人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题一3第八章二元一次方程组重难点检测卷(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题一3第八章二元一次方程组重难点检测卷(原卷版+解析)，共28页。

选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，那么的值是（ ）
A．1B．C．0D．2
2．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）已知关于、的方程组的解是，则的值是( )
A．2B．3C．4D．5
3．（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）某中学的学生以4km/h的速度步行去某地参加社会公益活动．出发30min后，学校派一名通信员骑自行车以12km/h的速度去追赶队伍，通信员用多少时间可追上队伍？设通信员用x小时追上队伍，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·湖北荆门·七年级统考期末）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ）
A．B．1C．或3D．或
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4B．17，4C．24，0D．17，0
6．（2023秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）将下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数字是（ ）
A．3B．2C．0D．
7．（2022秋·八年级课时练习）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（ ）
A．4，B．4，2C．，2D．，
8．（2022秋·八年级课时练习）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2022
9．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项。把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A． B．C．D．
10．（2018秋·安徽芜湖·九年级阶段练习）设，，…，是从1，0，-1这三个数取值的一列数，若++…+=69，，则，，…，中为0的个数是（ ）
A．173B．888C．957D．69
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在方程中，如果用含有y的式子表示x，则______．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛____________斛米．
13．（2023春·七年级课时练习）若方程组有无穷多组解，则的值为___________
14．（重庆市忠县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）为提升国家5A级旅游景区“江中盆景”－－石宝寨的艺术品味，县文旅委决定开发甲、乙两种石宝寨标识的工艺品，并使用当地A、B、C三种原料进行生产，已知制作每件甲工艺品需要A原料2千克、B原料2千克、C原料4千克，制作每件乙工艺品需要A原料4千克、B原料4千克、C原料2千克（甲、乙两种工艺品的每件成本分别等于各自产品中所含的A、B、C三种原料成本之和）．每件甲工艺品的成本是每千克C原料成本的10倍，销售每件甲、乙丁艺品的利润率分别是25%、20%，若销售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是时，则甲、乙两种工艺品的销售件数之比是_________．
15．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为____________．
16．（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）在关于m，n的方程中，能使无论取何值时，方程恒成立的m，n的和为________．
17．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）已知：，，都是正整数，且，．则的最大值为_________，最小值为_________．
18．（2021春·湖北十堰·七年级统考期末）若m1，m2，…，m2021是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，且m1+m2+…+m2021=1530，(m1-1)2+(m2-1)2+…+(m2021-1)2=1525，则在m1，m2，…，m2021中，取值为2的个数为_________．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）解方程组：
(1) (2)
20．（2023春·湖南常德·七年级统考期末）足球比赛的记分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在某次比赛中共踢了15场球，其中负3场，共得30分，求这个队共胜了多少场？
21．（2022秋·山西晋中·八年级统考期末）劳动课上学习了“烹饪与营养”之后，李华知道了科学膳食与身体健康密切相关．他查询了《中国居民膳食指南（）》中的相关信息，结合妈妈的年龄，准备为妈妈制作一份能量为千卡（1千卡卡路里），总质量为克的营养早餐现有鸡蛋、牛奶、谷物三类食材，经查询它们的能量含量如下表所示：
若用以上三类食材制作这份营养早餐，其中鸡蛋约克，请你帮助李华计算这份早餐中需要牛奶和谷物各多少克？
22．（2022秋·山西晋中·八年级统考期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：
（1）以上解题过程中，第二步通过____________的变形得到了；
A．①+③ B．①−③ C．①−② D．②+③
（2）第____________步开始出错：
（3）请直接写出原方程组的解：________________________；
任务二：
请你根据平时的学习经验，说说解二元一次方程组的基本思路：____________________________________．
23．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）对于一个三位数M，如果它的百位数字与它的十位数字之和为10，则称M是“十成九稳数”．
例如：，∵，∴是“十成九稳数”．
又如：454，∵，∴454不是“十成九稳数”．
(1)判断375，602是否是“十成九稳数”？说明理由；
(2)已知一个“十成九稳数”(其中，，，且a，b，c都是整数)，把百位数字的3倍记作，百位数字与十位数字的和减去个位数字的差记作，若，求满足条件的所有N．
24．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）随着冬奥会的完美落幕，文创店李老板计划购进三种含有冬奥元素的产品进行售卖，其进价和标价如下表：
(1)已知李老板第一次只购进了B，C两种纪念品，共花费3650元，全部售出后获得1600元的利润，则李老板第一次购进B，C两种纪念品各多少件？
(2)由于销售情况良好，李老板准备再次以3650元的成本购进这三种纪念品共100件，且A种纪念品的数量不低于28件，则共有几种购进方案？
