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人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题07第六章实数重难点检测卷(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题07第六章实数重难点检测卷(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了60．等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·海南海口·八年级校考期中）估算的值是（ ）
A．在5和6之间B．在6和7之间C．在7和8之间D．在8和9之间
2．（2022秋·山东东营·七年级校考期末）若，，且，则的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．D．3
3．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）在，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如：，，按此规定，的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·湖南常德·八年级统考期中）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·七年级课时练习）已知x，y为实数，且，则（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
9．（2022秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（ ）
①；
②；
③若，则；
④．
A．4B．3C．2D．1
10．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论正确的是（ ）
①；
②；
③；
④当，m为非负整数时，有；
⑤满足的非负数x只有两个．
A．①④B．①④⑤C．①②⑤D．①③④
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知是的整数部分，是的小数部分，那么的值是_____．
12．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）若（k为整数），那么k的值为______．
13．（2022秋·甘肃嘉峪关·七年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为___________．
14．（2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习）如图网格中每个小正方形的边长为，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是______．
规定：用符号表示一个不大于实数的最大整数，例如：，，，按这个规定，________．
15．（2022秋·甘肃酒泉·八年级校考期末）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
16．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点A表示的数为 ，正方形的面积为． 将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点A、B、C、D的对应点分别为、、、，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积为，当时，数轴上点表示的数是___________．（用含a的代数式表示）
17．（2023春·七年级单元测试）若，其中a，b均为整数，则______．
18．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记．例如：，则39是一个“类完全平方数”，且．
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则___________；
（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最大值=___________．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）计算：
(1)．
(2)．
20．（2023春·七年级课时练习）求满足下列各式的未知数
(1)
(2)
21．（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分，求的立方根．
22．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读题的解法，再解答．
已知a、b是有理数，并且满足等式，求a、b的值．
解：因为． 即．
所以，． 解得：，．
解答：设x、y是有理数，并且满足，求的值．
23．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：
例如：∵ ，
即
∴的整数部分是，小数部分是
(1)试求：的整数部分与小数部分；
(2)已知小数部分是n，且，求的的值．
24．（2022秋·四川巴中·八年级校考阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：① ；② ；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则 ．
25．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）若一个各数位上数字均不为0的四位数M的千位数字大于百位数字，且千位数字与百位数字和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“完全平方和数”．
例如：，∵且，∴3116是“完全平方和数”；
又如：，∵但，∴7295不是“完全平方和数”．
(1)判断5481，9185是否是“完全平方和数”，并说明理由．
(2)一个“完全平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，．当与均能被2整除时，求出所有满足条件的M．
26．（2022秋·北京西城·七年级北京四中校考期中）将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于和，，
新运算2：对于任意两个元完美数组和， ，例如：对于3元完美数组和，有．
(1)在，，，中是3元完美数组的有：______；
(2)设，则______；
(3)已知完美数组求出所有4元完美数组，使得；
(4)现有个不同的元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，均有：；则的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
指数运算
新运算
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
0.4
0.04
40
400
…
第六章 实数重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·海南海口·八年级校考期中）估算的值是（ ）
A．在5和6之间B．在6和7之间C．在7和8之间D．在8和9之间
【答案】D
【分析】估算出的值的范围，即可解答．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
