人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题14不等式与不等式组重难点题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题14不等式与不等式组重难点题型专训(原卷版+解析)，共60页。

【题型目录】
题型一 不等式的定义重难点题型
题型二 不等式的解集重难点题型
题型三 不等式的性质重难点题型
题型四 一元一次不等式的解的最值问题
题型五 解特殊不等式组重难点题型
题型六 不等式组的整数解问题
题型七 不等式组与方程组结合问题
题型八 用一元一次不等式组解决问题
【经典例题一 不等式的定义重难点题型】
【解题技巧】
知识点、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
注：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
【例1】（2022秋·八年级课时练习）在数学表达式① -3<0 ② 4x+3y>0 ③ x=3 ④ x2+xy+y2 ⑤x≠5⑥x+2>y+3中，是不等式的有( )个.
A．1B．2C．3D．4
【变式训练】
【变式1】（2023春·江苏·七年级专题练习）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·八年级课时练习）某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x包4.5元的点心，根据题意，列出关于x的不等式为________________________；
【变式3】（2023春·七年级课时练习）（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解．
【经典例题二 不等式的解集重难点题型】
【解题技巧】
知识点、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注：
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
注：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
【例2】（2022春·内蒙古通辽·七年级校考期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021春·八年级课时练习）下列命题中，假命题的个数是（ ）
①一元一次不等式的解集可以只含一个解②一元一次不等式组的解集可以只含一个解③一元一次不等式组的解集可以不含任何一个解④x=2是不等式x+3≥5的解集
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式2】（2023春·八年级课时练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则________（填“是”或“不是”）不等式的解．
【变式3】（2023春·七年级课时练习）解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围．
【经典例题三 不等式的性质重难点题型】
【解题技巧】
知识点、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
注： 不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【例3】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）点、、和原点在数轴上的位置如图所示，有理数、、各自对应着、、三个点中的某一点，且，，，那么表示数的点为（ ）
A．点B．点C．点D．无法确定
【变式训练】
【变式1】（2023春·七年级单元测试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·七年级单元测试）下列结论：①，则；②若，则计算的结果共有3种情况；③若，则是负数；④是单项式．其中正确的结论是________．（只需要在横线上填上序号）
【变式3】（2023春·全国·八年级期中）阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：
“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：，．
求证：．
②已知：，．
求证：．
【问题探究】
(1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：______），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：______），
合并同类项可得：，
即：得证．
(2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．
【经典例题四 一元一次不等式的解的最值问题】
【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则的最大值为
A．30B．40C．50D．60
【变式训练】
【变式1】（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式2】（2022·重庆沙坪坝·统考一模）每年春节来临之际，我区都会开展迎新春送春联的活动．书法爱好者们分A，B，C，D四个组现场为居民书写春联．活动当天上午，A组人数是B组人数的3倍，D组人数是C组人数的4倍．C组平均每人书写的数量是A组平均每人书写数量的3倍，B组平均每人书写的数量是D组平均每人书写数量的4倍，上午活动结束时，C，D两组书写的总数量比A，B两组书写的总数量少429副．活动当天下午，D组的人数减少了，B组平均每人书写的数量变为原来的，其他几组的人数与平均每人书写的数量不变．若A组人数与C组人数的3倍之差超过33人但不超过40人，C组人数小于5人，则活动当天下午四个组书写的春联总数量最多为________副．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知、满足和，求的最小值．
【经典例题五 解特殊不等式组重难点题型】
【例5】（2023秋·山东东营·七年级统考期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果时，则，如，，，，…若关于的不等式组的整数解恰有个，则a的范围（）
A．1.5≤a＜2.5B．0.5＜a≤1.5C．1.5＜a≤2.5D．0.5≤a＜1.5
【变式2】（2022春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）设，是正整数，且满足，，则_________．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为_______；
(2)试解一元二次不等式；
(3)试解不等式．
【经典例题六 不等式组的整数解问题 】
【解题技巧】
先解出不等式组的解集，再根据题目的要求，得出其中整数解的情况；
【例6】（2023春·广东深圳·八年级深圳市光明区高级中学校联考期中）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·福建泉州·七年级泉州市城东中学校考期中）若关于x的方程的解为正整数，且关于x的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）若关于的不等式组，有且只有两个整数解，，则整数的值为______．
【变式3】（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，求的周长．
【经典例题七 不等式组与方程组结合问题】
【例7】（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①②④
【变式训练】
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）若关于的不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．9B．6C．-2D．-1
【变式2】（2021春·四川绵阳·七年级校考期中）已知关于的方程组，其中，以下结论：①当时，方程组的解与互为相反数；②是方程组的解；③时，方程组的解也是的解；④若．正确的结论有___________________（填序号）
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程组中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)当a为何整数时，不等式的解集为．
【经典例题八 用一元一次不等式组解决问题】
【解题技巧】
知识点、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
注：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．
【例8】（2022·河北保定·统考模拟预测）国务院扶贫吧决定在光照按较好的贫困村，以整村推进的方式，保障每户每年增加一定量的收入．若符合条件的某村有户人家，每户增加3000元收入，且当年全村共增加收入元（），则的值不可能为（ ）
A．4B．10C．25D．34
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·七年级假期作业）定义运算[x]表示求不超过x的最大整数．如[0.3]＝0，[1.5]＝1，[﹣1.6]＝﹣2，[﹣2.2]＝﹣3．若[﹣1.5]•[2x﹣3]＝﹣6，则x的取值范围是（ ）
A．4.5≤x＜5B．3≤x＜3.5C．3≤x≤3.5D．4.5≤x≤5
【变式2】（2022秋·重庆云阳·九年级统考期末）由于国家有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，某地某个房地产公司为了加快资金周转，2022年春季在搞买房子送车位的促销活动的同时对销售人员进行个人奖励，每卖出一套两居室奖励1万元，每卖出一套三居室奖励2万元，每卖出一套四居室奖励4万元．公司将销售人员分成三组，经统计，第一组平均每人售出6套两居室、4套三居室、3套四居室；第二组平均每人售出2套两居室、2套三居室、1套四居室；第三组平均每人售出8套两居室、5套三居室．这三组销售人员在此次活动中共获得奖金466万元，其中通过销售三居室所获得的奖金为216万元，且第三组销售人员的人数不超过20人，则第一组和第三组销售人员的人数之和为______人．