25．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，已知数轴上的点A，B对应的数分别是和，点P是数轴上一动点．
(1)若点P到点A，B的距离相等，求点P对应的数；
(2)若点P从点A出发，以4个单位长度秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，请分别求出点P，点Q的运动速度．
26．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组则______，______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x、y，定义新运算：解得，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么______．
3
a
b
c
0
2
…
鸡蛋（每克）
牛奶（每克）
谷物食品（每克）
能量（千卡）
3
解方程组：
解：②×2，得，③ 第一步
____________，得， 第二步
． 第三步
将代入②，得． 第四步
所以原方程组的解是 第五步
种类
价格
A
B
C
进价（元/件）
20
35
45
标价（元/件）
35
50
65
第八章 二元一次方程组 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，那么的值是（ ）
A．1B．C．0D．2
【答案】B
【分析】用方程①减去方程②即可求解．
【详解】解：方程组
得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
2．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）已知关于、的方程组的解是，则的值是( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】观察两个方程的特点，①+②得，根据二元一次方程组的解的定义，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∵关于、的方程组的解是，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，根据方程特点，不求解二元一次方程组，而是直接进行加减运算进行求解是解题的关键．
3．（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）某中学的学生以4km/h的速度步行去某地参加社会公益活动．出发30min后，学校派一名通信员骑自行车以12km/h的速度去追赶队伍，通信员用多少时间可追上队伍？设通信员用x小时追上队伍，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设通信员用x小时追上队伍，根据学生的路程等于通讯员的路程，列出方程即可求解．
【详解】设通信员用x小时追上队伍，
由题意得：
故选：B
【点睛】本题考查一元一次方程应用，解题的关键是对于行程问题要画出线路图，找到等量关系，列出方程．
4．（2023秋·湖北荆门·七年级统考期末）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ）
A．B．1C．或3D．或
【答案】D
【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值．
【详解】解：，
得，
解得，
∵为整数，为整数，
∴，
∴的值为或．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4B．17，4C．24，0D．17，0
【答案】A
【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可
【详解】解：
由，得，
由，得，
由，得，
∴，
由，得，
由，得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．
6．（2023秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）将下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数字是（ ）
A．3B．2C．0D．
【答案】D
【分析】设表格中c后面的数为x，根据任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，即可得出，解出a，b，c，x的值，即得出表格中数据从左到右每4个数为一个循环组依次循环．再根据，即得出第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为．
【详解】设表格中c后面的数为x，
∵任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴，
解得：，
∴表格中数据从左到右依次为 ，
∴每4个数为一个循环组依次循环．
∵，
∴第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为，
故选D．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类．计算出表格中的未知数，再找到规律是解题的关键．
7．（2022秋·八年级课时练习）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（ ）
A．4，B．4，2C．，2D．，
【答案】A
【分析】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解．
【详解】解：由题意可得：-2a+10=2，
∴a=4，
∴4x+5y=2①，
又由老师的话可得x=y+5②，
②代入①可得：4y+20+5y=2，
解得：y=-2，代入②得x=3，
把x=3，y=-2代入bx-7y=8可得：3b+14=8，
解得：b=-2，
∴，的值分别为4、-2，
故选A ．
【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元一次方程组的解法是解题关键．
8．（2022秋·八年级课时练习）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2022
【答案】C
【分析】由题意可得与有相同的解，得出新的方程组，解得x与y的值，代入方程组中，可得，根据所求式子的特点，可得a＋b＝−1，再求值即可．
【详解】解答：解：∵方程组与有相同的解，
∴与的解相同，
∴，
①×2得4x＋6y＝38③，
②×3得9x−6y＝27④，
③＋④，得13x＝65，
∴x＝5，
将x＝5代入①得，y＝3，
∴方程组的解为，
∴方程组可变为，
∴⑤+⑥得：8a＋8b＝−8，
∴a＋b＝−1，
∴＝1，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程的定义，代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
9．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项。把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5；因此，设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，列出方程组求解即可.
