支出广告费约15万元.
17.解：（1）设甲选择方式一参加比赛得分为，
，，
设甲得分不低于2分为事件，则；
（2）设乙选择方式二参加比赛得分为Y，Y的可能取值为0，2，4，6，
，，
，，
所以Y的分布列为：
所以；
（3）甲获胜的概率为，
18.解：（1），
，
，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得（舍去），；
当，，在上单调递减；
，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（2）知当时，设，
所以，即；
法一：令，，
令，，
当，，所以在单调递减，
，，所以在单调递增；
所以，所以，
所以在单调递增，而，
所以当时，，即；
法二：，即，
因为，所以，所以，令，
，所以在单调递增，
而，所以当时，，即.
19.（1）解：设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合题意.
设直线的方程为，设点、，则且，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，同理，
，
所以，，可得，
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，记线段的中点为点.
①当时，则A、B关于轴对称，此时线段的垂线为轴，因为，则点为坐标原点，又因为，则为等腰直角三角形，
则的两腰所在直线的方程为，联立，解得或，
此时，，；
②当时，，，即点，
因为，则，
设点，其中且，，，
由已知可得
，
所以，，则，
直线的斜率为，可得，
所以，，当时，等式不成立，
所以，且，
所以，，则，
所以，，
故.
综上所述，.因此，面积的最小值为16.
Y
0
2
4
6
P