【变式3】（2023春·福建泉州·七年级石狮市第一中学校考阶段练习）某公司组织员工旅游，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人．
(1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
(2)若该公司有303名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，请帮助旅行社设计租车方案．
(3)在（2）的条件下，出发前，由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：除同时租甲、乙两种客车外，还需租用65座的丙种客车．出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社如何安排租车方案？
【培优检测】
一、单选题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数有（ ）种情况．
A．4B．3C．2D．1
2．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）定义一种法则“*”：，如：．若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：①篮球的数量必须比足球的数量多；②排球数量必须是足球数量的倍，则学校最多能购买足球（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．（2022春·江苏南通·七年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，且A在B左侧，点，连接，若在所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为6个，那么a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021秋·重庆铜梁·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，在第二象限内的点P（a﹣5，7）到x轴的距离大于到y轴的距离，且关于x的不等式组有且只有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．5B．9C．14D．20
7．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）新定义：对非负实数x用“四舍五入”的法则精确到个位的值记为，下列说法正确的个数为（ ）
①（为圆周率）：
②如果，则实数x的取值范围为．
③若，则
④满足的所有x的值有且只有五个．
A．1B．2C．3D．4
8．（2023春·浙江·七年级开学考试）定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·七年级单元测试）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，那么的取值范围是___________．
10．（2023·全国·九年级专题练习）二元一次方程的正整数解有_____个．
11．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）美术社团班的甲、乙、丙同学，准备到文具店购买画笔，该文具店种画笔可供选择， 每种画笔有粗、中、细三种型号，且每种画笔的三种型号的价格每支分别为8元、元、元，其中 均为整数，三人每种画笔的每种型号都选择了一支， 对于每一种画笔， 三人选择的型号也各不相同．结账时，甲花费了85元，乙和丙两人共花费了110元，则甲买细型号的画笔上共花费__________元．
12．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）鲜花市场销售康乃馨，郁金香，玫瑰，红掌四个品种的鲜花，四个品种的鲜花每支的售价均为整数，若每支郁金香的售价比每只康乃馨的售价多3元，每支玫瑰的售价比每支康乃馨的售价高50%，每支红掌的售价是每支郁金香售价的4倍与每支玫瑰售价的差，某日康乃馨和郁金香一共销售了120支，康乃馨的销售量大于35支，红掌与康乃馨的销量之和不超过390支，而玫瑰的销量为60支，当日这四种花卉的平均售价是每只郁金香价格的倍，则当日四种花卉的销售总量的值是___________．
13．（2022春·浙江台州·七年级统考期末）对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题：
（1）点（4，3）的纵变点是______；
（2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是______．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）已知表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则__________．
15．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期末）解不等式组
(1)（把它的解集表示在数轴上）．
(2)（并写出它的整数解）．
16．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数a的值．
17．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，学校计划组织1000名师生开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载乘客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客180人．
(1)求一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客？
(2)若一辆A型车的租金为320元，一辆B型车的租金为400元．学校计划一共租A、B两种型号的客车25辆，在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过9550元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？
18．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）阅读材料，回答问题：
已知，符号表示不小于x的最小正整数，如：，，，……
(1)填空：___________；___________；
(2)若，则x的取值范用是___________；
(3)哈市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过，加收1.9元（不足的按计算），用x表示所行的公里数，y表示行x公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算：
当（单位：公里）时，（元）：
当（单位：公里）时，（元）．
若某乘客乘车后付费37.5元，求该乘客所行的路程x（）的取值范围．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超过50元的部分按95%收费．某顾客购买x元的该商品．
(1)当时，请直接回答该顾客在甲、乙两家商场购物花费的关系；
(2)当时，到哪家商场购物花费少？少花多少钱？(用含x的代数式表示)
(3)当时，到哪家商场购物花费少？
20．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，A，B，C，D四点在数轴上，点A表示的数为20，点B表示的数为16，，．
(1)点A与点B的距离是_________，点C与点D的距离是_________，点D在数轴上表示的数是_________．
(2)线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，线段AB以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，运动时间为t秒，
①若线段AB沿数轴负方向运动，当t满足_________时，点A，B同时在线段上；
②若线段AB沿数轴正方向运动，当t满足_________时，点A，B．同时在线段上．
(3)一条4个单位长度的大毛毛虫的头从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，9秒后，一条2个单位长度的小毛毛虫的头从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动到点C时，立即调头改变方向保持原速度沿着数轴正方向运动．设大毛毛虫运动的时间为t秒．
①当两条毛毛虫头和头相遇时，求t的值；
②当两条毛毛虫尾和尾相遇时，直接写出t的值．
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
2022-2023学年七年级数学下册重难点提升精讲精练《人教版》
专题14 不等式与不等式组重难点题型专训
【题型目录】
题型一 不等式的定义重难点题型
题型二 不等式的解集重难点题型
题型三 不等式的性质重难点题型
题型四 一元一次不等式的解的最值问题
题型五 解特殊不等式组重难点题型
题型六 不等式组的整数解问题
题型七 不等式组与方程组结合问题
题型八 用一元一次不等式组解决问题
【经典例题一 不等式的定义重难点题型】
【解题技巧】
知识点、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
注：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
【例1】（2022秋·八年级课时练习）在数学表达式① -3<0 ② 4x+3y>0 ③ x=3 ④ x2+xy+y2 ⑤x≠5⑥x+2>y+3中，是不等式的有( )个.
