人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题12二元一次方程组的应用重难点题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题12二元一次方程组的应用重难点题型专训(原卷版+解析)，共67页。

题型一 方案问题专训
题型二 行程问题专训
题型三 数字问题专训
题型四 销售、利润问题专训
题型五 分配问题专训
题型六 和差倍分问题专训
题型七 几何问题专训
题型八 古代问题专训
【知识梳理】
二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
【经典例题一 方案问题专训】
【例1】（2022秋·八年级课时练习）为了更好做好防疫工作，七年级一班班委商议，用210元购买口罩和酒精湿巾（两种物品都买），其中口罩每包10元，酒精湿巾每包3元，在钱恰好用完的条件下，则购买的方案种数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式训练】
【变式1】（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（ ）
A．12种B．13种C．14种D．15种
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）某公司需要到指定超市采购矿泉水和功能饮料，3月采购24箱矿泉水和32箱功能饮料花费3480元，4月采购32箱矿泉水和24箱功能饮料花费3240元，5月份该指定超市中该款矿泉水和功能饮料有部分因保质期临近进行打六折促销，公司根据实际购买了原价或打折矿泉水和功能饮料，共花费2850元，其中打折的矿泉水箱数是5月份购买所有矿泉水和功能饮料总箱数的，5月份购买所有矿泉水和功能饮料共_______箱．
【变式3】（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）为预防新冠肺炎病毒，市面上等防护型口罩出现热销．已知3个A型口罩和2个B型口罩共需31元；6个A型口罩和5个B型口罩共需70元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
(2)小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．
【经典例题二 行程问题专训】
【例2】（2021春·山东淄博·七年级统考期末）小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．假设每辆8路公交车行驶速度相同，而且8路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（ ）
A．3分钟B．4分钟C．5分钟D．6分钟
【变式训练】
【变式1】（2021春·浙江绍兴·七年级统考期中）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶．它们各自单独行驶并返回的最远距离是．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回地，而乙车继续行驶，到地后再行驶返回地．则地最远可距离地（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021秋·重庆·九年级重庆市育才中学校考期末）一天，中午放学后，双福育才中学九年级l班的小明和小亮一起从l班前往相距1班60米的高中部食堂就餐，他们同时出发，同向而行，分别以各自的速度匀速直线奔跑，过程中的某时刻，小明不慎将饭卡落在C地（1班、高中部食堂、地点C在同一直线上且饭卡落在C地后不再移动），第6秒时小明才发现并迅速掉头以原速去捡饭卡，捡饭卡时用了1秒，捡到饭卡后，小明将速度提升到小亮速度的两倍迅速往高中部食堂匀速跑去，小明掉头的时间忽略不计，如图是两人之间的距离y（米）与小明出发的时间x（秒）之间的函数图像，则当小明到达高中部食堂时，小亮离高中部食堂还有________米．
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈.
求：
(1)若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？
(2)若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？
(3)哥哥的速度是小明的多少倍？
(4)哥哥追上小明时，小明跑了 圈（直接写出答案）
【经典例题三 数字问题专训】
【例3】（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6B．15C．18D．24
【变式训练】
【变式1】（2021春·陕西渭南·七年级统考期末）如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于，的关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·河南平顶山·八年级统考期末）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下：
则看到的两位数是______．
【变式3】（2022秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末）一个三位数A各个数位上的数字均不相等，若将A的个位上的数字移到最左边得到一个新的三位数，且被4除余1，再将的个位上的数字移到最左边得到另一个新的三位数，且被4除余2，则称原数为4的“友谊数”．例如：三位数，则，且，，且，所以256是4的“友谊数”．
(1)分别判断自然数和是否是“友谊数”，并请说明理由．
(2)若“友谊数”A百位上的数字是a，十位上的数字是1，个位上的数字是c，其中，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，其最大数与最小数的差记为，若为整数，求出所有符合条件的A．
【经典例题四 销售、利润问题专训】
【例4】（2021秋·山东枣庄·八年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）为迎接2022年北京冬奥会，某班开展了以迎冬奥为主题的体育活动，计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件25元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【变式训练】
【变式1】（2022·浙江舟山·九年级专题练习）某商店对一种商品进行促销，促销方式：若购买不超过10件，按每件元付款：若一次性购买10件以上，超出部分按每件元付款．小明购买了14件付款90元；小聪购买了19件付款115元，则，的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·重庆沙坪坝·七年级统考期末）年冬，重庆新冠疫情期间，某火锅店举办“云端火锅，共抗疫情”活动，将火锅底料及菜品打包成“便利火锅包”送至附近小区大门处，由居民自行前往提取．根据菜品种类分为A、、三类，三个品类成本价分别是元，元，元．且A类和类火锅的标价一样，该店对这三个品类全部打折销售．若三个品类的销量相同，则火锅店能获得的利润，此时A品类利润率为．若A、、三类销量之比是，则火锅店销售A、、类便利火锅包的总利润率为_______．（利润率）
【变式3】（2023春·浙江·七年级专题练习）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表：
在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物．
(1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”．
(2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？
(3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程）
【经典例题五 分配问题专训】
【例5】（2020春·湖北武汉·七年级统考期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可运货35吨，6辆大货车和10辆小货车一次可运货（ ）吨．
A．55B．50.5C．50D．49
【变式训练】
【变式1】（2019秋·全国·八年级专题练习）市南区某校八年级学生到学农基地进行学农实践活动，已知基地有两种类型的学生宿舍，大宿舍每间可住14人，小宿舍每间可住8人，大宿舍的间数比小宿舍的2倍还多1间.该校320个学生恰好住满这些宿舍，求大、小宿舍各有多少间？若设大宿舍有x间，小宿舍有y间，则由题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则
（1）两种方式共裁出长方形______张，正方形______张．（用m、n的代数式表示）
（2）当时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是______个．
【变式3】（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【经典例题六 和差倍分问题专训】
【例6】（2022秋·全国·八年级专题练习）小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款510元，则两次的快递费一共为（ ）
A．15元B．30元C．45元D．60元
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【变式2】（2021秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）今年8月20日，重庆八中学子在第37届全国青少年信息学奥林匹克竞赛中再创佳绩，斩获一金四银，一学子入选国家集训队，为了解我校信息竞赛同学对其它竞赛科目的兴趣程度，老师对同学们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（每位同学都填了调查表，且只选择数学、物理、化学、生物其中一个科目），其中选物理的人数比选生物的少8人；选数学的人数是选生物人数的整数倍；选生物与数学的人数之和是物理与化学的人数之和的5倍；选化学与数学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24人，则喜欢数学共有__人．
【变式3】（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．建兰中学欲购置规格分别为200ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？