估算的值在8和9之间，
故选：D．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
2．（2022秋·山东东营·七年级校考期末）若，，且，则的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．D．3
【答案】B
【分析】先根据算术平方根、绝对值意义和求出a、b值，从而求出值，再求出其算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴的算术平方根为，
故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根与绝对值，有理数乘法，熟练掌握正确求出一个数的算术平方根与绝对值是解题的关键．
3．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）在，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在，，，，（每两个之间依次多一个）中，
，，（每两个之间依次多一个）是无理数，共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查无理数，会判断无理数．解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数，如：；②无限不循环小数，如：（相邻两个之间依次多一个）；③含有数，如：．
4．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如：，，按此规定，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先据算出的大小，然后求得的范围，然后根据的意义可求得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算、无理数整数部分的有关计算等知识，是重要考点，难度较易，估算出是解题关键．
5．（2022秋·湖南常德·八年级统考期中）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．
【详解】解：由题意得：
①，
，故①正确；
②，
，故②不正确；
③，
，故③正确；
所以，正确的是①③，
故选：B．
【点睛】此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．
6．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】①根据表示距离最近的正整数，进行判断；②根据，确定n的值；③分别求出，进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解．
【详解】解：①表示距离最近的正整数，
∴；故①正确；
②时，，4，5，6，
∴n的值有4个；故②错误；
③∵，
∴；故③正确；
④∵，…，
∴2个1，4个2，6个3，8个4，…，
∴；故④错误；
⑤，
∴；故⑤正确；
综上：正确的是①③⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查无理数的估算，以及数字规律探究．根据所给的定义，通过无理数的估算，找到数字规律是解题的关键．
7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据新定义逐步求解即可
【详解】∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查新定义的运用，仔细阅读题干，理解材料的含义是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）已知x，y为实数，且，则（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
【答案】C
【详解】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴
∴
∴y＝4，
∴，
当时，；
当时，；
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x、y的值．
9．（2022秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（ ）
①；
②；
③若，则；
④．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据对数的定义和乘方意义解题即可．
【详解】解：①∵，
∴，故说法①正确，符合题意；
②设，，则，，
∴，即，
∴，
∴，即，故②正确，符合题意；
③设，则，，
∴，
∴，
∴，解得，故③说法正确，符合题意；
④设，，则，，
∴,
∴
故说法④正确，符合题意；
∴正确的说法有个，
故选：A．
【点睛】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．
10．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论正确的是（ ）
①；
②；
③；
④当，m为非负整数时，有；
⑤满足的非负数x只有两个．
A．①④B．①④⑤C．①②⑤D．①③④
【答案】B
【分析】先理解题意，表示对x四舍五入．①可直接判断；②③可取特殊值检验正误；④整数不影响四舍五入；⑤，则为整数，那么x是的倍数，可代入特殊值验证．
【详解】①，说法正确；
②比如时，，而，，说法错误；
③比如时，，
而，，说法错误；
④m为非负整数，则，所以当时，，说法正确；
⑤若满足，则为整数，x必然是的倍数．经验证：时； 时，符合条件的x有两个，说法正确．
故选：B
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意用特殊值法是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知是的整数部分，是的小数部分，那么的值是_____．
【答案】##
【分析】直接利用的范围，得出的值，进而求出答案．
【详解】解：，是的整数部分，是的小数部分，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确得出的值是解题的关键．
12．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）若（k为整数），那么k的值为______．
【答案】2
【分析】先估算出的范围，再估算的范围，最后得出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵（k为整数），
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
13．（2022秋·甘肃嘉峪关·七年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为___________．
【答案】
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求得x、y的值，然后代入求解即可．
【详解】解：，
，
解得：，
当时，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性；能利用非负性正确求出x、y值是解答的关键．
14．（2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习）如图网格中每个小正方形的边长为，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是______．
规定：用符号表示一个不大于实数的最大整数，例如：，，，按这个规定，________．