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断6个式子即可．
【详解】根据不等式的定义,依次分析可得：−3＜0，4x＋3y＞0，x≠5，x＋2＞y＋3，4个式子符合定义，是不等式，而x＝3是等式，x2＋xy＋y2是代数式.
故答案为D.
【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
【变式训练】
【变式1】（2023春·江苏·七年级专题练习）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】符号表示不大于的最大整数，即为小于等于a的最大整数.
【详解】因为为小于等于a的最大整数，所以，
若＝－6，则的取值范围是，
故选B.
【点睛】本题考查了对不等关系的理解，解题的关键是理解符号的本质是小于或等于a的最大整数.
【变式2】（2023春·八年级课时练习）某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x包4.5元的点心，根据题意，列出关于x的不等式为________________________；
【答案】4.5x+2.5（35-x）≤100
【分析】设4.5元的买x包，则2.5元的买了（35-x）包，根据题意可得，买点心的花费不超过100元，据此列不等式．
【详解】由题意得，4.5x+2.5（35-x）≤100．
故答案为4.5x+2.5（35-x）≤100．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列不等式．
【变式3】（2023春·七年级课时练习）（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解．
【答案】方程的解为或．
【分析】先根据一元一次不等式的定义得到，求得，则可得到，由此求解即可．
【详解】解：∵（为定值）是关一元一次不等式，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【经典例题二 不等式的解集重难点题型】
【解题技巧】
知识点、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注：
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
注：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
【例2】（2022春·内蒙古通辽·七年级校考期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得．
【详解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1，
∴m-1＜0，即m＜1，
故选：B．
【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021春·八年级课时练习）下列命题中，假命题的个数是（ ）
①一元一次不等式的解集可以只含一个解②一元一次不等式组的解集可以只含一个解③一元一次不等式组的解集可以不含任何一个解④x=2是不等式x+3≥5的解集
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】不等式的解就是能使不等式成立的未知数的值，据此可以作出判断．
【详解】解： ①一元一次不等式的解集不可能只含一个解，所以一元一次不等式的解集可以只含一个解是假命题；
②的解集是x=2, 所以一元一次不等式组的解集可以只含一个解是真命题；
③如无解，所以解集不含任何一个解，是真命题.
④不等式 x+3⩾5 的解集是 x⩾2 ， x=2 是它的一个解，是假命题；
故假命题的个数是1；
故答案为C.
【点睛】解答此题的关键是要掌握不等式及不等式组解集的相关知识，不等式的解集不可能只含一个解，不等式组的解集可能只含有一个解，也可能含有很多解，也可能不含任何一个解.
【变式2】（2023春·八年级课时练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则________（填“是”或“不是”）不等式的解．
【答案】不是
【分析】先根据二元一次方程的定义求出k值，从而得k+1的值，再把k+1代入不等式检验，即可求解．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，解得：k=-5，
∴k+1=-5+1=-4，
把x=k+1=-4代入不等式左边得-4+2=-2,
把x=k+1=-4代入不等式右边得2×(-4)-1=-9,
∵-2>-9，
∴k+1不是不等式的解，
故答案为：不是．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，判定一个数是否是不等式的解，求出k值是解题的关键．
【变式3】（2023春·七年级课时练习）解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知，据此求解即可；
（2）①根据题意列出算式，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；
②根据题意列出不等式，求解此不等式即可．
【详解】解：（1）∵乙同学卡片上的代数式为一次二项式，
则，
∴；
（2）①，
∵结果为常数，
∴，
解得；
②由①知丙卡片上的代数式为，要使其为非负数，则，
则，解得．
【点睛】本题主要考查整式的加减以及解不等式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，解不等式注意按照运算步骤进行即可．
【经典例题三 不等式的性质重难点题型】
【解题技巧】
知识点、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
注： 不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【例3】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）点、、和原点在数轴上的位置如图所示，有理数、、各自对应着、、三个点中的某一点，且，，，那么表示数的点为（ ）
A．点B．点C．点D．无法确定
【答案】A
【分析】根据乘积小于0，可得a，b异号，再根据和大于0，得正数的绝对值较大，从图上点的位置关系可得a，b对应着点M与点P；根据，变形可得，从而可得答案．
【详解】解：，，
，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，
，b对应着点M与点P，
，
，
∴数b对应的点为点M，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数与数轴上的点的对应关系，数形结合、明确有理数的混合运算法则及不等式的性质是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023春·七年级单元测试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、则，故该选项不成立，不符合题意；
B、，则，故该选项成立，符合题意；
C、，不能判断，故该选项不成立，不符合题意；
D、，当时，；当时，；故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
【变式2】（2023春·七年级单元测试）下列结论：①，则；②若，则计算的结果共有3种情况；③若，则是负数；④是单项式．其中正确的结论是________．（只需要在横线上填上序号）
【答案】①②③④
【分析】根据不等式的性质可判定①；根据绝对值的性质和有理数的乘法运算可判断②③；根据单项式的概念可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴当x，y，z都为正时，；
当x，y，z中有两正一负时，；
当x，y，z中有两负一正时，；
当x，y，z都为负时，；
∴共有3种情况，故②正确；
③∵
∴当时，
∴
∴；
当，时，
∴，
∴；
∴若，则是负数，故③正确；
④是单项式，故④正确．
综上所述，其中正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】此题考查了不等式的性质，绝对值的意义，有理数的乘法运算，单项式的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式3】（2023春·全国·八年级期中）阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：
