人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题01平行线的判定与性质重难点题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题01平行线的判定与性质重难点题型专训(原卷版+解析)，共95页。
题型一 平行公理的应用
题型二 “三线八角”判定直线平行
题型三 平行线判定的综合
题型四 平行线性质的综合
题型五 根据平行线的性质求角度
题型六 平行线的性质在生活中的实际应用
题型七 平行线的判定与性质综合（折叠问题）
题型八 平行线的判定与性质综合（旋转问题）
【经典例题一 平行公理的应用】
【例1】（2021春·湖北鄂州·七年级统考期中）对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个论断：
①a∥b；②b∥c；③a∥c；④a⊥b；⑤a⊥c．
以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论，组成一个你认为不正确的命题是( )
A．已知①②则③B．已知②⑤则④C．已知②④则③D．已知④⑤则②
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·七年级专题练习）下列说法中是真命题正确的个数有（ ）个
（1）若ab，bd，则ad；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2020春·黑龙江牡丹江·七年级校考期中）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）三条直线两两相交，有三个交点；
（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．
其中正确的有________个
【变式3】（2021春·七年级课时练习）探索与发现：
(1)若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是__________，请说明理由．
(2)若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是________．(直接填结论，不需要证明)
(3)现在有2 011条直线a1，a2，a3，…，a2 011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2 011的位置关系．
【经典例题二 “三线八角”判定直线平行】
知识点：同位角、内错角和同旁内角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【例2】（2022春·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【变式3】（2022春·北京·七年级校考期中）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线，被直线所截，，那么”
如图2，
假设，过点作直线，使，
依据基本事实（1）___________，
可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实（2）___________矛盾
说明的假设是不对的，于是有．
【经典例题三 平行线判定的结合】
【例3】（2021春·山东淄博·八年级校考期中）如图，，C点在EF上，，BC平分，且．下列结论：
①AC平分；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
【变式1】（2021春·山东青岛·七年级青岛经济技术开发区第四中学校考阶段练习）如图，在四边形中，点在上，连接，下列说法正确的是（ ）.
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
【经典例题四 平行线性质的综合】
【例4】（2022春·浙江嘉兴·七年级校考期中）如图，AB//CD，∠1＝∠ABF，CE平分∠DCF，设∠ABE＝∠1，∠E＝∠2，∠F＝∠3，则∠1、∠2、∠3的数量关系是（ ）
A．∠1+2∠2+∠3＝360°B．2∠2+∠3—∠1＝360°
C．∠1+2∠2—∠3＝90°D．3∠1+∠2+∠3＝360°
【变式训练】
【变式1】（2022春·广西河池·七年级统考期末）如图，，点在的上方，连接，，是延长线上的一点，连接，已知，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022春·江西九江·七年级统考期末）为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯，图2是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个发射点，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为________．
【变式3】（2022秋·吉林长春·七年级统考期末）（1）【问题】如图1，若，，．则______；
（2）【问题归纳】如图1，若，请猜想，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？直接写出结论．
【经典例题五 根据平行线的性质求角度】
【例5】（2022春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，，设，，正确的选项是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式训练】
【变式1】（2022春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若，则______°；
（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）
【变式3】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）综合与实践
(1)问题情境：图中，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为______；（直接写出答案）
(2)问题迁移：图中，直线，为平面内一点，连接、．若，，试求的度数；
(3)问题拓展：图中，直线，则、、之间的数量关系为______．
【经典例题六 平行线的性质在生活中的实际应用】
【例6】（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐30°，第二次左拐150°
B．第一次左拐30°，第二次右拐30°
C．第一次左拐30°，第二次左拐150°
D．第一次右拐30°，第二次右拐30°
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【变式2】（2022春·云南昆明·七年级统考期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
【变式3】（2022春·江苏常州·七年级统考期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°．
(1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由．
【经典例题七 平行线的判定与性质综合（折叠问题）】
【例7】（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，则∠DAB+2∠ABC=（ ）度．
A．130B．131C．132D．133
【变式训练】
【变式1】（2022春·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ）
A．① ② ③ ④B．② ③ ④C．① ② ③D．① ②
【变式2】（2022春·福建福州·七年级校考期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=__________．（用含m的式子表示）
【变式3】（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
(1)试说明∠1＝∠2；
(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
【经典例题八 平行线的判定与性质综合（旋转问题）】
【例8】（2022秋·八年级课时练习）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒B．8.5秒C．1或8.5秒D．2或6秒
【变式2】（2022春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____．
【变式3】（2022春·北京·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：______；
(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
【培优检测】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．不相交的两条直线是平行线
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离
D．在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直．