【详解】由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，则有：
将代入可解得：
根据图形所表示的数字规律，可推出代表的图形为“|||”.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是解题关键，此型题较为新颖，是近年来的常考点.
10．（2018秋·安徽芜湖·九年级阶段练习）设，，…，是从1，0，-1这三个数取值的一列数，若++…+=69，，则，，…，中为0的个数是（ ）
A．173B．888C．957D．69
【答案】A
【分析】首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2018+1）2得到a12+a22+…+a20182+2156，然后设有x个1，y个-1，z个0，得到方程组 ，解方程组即可确定正确的答案．
【详解】解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2018+1）2=a12+a22+…+a20182+2（a1+a2+…+a2018）+2018
=a12+a22+…+a20142+2×69+2018
=a12+a22+…+a20142+2156，
设有x个1，y个-1，z个0
∴
化简得x-y=69，x+y=1845，
解得x=888，y=957，z=173，
∴有888个1，957个-1，173个0，
故答案为173．
【点睛】本题考查数字的变化类问题，解题关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在方程中，如果用含有y的式子表示x，则______．
【答案】
【分析】先移项，再把x的系数化为1，即可求解．
【详解】解：，
∴
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，用一个含未知数的代数式表示另一个未知数是代入消元法解二元一次方程组中的必要变形．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛____________斛米．
【答案】##
【分析】设一个大桶盛米斛，一个小桶盛米斛，根据个大桶加上个小桶可以盛米斛，个大桶加上个小桶可以盛米斛即可得出关于、的二元一次方程组，进而即可得出结论．
【详解】设一个大桶盛米斛，一个小桶盛米斛，
根据题意得： ，
得： .
.
故答案为：．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程
13．（2023春·七年级课时练习）若方程组有无穷多组解，则的值为___________
【答案】5
【分析】方程组有无数解，则这个方程组包含两个相同方程．
【详解】解：由题意知，方程组包含的两个方程是同一个方程等式，
，解得，
，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组有无数解是解题关键．
14．（重庆市忠县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）为提升国家5A级旅游景区“江中盆景”－－石宝寨的艺术品味，县文旅委决定开发甲、乙两种石宝寨标识的工艺品，并使用当地A、B、C三种原料进行生产，已知制作每件甲工艺品需要A原料2千克、B原料2千克、C原料4千克，制作每件乙工艺品需要A原料4千克、B原料4千克、C原料2千克（甲、乙两种工艺品的每件成本分别等于各自产品中所含的A、B、C三种原料成本之和）．每件甲工艺品的成本是每千克C原料成本的10倍，销售每件甲、乙丁艺品的利润率分别是25%、20%，若销售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是时，则甲、乙两种工艺品的销售件数之比是_________．
【答案】
【分析】设A的单价为元，B的单价为元，C的单价为元，算出甲、乙各自的成本和售价，再设甲、乙两种工艺品的销售件数，再利用利润率公式进行计算即可．
【详解】解：设A的单价为元，B的单价为元，C的单价为元，
由题意可知，甲的成本为：，
化简得，
乙的成本为，
甲的售价为：，
乙的售价为：
设甲、乙两种工艺品的销售件数分别是a件、b件，
则总利润为：，
∴利润率为，
整理得，，
即，
即甲、乙两种工艺品的销售件数之比是．
故答案为：
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，利润、成本与利润率之间的关系的应用，理解题意列出等量关系是解题的关键．
15．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为____________．
【答案】
【分析】将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，根据整体思想可得，从而得出答案．
【详解】解：方程组整理得：
，即，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，对方程组进行整体换元是解题的关键．
16．（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）在关于m，n的方程中，能使无论取何值时，方程恒成立的m，n的和为________．
【答案】3
【分析】要使无论取何值时，方程恒成立，必须满足且联立方程组成方程组，解方程组得出、即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得：，
∴m＋n＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是掌握方程为0的条件和根据题意正确列出二元一次方程组．
17．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）已知：，，都是正整数，且，．则的最大值为_________，最小值为_________．
【答案】 2022 1680
【分析】由已知条件整理出，再利用因式分解法转化为求的正整数解，据此得到或或或，据此解得a的值，最后代入计算即可．
【详解】解：
，，都是正整数，
或或或
或或或
或
即的最大值为2022，最小值为1680
故答案为：2022；1680．