【答案】
【分析】（1）根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
（2）先求出的范围，求出的范围，即可得出答案．
【详解】解：（1）根据图形得：，
则新正方形的边长为．
故答案为．
解：（2）∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，算术平方根和三角形的面积，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
15．（2022秋·甘肃酒泉·八年级校考期末）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
【答案】
【分析】根据新定义，将，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简．
16．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点A表示的数为 ，正方形的面积为． 将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点A、B、C、D的对应点分别为、、、，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积为，当时，数轴上点表示的数是___________．（用含a的代数式表示）
【答案】或
【分析】根据正方形的面积可得正方形的边长，然后分情况讨论，进而可以表示点表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为，所以边长为a，当时，分两种情况：
（1）当正方形向左平移时，如图所示：
∵，
，
∴，
∴，
∴数轴上点表示的数为；
（2）当正方形ABCD向右平移时，如图所示：
∵，，
∴，
∴数轴上点表示的数为；
综上所述，数轴上点表示的数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据正方形平移后用代数式表示线段的长度．
17．（2023春·七年级单元测试）若，其中a，b均为整数，则______．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
18．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记．例如：，则39是一个“类完全平方数”，且．
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则___________；
（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最大值=___________．
【答案】 12 93
【分析】（1）根据（，为正整数）进行推导即可求出答案；
（2）根据两位数是一个“类完全平方数”，推出是3的倍数并且满足，求的最大值，逐个尝试即可求出正确答案．
【详解】解：（1）∵37是一个“类完全平方数”，37=3²+3×4+4²
∴F（37）=12
故答案为：12
（2）∵两位数是一个“类完全平方数”，且
∴是3的倍数
当=99时，108，不满足是两位数；
当=96时，105，不满足是两位数；
当=93时，102，不满足是两位数；
当=90时，99，满足是两位数，
∵
又∵，，，，
∴99不符合题意，
当=87时，96，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴96不符合题意，
当=84时，93，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴93符合题意，
∴的最大值为93，
故答案为：93．
【点睛】本题考查了阅读材料题，认真读懂题干中的例子是解答本题的关键．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，以及有理数的乘方运算，进行计算即可求解；
（2）根据立方根，算术平方根，以及有理数的乘方运算，化简绝对值，进行计算即可求解；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握立方根，算术平方根，以及有理数的乘方是解题的关键．
20．（2023春·七年级课时练习）求满足下列各式的未知数
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程整理后根据平方根的定义求解可得；
（2）根据立方根的定义得出，解之可得．
【详解】（1），
方程整理得： ，
开方得：；
（2）
开立方得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查立方根、平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义．
21．（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分，求的立方根．
【答案】
【分析】根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，根据估算可得c值，代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵的算术平方根是1，
∴，
∴；
∵c是的整数部分，，
∴．
∴，
∴的立方根是．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
22．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读题的解法，再解答．
已知a、b是有理数，并且满足等式，求a、b的值．
解：因为． 即．
所以，． 解得：，．
解答：设x、y是有理数，并且满足，求的值．
【答案】1或
【分析】根据规律：等式左右两边的有理数部分和二次根式分别相同，建立方程，然后解方程即可．
【详解】解：因为，
所以，
所以，，
解得或．
所以或．
故的值为1或．
【点睛】题目主要考查实数的加减运算，理解题干中的求解方法是解题关键．
23．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：
例如：∵ ，
即
∴的整数部分是，小数部分是
(1)试求：的整数部分与小数部分；
(2)已知小数部分是n，且，求的的值．
【答案】(1)3；
(2)或
【分析】（1）根据夹逼法可求的整数部分和小数部分；
（2）求出的值，代入，根据平方根的定义求即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是3，小数部分是，
（2）解：∵，即，
，即
∴的小数部分为；
∵小数部分是n，
∴，
，
∴或．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数值是解题的关键．
24．（2022秋·四川巴中·八年级校考阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：① ；② ；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则 ．
【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位．
(2)
(3)
【分析】（1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解；
（2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解；
（3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解．