2．在探究平行线的判定——基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行时，老师布置了这样的任务：
请同学们分组在学案上（如图），用直尺和三角尺画出过点P与直线AB平行的直线PQ；并思考直尺和三角尺在画图过程中所起的作用．
小菲和小明所在的小组是这样做的：他们选取直尺和含有45°角的三角尺，用平移三角尺的画图方法画出AB的平行线PQ，并将实际画图过程抽象出平面几何图形（如图）．
以下是小菲和小明所在小组关于直尺和三角尺作用的讨论：
①在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45°
②由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中QP为截线
③初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角
④在画图过程中，直尺可以由直线CD代替
⑤在“三线八角图”中，因为AB和CD是截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”
其中，正确的是（ ）
A．①②⑤B．①③④C．②④⑤D．③④⑤
3．如图，直线、与直线相交，给出下列条件：
①；②；③；④．能判断的是（ ）．
A．①②④B．①③④C．①②③④D．①③
4．将一副三角板顶点重合，三角板ABC绕点A顺时针转动的过程中，∠EAB度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边AB＝AE）（ ）
A．∠EAB＝30°B．∠EAB＝45°C．∠EAB＝60°D．∠EAB＝75°
5．如图所示，下列推理正确的选项是 （ ）
①若，则AB//CD
②若AD//BC，则 ∠A=∠，
③ 若AB//CD，则，
④若AB//CD，则∠A+∠4+∠1=180°
⑤若，则AD//BC
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．①④⑤
6．如图，，，,，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
9．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．①②③④
10．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒B．8.5秒C．1或8.5秒D．2或6秒
11．观察如图所示的长方体.
(1)用符号表示下列两棱的位置关系：AB___A′B′，AA′_____AB，D′A′_____D′C′，AD______BC．
(2) A′B′与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们_____平行线.（填“是”或“不是”）
12．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是_______.(只填序号)
13．如图所示，下列结论正确的有_____(把所有正确结论的序号都选上)
①若AB∥CD，则∠3＝∠4；
②若∠1＝∠BEG，则EF∥GH；
③若∠FGH+∠3＝180°，则EF∥GH；
④若AB∥CD，∠4＝62°，EG平分∠BEF，则∠1＝59°．
14．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
15．如图，直线分别与直线，相交于点，，且．点在直线，之间，连接，，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，则的度数为___________．
16．已知，平分，，，则___________．
17．如图已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）
18．已知，点、分别为、上的点，点、、为、内部的点，连接、、、、、，于，，，平分，平分，则（小于平角）的度数为______．
19．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上．
（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示）
20．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
21．（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
22．（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．
23．如图1，，直线外有一点，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，延长至点，连接，平分，平分，且与交于点，求与的数量关系；
(3)如图3，在2的条件下，，，连接，且，，求的度数．
24．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。
专题01 平行线的判定与性质重难点题型专训
【题型目录】
题型一 平行公理的应用
题型二 “三线八角”判定直线平行
题型三 平行线判定的综合
题型四 平行线性质的综合
题型五 根据平行线的性质求角度
题型六 平行线的性质在生活中的实际应用
题型七 平行线的判定与性质综合（折叠问题）
题型八 平行线的判定与性质综合（旋转问题）
【经典例题一 平行公理的应用】
【例1】（2021春·湖北鄂州·七年级统考期中）对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个论断：
①a∥b；②b∥c；③a∥c；④a⊥b；⑤a⊥c．
以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论，组成一个你认为不正确的命题是( )
A．已知①②则③B．已知②⑤则④C．已知②④则③D．已知④⑤则②
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理对每个命题仔细分析，判断其对错．
【详解】解：A．根据平行线的传递性，由①②可得到③，所以A为真命题；
B．根据平行线的性质和垂直的定义，由②⑤可得④，所以B为真命题；
C．根据平行线的性质和垂直的定义，由②④可得b⊥c，所以C为假命题；
D．根据平行线的判定，由④⑤可得②，所以D为真命题．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的叙述形式，利用了平行线的判定方法．
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·七年级专题练习）下列说法中是真命题正确的个数有（ ）个
（1）若ab，bd，则ad；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的定义与判定、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解．
【详解】（1）若ab，bd，则ad，故原说法正确；
（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
（3）在同一平面内，两条直线不相交就平行，故原说法错误；
（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行公理，平行线的性质定义，垂线的性质，关键是熟练掌握课本内容．
【变式2】（2020春·黑龙江牡丹江·七年级校考期中）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）三条直线两两相交，有三个交点；
（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．
其中正确的有________个
【答案】1
【分析】根据各小题的描述情况，判断各小题的正误，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
（2）∵平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（2）正确；
（3）∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故（3）不正确；
（4）∵三条直线两两相交，也可能是交于同一个点，故（4）不正确；
（5）∵若ab，bc，则ac，故（5）不正确，
正确的只有（2）一个选项，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考察了平面内直线的位置关系，平行公理的应用、直线相交交点个数问题，解题的关键在于画出题意所示的直线位置图，以此判断说法的正误．
【变式3】（2021春·七年级课时练习）探索与发现：
(1)若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是__________，请说明理由．
(2)若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是________．(直接填结论，不需要证明)
(3)现在有2 011条直线a1，a2，a3，…，a2 011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2 011的位置关系．
【答案】（1）a1⊥a3，理由详见解析；（2）a1∥a4；（3）a1⊥a2 011.