“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：，．
求证：．
②已知：，．
求证：．
【问题探究】
(1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：______），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：______），
合并同类项可得：，
即：得证．
(2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．
【答案】(1)不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变
(2)见解析
【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可；
（2）仿照（1）的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变），
合并同类项可得：，
即：得证．
故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变；
（2）解：，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变），
合并同类项，得，
即：，得证．
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质．
【经典例题四 一元一次不等式的解的最值问题】
【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则的最大值为
A．30B．40C．50D．60
【答案】D
【分析】由每日的总消费额及平均每个摊位一天的毛利润不低于1000元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【详解】依题意，得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案．
【详解】解：∵解方程组，
得，
∴①x与y互为相反数，则x=-y，
m+2=2m
m=2，故①正确；
②，
则m+2-2m=2-m
m＜，则m的最大整数值为3，故②错误．
③x=y，
则m+2=-2m
m=，故③错误；
故选：B．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键．
【变式2】（2022·重庆沙坪坝·统考一模）每年春节来临之际，我区都会开展迎新春送春联的活动．书法爱好者们分A，B，C，D四个组现场为居民书写春联．活动当天上午，A组人数是B组人数的3倍，D组人数是C组人数的4倍．C组平均每人书写的数量是A组平均每人书写数量的3倍，B组平均每人书写的数量是D组平均每人书写数量的4倍，上午活动结束时，C，D两组书写的总数量比A，B两组书写的总数量少429副．活动当天下午，D组的人数减少了，B组平均每人书写的数量变为原来的，其他几组的人数与平均每人书写的数量不变．若A组人数与C组人数的3倍之差超过33人但不超过40人，C组人数小于5人，则活动当天下午四个组书写的春联总数量最多为________副．
【答案】504
【分析】设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，由题意可求（3a+4b）（x-y）=429，列出不等式组，利用整数解，可求a=3，b=6，即可求解．
【详解】解：设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，
由题意可得：（3xa+4xb）-（3ay+4yb）=429，
解得：（3a+4b）（x-y）=429，
∵，
∴11＜x-y＜，
∵a，b，x，y为非负整数，
∴x-y=13，3a+4b=33，
∴a=3，b=6，x=13+y，
∴3xa+4b×x+3ay+4y×b=9x+15x+9y+15y =312+48y，
∴当y=4时，312+48y =312+48×4=504，
故答案为：504．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，利用整数解求出a，b值是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知、满足和，求的最小值．
【答案】3
【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可．
【详解】解方程组，得，
∵，
∴，即，
解得：，
∴的最小值为3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键．
【经典例题五 解特殊不等式组重难点题型】
【例5】（2023秋·山东东营·七年级统考期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可．
【详解】解：∵[]=2，
∴由题意得2≤＜3，
解得5≤x＜7，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果时，则，如，，，，…若关于的不等式组的整数解恰有个，则a的范围（）
A．1.5≤a＜2.5B．0.5＜a≤1.5C．1.5＜a≤2.5D．0.5≤a＜1.5
【答案】D
【分析】将〈a〉看作一个字母，通过解不等式组以及不等式组的整数解即可求出a的取值范围．
【详解】解：解不等式组，解得：，
由不等式组的整数解恰有个得：，
故，故答案选D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及新定义，根据题意正确理解的意义是解题的关键．
【变式2】（2022春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）设，是正整数，且满足，，则_________．
【答案】
【分析】本题可先根据两个不等式解出，的取值范围，根据，是正整数得出，的可能取值，然后将，的值代入中计算即可．
【详解】解：∵，，是正整数，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
，，
∴，
∵，是正整数，
∴或，
①当时，由，得：，这样的正整数不存在，
②当时，由，得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的解法，根据，的取值范围，得出，的整数解，然后代入计算．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为_______；
(2)试解一元二次不等式；
(3)试解不等式．
【答案】(1)或
(2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5
(3)的解集为1＜x＜4
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得；
（3）需要分类讨论：① ②据此求解可得．
【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0
∴ 或
解得：x＞3或x＜-3．
故答案为：或 ；
（2）∵，
∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得
① ②
解不等式组①，得0＜x＜5；
解不等式组②，无解，
∴的解集为0＜x＜5，
即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5．
（3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得
① ②
解不等式组①，得1＜x＜4；
解不等式组②，无解，
∴的解集为1＜x＜4．
【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则．
【经典例题六 不等式组的整数解问题 】
【解题技巧】
先解出不等式组的解集，再根据题目的要求，得出其中整数解的情况；
【例6】（2023春·广东深圳·八年级深圳市光明区高级中学校联考期中）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·福建泉州·七年级泉州市城东中学校考期中）若关于x的方程的解为正整数，且关于x的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求出方程的解x= ，根据方程的解为正整数求出a的值，再根据不等式组有解得出a＜1，得出a的值，即可得出选项．
【详解】解：4（2﹣x）+x=ax，
8﹣4x+x=ax，
ax﹣x+4x=8，
（a+3）x=8，
x=，
∵关于x的方程4（2﹣x）+x=ax的解为正整数，