【详解】（1）解：探究发现：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以的得到：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位．
（2）解：∵
∴
∵
∴；
故答案为：0.1435；14.35；
（3）解：∵
，
故答案为：12.60．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑．
25．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）若一个各数位上数字均不为0的四位数M的千位数字大于百位数字，且千位数字与百位数字和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“完全平方和数”．
例如：，∵且，∴3116是“完全平方和数”；
又如：，∵但，∴7295不是“完全平方和数”．
(1)判断5481，9185是否是“完全平方和数”，并说明理由．
(2)一个“完全平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，．当与均能被2整除时，求出所有满足条件的M．
【答案】(1)5481是“完全平方和数”； 9185不是“完全平方和数”
(2)满足条件的M的值为：或或
【分析】（1）根据“完全平方和数”的定义进行解答即可；
（2）根据与均能被2整除，可得均为偶数，同奇或同偶，根据“完全平方和数”的定义取值即可．
【详解】（1）解：∵且，
∴5481是“完全平方和数”；
∵且，
∴9185不是“完全平方和数”；
（2）根据题意可得：，
∵与均能被2整除，
要满足能被整除，
则同奇同偶，
∴
，
其中、、均能被整除，
∴必然能被整除，即为偶数，
∴均为偶数，
∴为偶数，
∴也为偶数，
∴同奇或同偶，
根据“完全平方和数”可知，，
当时，，则，c，d不满足均为偶数；
当时，，则，不满足均为偶数；
当时，或，则或，
故满足题意；
当，，则，
故满足题意；
当时，，则，
故满足题意；
当时，没有满足题意得的值，
综上：满足条件的M的值为：或或．
【点睛】本题考查了数的整除性，用新定义解题，理解新定义以及运用分类讨论的思想解题是关键．
26．（2022秋·北京西城·七年级北京四中校考期中）将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于和，，
新运算2：对于任意两个元完美数组和， ，例如：对于3元完美数组和，有．
(1)在，，，中是3元完美数组的有：______；
(2)设，则______；
(3)已知完美数组求出所有4元完美数组，使得；
(4)现有个不同的元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，均有：；则的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
【答案】(1)，
(2)2
(3)或 或 或 或 或
(4)的最大可能值是；，
【分析】（1）根据元完美数组的定义判断即可；
（2）依据新运算定义进行计算即可；
（3）依据新运算定义，尝试使得的计算结果即可；
（4）根据新运算定义，则可知数组，中对应位置不能同时为1，由数组，的任意性可知：完美数组中元素最多只能有一个1，即可推出的最大可能值是，由此推出这些完美数组的一个构造即可．
【详解】（1）解：在，，，中不是完美数组，是4元完美数组，
故3元完美数组的有：，；
（2）∵，，
；
故答案为：2；
（3），
当时，，当时，，当时，，
综上即或0，
，
，
或 或 或 或 或 ；
（4），
、中对应位置的元不能同时为1，
每个数组有个元，1可以出现在个位置，或者全部为0
的最大值为，当确定后，中的对应元与中的不同，
当则．
【点睛】本题结合新定义运算考查了有理数的运算，关键在于阅读理解新运算的含义，灵活运用有理数的运算技能技巧，逐步提高符合意识素养．
指数运算
新运算
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
0.4
0.04
40
400
…
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·海南海口·八年级校考期中）估算的值是（ ）
A．在5和6之间B．在6和7之间C．在7和8之间D．在8和9之间
2．（2022秋·山东东营·七年级校考期末）若，，且，则的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．D．3
3．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）在，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如：，，按此规定，的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·湖南常德·八年级统考期中）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·七年级课时练习）已知x，y为实数，且，则（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
9．（2022秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（ ）
①；
②；
③若，则；
④．
A．4B．3C．2D．1
10．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论正确的是（ ）
①；
②；
③；
④当，m为非负整数时，有；
⑤满足的非负数x只有两个．
A．①④B．①④⑤C．①②⑤D．①③④
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知是的整数部分，是的小数部分，那么的值是_____．
12．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）若（k为整数），那么k的值为______．
13．（2022秋·甘肃嘉峪关·七年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为___________．
14．（2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习）如图网格中每个小正方形的边长为，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是______．
规定：用符号表示一个不大于实数的最大整数，例如：，，，按这个规定，________．
15．（2022秋·甘肃酒泉·八年级校考期末）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
16．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点A表示的数为 ，正方形的面积为． 将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点A、B、C、D的对应点分别为、、、，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积为，当时，数轴上点表示的数是___________．（用含a的代数式表示）
17．（2023春·七年级单元测试）若，其中a，b均为整数，则______．
18．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记．例如：，则39是一个“类完全平方数”，且．
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则___________；