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得出相等的角，再根据垂直的定义解答；
（2）根据（1）中结论即可判定垂直；
（3）根据规律发现，与脚码是偶数的直线互相平行，与脚码是奇数的直线互相垂直，根据此规律即可判断．
【详解】（1）a1⊥a3．
理由如下：如图1，∵a1⊥a2，
∴∠1=90°，
∵a2∥a3，
∴∠2=∠1=90°，
∴a1⊥a3；
（2）同（1）的解法，如图2，直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4；
（3）直线a1与a3的位置关系是：a1⊥a2⊥a3，
直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4∥a5，
以四次为一个循环，⊥，⊥，∥，∥以此类推，a1∥a2009，a1⊥a2010，所以直线a1与a2011的位置关系是：a1⊥a2011．
【点睛】本题考查了平行公理的推导，作出图形更有利于规律的发现以及规律的推导．
【经典例题二 “三线八角”判定直线平行】
知识点：同位角、内错角和同旁内角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【例2】（2022春·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.
【详解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵，
∴
∠E=60，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故②正确；
∵，
∴，
∵,
∴∠3=∠B,
∴,故③正确；
∵，
∴∠CFE=∠C，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E=,
∴∠2=90-∠1=，故④正确，
故选：D.
【点睛】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3】（2022春·北京·七年级校考期中）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线，被直线所截，，那么”
如图2，
假设，过点作直线，使，
依据基本事实（1）___________，
可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实（2）___________矛盾
说明的假设是不对的，于是有．
【答案】 同位角相等，两直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行线的判定定理和平行公理解答即可．
【详解】解：假设，过点作直线，使，
依据基本事实同位角相等，两直线平行，
可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【点睛】本题考查的是反证法，熟记平行线的判定定理和平行公理是解题的关键．
【经典例题三 平行线判定的结合】
【例3】（2021春·山东淄博·八年级校考期中）如图，，C点在EF上，，BC平分，且．下列结论：
①AC平分；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平行线的性质及角度的计算，等腰三角形的性质即可进行一一求解判断.
【详解】根据， BC平分，且可得∠1+∠BCD=90°，∠BCD=∠DCF，
又∠DCF+∠ECD=180°，∴∠1=∠ECD，故AC平分，①正确；
∵AC平分，∴∠1=∠ECA,∵
∴∠1，∴，②正确；
∵EF∥AB，∴∠FCB=∠B，∴∠B=∠DCB，
∵∠1+∠DCB=90°，∴，③正确；
∵EF∥AB，∴∠ECA=∠CAD，∵∠1=∠ECA
∴∠1=∠CAD
∵∠CDB是△ACD的一个外角，∴∠CAD=∠1+∠CAD=2∠1，④正确；
故选D
【点睛】此题主要考查平行线的角度计算，解题的关键是根据图像的特点进行求解.
【变式训练】
【变式1】（2021春·山东青岛·七年级青岛经济技术开发区第四中学校考阶段练习）如图，在四边形中，点在上，连接，下列说法正确的是（ ）.
A．因为，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以
【答案】C
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.观察各个选项中角的数量关系（相等或互补）、位置关系是否符合上述三个定理，即可判断所给选项是否正确.
【详解】A. 因为和是同旁内角，所以根据不能得到，故A选项错误；
B. 因为和不是同位角也不是内错角，所以根据不能得到，故B选项错误；
C. 因为和是同旁内角，所以根据可以得到，故本选项正确；
D. 和虽然是同位角，但根据只可以得出，故本选项错误.
故本题选C.