∴a+3=1或a+3=2或a+3=4或a+3=8，
解得：a=﹣2或a=﹣1或a=1或a=5；
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥a，
∵关于x的不等式组有解，
∴a＜1，
∴a只能为﹣1和﹣2，
故选B．
【点睛】考查了解一元一次方程、解一元一次不等式和解一元一次不等式组等知识点，能得出a的取值范围和a的值是解此题的关键．
【变式2】（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）若关于的不等式组，有且只有两个整数解，，则整数的值为______．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，进一步求得的整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
不等式组只有两个整数解，，
∴不等式组的两个整数解为：2和3，
，
解得：，
，
，
整数的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组，难度适中．
【变式3】（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，求的周长．
【答案】11
【分析】根据非负数的性质得到、的值；再由不等式组的解集求出的值，进而求出三角形的周长．
【详解】解：∵
，，
，．
由不等式组的解得，
是不等式组的最大整数解，
．
的周长为．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法是解题的关键．
【经典例题七 不等式组与方程组结合问题】
【例7】（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①②④
【答案】D
【分析】先利用加减消元法求出即可判断①②；根据推出，则即可判断③；先推出，再结合a的取值范围即可判断④．
【详解】解：
用①-②得：，解得，
将代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
把代入到中得，
解得符合题意，故①正确；
当时，，
∴，x，y的值互为相反数，故②正确；
∵，
∵，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴S的最大值为11，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键在于能够根据题意求出．
【变式训练】
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）若关于的不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．9B．6C．-2D．-1
【答案】C
【分析】求出不等式组的解集为：，利用不等式组有解且最多有3个整数解，可得，解方程组可得：，讨论可知当，当时，方程组有整数解，进一步可求出符合条件的所有整数的和．
【详解】解：由题意可知：
解不等式的组，解不等式①得；解不等式②得，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组有解，且最多有3个整数解，
∴，
解方程组可得：，
当时，方程组有整数解；
当时，方程组有整数解；
∴符合条件的所有整数的和为-2．
故选：C
【点睛】本题考查不等式组，方程组，解题的关键是熟练掌握解不等式组，求出a的取值范围，解方程组．
【变式2】（2021春·四川绵阳·七年级校考期中）已知关于的方程组，其中，以下结论：①当时，方程组的解与互为相反数；②是方程组的解；③时，方程组的解也是的解；④若．正确的结论有___________________（填序号）
【答案】①②④
【分析】①将代入方程组，两式相加即可做出判断；
②将x与y代入方程组检验即可做出判断
③将代入方程组求出x与y的值，即可确定做出判断；
④先解方程组，根据y的范围确定出x的范围即可做出判断．
【详解】解：①将代入方程组得：；
两式相加得：
∴x与y互为相反数，①正确；
②将代入方程组得：
解得：，
∵，∴②正确；
③将代入方程组得：
解得：，
代入方程，左边得：；右边，即左边右边，
∴方程组的解不是方程的解；③错误；
④解方程组得：
∵，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，，
∴，④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程组中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)当a为何整数时，不等式的解集为．
【答案】(1)
(2)当a为时，不等式的解集为
【分析】（1）先解方程组可得，再利用x为非正数，y为负数，再建立不等式组，解不等式组即可得到答案；
（2）整理不等式可得，根据解集为，可得，结合（1）中的范围从而可得答案．
【详解】（1）解：解方程组，得：，
∵方程组中x为非正数，y为负数，
∴，解得：，
即a的取值范围是；
（2）∵，
∴，
∵要使不等式的解集为，
必须，解得：，
又由（1）可知，且a为整数，
∴，
所以当a为时，不等式的解集为．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组与不等式组的综合应用，不等式的性质，掌握“方程组与不等式组的解法”是解本题的关键．
【经典例题八 用一元一次不等式组解决问题】
【解题技巧】
知识点、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
注：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．
【例8】（2022·河北保定·统考模拟预测）国务院扶贫吧决定在光照按较好的贫困村，以整村推进的方式，保障每户每年增加一定量的收入．若符合条件的某村有户人家，每户增加3000元收入，且当年全村共增加收入元（），则的值不可能为（ ）
A．4B．10C．25D．34
【答案】D
【分析】先根据题意可得3000a=，然后再根据a的取值范围，列出关于a的不等式，最后确定a的取值范围即可解答．
【详解】解：由题意可得：3000a=
∵
∴104≤3000a<105
∴
∴A、B、C都不符合题意，D符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了不等式的应用，正确列出不等式是解答本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·七年级假期作业）定义运算[x]表示求不超过x的最大整数．如[0.3]＝0，[1.5]＝1，[﹣1.6]＝﹣2，[﹣2.2]＝﹣3．若[﹣1.5]•[2x﹣3]＝﹣6，则x的取值范围是（ ）
A．4.5≤x＜5B．3≤x＜3.5C．3≤x≤3.5D．4.5≤x≤5
【答案】B
【分析】根据题意得出﹣2•[2x﹣3]＝﹣6，即[2x﹣3]＝3，据此可得3≤2x﹣3＜4，解之即可．
【详解】解：根据题意，得：﹣2•[2x﹣3]＝﹣6，
∴[2x﹣3]＝3，
则3≤2x﹣3＜4，
解得3≤x＜3.5，
故选：B．
【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到不等式组进行求解．
【变式2】（2022秋·重庆云阳·九年级统考期末）由于国家有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，某地某个房地产公司为了加快资金周转，2022年春季在搞买房子送车位的促销活动的同时对销售人员进行个人奖励，每卖出一套两居室奖励1万元，每卖出一套三居室奖励2万元，每卖出一套四居室奖励4万元．公司将销售人员分成三组，经统计，第一组平均每人售出6套两居室、4套三居室、3套四居室；第二组平均每人售出2套两居室、2套三居室、1套四居室；第三组平均每人售出8套两居室、5套三居室．这三组销售人员在此次活动中共获得奖金466万元，其中通过销售三居室所获得的奖金为216万元，且第三组销售人员的人数不超过20人，则第一组和第三组销售人员的人数之和为______人．
【答案】18
【分析】设第一组销售人员为x人，第二组销售人员为y人，第三组销售人员为z人，然后根据题意易得，进而可得，则根据第三组销售人员的人数不超过20人可进行求解．
【详解】解：设第一组销售人员为x人，第二组销售人员为y人，第三组销售人员为z人，则，由题意得：
，
整理得：，
∴，即，
∵，且，
∴，
∴当时，则；当时，则；
∵当时，则时，不符合方程的解，故舍去；
∴第一组和第三组销售人员的人数之和为18；