(3)为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
【经典例题七 几何问题专训】
【例7】（2022春·河南南阳·七年级统考期中）一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）
A．36B．48C．96D．128
【变式训练】
【变式1】（2021春·河南信阳·七年级统考期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”．设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”．如图所示的的正方形网格，，，图中格点多边形的面积是21．
问题解决：已知一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______．
【变式3】（2023春·浙江·七年级专题练习）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【经典例题八 古代问题专训】
【例8】（2023春·七年级课时练习）《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南濮阳·七年级校考期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？如果设有x人，该物品值y元，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·七年级课时练习）我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“群羊逐草”的问题，大意是：牧童甲在草原上放羊，乙牵着一只羊来，并问甲：“你这群羊有100只吗？”甲说：“如果在这群羊上加上同样的一群，再加上半群，又加上四分之一群，再加上你的一只，才满100只．”问牧童甲赶着多少只羊？若设牧童甲赶着x只羊，则可列方程为________________________．
【变式3】（2022春·广西南宁·七年级统考期末）阅读材料，解决问题．
阅读材料1：“算筹”是古代用来进行计算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式．当表示一个多位数时，要像阿拉伯计数一样，把各数位的数码从左到右排列，但各数位数码的摆放需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，例如：2309用“算筹”表示就是；
阅读材料2：我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中的“方程”这一章中．下面的算筹图代表了古代解决方程问题的方法：
如图1，图2，图中各行从左到右的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．因此，图1的算筹图用现在的方程组形式可以表示为：
(1)用“算筹”表示的数是______；
(2)请列出图2算筹图所表示的关于x，y的二元一次方程组，并求出该方程组的解．
【培优检测】
【培优检测】
1．（2023秋·山东淄博·六年级统考期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是（ ）
A．5B．7C．8D．6
2．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）甲、乙两个两位数，若把甲放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数，如果甲数为x，乙数为y，则得方程组是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．81cmB．83cmC．85cmD．87cm
4．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即；
步骤3：计算3a与b的和c，即；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即；
步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是5，则被污染的两个数字中右边的数字是（ ）
A．1B．3C．4D．5
5．（2023春·七年级单元测试）我校七年级某班为筹备篮球运动会，准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱恰好用尽的条件下，有( )种购买方案．
A．1种B．2种C．3种D．4种
6．（2023春·七年级课时练习）咖啡A与咖啡B以之比（以质量计）混合，A的原价为50元/kg，B的原价为40元/kg．若A的价格增加，而B的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200B．201C．202D．203
8．（2021·江苏·九年级专题练习）小明出门时身上带了100元，下表记录了他今天所有支出，其中饮料与饼干支出的金额被涂黑．若每瓶饮料5元，每包饼干8元，则小明不可能剩下多少元？( )
A．4B．15C．22D．44
9．（2022春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习）中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”根据题意可得每匹马__________两．
10．（2023·全国·七年级专题练习）一个有的余水量的圆柱形蓄水池有5个进出水口，每个进出水口匀速进水或出水；每天早晨6点，水池开始进水或出水，如果开放2个进水口和3个出水口，8小时将水池注满，如果开放3个进水口和2个出水口，2小时将水池注满．随着天气转冷，居民的用水量减少，每天早晨6点时，水池的余水量达到了40%，若只开2个进水口和1个出水口，那么从早晨6点开始经过_______小时将水池注满．
11．（2022秋·全国·八年级阶段练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”请你写出这些长方形的长和宽_________．
12．（2022秋·八年级课时练习）设有n个数，，…，．其中每个数都可能取0，1，-2这三个数中的一个，且满足下列等式： ++…+＝﹣2，++…+＝16，则…+的值是_____．
13．（2023·江苏南通·九年级专题练习）腊八之后，年味渐浓．京东超市某直营店推出甲、乙两种年货礼盒，其中甲种礼盒有开心果3袋，腰果3袋，夏威夷果1袋，纸皮核桃1袋；乙种礼盒有开心果4袋，腰果3袋，纸皮核桃3袋．每种礼盒的总成本由该礼盒中所有坚果的成本之和加上包装盒成本6元/个．已知每袋开心果和每袋腰果的成本价之比为，每袋夏威夷果和每袋纸皮核桃的成本价之比为．甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%，第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%．第二周直营店通过减少坚果的袋数推出甲、乙两种年货的小号礼盒，甲种小号礼盒的成本价（包含包装盒成本）降为原甲种礼盒总成本的35%，乙种小号礼盒相比原乙种礼盒开心果、腰果、纸皮核桃各减少2袋，小号包装盒成本每个4元．如果第二周售出的甲、乙小号礼盒恰好分别与第一周甲、乙两种礼盒数量相同，则第二周售出的所有小号礼盒的总成本是______元．
14．（2021秋·重庆·九年级重庆八中校考阶段练习）某商店销售、、三种产品，七月份和两种产品销售数量之比为，已知产品每件售价为元，每件利润率为，且产品每件的成本比产品每件的成本少元，比产品每件的成本少元八月份产品销售量与七月份一样，产品销售量比七月份增加，产品销售量是七月份的三倍，且八月份三种产品的总销售量比七月份多了件．八月份产品的成本和售价保持不变，8月份产品成本增加了元，售价增加了元，8月份产品成本不变，售价减少了元，发现7月份产品的销售额占7月份总销售额的，产品两个月总利润是产品两个月总利润的，那么在8月份销售件产品的利润比销售件产品的利润多______元．
15．（2022秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗 手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．
(1)求医用口罩和洗手液的单价；
(2)由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，两种口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．
16．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表：
(1)表格中被污渍盖住的数是______．
(2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
(3)请你通过计算说明所有可行的运输方案．
17．（2022春·福建泉州·七年级统考阶段练习） 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ；
(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？
(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表：
在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物．
(1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”．
(2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？
(3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程）
19．（2022春·重庆万州·七年级统考期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
(1)若有理数a、b满足，求a、b的值；
(2)母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
20．（2022秋·江苏·七年级统考期末）点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．
(1)那么a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数；
(3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是 单位长度；
(4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．
