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人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题04第五章相交线与平行线重难点检测卷(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题04第五章相交线与平行线重难点检测卷(原卷版+解析)，共35页。
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．画直线平行于
C．锐角都相等D．所有的质数都是奇数
2．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．不确定
3．（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，已知，是的平分线，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图，，，则点P，C，Q在一条直线上，理由是（ ）．
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行B．两点确定一条直线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线D．平行于同一条直线的两条直线平行
5．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北沧州·统考二模）问题：如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．求证：．
则下列正确的是（ ）
A．※处应该填写“同旁内角互补，两直线平行”
B．♥处应该填写“两直线平行，同旁内角互补”
C．&处应该填写“两直线平行，内错角相等”
D．◎处应该填写“两直线平行，内错角相等”
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，，、、分别平分△ABC的外角、内角、外角．以下结论：①：②∠DAC=2∠ADB；③；④平分．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
9．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
10．（2022春·广东广州·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2020春·山东济南·七年级统考期中）如图，直线，被直线所截，，，则的度数是_____．
12．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分面积为______．
13．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点，射线平分，，若，则的度数为______．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图轮船沿北偏东62°方向从A处航行到B处，发现前面有一处礁石，为了躲避礁石，从B处沿着北偏西26°航行到C处，调整为原来的方向继续航行，请计算出轮船调整方向的夹角的度数为 _______．
15．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，直角三角形的周长为，在其内部有个小直角三角形，且这个小直角三角形都有一条边与平行，则这个小直角三角形周长的和为_________．
16．（2023春·七年级单元测试）将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°
18．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，在中，，是的平分线，，求的度数．
20．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，如果，，试说明与平行．请完善解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵（ ）
∴（ ）（内错角相等，两直线平行．）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）（ ）
∴（ ）
21．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）A，表示两个村庄，表示公路．
(1)在公路上建一个公交站，使得村庄A至公交站距离最近；
(2)在公路上建造一个通讯站，使得通讯站与两个村庄的距离之和最小．
22．（2022秋·辽宁丹东·七年级统考期末）已知O是上的一点，从O点引出射线，其中平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．
23．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．
(1)找一个格点D，过点C画的平行线；
(2)过点A画的垂线，垂足为E；
(3)线段与的大小关系是_________（用“”号连接），依据是__________．
24．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）课题学习：平行线问题中的“转化思想”
[阅读理解]
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
例题如图①，已知，若，，则有_____________°．
分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截"基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过E点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出．
[方法应用]
已知，
（1）如图②，若，，求的度数；
（2）如图②，直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，，则的度数为______________．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，，平分，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若平分，求证：．
26．（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
证法，，（※）
，，．（♥）
证法，，，，（三角形内角和等于
，，．◎
第五章 相交线与平行线重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．画直线平行于
C．锐角都相等D．所有的质数都是奇数
【答案】B
【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句，进行判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，是命题，不符合题意；
B、画直线平行于，不是命题，符合题意；
C、锐角都相等，是命题，不符合题意；
D、所有的质数都是奇数，是命题，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查命题．熟练掌握命题的定义，是解题的关键．注意，只要是作出判断，无论正确还是错误，均为命题．
2．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【分析】过点B作交 于点D，可证，利用平行线的性质可得，，进而可得．
【详解】解：如图，过点B作交于点D．
中，，
．
，
．
，，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
3．（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，已知，是的平分线，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为平分，所以，再根据平行线的性质可知，再根据平角的性质可求．
【详解】解：如图
平分，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
4．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图，，，则点P，C，Q在一条直线上，理由是（ ）．
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行B．两点确定一条直线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】A
【分析】直接根据平行公理进行判断即可．
【详解】∵，，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点P，C，Q在一条直线上，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行公理，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平行线的性质求出即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
由题意知：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2022·河北沧州·统考二模）问题：如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．求证：．