【点睛】本题考查平行线的判定定理，在这里①判断两条直线是否平行，是根据角的数量关系（相等或互补）和位置关系去判定的，只有同时满足两种关系，才可根据定理判断平行；②完整的定理前面有一句两直线被第三条直线所截，找准截线和被截线很关键（例如D选项和是同位角，它们的被截线是AB和DE）.
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
【答案】2或14或50或110
【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，
解得：t=2；
当时，，
解得：t=14；
当时，木棒a停止运动，
当时，，
解得：t=-10；（不合题意，舍去）
当时，或，
解得：t=50或t=110；
综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．
故答案为：2或14或50或110
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；
②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
故答案为垂；
（2）证明：平分，平分（已知），
，（角平分线的定义），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
（等式性质），
（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
【经典例题四 平行线性质的综合】
【例4】（2022春·浙江嘉兴·七年级校考期中）如图，AB//CD，∠1＝∠ABF，CE平分∠DCF，设∠ABE＝∠1，∠E＝∠2，∠F＝∠3，则∠1、∠2、∠3的数量关系是（ ）
A．∠1+2∠2+∠3＝360°B．2∠2+∠3—∠1＝360°
C．∠1+2∠2—∠3＝90°D．3∠1+∠2+∠3＝360°
【答案】A
【分析】过点E作，过点F作，根据题意得，，根据平行线的性质得，，
可得，，，，即可得，
，则，，得，即可得，进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作，
∵，CE平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
，，
∴，
，
即，，
∴，
∴
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点．
【变式训练】
【变式1】（2022春·广西河池·七年级统考期末）如图，，点在的上方，连接，，是延长线上的一点，连接，已知，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，可以计算出∠GCF和∠GCB的度数，然后即可计算出∠BCF的度数．
【详解】解：过点C作GCAB，如图所示：
∵ABED，
∴ABEDGC，
∴∠GCB＋∠ABC＝180°，∠GCF＋∠EFC＝180°，
∵∠CFD＝50°，∠ABC＝130°，
∴∠GCF＝130°，∠GCB＝50°，
∴∠BCF＝∠GCF−∠GCB＝130°−50°＝80°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式2】（2022春·江西九江·七年级统考期末）为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯，图2是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个发射点，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为________．
【答案】12
【分析】根据当时，，建立等式即可求解．
【详解】解：设旋转时间为秒后，，
由题意得：，
，
解得：，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，解题的关键是根据时，得出．
【变式3】（2022秋·吉林长春·七年级统考期末）（1）【问题】如图1，若，，．则______；
（2）【问题归纳】如图1，若，请猜想，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？直接写出结论．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）借助（1）的思路即可证明；
（3）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解．
【详解】（1）如图1，过点作，
∵，，
∴．
∴
又∵，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）猜想：，理由如下：
如图1，过点作，
∵，，
∴．
∴
又∵，
∴，
∴．
（3），
理由：如图2，过点作，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
【经典例题五 根据平行线的性质求角度】
【例5】（（2022春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，，设，，正确的选项是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】如图，利用平行线的判定和性质进行求解即可．
【详解】解：如图：的顶点分别为，延长交直线与点，
当，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，解得：，
∴；
A、无法求出∠2的度数，选项错误，不符合题意；
B、无法求出∠3的度数，选项错误，不符合题意；
C、，，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．
【详解】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵， ， ，
∴， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式2】（2022春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若，则______°；
（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）
【答案】 270
【分析】（1）过点M作MPAB，则ABCDMP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；
（2）过点N作NQAB，则ABCDNQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．
【详解】解：（1）过点M作MPAB，
∵ABCD，
∴ABCDMP，
∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，
∵∠M=∠1+∠2=90°，
∴∠MEB+∠MFD=90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，
∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．
故答案为：270；
（2）过点N作NQAB，
∵ABCD，
∴ABCDNQ，
∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，
∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，
∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，
∴∠ENF=∠EMF=n°．
故答案为：n°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．
【变式3】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）综合与实践
(1)问题情境：图中，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为______；（直接写出答案）
(2)问题迁移：图中，直线，为平面内一点，连接、．若，，试求的度数；
(3)问题拓展：图中，直线，则、、之间的数量关系为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】对于（1），作，通过平行线性质可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入，，即可求；
对于（2），作，根据平行线的性质可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°-150°=30°，即可求出的度数；