（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最大值=___________．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）计算：
(1)．
(2)．
20．（2023春·七年级课时练习）求满足下列各式的未知数
(1)
(2)
21．（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分，求的立方根．
22．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读题的解法，再解答．
已知a、b是有理数，并且满足等式，求a、b的值．
解：因为． 即．
所以，． 解得：，．
解答：设x、y是有理数，并且满足，求的值．
23．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：
例如：∵ ，
即
∴的整数部分是，小数部分是
(1)试求：的整数部分与小数部分；
(2)已知小数部分是n，且，求的的值．
24．（2022秋·四川巴中·八年级校考阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：① ；② ；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则 ．
25．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）若一个各数位上数字均不为0的四位数M的千位数字大于百位数字，且千位数字与百位数字和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“完全平方和数”．
例如：，∵且，∴3116是“完全平方和数”；
又如：，∵但，∴7295不是“完全平方和数”．
(1)判断5481，9185是否是“完全平方和数”，并说明理由．
(2)一个“完全平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，．当与均能被2整除时，求出所有满足条件的M．
26．（2022秋·北京西城·七年级北京四中校考期中）将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于和，，
新运算2：对于任意两个元完美数组和， ，例如：对于3元完美数组和，有．
(1)在，，，中是3元完美数组的有：______；
(2)设，则______；
(3)已知完美数组求出所有4元完美数组，使得；
(4)现有个不同的元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，均有：；则的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
指数运算
新运算
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
0.4
0.04
40
400
…
第六章 实数重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·海南海口·八年级校考期中）估算的值是（ ）
A．在5和6之间B．在6和7之间C．在7和8之间D．在8和9之间
【答案】D
【分析】估算出的值的范围，即可解答．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
估算的值在8和9之间，
故选：D．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
2．（2022秋·山东东营·七年级校考期末）若，，且，则的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．D．3
【答案】B
【分析】先根据算术平方根、绝对值意义和求出a、b值，从而求出值，再求出其算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴的算术平方根为，
故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根与绝对值，有理数乘法，熟练掌握正确求出一个数的算术平方根与绝对值是解题的关键．
3．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）在，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在，，，，（每两个之间依次多一个）中，
，，（每两个之间依次多一个）是无理数，共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查无理数，会判断无理数．解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数，如：；②无限不循环小数，如：（相邻两个之间依次多一个）；③含有数，如：．
4．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如：，，按此规定，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先据算出的大小，然后求得的范围，然后根据的意义可求得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算、无理数整数部分的有关计算等知识，是重要考点，难度较易，估算出是解题关键．
5．（2022秋·湖南常德·八年级统考期中）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．
【详解】解：由题意得：
①，
，故①正确；
②，
，故②不正确；
③，
，故③正确；
所以，正确的是①③，
故选：B．
【点睛】此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．
6．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】①根据表示距离最近的正整数，进行判断；②根据，确定n的值；③分别求出，进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解．
【详解】解：①表示距离最近的正整数，
∴；故①正确；
②时，，4，5，6，
∴n的值有4个；故②错误；
③∵，
∴；故③正确；
④∵，…，
∴2个1，4个2，6个3，8个4，…，
∴；故④错误；
⑤，
∴；故⑤正确；
综上：正确的是①③⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查无理数的估算，以及数字规律探究．根据所给的定义，通过无理数的估算，找到数字规律是解题的关键．
7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据新定义逐步求解即可
【详解】∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查新定义的运用，仔细阅读题干，理解材料的含义是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）已知x，y为实数，且，则（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
【答案】C
【详解】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴
∴
∴y＝4，
∴，
当时，；
当时，；
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x、y的值．