则下列正确的是（ ）
A．※处应该填写“同旁内角互补，两直线平行”
B．♥处应该填写“两直线平行，同旁内角互补”
C．&处应该填写“两直线平行，内错角相等”
D．◎处应该填写“两直线平行，内错角相等”
【答案】C
【分析】利用平行线的性质和判定，逐个分析得结论．
【详解】解：A．※处应该填写“两直线平行，同旁内角互补”，故选项不正确；
B．♥处应该填写“同旁内角互补，两直线平行”，故选项不正确；
C．&处应该填写“两直线平行，内错角相等”，故选项正确；
D．◎处应该填写“内错角相等，两直线平行”，故选项不正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，分清性质和判定是解决本题的关键．由平行得到角间关系是性质，由角间关系得到平行是判定．
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，，、、分别平分△ABC的外角、内角、外角．以下结论：①：②∠DAC=2∠ADB；③；④平分．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴ADBC，①正确；
∵ADBC，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，
∴∠DAC=2∠ADB，
∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵ADBC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
即正确的有3个，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．
8．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【答案】B
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度数，结合角平分线的定义可求出∠ABE和∠CDE的度数，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度数，再结合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=70°．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴，
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的有关证明．利用平行线的性质及角平分线的定义，求出∠BEF和∠DEF的度数是解题的关键．
9．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．
【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．
10．（2022春·广东广州·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2020春·山东济南·七年级统考期中）如图，直线，被直线所截，，，则的度数是_____．
【答案】
【分析】由直线，被直线所截，，，根据平行线的性质，可求得的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．
【详解】解：如图所示：
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分面积为______．
【答案】18
【分析】根据平移的性质得出，，则，则，根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解:由平移的性质知，，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出是解题的关键．
13．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点，射线平分，，若，则的度数为______．
【答案】##度
【分析】直接利用角平分线的性质得出，进而利用垂直的定义得出的度数，再根据邻补角的定义即可求出答案．
【详解】解：射线平分，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了垂线定义、邻补角以及角平分线的性质，得出的度数是解题关键．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图轮船沿北偏东62°方向从A处航行到B处，发现前面有一处礁石，为了躲避礁石，从B处沿着北偏西26°航行到C处，调整为原来的方向继续航行，请计算出轮船调整方向的夹角的度数为 _______．
【答案】88°##88度
【分析】先根据题意求出，进而求出，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴调整的角度为88°．
故答案为：88°．
【点睛】本题主要考查了方向角的应用，平行线的性质等，由题意得出是解题的关键.
15．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，直角三角形的周长为，在其内部有个小直角三角形，且这个小直角三角形都有一条边与平行，则这个小直角三角形周长的和为_________．
【答案】
【分析】根据题意得这个小直角三角形都有一条边与平行，则有小直角三角形中与平行的边的和等于，与平行的边的和等于BC，则小直角三角形的周长和等于直角的周长，据此即可求解．
【详解】解：因为这个小直角三角形都有一条边与平行，，
所以这个小直角三角形都有一条边与平行，
这5个小直角三角形周长的和等于直角的周长，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平移的应用，正确理解小直角三角形的周长和等于直角的周长是解题的关键．
16．（2023春·七年级单元测试）将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°
【答案】75
【分析】由余角的定义进行计算，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴；
故答案为：75
【点睛】本题考查了余角的定义，解题的关键是掌握余角的定义进行计算．
17．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是_____°．
【答案】25
【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，再由三角形的内角和定理求出，利用角的和差即可求出．
【详解】∵折叠后得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：25．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．
18．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，在中，，是的平分线，，求的度数．
【答案】
【分析】首先运用平行线的性质求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，然后继续运用平行线的性质求得．
【详解】证明：∵且，
∴； ，
∵是的平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是运用了平行线的性质以及角平分线的概念，比较简单，掌握“两直线平行，同位角相等，内错角相等”是解本题的关键．
20．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，如果，，试说明与平行．请完善解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵（ ）
∴（ ）（内错角相等，两直线平行．）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）（ ）
∴（ ）
【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】先证明，可得，再证明，从而可得结论．
【详解】解：∵（已知）
∴（）（内错角相等，两直线平行．）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（）（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线是判定方法与平行线的性质并灵活应用是解本题的关键．
21．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）A，表示两个村庄，表示公路．
(1)在公路上建一个公交站，使得村庄A至公交站距离最近；
(2)在公路上建造一个通讯站，使得通讯站与两个村庄的距离之和最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线段最短即可得出答案；
（2）根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】（1）解：过点A作于点P，则点P即为所求作的点，如图所示：
（2）解：连接，交l于点Q，则点Q即为所求作的点，如图所示：
【点睛】本题主要考查了线段的性质和垂线段的性质，熟练掌握两点之间线段最短，垂线段最短，是解题的关键．
22．（2022秋·辽宁丹东·七年级统考期末）已知O是上的一点，从O点引出射线，其中平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得，再利用角平分线的定义求得，进而利用邻补角定义求解即可；