时刻
里程表上的数
是一个两位数，数字之和为
十位数字与个位数字与看到的正好颠倒了位置
比看到的两位数中间多了一个
A型
B型
C型
满368减100
满168减68
满50减20
A货车（辆）
B货车（辆）
防疫物资（吨）
第一次
12
8
360
第二次
18
12
▄
第三次
5
4
160
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450
不优惠
超过450，但不超过600
按打九折
超过600
其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠
A型
B型
C型
满368减100
满168减68
满50减20
专题12 二元一次方程组的应用重难点题型专训
【题型目录】
题型一 方案问题专训
题型二 行程问题专训
题型三 数字问题专训
题型四 销售、利润问题专训
题型五 分配问题专训
题型六 和差倍分问题专训
题型七 几何问题专训
题型八 古代问题专训
【知识梳理】
二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
【经典例题一 方案问题专训】
【例1】（2022秋·八年级课时练习）为了更好做好防疫工作，七年级一班班委商议，用210元购买口罩和酒精湿巾（两种物品都买），其中口罩每包10元，酒精湿巾每包3元，在钱恰好用完的条件下，则购买的方案种数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】设购进口罩x包，酒精湿巾y包，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的种数．
【详解】解：设购进口罩x包，酒精湿巾y包，
依题意得：10x+3y=210，
∴
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或或或或，
∴小明共有6种购买方案．
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（ ）
A．12种B．13种C．14种D．15种
【答案】C
【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数=260；C种奖品个数为3或4个，设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．
【详解】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，
当C种奖品个数为3个时
根据题意得
整理得
都是正整数，
当C种奖品个数为4个时
根据题意得
整理得
都是正整数，
有种购买方案
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）某公司需要到指定超市采购矿泉水和功能饮料，3月采购24箱矿泉水和32箱功能饮料花费3480元，4月采购32箱矿泉水和24箱功能饮料花费3240元，5月份该指定超市中该款矿泉水和功能饮料有部分因保质期临近进行打六折促销，公司根据实际购买了原价或打折矿泉水和功能饮料，共花费2850元，其中打折的矿泉水箱数是5月份购买所有矿泉水和功能饮料总箱数的，5月份购买所有矿泉水和功能饮料共_______箱．
【答案】60
【分析】先由二元一次方程组求出矿泉水和功能饮料的原价；设5月份购买原价功能饮料b箱，一共购买a箱，则打折矿泉水箱，原价矿泉水和打折功能饮料箱；再根据打折后的价格建立二元一次方程，结合题意求方程的正整数解即可；
【详解】解：设矿泉水原价每箱x元，功能饮料原价每箱y元，由题意得：
，解得：，
∴矿泉水原价每箱45元，功能饮料原价每箱75元，
打折后：矿泉水每箱27元，功能饮料每箱45元，
设5月份购买原价功能饮料b箱，一共购买a箱，
则打折矿泉水箱，原价矿泉水和打折功能饮料（）箱，
由题意得：27×+45×（）+75b=2850，
化简得：，
a，b为正整数，∴或或
∵a＞b，
∴，
∴5月份购买所有矿泉水和功能饮料共60箱，
故答案为：60；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的正整数解；理清题意中的数量关系是解题关键．
【变式3】（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）为预防新冠肺炎病毒，市面上等防护型口罩出现热销．已知3个A型口罩和2个B型口罩共需31元；6个A型口罩和5个B型口罩共需70元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
(2)小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．
【答案】(1)一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为8元
(2)小红有2种不同的购买方案，方案1：购买8个A型口罩，13个B型口罩；方案2：购买16个A型口罩，6个B型口罩
【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，可得，将二元一次方程中和分别取正整数值，即可得出购买方案．
【详解】（1）设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为8元；
（2）解：设购买型口罩个，型口罩个，
根据题意，得，
即，
满足条件的，有：，或，，
小红有2种购买方案：
第一种方案：型口罩购买8个，型口罩购买13个；
第二种方案：型口罩购买16个，型口罩购买6个；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列二元一次方程组进行求解．
【经典例题二 行程问题专训】
【例2】（2021春·山东淄博·七年级统考期末）小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．假设每辆8路公交车行驶速度相同，而且8路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（ ）
A．3分钟B．4分钟C．5分钟D．6分钟
【答案】D
【分析】首先设同向行驶的相邻两车的距离及车、小王的速度为未知数，根据等量关系把相关数值代入可得到同向行驶的相邻两车的距离及车的速度关系式，相除即可得所求时间．
【详解】解：设8路公交车的速度为米/分，小王行走的速度为米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．
每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，则
①
每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车，则
②
由①+②可得，
所以，
即8路公交车总站发车间隔时间是6分钟．
故选：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据追及问题和相遇问题得到两个等量关系是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021春·浙江绍兴·七年级统考期中）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶．它们各自单独行驶并返回的最远距离是．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回地，而乙车继续行驶，到地后再行驶返回地．则地最远可距离地（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回 地时燃料用完，根据题意得关于和的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：如图，设行驶途中停下来的地点为地，，，
根据题意，得，
解得，
∴的最大长度是．
故选：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键．
【变式2】（2021秋·重庆·九年级重庆市育才中学校考期末）一天，中午放学后，双福育才中学九年级l班的小明和小亮一起从l班前往相距1班60米的高中部食堂就餐，他们同时出发，同向而行，分别以各自的速度匀速直线奔跑，过程中的某时刻，小明不慎将饭卡落在C地（1班、高中部食堂、地点C在同一直线上且饭卡落在C地后不再移动），第6秒时小明才发现并迅速掉头以原速去捡饭卡，捡饭卡时用了1秒，捡到饭卡后，小明将速度提升到小亮速度的两倍迅速往高中部食堂匀速跑去，小明掉头的时间忽略不计，如图是两人之间的距离y（米）与小明出发的时间x（秒）之间的函数图像，则当小明到达高中部食堂时，小亮离高中部食堂还有________米．
【答案】6．
【分析】根据题意，得出OA段为小明小亮一起迅速冲向食堂，ABC段小明跑回去找饭卡，建立方程求出小明到达食堂用时，即可得出结论．
【详解】如图所示：
根据题意得，
OA段为小明小亮一起迅速冲向食堂，
ABC段小明跑回去找饭卡，
小明的速度大于小亮，
CD段为小明捡饭卡用的1s，
，
解得：，
小明到达食堂用时：
∴小亮据食堂的距离，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了行程问题，正确理解题意建立等式，是解题的关键．
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈.
求：
(1)若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？
(2)若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？
(3)哥哥的速度是小明的多少倍？
(4)哥哥追上小明时，小明跑了 圈（直接写出答案）
【答案】(1)（米）；
(2)小明的速度为3米秒；
(3)哥哥速度是小明速度的2倍；
(4)
【分析】（1）根据总长度＝（哥哥的速度＋小明的速度）×时间，求解即可；
（2）根据条件列出等量关系：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道的周长，列方程求解即可；
（3）等量关系为：他们沿相反方向出发：哥哥所跑路程＋小所跑路程＝环形跑道周长；同向时：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道周长，据此列出方程组求解；
（4）由（3）中求出的哥哥的速度与小明的速度的比为1:2，可知在时间相同时，他们所行的路程也为2:1．如果设小明跑了x，那么哥哥跑了2x圈，根据哥哥比小明多跑了20圈列式解答即可．
【详解】（1）解：（米；
（2）设小明的速度为米秒，
由题意得，，
解得：，
答：小明的速度为3米秒；
（3）设哥哥的速度是米秒，小明的速度是米秒.环形跑道的周长为米.