9．（2022秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（ ）
①；
②；
③若，则；
④．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据对数的定义和乘方意义解题即可．
【详解】解：①∵，
∴，故说法①正确，符合题意；
②设，，则，，
∴，即，
∴，
∴，即，故②正确，符合题意；
③设，则，，
∴，
∴，
∴，解得，故③说法正确，符合题意；
④设，，则，，
∴,
∴
故说法④正确，符合题意；
∴正确的说法有个，
故选：A．
【点睛】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．
10．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论正确的是（ ）
①；
②；
③；
④当，m为非负整数时，有；
⑤满足的非负数x只有两个．
A．①④B．①④⑤C．①②⑤D．①③④
【答案】B
【分析】先理解题意，表示对x四舍五入．①可直接判断；②③可取特殊值检验正误；④整数不影响四舍五入；⑤，则为整数，那么x是的倍数，可代入特殊值验证．
【详解】①，说法正确；
②比如时，，而，，说法错误；
③比如时，，
而，，说法错误；
④m为非负整数，则，所以当时，，说法正确；
⑤若满足，则为整数，x必然是的倍数．经验证：时； 时，符合条件的x有两个，说法正确．
故选：B
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意用特殊值法是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知是的整数部分，是的小数部分，那么的值是_____．
【答案】##
【分析】直接利用的范围，得出的值，进而求出答案．
【详解】解：，是的整数部分，是的小数部分，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确得出的值是解题的关键．
12．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）若（k为整数），那么k的值为______．
【答案】2
【分析】先估算出的范围，再估算的范围，最后得出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵（k为整数），
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
13．（2022秋·甘肃嘉峪关·七年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为___________．
【答案】
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求得x、y的值，然后代入求解即可．
【详解】解：，
，
解得：，
当时，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性；能利用非负性正确求出x、y值是解答的关键．
14．（2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习）如图网格中每个小正方形的边长为，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是______．
规定：用符号表示一个不大于实数的最大整数，例如：，，，按这个规定，________．
【答案】
【分析】（1）根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
（2）先求出的范围，求出的范围，即可得出答案．
【详解】解：（1）根据图形得：，
则新正方形的边长为．
故答案为．
解：（2）∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，算术平方根和三角形的面积，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
15．（2022秋·甘肃酒泉·八年级校考期末）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
【答案】
【分析】根据新定义，将，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简．
16．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点A表示的数为 ，正方形的面积为． 将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点A、B、C、D的对应点分别为、、、，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积为，当时，数轴上点表示的数是___________．（用含a的代数式表示）
【答案】或
【分析】根据正方形的面积可得正方形的边长，然后分情况讨论，进而可以表示点表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为，所以边长为a，当时，分两种情况：
（1）当正方形向左平移时，如图所示：
∵，
，
∴，
∴，
∴数轴上点表示的数为；
（2）当正方形ABCD向右平移时，如图所示：
∵，，
∴，
∴数轴上点表示的数为；
综上所述，数轴上点表示的数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据正方形平移后用代数式表示线段的长度．
17．（2023春·七年级单元测试）若，其中a，b均为整数，则______．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
18．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记．例如：，则39是一个“类完全平方数”，且．
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则___________；
（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最大值=___________．
【答案】 12 93
【分析】（1）根据（，为正整数）进行推导即可求出答案；
（2）根据两位数是一个“类完全平方数”，推出是3的倍数并且满足，求的最大值，逐个尝试即可求出正确答案．
【详解】解：（1）∵37是一个“类完全平方数”，37=3²+3×4+4²
∴F（37）=12
故答案为：12
（2）∵两位数是一个“类完全平方数”，且
∴是3的倍数
当=99时，108，不满足是两位数；
当=96时，105，不满足是两位数；
当=93时，102，不满足是两位数；
当=90时，99，满足是两位数，
∵
又∵，，，，
∴99不符合题意，
当=87时，96，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴96不符合题意，
当=84时，93，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴93符合题意，
∴的最大值为93，
故答案为：93．
【点睛】本题考查了阅读材料题，认真读懂题干中的例子是解答本题的关键．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，以及有理数的乘方运算，进行计算即可求解；
（2）根据立方根，算术平方根，以及有理数的乘方运算，化简绝对值，进行计算即可求解；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握立方根，算术平方根，以及有理数的乘方是解题的关键．