（2）设，则，利用角平分线的定义与已知条件列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角度的运算，利用已知条件设未知数，利用方程思想求解是解答的关键．
23．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．
(1)找一个格点D，过点C画的平行线；
(2)过点A画的垂线，垂足为E；
(3)线段与的大小关系是_________（用“”号连接），依据是__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，垂线段最短
【分析】（1）根据网格结构特点，可过点C画的平行线；
（2）根据网格结构特点作出即可；
（3）根据垂线段最短可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：根据是垂线段最短得：线段与的大小关系是，
故答案为：，垂线段最短．
【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，掌握利用网格结构作垂线，平行线是解题的关键．
24．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）课题学习：平行线问题中的“转化思想”
[阅读理解]
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
例题如图①，已知，若，，则有_____________°．
分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截"基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过E点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出．
[方法应用]
已知，
（1）如图②，若，，求的度数；
（2）如图②，直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，，则的度数为______________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点E作，可得，从而得到，即可求解；
（2）过点E作，可得，从而得到，即可求解；
（3）过点F作，可得，从而得到，则两式相加可得，再由平分，平分，可得，进而得到，由（2）知，，即可求得结果．
【详解】解：（1）如图，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
，
即，
，
平分，平分，
，
，
或，
由（2）知，，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．难点是作辅助线——平行线．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，，平分，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若平分，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）求出根据平行线的判定得出即可；
（2）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
（3）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出， ，求出，根据三角形的内角和定理得出即可．
【详解】（1）∵，
，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
26．（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）如图1，根据平行公理和平行线的性质即可得出结论；
（2）如图2，延长交于点，则可得到，则，连接并延长到点，则可得，，可得到和的关系，从而求解；
（3）由（2）即可得出结论；
（4）如图3，过作于， 于，则，根据平行线的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，，等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过作，
，
，
，
，
，，
；
（2）如图2，
延长交于点，则可得到，
则，
连接并延长到点，则可得，，
所以，
所以，
所以；
（3）由（2）可得：，
故答案为：；
（4）如图，
过作于，于，
则，
，，，，
平分，平分，
，，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是利用三角形的外角的性质找到和之间的关系．
证法，，（※）
，，．（♥）
证法，，，，（三角形内角和等于
，，．◎
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．画直线平行于
C．锐角都相等D．所有的质数都是奇数
2．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．不确定
3．（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，已知，是的平分线，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图，，，则点P，C，Q在一条直线上，理由是（ ）．
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行B．两点确定一条直线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线D．平行于同一条直线的两条直线平行
5．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北沧州·统考二模）问题：如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．求证：．
则下列正确的是（ ）
A．※处应该填写“同旁内角互补，两直线平行”
B．♥处应该填写“两直线平行，同旁内角互补”
C．&处应该填写“两直线平行，内错角相等”
D．◎处应该填写“两直线平行，内错角相等”
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，，、、分别平分△ABC的外角、内角、外角．以下结论：①：②∠DAC=2∠ADB；③；④平分．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
9．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
10．（2022春·广东广州·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2020春·山东济南·七年级统考期中）如图，直线，被直线所截，，，则的度数是_____．
12．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分面积为______．
13．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点，射线平分，，若，则的度数为______．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图轮船沿北偏东62°方向从A处航行到B处，发现前面有一处礁石，为了躲避礁石，从B处沿着北偏西26°航行到C处，调整为原来的方向继续航行，请计算出轮船调整方向的夹角的度数为 _______．
15．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，直角三角形的周长为，在其内部有个小直角三角形，且这个小直角三角形都有一条边与平行，则这个小直角三角形周长的和为_________．
16．（2023春·七年级单元测试）将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°
18．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，在中，，是的平分线，，求的度数．
20．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，如果，，试说明与平行．请完善解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵（ ）
∴（ ）（内错角相等，两直线平行．）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）（ ）
∴（ ）
21．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）A，表示两个村庄，表示公路．
(1)在公路上建一个公交站，使得村庄A至公交站距离最近；
(2)在公路上建造一个通讯站，使得通讯站与两个村庄的距离之和最小．
22．（2022秋·辽宁丹东·七年级统考期末）已知O是上的一点，从O点引出射线，其中平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．
23．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．
(1)找一个格点D，过点C画的平行线；
(2)过点A画的垂线，垂足为E；