故答案为18．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是得到已知与未知之间的等量关系．
【变式3】（2023春·福建泉州·七年级石狮市第一中学校考阶段练习）某公司组织员工旅游，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人．
(1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
(2)若该公司有303名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，请帮助旅行社设计租车方案．
(3)在（2）的条件下，出发前，由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：除同时租甲、乙两种客车外，还需租用65座的丙种客车．出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社如何安排租车方案？
【答案】(1)甲种客车每辆能载客45人，乙两种客车每辆能载客30人；
(2)有三种租车方案：①租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆；②租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆；③租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；
(3)租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆．
【分析】（1）据题中的等量关系列出方程组即可得出结果；
（2）设租甲种客车a辆，则租乙种客车辆，依题意得关系式为：，解不等式得到a的值；
（3）设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各m辆，n辆，辆，由已知得出方程，解方程得到m与n满足的关系；根据题意得出m，n的取值范围，即，然后结合上面得到的m与n的关系即可得到租车的方案．
【详解】（1）解：设甲种客车每辆能载客x人，乙两种客车每辆能载客y人，根据题意得
，解之得：，
答：甲种客车每辆能载客45人，乙两种客车每辆能载客30人；
（2）解：设租甲种客车a辆，则租乙种客车辆，
依题意得，解得，
∵打算同时租甲、乙两种客车，
∴，6，7，
有三种租车方案：
①租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆；
②租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆；
③租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；
（3）解：设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各m辆，n辆，辆，
根据题意得出：，
整理得出：，
∵，
∴符合题意的有：，
租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用等知识点，准确理解题意得出相应的关系式是解本题的关键．
【培优检测】
一、单选题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数有（ ）种情况．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】先根据题意得到一个关于的不等式组，然后求出符合题意的数即可．
【详解】由题意得，
解得，
整数解有．
故选B．
【点睛】本题考查简单的程序框图以及不等式组整数解的求法．由题意可得到一个关于的不等式组，然后求解即可．
2．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）定义一种法则“*”：，如：．若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意知，，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
解得，，
故选A．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式．解题的关键在于理解题意．
3．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式有且仅有个整数解得出答案即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组有且仅有个整数解是，，，，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于的不等式是解此题的关键．
4．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：①篮球的数量必须比足球的数量多；②排球数量必须是足球数量的倍，则学校最多能购买足球（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】设足球个，则篮球个，排球个，由用不超过元的资金购买足球、篮球和排球，列出不等式，即可求解．
【详解】解：设足球个，则篮球个，排球个，
由题意可得：，
解得：，
为正整数，
最大取．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
5．（2022春·江苏南通·七年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，且A在B左侧，点，连接，若在所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为6个，那么a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“点，点，且A在B的左边，点，连接，若在所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为6个”，得出除了点C外，其它5个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段上，从而求出a的取值范围．
【详解】解：∵点在点的左边，
∴解得：，
记边所围成的区域（含边界）为区域M，则落在区域M的横纵坐标都为整数的点个数为6个，
∵点的坐标分别是
∴区域M的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的6个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上，
∵点的横纵坐标都为整数且在区域M的边界上，
∴其他的5个都在线段上，
如图，
∴
解得：
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，一元一次不等式组的应用，分析题目找出横纵坐标为整数的5个点存在于线段上为解决本题的关键．
6．（2021秋·重庆铜梁·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，在第二象限内的点P（a﹣5，7）到x轴的距离大于到y轴的距离，且关于x的不等式组有且只有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．5B．9C．14D．20
【答案】B
【分析】先由第二象限内的点P（a﹣5，7）到x轴的距离大于到y轴的距离，得出﹣（a﹣5）＜7且a﹣5＜0，解之求出a的范围；解两个不等式，结合不等式组有且只有两个奇数解得出关于a的不等式组，解之求出a的另一个范围；两个a的范围相结合确定a的最终范围，从而得出答案．
【详解】解：∵第二象限内的点P（a﹣5，7）到x轴的距离大于到y轴的距离，
∴﹣（a﹣5）＜7，且a﹣5＜0，
解得﹣2＜a＜5，
解不等式≥x﹣1，得：x≤6，
解不等式4x﹣6＞a﹣4，得：x＞，
∵不等式组有且只有两个奇数解，
∴1≤＜3，
解得2≤a＜10，
则2≤a＜5，
∴符合条件的所有整数a的和为2+3+4＝9，
故选：B．
【点睛】本题考查的是点到坐标轴的距离，一元一次不等式组是解法，一元一次不等式组的整数解问题，理解题意构建一元一次不等式组是解本题的关键．
7．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）新定义：对非负实数x用“四舍五入”的法则精确到个位的值记为，下列说法正确的个数为（ ）
①（为圆周率）：
②如果，则实数x的取值范围为．
③若，则
④满足的所有x的值有且只有五个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据四舍五入法则及不等式的性质依次判断计算即可．