【点睛】本题考查因式分解法、二元一次方程组的整数解等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．（2021春·湖北十堰·七年级统考期末）若m1，m2，…，m2021是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，且m1+m2+…+m2021=1530，(m1-1)2+(m2-1)2+…+(m2021-1)2=1525，则在m1，m2，…，m2021中，取值为2的个数为_________．
【答案】517
【分析】设0有a个，1有b个，2有c个，由（1-1）2=0，（0-1）2=1，（2-1）2=1，可得，由m1+m2+…+m2021=1530，可得，再由数字总个数为2021，即可列出方程求解．
【详解】解：设0有a个，1有b个，2有c个，
∵（m1-1）2+（m2-1）2+…+（m2021-1）2=1525，
∵m1，m2，…，m2021是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（1-1）2=0，（0-1）2=1，（2-1）2=1，
∴
∵m1+m2+…+m2021=1530，
∴，
∴，
解得，
故取值为2的个数为517个，
故答案为：517．
【点睛】此题考查了三元一次方程的应用，有理数的乘方和有理数的加法运算，解题的关键在于能够找到等量关系列出方程求解．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解方程组，采用加减消元法，由得：，求出的值，再代入式中，即可求得的值，从而得到答案；
（2）解方程组，采用代入消元法，由得：，将代入得，，求出的值，再将的值代入即可求得的值，从而得到答案．
【详解】（1）解：，
由得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
方程组的解为；
（2）解：，
由得：，
将代入得，，
解得：，
把代入得，，
方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的解法有加减消元法和代入消元法，根据方程组的特点，选取合适的方法是解题的关键．
20．（2023春·湖南常德·七年级统考期末）足球比赛的记分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在某次比赛中共踢了15场球，其中负3场，共得30分，求这个队共胜了多少场？
【答案】9场
【分析】设该队胜了x场，平了y场，根据该队共踢了15场球，其中负3场，共得30分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该队胜了x场，平了y场，
依题意得：，
解得：，
答：这个队共胜了9场．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（2022秋·山西晋中·八年级统考期末）劳动课上学习了“烹饪与营养”之后，李华知道了科学膳食与身体健康密切相关．他查询了《中国居民膳食指南（）》中的相关信息，结合妈妈的年龄，准备为妈妈制作一份能量为千卡（1千卡卡路里），总质量为克的营养早餐现有鸡蛋、牛奶、谷物三类食材，经查询它们的能量含量如下表所示：
若用以上三类食材制作这份营养早餐，其中鸡蛋约克，请你帮助李华计算这份早餐中需要牛奶和谷物各多少克？
【答案】这份早餐中需要牛奶克，谷物克．
【分析】设这份早餐中需要牛奶x克，谷物y克，依据总能量和总质量联立方程组求解即可．
【详解】解：设这份早餐中需要牛奶x克，谷物y克．
根据题意，得
解这个方程组，得，
答：这份早餐中需要牛奶克，谷物克．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用；解题的关键是正确建立方程组．
22．（2022秋·山西晋中·八年级统考期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：
（1）以上解题过程中，第二步通过____________的变形得到了；
A．①+③ B．①−③ C．①−② D．②+③
（2）第____________步开始出错：
（3）请直接写出原方程组的解：________________________；
任务二：
请你根据平时的学习经验，说说解二元一次方程组的基本思路：____________________________________．
【答案】任务一：（1）B（2）三（3），任务二：解二元一次方程组的基本思路是“消元”（或转化）（合理即可）
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，进行计算即可求解．
【详解】解：解方程组：
解：②×2，得，③ 第一步
①−③，得， 第二步
． 第三步
将代入②，得． 第四步
所以原方程组的解是
任务一：
（1）以上解题过程中，第二步通过①−③的变形得到了；
故答案为：①−③．
（2）第三步开始出错，应为；
故答案为：二．
（3）原方程组的解是
故答案为：．
任务二：解二元一次方程组的基本思路是“消元”（或转化）（合理即可）
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
23．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）对于一个三位数M，如果它的百位数字与它的十位数字之和为10，则称M是“十成九稳数”．
例如：，∵，∴是“十成九稳数”．
又如：454，∵，∴454不是“十成九稳数”．
(1)判断375，602是否是“十成九稳数”？说明理由；
(2)已知一个“十成九稳数”(其中，，，且a，b，c都是整数)，把百位数字的3倍记作，百位数字与十位数字的和减去个位数字的差记作，若，求满足条件的所有N．
【答案】(1)是“十成九稳数”；是“十成九稳数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据“十成九稳数”的定义进行计算判断即可求解；
（2）根据同一得出，，根据得出，继而分类讨论得出的值，根据，求得对应的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：，∵，∴是“十成九稳数”；
，∵，∴是“十成九稳数”；
（2）解：∵是一个“十成九稳数”
∴，
把百位数字的3倍记作，则，
百位数字与十位数字的和减去个位数字的差记作，则