由题意得，，
整理得，，
即.
答：哥哥速度是小明速度的2倍；
（4）设小明跑了圈，那么哥哥跑了圈.
根据题意，得，
解得，.
故经过了25分钟小明跑了20圈
【点睛】本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【经典例题三 数字问题专训】
【例3】（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6B．15C．18D．24
【答案】B
【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可．
【详解】解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；
D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；
其余三个圈所填的数位之和为c．
显然有…①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②，
②﹣①，得③，
把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④，
联立③，④，解得，，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次方程组和二元一次方程组，读懂题意正确列出方程是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021春·陕西渭南·七年级统考期末）如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于，的关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据日历上的数字之间的关系列方程组：，再解方程组，再分别检验四个选项即可得到答案．
【详解】解：由题意得：

由②得：
把代入①得：

故不符合题意；
故不符合题意；
故符合题意，
故不符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法，掌握利用二元一次方程组解决日历问题是解题的关键．
【变式2】（2023秋·河南平顶山·八年级统考期末）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下：
则看到的两位数是______．
【答案】15
【分析】设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据两位数之和为6可列一个方程，再根据匀速行驶，12～13时行驶的里程数等于13～14：30时行驶的里程数除以1.5列出第二个方程，解方程组即可．
【详解】设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x+y；
则13时看到的两位数为x+10y，12～13时行驶的里程数为：（10y+x）-（10x+y）；
则14：30时看到的数为100x+y，13时～14：30时行驶的里程数为：（100x+y）-（10y+x）；
由题意列方程组得：，
解得：，
所以12：00时看到的两位数是15．
故答案是：15．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程组是解题的关键．
【变式3】（2022秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末）一个三位数A各个数位上的数字均不相等，若将A的个位上的数字移到最左边得到一个新的三位数，且被4除余1，再将的个位上的数字移到最左边得到另一个新的三位数，且被4除余2，则称原数为4的“友谊数”．例如：三位数，则，且，，且，所以256是4的“友谊数”．
(1)分别判断自然数和是否是“友谊数”，并请说明理由．
(2)若“友谊数”A百位上的数字是a，十位上的数字是1，个位上的数字是c，其中，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，其最大数与最小数的差记为，若为整数，求出所有符合条件的A．
【答案】(1)是4的“友谊数”， 不是4的“友谊数”，理由见解析
(2)或
【分析】（1）根据新定义进行计算即可判断；
（2）依题意，根据新定义求得，，根据整除，确定的值即可求解，进而求得符合题意的数．
【详解】（1）解：，则，且，，且，
∴是4的“友谊数”．
∵，则，且，
∴不是4的“友谊数”．
（2）依题意，
∵是“友谊数”，
∴，是整数，
即能被4整除，
∴
，是整数，
∴能被4整除，
∵，
当时，不能被4整除，舍去
当时，被4整除，则或
当时，被4整除，则
当时，被4整除，则
综上所述，这些数为
∵，，，
∴或
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整除，二元一次方程，确定的值是解题的关键．
【经典例题四 销售、利润问题专训】
【例4】（2021秋·山东枣庄·八年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）为迎接2022年北京冬奥会，某班开展了以迎冬奥为主题的体育活动，计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件25元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【答案】B
【分析】设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得，进而求解即可．
【详解】解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：
，
∴，
∵，且x、y都为正整数，
∴当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则（不合题意舍去）；
∴购买方案有3种；
故选B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握二元一次方程整数解求解的方法是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·浙江舟山·九年级专题练习）某商店对一种商品进行促销，促销方式：若购买不超过10件，按每件元付款：若一次性购买10件以上，超出部分按每件元付款．小明购买了14件付款90元；小聪购买了19件付款115元，则，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：由题意得：
，
由②−①得：，
解得：，将代入①得：
，解得：，
∴方程组的解为，
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程组．
【变式2】（2022秋·重庆沙坪坝·七年级统考期末）年冬，重庆新冠疫情期间，某火锅店举办“云端火锅，共抗疫情”活动，将火锅底料及菜品打包成“便利火锅包”送至附近小区大门处，由居民自行前往提取．根据菜品种类分为A、、三类，三个品类成本价分别是元，元，元．且A类和类火锅的标价一样，该店对这三个品类全部打折销售．若三个品类的销量相同，则火锅店能获得的利润，此时A品类利润率为．若A、、三类销量之比是，则火锅店销售A、、类便利火锅包的总利润率为_______．（利润率）
【答案】
【分析】可设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，根据所给的条件可列出三元一次方程组，解方程组得出相应的x，y的值，从而可求解．
【详解】解：设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，依题意得：
，
解得：，
故B类的利润率为：，
C类的利润率为：，
当A、B、C三类销量之比是，则火锅店销售A、B、C类便利火锅包的总利润率为：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系列出方程组．
【变式3】（2023春·浙江·七年级专题练习）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表：
在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物．
(1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”．
(2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？
(3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程）
【答案】(1)5
(2)他使用了A型2张，B型3张．
(3)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．
【分析】（1）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可；
（2）设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A， B型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可；
（3）设小温使用了A型“优惠券”a张， B型“优惠券”b张， C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A， B两种类型的优惠券，②使用了B， C两种类型的优惠券，③使用了A， C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案．
【详解】（1）解∶根据题意，得 (张)，
故答案为∶5；
（2）解：设他使用了A型x张，B型y张．
根据题意可得解得
答：他使用了A型2张，B型3张．
（3）解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张．
根据题意可得三种情形：
①若小温使用了A，B型优惠券，则有
化简为：
∵a，b都为整数，且，
∴，
②若小温使用了B，C型优惠券，则有
化简为：
∵b，c都为整数，且，
∴，
③若小温使用了A，C型优惠券，则有
化简为：
∵a，c都为整数，且，
∴本小题无解．
综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．
【点睛】本题考查了二元一次方程(组)的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二元一次方程组是解题的关键．
【经典例题五 分配问题专训】
【例5】（2020春·湖北武汉·七年级统考期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可运货35吨，6辆大货车和10辆小货车一次可运货（ ）吨．
A．55B．50.5C．50D．49
【答案】D
【分析】设1辆大货车一次可运货x吨，1辆小货车一次可运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可运货35吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（6x+10y）中即可求出结论．
【详解】解：设1辆大货车一次可运货x吨，1辆小货车一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：，