对于（3），作，则，根据平行线的性质可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF-∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
（1）
如图，过作，
∵AB//CD，

∴，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠PCE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：；
（2）
过点作，

∵∠A=50°，
∴∠APE=∠A=50°，
∵，
∴，
∴∠CDP+∠EPD=180°．
∵∠D=150°，
∴∠EPD=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；
（3）
∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
如图，过点作，则，

∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，
∵∠FPA=∠DPF-∠APD，
∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，
∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
故答案为：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【经典例题六 平行线的性质在生活中的实际应用】
【例6】（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐30°，第二次左拐150°
B．第一次左拐30°，第二次右拐30°
C．第一次左拐30°，第二次左拐150°
D．第一次右拐30°，第二次右拐30°
【答案】B
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．
【详解】解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1＝∠2．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质．注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等．
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．
【详解】
∵王村沿北偏东方向到李村
∴
∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西方向到张村
∴
∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为
故选：B．
【点睛】本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．
【变式2】（2022春·云南昆明·七年级统考期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
【答案】140°或40°
【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等．
【详解】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解．
【变式3】（2022春·江苏常州·七年级统考期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°．
(1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】(1)2秒或17秒
(2)不变，
【分析】（1）设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前；②在灯A射线转到AN之后．分别求得x的值即可．
（2）设灯A转动的时间为x秒，根据角的和差关系分别用含x的代数式表示出∠BAC和∠BCD，即可得到两角的数量关系．
(1)
设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，
①当0＜x＜12时，
15x＝(x＋4)×5，
解得x＝2；
②12＜x＜24时，
180−15(x−12)＝(4＋x)×5，
解得x＝17；
③24＜x＜32时，
15(x−24)＝(4＋x)×5，
解得x＝38，
38＞32，不符合题意，舍去．
综上所述，当A灯转动2秒或17秒时两灯的光束互相平行．
(2)
设灯A转动的时间为x秒，
则∠MAC＝15x，∠PBC＝5x．
∴∠CAN＝180°−15x，
∴∠BAC＝45°−（180°−15x）＝15x−135°，
∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠PBC＋∠CAN＝180°−10x．
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°−∠BCA＝10x−90°＝10（x−9°），
∵∠BAC＝15x−135°＝15（x−9°），
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
【点睛】本题考查了平行线的性质及角的和差关系，分类讨论是解题的关键．
【经典例题七 平行线的判定与性质综合（折叠问题）】
【例7】（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，则∠DAB+2∠ABC=（ ）度．
A．130B．131C．132D．133
【答案】B
【分析】将围巾展开，利用折叠的性质和平行线的性质推导即可．
【详解】解 ：如图，将围巾展开，
则∠ADM =∠ADF，∠KCB=∠BCN，
设∠ABC = x，则∠DAB=x+8°，
∵CDAB，
∴∠ADM=∠DAB=∠ADF=x+8°，
∵DFCG，
∴∠FDC=∠KCG=2x，
∵∠FDC + ∠FDM = 180°，
即2x +2（x+ 8°） = 180°，
解得 x=41°，
∴∠DAB+2∠ABC=（x+ 8°）+2x= 131°．
故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，根据∠FDC + ∠FDM = 180°列方程是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ）
A．① ② ③ ④B．② ③ ④C．① ② ③D．① ②
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，进而可得，即可判断① ③ ；再利用平行线的性质可得、的度数，即可判断② ；再根据折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，即可判断④
【详解】解：∵ 四边形ABCD是长方形
∴
由折叠的性质可得
故 ① 正确
故 ③ 正确
故 ② 正确
又
由折叠的性质可得：
故 ④ 正确
故选：A
【点睛】本题主要考查平行线的性质和折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质．
【变式2】（2022春·福建福州·七年级校考期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=__________．（用含m的式子表示）
【答案】
【分析】设∠CDE=x，∠DCE=y，由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行线性质可得∠ADF=180°-m，则∠ADC=180°-m+2x，由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度数．
【详解】解：设∠CDE=x，∠DCE=y，
由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，
∵∠BFD=m，ADBC，
∴∠BFD+∠ADF=180°，
∴∠ADF=180°-m，
∴∠ADC=180°-m+2x，
由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，
∴∠ODE=∠CDO-∠CDE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质及角的有关计算，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
【变式3】（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
(1)试说明∠1＝∠2；
(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连续两次利用定理“两直线平行，内错角相等”即可求证；