∵，
∴，
即，
∵
又，，，
∴或或或
又∵，
∴或或或
∴满足条件的所有为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的求值，列代数式，分类讨论是解题的关键．
24．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）随着冬奥会的完美落幕，文创店李老板计划购进三种含有冬奥元素的产品进行售卖，其进价和标价如下表：
(1)已知李老板第一次只购进了B，C两种纪念品，共花费3650元，全部售出后获得1600元的利润，则李老板第一次购进B，C两种纪念品各多少件？
(2)由于销售情况良好，李老板准备再次以3650元的成本购进这三种纪念品共100件，且A种纪念品的数量不低于28件，则共有几种购进方案？
【答案】(1)李老板第一次购进B种纪念品40件，购进C种纪念品50件
(2)共有3种购进方案
【分析】（1）设李老板第一次购进B种纪念品m件，购进C种纪念品n件，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设再次购进A种纪念品x件，B种纪念品y件，则购进C种纪念品件，可得，再结合x，y，均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设李老板第一次购进B种纪念品m件，购进C种纪念品n件，由题意，得
，解得，
答：李老板第一次购进B种纪念品40件，购进C种纪念品50件．
（2）解：设再次购进A种纪念品x件，B种纪念品y件，则购进C种纪念品件，由题意，
，
整理得，所以，
因为x，y，均为正整数，所以y是5的倍数
当时，
当时，
当时，
因为，所以x随y的增大而减小，
所以当时，，不符合题意．
所以共有3种购进方案：
方案一：购进A种纪念品32件，B种纪念品5件，C种纪念品63件；
方案二：购进A种纪念品30件，B种纪念品10件，C种纪念品60件；
方案三：购进A种纪念品28件，B种纪念品15件，C种纪念品57件．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
25．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，已知数轴上的点A，B对应的数分别是和，点P是数轴上一动点．
(1)若点P到点A，B的距离相等，求点P对应的数；
(2)若点P从点A出发，以4个单位长度秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若点P从点A出发向点B运动，同时，点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，请分别求出点P，点Q的运动速度．
【答案】(1)点P对应的数为；
(2)存在，当或时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍；
(3)P点的运动速度单位长度秒，Q点的运动速度单位长度秒．
【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出与，根据求出x的值，即可确定出点P对应的数；
（2）表示出点P对应的数，进而表示出与，根据求出t的值即可；
（3）设P点的运动速度m单位长度秒，Q点的运动速度n单位长度秒，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】（1）点A、B对应的数分别是和，
设点P对应的数为x，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴点P对应的数为；
（2）存在，理由如下，
由题意可知，设运动时间为t秒，
P对应的数为，
则，
，
当时，解得，
当时，解得，
答：当或时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍；
（3）设P点的运动速度m单位长度秒，Q点的运动速度n单位长度秒，
根据题意得，
解得
答：P点的运动速度单位长度秒，Q点的运动速度单位长度秒．
【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键．
26．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组则______，______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x、y，定义新运算：解得，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么______．
【答案】(1)，6；
(2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；
(3)．
【分析】（1）利用可求出的值；利用可求出的值；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，利用，即可求出购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本所需费用；
（3）根据定义的新运算结合“，”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程，利用，即可求出的值．
【详解】（1）解：
由得：；
由得：．
故答案为：，6．
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意得：
由得：．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意得：
由得：，
即：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）利用“整体思想”，求出和的值；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
3
a
b
c
0
2
…
鸡蛋（每克）
牛奶（每克）
谷物食品（每克）
能量（千卡）
3
解方程组：
解：②×2，得，③ 第一步
____________，得， 第二步
． 第三步
将代入②，得． 第四步
所以原方程组的解是 第五步
种类
价格
A
B
C
进价（元/件）
20
35
45
标价（元/件）
35
50
65