安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第七章~第八章第3节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列空间几何体中可能是棱台的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆台、棱台、棱柱、圆柱的结构特征逐项判断即可.
【详解】根据空间几何体的几何特征知：选项A是圆台，选项B可能是棱台，选项C是棱柱，选项D是圆柱.
故选：.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘方法则计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：.
3. 下列说法中错误的是（ ）
A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
【答案】C
【解析】
【分析】由棱台圆台和旋转体的结构特征，圆柱母线的定义，对选项进行判断.
【详解】由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确；
由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确；
直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，
是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误；
在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，
只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确.
故选：C
4. 在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（ ）
A. 204B. 200C. 196D. 192
【答案】D
【解析】
【分析】连接，，利用勾股定理求出，再根据长方体表面积公式计算可得.
【详解】如图，在长方体中，连接，，
因为，，，
所以，
所以，
所以该长方体的表面积
.
故选：D.
5. 若复数，为实数，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到，解得即可.
【详解】因为，
又为实数，，.
故选：A.
6. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，作出的直观图，再计算面积得解.
【详解】依题意，四边形是平行四边形，，
如图，是直观图，，
所以四边形的直观图面积为.
故选：D
7. 如图，直三棱柱的体积为，点，分别在侧棱和上，，则四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】组合几何体的面积、体积问题．
【详解】设
（为中边上的高），，
.
故选：.
8. 在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，设和的外接圆的圆心，分别在，上，过，分别作两个半平面的垂线，交于，可得为三棱锥的外接球的球心，且可得，由等边三角形的边长为2，可得，及的值，进而求出外接球的半径的值，再求出外接球的表面积．
【详解】由题意如图所示：设为的中点，连接，设，分别为，的外接圆的圆心，
过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心，
连接，，则为外接球半径，
由与均为边长为2的等边三角形，则
又，则由余弦定理可得，所以，，
因为，分别为，的外接圆的圆心，所以，，
可得，可得，而，所以，
在中：，
所以外接球的表面积，
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为
B. 是纯虚数
C. 的模是
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确；
对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.
故选：AC.
10. 如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上，且，动点在棱上，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A. 的面积与点，的位置无关
B. 三棱锥的体积与点的位置有关
C. 三棱锥的体积与点，，的位置都有关
D. 三棱锥的体积与点，，的位置均无关，是定值
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A：根据平行、垂直关系分析可知为矩形，即可得的面积，即可得判断正误；对于BCD：根据题意利用转换顶点法求三棱锥的体积，即可得判断正误.
详解】连接，
对于选项A：因为∥，且，可知为平行四边形，
且平面，平面，则，可知为矩形，
所以的面积，
即的面积为定值，与点，的位置无关，故A正确；
对于选项BCD：因为平面，且平面∥平面，
可知三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积，
即三棱锥的体积为定值，与点，，的位置均无关，故D正确，BC错误；
故选：.
11. 如图所示，在复平面内，向量对应的复数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先由复数的几何意义求得，再结合复数的相关运算逐一判断即可
【详解】对于A：由题意可得，故A正确；
对于B：，，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知x、，若，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据相等复数的概念列出方程组，解之即可求解.
【详解】由题意，得，
所以.
故答案为：2.
13. 一个长方体的长、宽、高分别为9，8，3，若在上面钻一个高为3的贯穿上下表面的圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，可知圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，然后列出等式即可求解．
【详解】解：正方体被钻掉一个圆柱形孔后，正方体的表面积减少了两个圆柱的底面积大小，同时又增加了圆柱的侧面积，
∵在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，
设圆柱的底面半径为r，则2πr2＝2πr•3，即r＝3，
故答案为：3．
14. 已知，是方程的两根，则______，______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】首先求出方程的两根，，再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得.
【详解】因为，是方程的两根，又，
即或，
不妨令，
所以；
又，所以.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）当m为何值时，z为纯虚数?
（2）当时，求．
【答案】（1）或．
（2）90.
【解析】
【分析】（1）先化简复数z，再利用复数的相关概念求解；
（2）先求得复数z和其共轭复数，再利用复数的乘法求解.
【小问1详解】
解：由已知得，
若z为纯虚数，则解得或．
【小问2详解】
当时，，，
所以．
16. 如图，已知在正四棱锥中，，.

（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）84 （2）
【解析】
【分析】（1）根据表面积公式即可求解，
（2）根据体积公式即可求解.
【小问1详解】
连接相交于，连接
过点作于点，连接，则是斜高，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
．
所以正四棱锥的表面积为84．
【小问2详解】
，
所以正四棱锥的体积为；
17. 已知复数是实数.
（1）求复数；
（2）若复数是关于的方程的根求实数和的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由为实数，结合复数的除法运算，化简列方程求m，写出复数；
（2）由方程根的性质，得，列方程组求实数和的值.
【详解】（1）∵，
∴，
又实数，得，解得，
∴.
（2）∵是的根，
∴，即，得，
∴.
18. 已知一圆锥的母线长为10，底面圆半径为6.
（1）求圆锥的高；
（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.
【答案】（1）8（2）
【解析】
【分析】(1)圆锥的母线长、底面圆半径以及圆锥的高满足勾股定理，由题意即可求出结果;
(2)先设圆锥内切球半径为,由题意可得，求出,再由球的表面积公式即可得出结果.
【详解】（1）据题意知，圆锥的高
（2）据（1）求解知，圆锥的高为，
设圆锥内切球的半径为，
三角形在，由勾股定理可得，
所以
所以所求球的表面积.
【点睛】本题主要考查简单几何体的计算公式，属于基础题型.
19. 如图，在中，，，，将绕轴旋转一周形成了一个旋转体.
（1）求这个旋转体的体积；
（2）求这个旋转体的表面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积计算旋转体的体积（2）利用圆锥的表面积计算旋转体的表面积；
【小问1详解】
绕轴旋转一周，形成的几何体（一个大圆锥挖去一个小圆锥余下的部分）
如图所示.在中，，，，
.
设旋转体的底面面积为，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为和，则旋转体的体积
.
【小问2详解】
由（1）得旋转体的表面积
.