【详解】解：①∵
∴（为圆周率），正确，符符合题意；
②，
∴，
∴，正确，符合题意；
③∵，
∴x的小数部分小于0.5，（四舍）
∴x+0.5的小数部分大于0.5，（五入）
则，正确，符合题意；
④设，k为整数，
∴，
∴，，
∴，
∴，
，
∴的所有x的值有且只有五个，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查近似数的求法及不等式的性质，理解题干中的近视数的求法是解题关键．
8．（2023春·浙江·七年级开学考试）定义表示不大于x的最大整数，如：、，．则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，代入原方程可得，解方程并由题意可得，即可建立不等式并求解可知，结合题意n为整数，可推导n=1或2，当n=1或n=2时，分别计算x的值即可获得本题．
【详解】解：令，代入原方程可得，
解得，
由题意可得，
∴，解得，
∵n为整数，
∴n=1或2，
当n=1时，，
当n=2时，，
则方程所有解的和为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x的取值是解题关键．
9．（2023春·七年级单元测试）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，那么的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据是不等式的解，且不是这个不等式的解，列出关于a不等式，即可求解．
【详解】解：∵是不等式的解，
∴，解得：，
∵不是这个不等式的解，
∴，解得：，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式的解以及解不等式组，根据题意，列出关于a不等式，是解题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）二元一次方程的正整数解有_____个．
【答案】4
【分析】要求二元一次方程的正整数解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，分析解的情况．
【详解】由已知得，
∵都是正整数，
∴且是2的倍数，是正整数
解不等式组得：
∵是正整数，是2的倍数
∴是偶数
∴、4、6、8
∴或或或
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
11．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）美术社团班的甲、乙、丙同学，准备到文具店购买画笔，该文具店种画笔可供选择， 每种画笔有粗、中、细三种型号，且每种画笔的三种型号的价格每支分别为8元、元、元，其中 均为整数，三人每种画笔的每种型号都选择了一支， 对于每一种画笔， 三人选择的型号也各不相同．结账时，甲花费了85元，乙和丙两人共花费了110元，则甲买细型号的画笔上共花费__________元．
【答案】9
【分析】由题意，三人各不相同得型号且三人每种画笔得每种型号都选择了一支．则，再设未知数，列出二元一次方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，三人各不相同的型号且三人每种画笔的每种型号都选择了一支笔，则，
，
∵，
则，
，
∴，，
其中，，
设甲买了粗型号笔x支，中型号笔y支，则甲买了细型号笔支，
由题意得，
整理得，
∵x、y均为正整数且，
则，，则，
∴(元)
故答案为：9．
【点睛】本题考差了应用题类问题，列代数式，二元一次方程得整数解等知识，解题得关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
12．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）鲜花市场销售康乃馨，郁金香，玫瑰，红掌四个品种的鲜花，四个品种的鲜花每支的售价均为整数，若每支郁金香的售价比每只康乃馨的售价多3元，每支玫瑰的售价比每支康乃馨的售价高50%，每支红掌的售价是每支郁金香售价的4倍与每支玫瑰售价的差，某日康乃馨和郁金香一共销售了120支，康乃馨的销售量大于35支，红掌与康乃馨的销量之和不超过390支，而玫瑰的销量为60支，当日这四种花卉的平均售价是每只郁金香价格的倍，则当日四种花卉的销售总量的值是___________．
【答案】532支
【分析】设康乃馨单价为元，则郁金香为元，玫瑰为元，红掌为元，当日四种食物的平均售价为元．设总销售量为支，其中康乃馨支，可得∶，由不等式，及，得，进而由，得为，，，从而即可求解．
【详解】解：设康乃馨单价为元，则郁金香为元，玫瑰为元，红掌为元，当日四种食物的平均售价为元．设总销售量为支，其中康乃馨支>，可得∶
得，
∴，
∵红掌与康乃馨的销量之和不超过支，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴为或，
∵当时，不符合题意，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴为，，，
当时，不符合题意，
当时，不符合题意，
当时，支，
故答案为：532支．
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
13．（2022春·浙江台州·七年级统考期末）对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题：
（1）点（4，3）的纵变点是______；
（2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是______．
【答案】 （4，2）
【分析】（1）根据纵变点的定义解答即可；
（2）根据纵变点的定义分两种情况讨论分别得出不等式组求解即可．
【详解】解：（1）∵a=4>3，
∴=b-1=3-1=2，
∴点（4，3）的纵变点是（4，2）
故答案为：（4，2）．
（2）∵
①当a≤3时，，
∴
解得：；
②当时，，
∴，
∴无解
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解不等式组，解答本题的关键是熟练掌握新定义“纵变点”，解不等式时注意不等号两边乘以同一个负数时不等号方向要改变．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）已知表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则__________．
【答案】
【分析】由题意可知{}表示的小数部分，则，根据题意可得，分类讨论，将原方程化简，求得进而进行计算即可．
【详解】由题意得，，
，，
，
，
，
即，
，
当时，
，
原方程为，
即，
，
当时，
，
原方程为，
即，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的方程的计算，不等式的性质，实数的小数部分与整数部分，根据题意分析出，再分类讨论以及正确的计算是解题的关键．
15．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期末）解不等式组
(1)（把它的解集表示在数轴上）．
(2)（并写出它的整数解）．
【答案】(1)，把解集表示在数轴上见解析
(2)；整数解为：0、1、2、3
【分析】（1）先通过去括号、移项、系数化为1求出不等式的解，从而求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示即可；
（2）先通过去括号、移项、系数化为1求出不等式的解，从而求出不等式组的解集，即可确定解集中的整数解．
【详解】（1）解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，把不等式组的解集表示在数轴上如图所示：
（2）解：，
由①得：，即，
由②得：，
去括号得：，
移项得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的解集中的整数解为：0、1、2、3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示一元一次不等式组解集的方法，熟练掌握口诀确定一元一次不等式组的解集是解题的关键．
16．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数a的值．
【答案】(1)
(2)满足条件的整数a的值为，
【分析】（1）用含的式子表示出方程组的解，再根据方程组的解满足x为非正数，y为正数，列出不等式组，进行求解即可；