（2）先利用求出，再利用求出，最后利用关系式求解即可．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）∵，∠2＝54°
∴．
根据折叠的性质知：，
∴．
又∵，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行的性质，折叠的性质，掌握平行的性质和折叠前后对应的角相等是解题的关键．
【经典例题八 平行线的判定与性质综合（旋转问题）】
【例8】（2022秋·八年级课时练习）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【答案】A
【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行．
【详解】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，
当α＝15°时，∠OMN＝α+∠A＝60°，
∴∠OMN＝∠C，
∴DC∥AB，
故A正确；
当OC⊥AB时，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，
∴α＝45°或225°，
故B错误；
当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，
则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况，
故C错误；
整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，
根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行，
故D错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒B．8.5秒C．1或8.5秒D．2或6秒
【答案】C
【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设灯旋转的时间为秒，
灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，
灯先转动2秒，灯才开始转动，
，即，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得，符合题设；
②如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得符合题设；
③如图，当时，，
，
同理可得：，即，
解得，不符题设，舍去；
综上，灯旋转的时间为1秒或秒，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．
【变式2】（2022春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____．
【答案】5秒或95秒
【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD＝120°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，
要使，则∠ACD＝∠BAC，
即120°−(3t)°＝110°−t°，
解得t＝5；
如图②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF＝360°−(3t)°−60°＝300°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，
要使，则∠DCF＝∠BAC，
即300°−(3t)°＝110°−t°，
解得t＝95；
如图③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∠DCF＝(3t)°−(180°−60°＋180°)＝(3t)°−300°，∠BAC＝t°−110°，
要使，则∠DCF＝∠BAC，
即(3t)°−300°＝t°−110°，
解得t＝95，
此时∠BAC＝t°−110°＜0°，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．
故答案为：5秒或95秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
【变式3】（2022春·北京·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：______；
(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
【答案】(1)60
(2)秒或秒
(3)或
【分析】（1）设，则，根据，可列出关于x的等式，解出x即可求解；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得 ；
（3）分类讨论当时和当时，画出图形，分别根据平行线的性质结合题意构建方程解决问题即可．
（1）
设，则，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：60；
（2）
设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，
由题意可知，．
当时，如图，
，
．
，
，
．
，
解得 ；
当时，如图，
，
．
，
，
．
∵，
∴，
，
解得 ．
综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）
设灯A射线转动时间为秒，
当时，
过点作，

，
，
，，
，
，，
又，
∴，
解得：，
∴，此时与共线，不符合题意；
当时，同的图可得，
则，
解得：；
如图中，当时，

同可知．
因为此时，
，
解得：．
综上可知，t的值为100或140．
故答案为：100或140．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理及推论，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
【培优检测】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．不相交的两条直线是平行线
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离
D．在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直．
【答案】D
【分析】运用平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论判定即可．
【详解】A、不相交的两条直线是平行线，要在同一平面内的前提条件下，故A选项错误；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误；
C、从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离，应为垂线段的长度，故C选项错误；
D、在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论，解题的关键是熟记定义与性质．
2．在探究平行线的判定——基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行时，老师布置了这样的任务：
请同学们分组在学案上（如图），用直尺和三角尺画出过点P与直线AB平行的直线PQ；并思考直尺和三角尺在画图过程中所起的作用．
小菲和小明所在的小组是这样做的：他们选取直尺和含有45°角的三角尺，用平移三角尺的画图方法画出AB的平行线PQ，并将实际画图过程抽象出平面几何图形（如图）．
以下是小菲和小明所在小组关于直尺和三角尺作用的讨论：
①在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45°
②由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中QP为截线
③初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角
④在画图过程中，直尺可以由直线CD代替
⑤在“三线八角图”中，因为AB和CD是截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”
其中，正确的是（ ）
A．①②⑤B．①③④C．②④⑤D．③④⑤
【答案】B
【分析】这种画法就是画同位角∠DMB和∠DEP相等，从而判断PQ∥AB，从而根据平行线的判定定理对各小题进行判断．
【详解】在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45°，所以①正确；
由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中CD为截线，所以②错误；
初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角，所以③正确；