∴6x+10y=49．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2019秋·全国·八年级专题练习）市南区某校八年级学生到学农基地进行学农实践活动，已知基地有两种类型的学生宿舍，大宿舍每间可住14人，小宿舍每间可住8人，大宿舍的间数比小宿舍的2倍还多1间.该校320个学生恰好住满这些宿舍，求大、小宿舍各有多少间？若设大宿舍有x间，小宿舍有y间，则由题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设大宿舍有x间，小宿舍有y间，根据“大宿舍的间数比小宿舍的2倍还多1间”，得到一个关于x和y的二元一次方程，根据“大宿舍每间可住14人，小的每间可住8人，该校320个学生恰好住满这些宿舍”，得到第二个关于x和y的二元一次方程，两方程联立，即可得到答案．
【详解】设大宿舍有x间，小宿舍有y间，
∵大宿舍的间数比小宿舍的2倍还多1间，
∴x-2y=1，
∵大宿舍每间可住14人，小的每间可住8人，该校320个学生恰好住满这些宿舍，
∴14x+8y=320，
两方程联立得： ，
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出实际问题中的等量关系是解题的关键．
【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则
（1）两种方式共裁出长方形______张，正方形______张．（用m、n的代数式表示）
（2）当时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是______个．
【答案】 12
【分析】（1）根据方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正方形即可得出结论；
（2）先根据两种盒子所需长方形和正方形的数量之比为7：3，求出m＝4n，m，n为正整数，且10＜m＜15，得出m＝12，n＝3，再设做成竖式盒子x个，横式盒子y个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：（1）依题意得：两种方式共裁出长方形（3m+2n）张，正方形（m+2n）张．
故答案为：（3m+2n）；（m+2n）；
（2）由题意得：（3m+2n）：（m+2n）＝7：3，
解得：m＝4n，
∵m，n为正整数，且10＜m＜15，
∴m＝12，n＝3，
∴两种方式共裁出长方形3×12+2×3＝42（张），正方形12+2×3＝18（张），
设做成竖式盒子x个，横式盒子y个，
根据题意得：，
解得：，
∴做成的两种无盖纸盒一共可能是6+6＝12（个），
故答案为：12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，关键是弄清两种盒子所需正方形和长方形的数量关系．
【变式3】（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元
【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答；
（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．
【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
依题意得： 解得：
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）接：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b=3100，
∴．
又∵a，b均为非负整数，
∴或 或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；
方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；
方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．
【经典例题六 和差倍分问题专训】
【例6】（2022秋·全国·八年级专题练习）小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款510元，则两次的快递费一共为（ ）
A．15元B．30元C．45元D．60元
【答案】B
【分析】设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；购买了5件该奥运纪念品，加快递费共付款510元；分别为等量关系列出方程组，求解即可．
【详解】解：设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据题意，得
，解得：，
两次的快递费一共为2y=2×15=30(元),
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，设恰当未知数，列出方程组是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果．
【详解】解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，
由题意可得方程组：，
将代入②中得，消去x得：
即：
∵为正整数
∴的值分别为1，3，5，15，
∴y的值只能为4，5，6，11，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可得：n的值分别为8，3，2，1；
即n的可能值有4个．
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用．
【变式2】（2021秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）今年8月20日，重庆八中学子在第37届全国青少年信息学奥林匹克竞赛中再创佳绩，斩获一金四银，一学子入选国家集训队，为了解我校信息竞赛同学对其它竞赛科目的兴趣程度，老师对同学们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（每位同学都填了调查表，且只选择数学、物理、化学、生物其中一个科目），其中选物理的人数比选生物的少8人；选数学的人数是选生物人数的整数倍；选生物与数学的人数之和是物理与化学的人数之和的5倍；选化学与数学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24人，则喜欢数学共有__人．
【答案】30
【分析】可设选物理的人数有人，则选生物的人数有人，选数学的人数有人，选化学的人数有人，根据选生物与数学的人数之和是物理与化学的人数之和的5倍；选化学与数学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24人；可得方程组求得，再根据整数的性质求得，进一步求得喜欢数学共有的人数．
【详解】解：设选物理的人数有人，则选生物的人数有人，选数学的人数有人，选化学的人数有人，依题意有
，
②变形为：③，
①③得，
，均为正整数，
或或或或或，
当时，为整数，
，
喜欢数学共有（人）．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了应用类问题，二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键．
【变式3】（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．建兰中学欲购置规格分别为200ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？
(3)为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元
(2)这批消毒液可使用5天
(3)分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小
【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间＝免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论；
（3）设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将8.4L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗10ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m＋n）最小的方案即可得出结论．
（1）
解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．
（2）
解：设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，
依题意，得：10a＋25b＝2500，
∴2a＋5b＝500，
∴，
答：这批消毒液可使用5天．
（3）
解：设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，
依题意，得：200m＋500n＋10（m＋n）＝8400，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴和，
∵要使分装时总损耗10（m＋n）最小，
∴，
即分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【经典例题七 几何问题专训】
【例7】（2022春·河南南阳·七年级统考期中）一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）
A．36B．48C．96D．128
【答案】B
【分析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据图形可得到二元一次方程组，从而求出x、y，再用大正方形的面积减去四个小正方形的面积计算即可．
【详解】解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，
由题可得：，
解得：，
∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021春·河南信阳·七年级统考期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个宽-一个长=3，于是得方程组，解出即可．
【详解】解：设每个长方形的长为xmm，宽为 ymm，由题意，
得，
解得：，
9×15=135（mm2）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”．设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”．如图所示的的正方形网格，，，图中格点多边形的面积是21．
问题解决：已知一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______．
【答案】32
【分析】根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：根据题意可得，
解得，
．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立方程组是解题的关键．