（2）根据题意，可得：，结合（1）中的取值范围，进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，得：，解得：，
把，代入②，得：，解得：，
∴方程组的解为：，
∵关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数，
∴，解得：；
（2）解：∵
∴，
∵不等式的解集为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴满足条件的整数a的值为，．
【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的取值范围、解一元一次不等式组．正确的求出方程组的解，是解题的关键．
17．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，学校计划组织1000名师生开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载乘客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客180人．
(1)求一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客？
(2)若一辆A型车的租金为320元，一辆B型车的租金为400元．学校计划一共租A、B两种型号的客车25辆，在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过9550元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)一辆A型车和一辆B型车分别可以载30人和45人
(2)3种租车方案，最少租车费用为9360元
【分析】（1）设一辆A型车和一辆B型车分别可以载乘客的人数为，根据1辆A型车和1辆B型车可以载乘客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客180人，列出方程组，进行求解即可；
（2）设租A型号的客车辆，则租用B型号的客车辆，根据在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过9550元，列出不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：设一辆A型车和一辆B型车分别可以载乘客的人数为，
由题意，得：，
解得：；
∴一辆A型车和一辆B型车分别可以载30人和45人．
（2）解：设租A型号的客车辆，则租用B型号的客车辆，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴可以取：，
∴共有三种方案可以选择，
方案一：租用6辆A型号的客车，租用19辆B型号的客车，
租车费用为：（元）；
方案二：租用7辆A型号的客车，租用18辆B型号的客车，
租车费用为：（元）；
方案三：租用8辆A型号的客车，租用17辆B型号的客车；
租车费用为：（元）；
∵，
∴最少租车费用为9360元．
答：共有3种租车方案，最少租车费用为9360元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键．
18．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）阅读材料，回答问题：
已知，符号表示不小于x的最小正整数，如：，，，……
(1)填空：___________；___________；
(2)若，则x的取值范用是___________；
(3)哈市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过，加收1.9元（不足的按计算），用x表示所行的公里数，y表示行x公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算：
当（单位：公里）时，（元）：
当（单位：公里）时，（元）．
若某乘客乘车后付费37.5元，求该乘客所行的路程x（）的取值范围．
【答案】(1)2，8
(2)
(3)
【分析】（1）接材料上提供的计算方法，就是表示若是整数，就是数本身，如果是一个小数，是指比这个数较大的最小的整数，计算即可；
（2）根据题意得出即可；
（3）直接把代入得出方程，进而求x的范围即可．
【详解】（1）；；
故答案为：2，8；
（2）若，则x的取值范围是，
故答案为：；
（3）根据题意，把代入，得：
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了不等关系和求解一元一次不等式组以及一元一次方程的应用，理解题意，准确找出数量关系．正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超过50元的部分按95%收费．某顾客购买x元的该商品．
(1)当时，请直接回答该顾客在甲、乙两家商场购物花费的关系；
(2)当时，到哪家商场购物花费少？少花多少钱？(用含x的代数式表示)
(3)当时，到哪家商场购物花费少？
【答案】(1)当累计购物不超过50元时，在甲乙两商场的花费一样
(2)到乙商场购买，少花元
(3)累计消费大于100元少于150元时，在乙商店花费少；当累计消费大于150元时，在甲商店花费少；当累计消费等于150元时，在甲乙商场花费一样
【分析】设累计购物x元，分别表示出在甲乙两商场的花费，列不等式，分情况讨论，求出最合适的消费方案．
【详解】（1）当累计购物不超过50元时，在甲乙两商场的花费一样；
（2）当累计消费超过50元而不超过100元时，在乙商场享受优惠，在甲商场不享受优惠，因此应该到乙商场购买；
少花元钱．
（3）当累计消费超过100元时，设累计消费x元，
甲商场消费为：元，
在乙商场消费为：元，
当，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
综上所述，当累计消费大于100元少于150元时，在乙商店花费少；
当累计消费大于150元时，在甲商店花费少；
当累计消费等于150元时，在甲乙商场花费一样．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等式关系式即可求解．注意此题分类讨论的数学思想．
20．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，A，B，C，D四点在数轴上，点A表示的数为20，点B表示的数为16，，．
(1)点A与点B的距离是_________，点C与点D的距离是_________，点D在数轴上表示的数是_________．
(2)线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，线段AB以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，运动时间为t秒，
①若线段AB沿数轴负方向运动，当t满足_________时，点A，B同时在线段上；
②若线段AB沿数轴正方向运动，当t满足_________时，点A，B．同时在线段上．
(3)一条4个单位长度的大毛毛虫的头从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，9秒后，一条2个单位长度的小毛毛虫的头从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动到点C时，立即调头改变方向保持原速度沿着数轴正方向运动．设大毛毛虫运动的时间为t秒．
①当两条毛毛虫头和头相遇时，求t的值；
②当两条毛毛虫尾和尾相遇时，直接写出t的值．
【答案】(1)4；12；
(2)①②
(3)20或18
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）分两种不同的位置得出不等式组求解即可；
（3）根据题意列出方程，求解方程即可．
【详解】（1）∵点A表示的数为20，点B表示的数为16，
∴，
∵，
∴
又
∴
∴．
又
∴点D在数轴上表示的数为：
故答案为：4；12；
（2）根据题意得，要使A，B同时在线段上，则有：
①
解得，
帮答案为：
②
解得，
故答案为：
（3）①9秒后，4个单位长度的大毛毛虫头在处，尾在处，则小毛毛虫从B到C需用时：，此时大毛毛虫在处，则有：
解得，
∴；
②小毛毛虫即从C点调头时，小毛毛虫的尾在O处，大毛毛虫尾在处，要使尾与尾相遇，则，
解得：
∴
综上，t的值为：20或18
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，根据定义列出方程是解题的关键．
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中