在画图过程中，直尺可以由直线CD代替，所以④正确；
⑤在“三线八角图”中，因为AB和PQ是一组平行线，CD为截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”，所以⑤错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
3．如图，直线、与直线相交，给出下列条件：
①；②；③；④．能判断的是（ ）．
A．①②④B．①③④C．①②③④D．①③
【答案】B
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【详解】：①∵∠1=∠2，
∴a∥b，故此选项正确；
②∠3=∠5无法得出a∥b，故此选项错误；
③∵∠4+∠7=180°，
∴a∥b，故此选项正确；
④∵∠5+∠3=180°，
∴∠2+∠5=180°，
∴a∥b，故此选项正确；
综上所述，正确的有①③④．
故选B．
【点睛】此题考查平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键．
4．将一副三角板顶点重合，三角板ABC绕点A顺时针转动的过程中，∠EAB度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边AB＝AE）（ ）
A．∠EAB＝30°B．∠EAB＝45°C．∠EAB＝60°D．∠EAB＝75°
【答案】C
【分析】由旋转的性质和平行线的判定依次判断，可求解．
【详解】当∠EAB=30°时．
∵∠CAB=90°，∴∠CAE=60°=∠E，∴AC∥DE，故A不合题意；
当∠EAB=45°，∴∠BAD=45°=∠B，∴BC∥AD，故B不合题意；
当∠EAB=60°时，三角尺不存在一组边平行．
当∠EAB=75°时，如图，延长AB交DE于点M，
∴∠BAD=15°，
∴∠EMA=∠D+∠MAB=45°=∠ABC，∴BC∥DE．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
5．如图所示，下列推理正确的选项是 （ ）
①若，则AB//CD
②若AD//BC，则 ∠A=∠，
③ 若AB//CD，则，
④若AB//CD，则∠A+∠4+∠1=180°
⑤若，则AD//BC
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．①④⑤
【答案】D
【分析】根据平行线的判定与性质进行判断．
【详解】①若∠1=∠2，则AB∥CD，依据：内错角相等，两直线平行，故正确；
②若AD∥BC，则∠A=∠3，故错误；
③若AB∥CD，则∠3＝∠4，故错误；
④若AB//CD，则∠A+∠4+∠1=180°，依据：两直线平行，同旁内角互补，故正确；
⑤若，则AD//BC．依据：同旁内角互补，两直线平行，故正确；
所以正确的有①④⑤.
故选D．
【点睛】考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
6．如图，，，,，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作一条直线，过点作一条直线，根据两直线平行，内错角相等可得，，然后计算，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，最后根据计算即可得解.
【详解】过点作一条直线，过点作一条直线，
，
，
，，
，
，
.
故选.
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键，此类题目，难点在于拐点作平行线.
7．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵，
∴，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
要使，就要使且，
∴就要GD=GC，
但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，
∴故③错误；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．
【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．
9．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．
10．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒B．8.5秒C．1或8.5秒D．2或6秒
【答案】C
【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设灯旋转的时间为秒，
灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，
灯先转动2秒，灯才开始转动，
，即，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得，符合题设；
②如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得符合题设；
③如图，当时，，
，
同理可得：，即，
解得，不符题设，舍去；
综上，灯旋转的时间为1秒或秒，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．
11．观察如图所示的长方体.
(1)用符号表示下列两棱的位置关系：AB___A′B′，AA′_____AB，D′A′_____D′C′，AD______BC．
(2) A′B′与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们_____平行线.（填“是”或“不是”）
【答案】 ∥ ⊥ ⊥ ∥ 不是
【分析】（1）根据长方体的性质进行填空；
（2）根据平行线的定义进行填空．
【详解】解：（1）如图，在矩形ABB1A1中，AB∥A′B′，AA′⊥AB；
在矩形A′B′C′D′中，D′A′⊥D′C′；
在矩形ABCD中，AD∥BC．
故答案分别是：∥，⊥，⊥，∥；
（2）根据图示知，直线A′B′与BC不在同一平面内，所以它们虽然没有交点，但是它们也不平行．
故答案为：不是．
【点睛】本题考查平行线的定义、垂直的定义．注意，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
12．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是_______.(只填序号)
【答案】①②⑤
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可
【详解】解：①∵∠1=∠B，∴AB//CD，故本小题正确；
②∵∠2=∠5，∴AB//CD，故本小题正确；
③∵∠3=∠4，∴AD//BC，故本小题错误；
④∵∠1=∠D，∴AD//BC，故本小题错误；
⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB//CD，故本小题正确．
故答案为①②⑤．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．
13．如图所示，下列结论正确的有_____(把所有正确结论的序号都选上)
①若AB∥CD，则∠3＝∠4；
②若∠1＝∠BEG，则EF∥GH；
③若∠FGH+∠3＝180°，则EF∥GH；
④若AB∥CD，∠4＝62°，EG平分∠BEF，则∠1＝59°．
【答案】①③④
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】解：①若AB∥CD，则∠3=∠4；正确；
②若∠1=∠BEG，则AB∥CD；错误；
③若∠FGH+∠3=180°，则EF∥GH；正确
④∵AB∥CD，∴∠3=∠4=62°，
∵∠BEF=180°-∠4=118°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠2=59°，
∴∠1=180°-∠2-∠3=59°，正确；
故答案为①③④．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的定义是解题关键．
14．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
【答案】2秒或38秒
【分析】分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：存在．分三种情况：
如图，与在的两侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得；
此时，
；
旋转到与都在的右侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
；