【变式3】（2023春·浙江·七年级专题练习）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【答案】(1)
(2)①；；②24，27，30
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．
【详解】（1）由题意得：，
解得；
故答案为：60，40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，裁法二产生A型板材为：1×n=n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，裁法二产生A型板材为，2×n=2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
故答案为：2m+n；m+2n；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得m=4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为： 24或27或30．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
【经典例题八 古代问题专训】
【例8】（2023春·七年级课时练习）《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设绳长为x尺，根据水井的深度不变，得出关于x的一元一次方程即可解答．
【详解】解：若设绳长、井深分别为x、y尺，
则符合题意的方程组是，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南濮阳·七年级校考期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？如果设有x人，该物品值y元，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据物品费用相同，且物品费用等于人数乘以每人出的钱数求解即可．
【详解】设有x人，该物品值y元，那么可列方程组为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键．
【变式2】（2023春·七年级课时练习）我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“群羊逐草”的问题，大意是：牧童甲在草原上放羊，乙牵着一只羊来，并问甲：“你这群羊有100只吗？”甲说：“如果在这群羊上加上同样的一群，再加上半群，又加上四分之一群，再加上你的一只，才满100只．”问牧童甲赶着多少只羊？若设牧童甲赶着x只羊，则可列方程为________________________．
【答案】
【分析】根据“再得这样的一群羊，再得这群羊的一半，还得这群羊的四分之一，最后凑上你的这只羊，正好是100只”这一等量关系列出方程即可．
【详解】解：设甲原有x只羊，根据题意得：
．
故答案为．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是找到等量关系．
【变式3】（2022春·广西南宁·七年级统考期末）阅读材料，解决问题．
阅读材料1：“算筹”是古代用来进行计算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式．当表示一个多位数时，要像阿拉伯计数一样，把各数位的数码从左到右排列，但各数位数码的摆放需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，例如：2309用“算筹”表示就是；
阅读材料2：我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中的“方程”这一章中．下面的算筹图代表了古代解决方程问题的方法：
如图1，图2，图中各行从左到右的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．因此，图1的算筹图用现在的方程组形式可以表示为：
(1)用“算筹”表示的数是______；
(2)请列出图2算筹图所表示的关于x，y的二元一次方程组，并求出该方程组的解．
【答案】(1)3118
(2)
【分析】（1）根据题干中不同的横、纵式所表示的数字即可得出答案；
（2）对照横、纵式表示的数字，前两个分别表示x、y的系数，剩下的表示右边的常数，据此列出关于x、y的方程组，解之即可．
（1）解：由题意可得：用“算筹”表示的数是：3118；
（2）根据图1所示的摆法，可得：图2表示的方程组为：，解得：．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是根据题意理解不同的横、纵式所表示的数字，并列出关于x、y的方程组及加减消元法解二元一次方程组的能力．
【培优检测】
1．（2023秋·山东淄博·六年级统考期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是（ ）
A．5B．7C．8D．6
【答案】D
【分析】由，得出，设第一列最后一个数是，由，得，再由第一列三个数的和等于第二行三个数的和，可列方程，解方程求出的值即可．
【详解】∵
∴
设第一列最后一个数是，则，
解得：，
∵由第一列三个数的和等于第二行三个数的和，
∴，
解得：，
∴图中字母m表示的数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，用含有m的代数式表示出表中的某些数是解题的关键．
2．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）甲、乙两个两位数，若把甲放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数，如果甲数为x，乙数为y，则得方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设甲数为x，乙数为y，根据把甲放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，列出方程组．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，
由题意得，．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关键．
3．（2022秋·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．81cmB．83cmC．85cmD．87cm
【答案】C
【分析】设桌子的高度为xcm,长方体木块的长比宽长ycm，观察图①、图②，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设桌子的高度为xcm,长方体木块的长比宽长ycm，
根据题意得：，
解得：．
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即；
步骤3：计算3a与b的和c，即；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即；
步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是5，则被污染的两个数字中右边的数字是（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】设这两个数字从左到右分别是p，q，根据定义及运用方程的思想解决此题．
【详解】解：设这两个数字从左到右分别是p，q．
由题意得：，
，，
∵d为10的整数倍，
∴．
∴．
又∵，
∴，．
故选：C
【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则、方程的思想是解决本题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）我校七年级某班为筹备篮球运动会，准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱恰好用尽的条件下，有( )种购买方案．
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】B
【分析】设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y必需为正整数可求出解．
【详解】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，
20x+35y=265，
得，
∵x，y必须为正整数，
∴＞0，即0＜y＜，
∴当y=3时，x=8
当y=7时，x=1．
所以有两种方案．
故选：B．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据题意列出二元一次方程，然后根据解为正整数确定值从而得出结果．
6．（2023春·七年级课时练习）咖啡A与咖啡B以之比（以质量计）混合，A的原价为50元/kg，B的原价为40元/kg．若A的价格增加，而B的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意首先求得原咖啡的价格；如果A的价格增加10%，B的价格减少15%，此时咖啡的价格再根据混合咖啡的价格保持不变，即原咖啡的价格＝此时咖啡的价格．即可求得x：y的值．
【详解】解：根据题意得
化简得50x+40y＝55x+34y
∴x：y＝6：5
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是明白元咖啡的价格计算方法与调整A、B价格后混合咖啡价格的计算方法，列出等式方程．
7．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200B．201C．202D．203
【答案】A
【分析】分别设做了竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，列二元一次方程组，把两个方程的两边分别相加得，易知的值一定是5的倍数，本题即解答.
【详解】解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：
，
则两式相加得
，
∵x、y 都是正整数
∴一定是5的倍数；
∵200、201、202、203四个数中，只有200是5的倍数，
∴的值可能是200.
故选A.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用；巧妙处理所列方程组，使两方程相加得出，是解答本题的关键.
8．（2021·江苏·九年级专题练习）小明出门时身上带了100元，下表记录了他今天所有支出，其中饮料与饼干支出的金额被涂黑．若每瓶饮料5元，每包饼干8元，则小明不可能剩下多少元？( )
A．4B．15C．22D．44
【答案】C
【分析】设买了瓶饮料，盒饼干，求出买三餐所剩的钱数，对四个选项分别讨论，得到买饮料、饼干的总钱数，列出关于二元一次方程，若这个方程有自然数解，则可能，反之，不可能.
【详解】解：设买了瓶饮料，盒饼干，为自然数，
买三餐还剩100-10-15-18=57元
A. 若剩4元，则 ，有整数解；
B. 若剩15元，则 ，有整数解；
C. 若剩22元，则 ，无整数解；
D. 若剩44元，则 ，有整数解；
故选：C.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，列出二元一次方程，把问题转化为二元一次方程的整数解的问题.