20．（2023春·七年级课时练习）求满足下列各式的未知数
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程整理后根据平方根的定义求解可得；
（2）根据立方根的定义得出，解之可得．
【详解】（1），
方程整理得： ，
开方得：；
（2）
开立方得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查立方根、平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义．
21．（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分，求的立方根．
【答案】
【分析】根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，根据估算可得c值，代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵的算术平方根是1，
∴，
∴；
∵c是的整数部分，，
∴．
∴，
∴的立方根是．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
22．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读题的解法，再解答．
已知a、b是有理数，并且满足等式，求a、b的值．
解：因为． 即．
所以，． 解得：，．
解答：设x、y是有理数，并且满足，求的值．
【答案】1或
【分析】根据规律：等式左右两边的有理数部分和二次根式分别相同，建立方程，然后解方程即可．
【详解】解：因为，
所以，
所以，，
解得或．
所以或．
故的值为1或．
【点睛】题目主要考查实数的加减运算，理解题干中的求解方法是解题关键．
23．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：
例如：∵ ，
即
∴的整数部分是，小数部分是
(1)试求：的整数部分与小数部分；
(2)已知小数部分是n，且，求的的值．
【答案】(1)3；
(2)或
【分析】（1）根据夹逼法可求的整数部分和小数部分；
（2）求出的值，代入，根据平方根的定义求即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是3，小数部分是，
（2）解：∵，即，
，即
∴的小数部分为；
∵小数部分是n，
∴，
，
∴或．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数值是解题的关键．
24．（2022秋·四川巴中·八年级校考阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：① ；② ；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则 ．
【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位．
(2)
(3)
【分析】（1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解；
（2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解；
（3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解．
【详解】（1）解：探究发现：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以的得到：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位．
（2）解：∵
∴
∵
∴；
故答案为：0.1435；14.35；
（3）解：∵
，
故答案为：12.60．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑．
25．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）若一个各数位上数字均不为0的四位数M的千位数字大于百位数字，且千位数字与百位数字和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“完全平方和数”．
例如：，∵且，∴3116是“完全平方和数”；
又如：，∵但，∴7295不是“完全平方和数”．
(1)判断5481，9185是否是“完全平方和数”，并说明理由．
(2)一个“完全平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，．当与均能被2整除时，求出所有满足条件的M．
【答案】(1)5481是“完全平方和数”； 9185不是“完全平方和数”
(2)满足条件的M的值为：或或
【分析】（1）根据“完全平方和数”的定义进行解答即可；
（2）根据与均能被2整除，可得均为偶数，同奇或同偶，根据“完全平方和数”的定义取值即可．
【详解】（1）解：∵且，
∴5481是“完全平方和数”；
∵且，
∴9185不是“完全平方和数”；
（2）根据题意可得：，
∵与均能被2整除，
要满足能被整除，
则同奇同偶，
∴
，
其中、、均能被整除，
∴必然能被整除，即为偶数，
∴均为偶数，
∴为偶数，
∴也为偶数，
∴同奇或同偶，
根据“完全平方和数”可知，，
当时，，则，c，d不满足均为偶数；
当时，，则，不满足均为偶数；
当时，或，则或，
故满足题意；
当，，则，
故满足题意；
当时，，则，
故满足题意；
当时，没有满足题意得的值，
综上：满足条件的M的值为：或或．
【点睛】本题考查了数的整除性，用新定义解题，理解新定义以及运用分类讨论的思想解题是关键．
26．（2022秋·北京西城·七年级北京四中校考期中）将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于和，，
新运算2：对于任意两个元完美数组和， ，例如：对于3元完美数组和，有．
(1)在，，，中是3元完美数组的有：______；
(2)设，则______；
(3)已知完美数组求出所有4元完美数组，使得；
(4)现有个不同的元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，均有：；则的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
【答案】(1)，
(2)2
(3)或 或 或 或 或
(4)的最大可能值是；，
【分析】（1）根据元完美数组的定义判断即可；
（2）依据新运算定义进行计算即可；
（3）依据新运算定义，尝试使得的计算结果即可；
（4）根据新运算定义，则可知数组，中对应位置不能同时为1，由数组，的任意性可知：完美数组中元素最多只能有一个1，即可推出的最大可能值是，由此推出这些完美数组的一个构造即可．
【详解】（1）解：在，，，中不是完美数组，是4元完美数组，
故3元完美数组的有：，；
（2）∵，，
；
故答案为：2；
（3），
当时，，当时，，当时，，
综上即或0，
，
，
或 或 或 或 或 ；
（4），
、中对应位置的元不能同时为1，
每个数组有个元，1可以出现在个位置，或者全部为0
的最大值为，当确定后，中的对应元与中的不同，
当则．
【点睛】本题结合新定义运算考查了有理数的运算，关键在于阅读理解新运算的含义，灵活运用有理数的运算技能技巧，逐步提高符合意识素养．
指数运算
新运算
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
0.4
0.04
40
400
…
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