旋转到与都在的左侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．
故答案为：秒或秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
15．如图，直线分别与直线，相交于点，，且．点在直线，之间，连接，，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，则的度数为___________．
【答案】##度
【分析】过分别作的平行线，，则，设，则，，设，分别表示出，，利用等式的性质得到，进而即可求解．
【详解】解：如图，过分别作的平行线，，则，
设，则，
∵射线是的平分线，
∴，
∵，
，，
设
∴，
∴①，
∵
∵②
∴由①②可得
∵
，
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
16．已知，平分，，，则___________．
【答案】##30度
【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，作于，作于，
则，
设，则，，
平分，
，
设，则，
，
，，
，
，，
，，
又，
，
解得，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
17．如图已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：∵ABCD，CDEF，
∴ABEF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∵ABCD，
∴∠BAC+∠2=180°，
∴2∠1+∠2=180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4=90°（2），
∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正确；
∵ABEF，
∴∠BAE+∠3=180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠BAE，
∴∠1+∠3=180°，
∴2∠1+2∠3=360°（3），
∵2∠1+∠2=180°（1），
（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正确；
∵CDEF，
∴∠CEF+∠4=180°，
∴∠3+∠AEC+∠4=180°，
∵AE⊥CE，
∴∠1+∠AEC=90°，
∴∠AEC=90°-∠1，
∴∠3+∠4-∠1=90°，
∵2∠1-∠4=90°，
∴∠1=45°+∠4，
∴∠3+∠4=135°，故④正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
18．已知，点、分别为、上的点，点、、为、内部的点，连接、、、、、，于，，，平分，平分，则（小于平角）的度数为______．
【答案】
【分析】过点，做平行于，根据平行线的传递性及性质得，同理得出，令，则，，则，通过等量关系先计算出，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．
【详解】解：过点，做平行于，如下图：
，
，
则，
，
同理可得：，
令，则，
，则，
则，
，
，
，
平分，平分，
，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，找到角之间的关系，利用等量代换的思想进行计算求解．
19．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上．
（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．
【分析】（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；
（2）先证明，再证明，得到，问题得证；
（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：（1）过点C作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
又，
，
，
，
，
，
；
（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．

∵，
∴，
由（2）得，DE∥AC，
∴∠DEF=∠ECA=，
∵，
∴∠ACB=，
∴ ，
∴∠A=180°-=．
故答案为为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．
20．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；
②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
故答案为垂；
（2）证明：平分，平分（已知），
，（角平分线的定义），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
（等式性质），
（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
21．（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）如图1，根据平行公理和平行线的性质即可得出结论；
（2）如图2，延长交于点，则可得到，则，连接并延长到点，则可得，，可得到和的关系，从而求解；
（3）由（2）即可得出结论；
（4）如图3，过作于， 于，则，根据平行线的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，，等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过作，
，
，
，
，
，，
；
（2）如图2，
延长交于点，则可得到，
则，
连接并延长到点，则可得，，
所以，
所以，
所以；
（3）由（2）可得：，
故答案为：；
（4）如图，
过作于，于，
则，
，，，，
平分，平分，
，，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是利用三角形的外角的性质找到和之间的关系．
22．（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；（2）；（3）或
【分析】（1）如图②，过点E作，根据推理步骤逐步写出答案即可；
（2）如图，过点P作，先求出，再求，求得即可；
（3）当点P在线段上，过点P作，先证明，再证明，得；当点P在线段的延长线上时，与点在线段上的情况类似．
【详解】（1）如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵，，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；．
（2）如图，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
当点P在线段的延长线上时，
过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、角的和差运算等知识点；熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键．
23．如图1，，直线外有一点，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，延长至点，连接，平分，平分，且与交于点，求与的数量关系；
(3)如图3，在2的条件下，，，连接，且，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，根据平行线性质即可得到角度关系，即可求证；
（2）过点作，过点作根据平行线性质得到角度关系即可得到答案；
（3）过点做，过点作，根据平行线性质得到角度关系即可得到答案．
【详解】（1）证明：过点作，
∵，，
∴
∴，,，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，设，
又∵平分，设，
∴，，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
过点作，
∴，
∴，，
∴
∴；
（3）设，
过点做，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
过点作，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查根据平行线的性质，解题的关键是作平行辅助线转换角度关系．
24．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】（1）作，，如图，且
∴
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。