9．（2022春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习）中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”根据题意可得每匹马__________两．
【答案】6
【分析】根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设每匹马x两，每头牛y两，
∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴．
∴列出的方程组为．
解得，
∴每匹马6两
故答案为：6．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（2023·全国·七年级专题练习）一个有的余水量的圆柱形蓄水池有5个进出水口，每个进出水口匀速进水或出水；每天早晨6点，水池开始进水或出水，如果开放2个进水口和3个出水口，8小时将水池注满，如果开放3个进水口和2个出水口，2小时将水池注满．随着天气转冷，居民的用水量减少，每天早晨6点时，水池的余水量达到了40%，若只开2个进水口和1个出水口，那么从早晨6点开始经过_______小时将水池注满．
【答案】##
【分析】根据题意设进水口每小时进水量为x，出水口每小时出水量为y，总水量为s，可列出二元一次方程组，解出x，y，再设注满水需要t小时，列出一元一次方程，即可求出所需时间．
【详解】解：设：进水口每小时进水量为x，出水口每小时出水量为y，总水量为s，
解得，
设：注满水需要t小时，
解得，
∴经过小时将水池注满．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据题目意思，设出未知数，列出方程是解答本题的关键．
11．（2022秋·全国·八年级阶段练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”请你写出这些长方形的长和宽_________．
【答案】10，6
【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个长加2的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组，解出即可．
【详解】设长方形的长为x，宽为y，则

解得：
所以每个小长方形的长是10mm，宽是6mm，
故答案为：10，6．
【点睛】考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．
12．（2022秋·八年级课时练习）设有n个数，，…，．其中每个数都可能取0，1，-2这三个数中的一个，且满足下列等式： ++…+＝﹣2，++…+＝16，则…+的值是_____．
【答案】
【分析】设该数列中含有a个1，b个﹣2，根据++…+＝﹣2，++…+＝16，可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出a、b的值，再将其代入到…+中即可得出结论．
【详解】解：设该数列中含有a个1，b个-2，
根据题意得：，
解得：，
∴…+＝a﹣8b＝4﹣8×3＝-20．
故答案为：-20．
【点睛】本题考查的是规律型：数字的变化类以及解二元一次方程组，结合数列中数的特点找出规律列出方程组是解答此题的关键．
13．（2023·江苏南通·九年级专题练习）腊八之后，年味渐浓．京东超市某直营店推出甲、乙两种年货礼盒，其中甲种礼盒有开心果3袋，腰果3袋，夏威夷果1袋，纸皮核桃1袋；乙种礼盒有开心果4袋，腰果3袋，纸皮核桃3袋．每种礼盒的总成本由该礼盒中所有坚果的成本之和加上包装盒成本6元/个．已知每袋开心果和每袋腰果的成本价之比为，每袋夏威夷果和每袋纸皮核桃的成本价之比为．甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%，第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%．第二周直营店通过减少坚果的袋数推出甲、乙两种年货的小号礼盒，甲种小号礼盒的成本价（包含包装盒成本）降为原甲种礼盒总成本的35%，乙种小号礼盒相比原乙种礼盒开心果、腰果、纸皮核桃各减少2袋，小号包装盒成本每个4元．如果第二周售出的甲、乙小号礼盒恰好分别与第一周甲、乙两种礼盒数量相同，则第二周售出的所有小号礼盒的总成本是______元．
【答案】3220
【分析】先由“甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%”求出甲的成本价为114元/袋，设纸皮核桃的成本价为a元/袋，则夏威夷果的成本价为2a元/袋，腰果的成本价为4b元/袋，则开心果的成本价为5b元/袋，求出元以及乙每袋成本价为元，再根据“第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%”求出甲、乙总成本为7900元，从而求出1 袋开心果成本价为元，进一步可求出第二周总成本价
【详解】解：设甲的成本价为x元/袋，
由“甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%”可得，，
解得，
所以，甲的成本价为114元/袋，
设纸皮核桃的成本价为a元/袋，则夏威夷果的成本价为2a元/袋，腰果的成本价为4b元/袋，则开心果的成本价为5b元/袋，
∴，即
∴乙每袋成本价=，
∵第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%，
∴设甲乙总成本为y元，则有：，解得，，即甲乙总成本为7900元，
设售出甲m盒，乙盒，则有：，
解得，，即1 袋开心果成本价为元，
第二周：甲成本为元，乙成本=元，
则第二周总成本价为：
（元）
故答案为：3220
【点睛】本题主要考查列代数式，整式加减法，二元一次方程的实际应用，分析题意，找到关键的描述语，找到合适的等量关系，同时熟悉有关销售问题的概念和公式是解决问题的关键．
14．（2021秋·重庆·九年级重庆八中校考阶段练习）某商店销售、、三种产品，七月份和两种产品销售数量之比为，已知产品每件售价为元，每件利润率为，且产品每件的成本比产品每件的成本少元，比产品每件的成本少元八月份产品销售量与七月份一样，产品销售量比七月份增加，产品销售量是七月份的三倍，且八月份三种产品的总销售量比七月份多了件．八月份产品的成本和售价保持不变，8月份产品成本增加了元，售价增加了元，8月份产品成本不变，售价减少了元，发现7月份产品的销售额占7月份总销售额的，产品两个月总利润是产品两个月总利润的，那么在8月份销售件产品的利润比销售件产品的利润多______元．
【答案】91
【分析】设七月份产品的售价为元，产品的售价为元，根据题中的等量关系，求得的关系式，即可求解．
【详解】解：设七月份销售数量为，产品的销售数量为
∵已知七月份和两种产品销售数量之比为
∴产品的销售数量为
又∵已知八月份产品销售量与七月份一样，产品销售量比七月份增加，产品销售量是七月份的三倍
∴八月份产品销售量为，产品销售量为，产品的销售数量为
又∵已知八月份三种产品的总销售量比七月份多了300件
∴，解得
设七月份产品的成本为元，
∵已知产品每件售价为元，每件利润率为
∴，解得
产品每件的成本比产品每件的成本少元，比产品每件的成本少元
∴七月份产品每件的成本为30元，产品每件的成本为35元，产品每件的成本为20元
∵八月份产品的成本保持不变，8月份产品成本增加了元，8月份产品成本不变
∴八月份产品每件的成本为30元，产品每件的成本为36元，产品每件的成本为20元
设七月份产品的售价为元，产品的售价为元，C产品的售价为30元
∵八月份产品的售价保持不变， 产品售价增加了元， 产品售价减少了元
∴八月份产品每件的售价为元，产品的售价为元，C产品的售价为28元
已知7月份产品的销售额占7月份总销售额的，产品两个月总利润是产品两个月总利润的，则：
，
化简得：
，可得
8月份销售件产品的利润为元，
销售件产品的利润为元
那么在8月份销售件产品的利润比销售件产品的利润多
元
故答案为91
【点睛】此题考查了一次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系，求得的关系式．
15．（2022秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗 手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．
(1)求医用口罩和洗手液的单价；
(2)由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，两种口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．
【答案】(1)医用口罩的单价为元，洗手液的单价为元
(2)有3种购买方案：
①购买口罩个，购买医用口罩1140个，购买洗手液73瓶；
②购买口罩个，购买医用口罩1080个，购买洗手液66瓶；
③购买口罩个，购买医用口罩1020个，购买洗手液59瓶．
【分析】（1）设医用口罩的单价为元/个，洗手液的单价为元/瓶，根据题意列二元一次方程组，利用加减法解方程组即可；
（2）设购买口罩a个，且，为正整数），购买洗手液瓶，则买医用口罩个，根据总费用5400元，列二元一次方程，再结合都为正整数分类讨论解题．
【详解】（1）设医用口罩的单价为元/个，洗手液的单价为元/瓶，根据题意得
，
整理得：，解得，
答：医用口罩的单价为元，洗手液的单价为元．
（2）设购买口罩a个,且，为正整数，购买洗手液瓶，则买医用口罩个，根据题意得
，
整理得：，
即有，
∵都为正整数，，
∴，，，
即有3种购买方案
答：有3种购买方案：
①购买口罩个，购买医用口罩1140个，购买洗手液73瓶；
②购买口罩个，购买医用口罩1080个，购买洗手液66瓶；
③购买口罩个，购买医用口罩1020个，购买洗手液59瓶．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表：
(1)表格中被污渍盖住的数是______．
(2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
(3)请你通过计算说明所有可行的运输方案．
【答案】(1)540
(2)A货车每辆每次可以运货20吨， B货车每辆每次可以运货15吨
(3)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆
【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可；
（2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨；
（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，n=10；当m=5时，n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案．
（1）