(3)线段与的大小关系是_________（用“”号连接），依据是__________．
24．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）课题学习：平行线问题中的“转化思想”
[阅读理解]
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
例题如图①，已知，若，，则有_____________°．
分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截"基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过E点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出．
[方法应用]
已知，
（1）如图②，若，，求的度数；
（2）如图②，直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，，则的度数为______________．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，，平分，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若平分，求证：．
26．（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
证法，，（※）
，，．（♥）
证法，，，，（三角形内角和等于
，，．◎
第五章 相交线与平行线重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．画直线平行于
C．锐角都相等D．所有的质数都是奇数
【答案】B
【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句，进行判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，是命题，不符合题意；
B、画直线平行于，不是命题，符合题意；
C、锐角都相等，是命题，不符合题意；
D、所有的质数都是奇数，是命题，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查命题．熟练掌握命题的定义，是解题的关键．注意，只要是作出判断，无论正确还是错误，均为命题．
2．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【分析】过点B作交 于点D，可证，利用平行线的性质可得，，进而可得．
【详解】解：如图，过点B作交于点D．
中，，
．
，
．
，，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
3．（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，已知，是的平分线，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为平分，所以，再根据平行线的性质可知，再根据平角的性质可求．
【详解】解：如图
平分，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
4．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图，，，则点P，C，Q在一条直线上，理由是（ ）．
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行B．两点确定一条直线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】A
【分析】直接根据平行公理进行判断即可．
【详解】∵，，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点P，C，Q在一条直线上，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行公理，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平行线的性质求出即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
由题意知：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2022·河北沧州·统考二模）问题：如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．求证：．
则下列正确的是（ ）
A．※处应该填写“同旁内角互补，两直线平行”
B．♥处应该填写“两直线平行，同旁内角互补”
C．&处应该填写“两直线平行，内错角相等”
D．◎处应该填写“两直线平行，内错角相等”
【答案】C
【分析】利用平行线的性质和判定，逐个分析得结论．
【详解】解：A．※处应该填写“两直线平行，同旁内角互补”，故选项不正确；
B．♥处应该填写“同旁内角互补，两直线平行”，故选项不正确；
C．&处应该填写“两直线平行，内错角相等”，故选项正确；
D．◎处应该填写“内错角相等，两直线平行”，故选项不正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，分清性质和判定是解决本题的关键．由平行得到角间关系是性质，由角间关系得到平行是判定．
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，，、、分别平分△ABC的外角、内角、外角．以下结论：①：②∠DAC=2∠ADB；③；④平分．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴ADBC，①正确；
∵ADBC，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，
∴∠DAC=2∠ADB，
∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵ADBC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
即正确的有3个，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．
8．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【答案】B
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度数，结合角平分线的定义可求出∠ABE和∠CDE的度数，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度数，再结合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=70°．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴，
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的有关证明．利用平行线的性质及角平分线的定义，求出∠BEF和∠DEF的度数是解题的关键．
9．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．
【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．
10．（2022春·广东广州·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2020春·山东济南·七年级统考期中）如图，直线，被直线所截，，，则的度数是_____．
【答案】
【分析】由直线，被直线所截，，，根据平行线的性质，可求得的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．
【详解】解：如图所示：
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分面积为______．
【答案】18
【分析】根据平移的性质得出，，则，则，根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解:由平移的性质知，，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出是解题的关键．
13．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点，射线平分，，若，则的度数为______．
【答案】##度
【分析】直接利用角平分线的性质得出，进而利用垂直的定义得出的度数，再根据邻补角的定义即可求出答案．
【详解】解：射线平分，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了垂线定义、邻补角以及角平分线的性质，得出的度数是解题关键．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图轮船沿北偏东62°方向从A处航行到B处，发现前面有一处礁石，为了躲避礁石，从B处沿着北偏西26°航行到C处，调整为原来的方向继续航行，请计算出轮船调整方向的夹角的度数为 _______．
【答案】88°##88度
【分析】先根据题意求出，进而求出，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴调整的角度为88°．
故答案为：88°．
【点睛】本题主要考查了方向角的应用，平行线的性质等，由题意得出是解题的关键.