设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得，
解得，
（吨）；
故答案为：540；
（2）
由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（3）
设A、B两种货车各需要m辆、n辆，
则20m+15n=190,
∴，
①当m=2时，n=10；
②当m=5时，n=6；
③当m=8时，n=2．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答．
17．（2022春·福建泉州·七年级统考阶段练习） 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ；
(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？
(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
【答案】(1)40， 30 ；
(2)购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元
(3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【分析】（1）直接由“进价=售价-利润”、“单件利润=售价-进价”计算即可得到答案；
（2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，然后结合条件列出方程组，即可得到甲、乙两种商品的数量；
（3）先设小梅购买乙种商品a件，然后根据乙种商品原来的钱进行分类讨论，再根据实际付款列出方程求得a的值，最后得到结果．
（1）
由题意得，
甲种商品每件进价为60-20=40（元），
乙种商品每件的利润为80-50=30（元），
故答案为：40，30．
（2）
设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意有

解得
40×20+10×30=1100
所以购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元
（3）
设打折前一次性购物总金额为a元，
若a超过450，但不超过600，则有 ，解得 ，
此时购买乙种商品的数量为：（件）；
若a超过600，则有 ，解得 ，
此时购买乙种商品的数量为： （件）；
综上所述，小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【点睛】本题以销售问题为背景，考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知销售问题有关的计算公式．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表：
在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物．
(1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”．
(2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？
(3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程）
【答案】(1)5
(2)他使用了A型2张，B型3张．
(3)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．
【分析】（1）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可；
（2）设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A， B型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可；
（3）设小温使用了A型“优惠券”a张， B型“优惠券”b张， C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A， B两种类型的优惠券，②使用了B， C两种类型的优惠券，③使用了A， C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案．
【详解】（1）解∶根据题意，得 (张)，
故答案为∶5；
（2）解：设他使用了A型x张，B型y张．
根据题意可得解得
答：他使用了A型2张，B型3张．
（3）解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张．
根据题意可得三种情形：
①若小温使用了A，B型优惠券，则有
化简为：
∵a，b都为整数，且，
∴，
②若小温使用了B，C型优惠券，则有
化简为：
∵b，c都为整数，且，
∴，
③若小温使用了A，C型优惠券，则有
化简为：
∵a，c都为整数，且，
∴本小题无解．
综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．
【点睛】本题考查了二元一次方程(组)的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二元一次方程组是解题的关键．
19．（2022春·重庆万州·七年级统考期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
(1)若有理数a、b满足，求a、b的值；
(2)母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【答案】(1)
(2)12元
【分析】（1）把左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，得出a和b的方程组求解；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，然后按照小华的解法解答即可．
(1)
解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
(2)
解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【点睛】本题考查了知识创新类题目，用到的知识点是二元一次方程组的解法，正确理解题目所提供的的解答方法是解答本题的关键．
20．（2022秋·江苏·七年级统考期末）点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．
(1)那么a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数；
(3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是 单位长度；
(4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)﹣24，﹣10，10
(2)点P所对应的数是﹣或-
(3)36
(4)能，碰面的地点对应的数为﹣44
【分析】（1）根据合并同类项的法则可知，c-5=b+15＝5，且+（﹣2）＝﹣6，解之即可；
（2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在点B的右侧时，根据PA＝3PB+1，分别列出方程求解即可；
（3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，根据题意可知，，利用消元法消去m和n，即可解得s的值．
（4）设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．当点D在AB之间时，0＜t＜，则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，所以4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；甲，乙作追击运动，甲和乙能碰面．
(1)
解：xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．
∴c-5=b+15＝5，+（﹣2）＝﹣6，
解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10．
∴点A对应数﹣24，点B对应数﹣10，点C对应数10．
故答案为：﹣24，﹣10，10．
(2)
设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：
①当点P在线段AB上时，PA＝x+24，PB＝﹣10﹣x，
∴x+24＝3（﹣10﹣x）+1，解得x＝﹣；
②当点P在点B的右侧时，PA＝x+24，PB＝10+x，
∴x+24＝3（10+x）+1，解得x＝-．
∴点P所对应的数是﹣或．
(3)
设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，
则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，
根据题意可知，，
解得s＝36．
故答案为：36．
(4)
甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．理由如下：
设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，
若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．
当点D在AB之间时，0＜t＜，
则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，
∴4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；
∵2＜3.4，
当t＝2时，甲在﹣16处，乙在﹣2处，甲改变运动方向，甲、乙同向运动，
﹣16﹣4（t﹣2）＝﹣2﹣6（t﹣2），解得t＝9．
此时﹣16﹣4×（9﹣2）＝﹣44，
∴甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
时刻
里程表上的数
是一个两位数，数字之和为
十位数字与个位数字与看到的正好颠倒了位置
比看到的两位数中间多了一个
A型
B型
C型
满368减100
满168减68
满50减20
A货车（辆）
B货车（辆）
防疫物资（吨）
第一次
12
8
360
第二次
18
12
▄
第三次
5
4
160
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450
不优惠
超过450，但不超过600
按打九折
超过600
其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠
A型
B型
C型
满368减100
满168减68
满50减20