15．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，直角三角形的周长为，在其内部有个小直角三角形，且这个小直角三角形都有一条边与平行，则这个小直角三角形周长的和为_________．
【答案】
【分析】根据题意得这个小直角三角形都有一条边与平行，则有小直角三角形中与平行的边的和等于，与平行的边的和等于BC，则小直角三角形的周长和等于直角的周长，据此即可求解．
【详解】解：因为这个小直角三角形都有一条边与平行，，
所以这个小直角三角形都有一条边与平行，
这5个小直角三角形周长的和等于直角的周长，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平移的应用，正确理解小直角三角形的周长和等于直角的周长是解题的关键．
16．（2023春·七年级单元测试）将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°
【答案】75
【分析】由余角的定义进行计算，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴；
故答案为：75
【点睛】本题考查了余角的定义，解题的关键是掌握余角的定义进行计算．
17．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是_____°．
【答案】25
【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，再由三角形的内角和定理求出，利用角的和差即可求出．
【详解】∵折叠后得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：25．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．
18．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，在中，，是的平分线，，求的度数．
【答案】
【分析】首先运用平行线的性质求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，然后继续运用平行线的性质求得．
【详解】证明：∵且，
∴； ，
∵是的平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是运用了平行线的性质以及角平分线的概念，比较简单，掌握“两直线平行，同位角相等，内错角相等”是解本题的关键．
20．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，如果，，试说明与平行．请完善解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵（ ）
∴（ ）（内错角相等，两直线平行．）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）（ ）
∴（ ）
【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】先证明，可得，再证明，从而可得结论．
【详解】解：∵（已知）
∴（）（内错角相等，两直线平行．）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（）（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线是判定方法与平行线的性质并灵活应用是解本题的关键．
21．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）A，表示两个村庄，表示公路．
(1)在公路上建一个公交站，使得村庄A至公交站距离最近；
(2)在公路上建造一个通讯站，使得通讯站与两个村庄的距离之和最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线段最短即可得出答案；
（2）根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】（1）解：过点A作于点P，则点P即为所求作的点，如图所示：
（2）解：连接，交l于点Q，则点Q即为所求作的点，如图所示：
【点睛】本题主要考查了线段的性质和垂线段的性质，熟练掌握两点之间线段最短，垂线段最短，是解题的关键．
22．（2022秋·辽宁丹东·七年级统考期末）已知O是上的一点，从O点引出射线，其中平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得，再利用角平分线的定义求得，进而利用邻补角定义求解即可；
（2）设，则，利用角平分线的定义与已知条件列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角度的运算，利用已知条件设未知数，利用方程思想求解是解答的关键．
23．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．
(1)找一个格点D，过点C画的平行线；
(2)过点A画的垂线，垂足为E；
(3)线段与的大小关系是_________（用“”号连接），依据是__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，垂线段最短
【分析】（1）根据网格结构特点，可过点C画的平行线；
（2）根据网格结构特点作出即可；
（3）根据垂线段最短可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：根据是垂线段最短得：线段与的大小关系是，
故答案为：，垂线段最短．
【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，掌握利用网格结构作垂线，平行线是解题的关键．
24．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）课题学习：平行线问题中的“转化思想”
[阅读理解]
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
例题如图①，已知，若，，则有_____________°．
分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截"基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过E点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出．
[方法应用]
已知，
（1）如图②，若，，求的度数；
（2）如图②，直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，，则的度数为______________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点E作，可得，从而得到，即可求解；
（2）过点E作，可得，从而得到，即可求解；
（3）过点F作，可得，从而得到，则两式相加可得，再由平分，平分，可得，进而得到，由（2）知，，即可求得结果．
【详解】解：（1）如图，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
，
即，
，
平分，平分，
，
，
或，
由（2）知，，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．难点是作辅助线——平行线．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，，平分，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若平分，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）求出根据平行线的判定得出即可；
（2）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
（3）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出， ，求出，根据三角形的内角和定理得出即可．
【详解】（1）∵，
，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
26．（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）如图1，根据平行公理和平行线的性质即可得出结论；
（2）如图2，延长交于点，则可得到，则，连接并延长到点，则可得，，可得到和的关系，从而求解；
（3）由（2）即可得出结论；
（4）如图3，过作于， 于，则，根据平行线的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，，等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过作，
，
，
，
，
，，
；
（2）如图2，
延长交于点，则可得到，
则，
连接并延长到点，则可得，，
所以，
所以，
所以；
（3）由（2）可得：，
故答案为：；
（4）如图，
过作于，于，
则，
，，，，
平分，平分，
，，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是利用三角形的外角的性质找到和之间的关系．
证法，，（※）
，，．（♥）
证法，，，，（三角形内角和等于
，，．◎
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