人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题17不等式与不等式组压轴题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题17不等式与不等式组压轴题型专训(原卷版+解析)，共41页。

【题型目录】
不等式与不等式组压轴题型专训
一、单选题
1．（2023春·全国·八年级期中）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·七年级单元测试）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则；
其中正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
4．（2022春·重庆忠县·七年级统考期末）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17B．﹣16C．﹣14D．﹣12
5．（2022秋·八年级课时练习）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·九年级专题练习）已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·七年级课时练习）关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021春·浙江·七年级期中）对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022春·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则不符合条件的整数m的有（ ）
A．-4B．2C．4D．10
11．（2023春·北京西城·九年级校考阶段练习）某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；
②初三学生人数多于教师人数；
③教师人数的四倍多于初一学生人数．
（1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为_____________；
（2）该小组人数的最小值为____________．
12．（2023春·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为______；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为___．（写出一种即可）
13．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．寒假期间，学校书法社开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，社员甲需书写五字春联，社员乙需书写七字春联，社员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字，七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍，实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，书法社统计员惊讶地发现，三人书写的字数一样多，则原计划甲书写春联的字数是___字．
14．（2022秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）若关于的方程有解，则的取值范围是______．
15．（2022秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）某茶店购进普洱，白茶，红茶，绿茶四种茶叶，其中白茶的进价正好是普洱和红茶进价的平均数，白茶的售价正好是普洱和红茶售价的平均数，这样白茶的单利润不小于5元且不大于10元，普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，绿茶的销量是普洱，白茶，红茶销量的总和，其中四种茶叶的进价，售价和销量均为整数．若普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，则绿茶的总利润的最小值为 _____元．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）把一筐苹果分给几个学生，如果每人分3个，那么余8个；如果每人分5个，那么最后一人分到，但不足3个．设学生有x人，列不等式组为________．
17．（2023春·七年级课时练习）若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为___________．
18．（2023春·江苏·七年级专题练习）若，且，，设，则t的取值范围为______．
19．（2022秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考阶段练习）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣12，则m的取值范围为 _____．
20．（2022秋·浙江宁波·七年级统考期末）已知正整数，，均小于5，存在整数满足，则的值为______．
21．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，如果自然数M的前2位数字之和为8，后两位数字之和为6，则称M为“优数”，把“优数”M的前两位数字和后两位数字整体交换所得新四位自然数记为，并规定．
例如：自然数7124中，，，所以7124是“优数”，此时；
自然数3516中，虽，但，所以3516不是“优数”．
(1)分别判断自然数2634和1751是否是“优数”，并请说明理由．
(2)若自然数A为“优数”，且能被7整除，请求出满足条件的所有“优数”
22．（2022·全国·七年级专题练习）对于不等式且当时，当时，
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)解关于x的不等式：
(2)解关于x的不等式其解集中无正整数解，求k的取值范围
23．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料：
[数学问题]已知x−y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x−y＝2，∴x＝y+2
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞−1
又∵y＜0，
∴−1＜y＜0①
同理得：1＜x＜2②
由①+②得：−1+1＜x+y＜0+2
即：0＜x+y＜2
(1)[类比探究]在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ．
(2)已知x−y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
(3)已知y≥1，x＜−1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x−2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
24．（2022春·河南信阳·七年级校考期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，不等式的“云不等式”是_____________．（填序号）
(2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
25．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）随着科技兴农不断深化，某果农在科技兴农服务团的帮助下，种植的西瓜喜迎丰收，货物运输成为焦点问题．现有大小两种货车，1辆大货车和2辆小货车一次可以运货9t，3辆大货车和4辆小货车一次可以运货22 t．
(1)求1辆大货车、1辆小货车每次分别运货多少吨；
(2)目前受疫情影响，大货车数量紧缺，该果农计划共租用8辆货车运走不少于t西瓜，那么至少租几辆大货车？
26．（2023春·八年级课时练习）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案．
(3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？
27．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号）
①；②；③
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）．
28．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）阅读理解，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点A(x，y)，若点B的坐标为（ax+y，x﹣ay），则称点B为点A的“a级关联点”，如点A(2，5)的“2级关联点”为B(2×2+5，2﹣2×5)，即B(9，﹣8)．
(1)已知点P(﹣2，1)的“4级关联点”为P1，则点P1的坐标为 ；
(2)已知点Q的“3级关联点”为Q1(﹣11，﹣7)，求Q点的坐标．
(3)如果点C(﹣1，c+1)的“2级关联点”C1在第二象限．
①求c的取值范围．
②在①中，当c取最大整数时，连接OC1，坐标平面内是否存在点M(3，m)，使得三角形OCM的面积不超过7，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
29．（2022春·江苏泰州·七年级统考阶段练习）对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数， 表示，，这三个数中最大的数，如：
，；
，
解决下列问题：
(1)填空：_________；
(2)若，求的取值范围；
(3)①若，那么_________；
②根据①，你发现结论“若，那么_________．”（填，，大小关系）
③运用②解决问题：若，求的值．
30．（2022春·福建福州·七年级统考期末）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
(1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①，
②，
③；
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围；
(3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．
包装款式
包装的重量（吨）
含I号新产品的重量（吨）
含II号产品的重量（吨）
A款
6
3
3
B款
5
3
2
C款
5
2
3
2022-2023学年七年级数学下册重难点提升精讲精练《人教版》
专题17 不等式与不等式组压轴题型专训
【题型目录】
不等式与不等式组压轴题型专训
一、单选题
1．（2023春·全国·八年级期中）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．
【详解】解：由不等式，可得：，
由不等式，可得：，
由以上可得不等式组的解集为：，
因为不等式组恰好只有四个整数解，
即整数解为，
所以可得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a的不等式是解答本题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解．
【详解】解：，，
，，


，
、、都为正数，
∴，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题是不定方程和不等式组的综合题是一道难度不小的综合题，求出c的取值范围是解题的关键．
3．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则；
其中正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
【答案】B
【分析】解方程组得，①当时，解得t=0，符合；②当时，得t=1，不符合题意；③当时，得，可判断；④当时，得，可判断．
【详解】解：解方程组得，
①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确；
②当时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误；
③当时，M=2t+3，∵，∴，符合题意，故正确；
④当时，，即，∴，不符合题意，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解题的关键．
4．（2022春·重庆忠县·七年级统考期末）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17B．﹣16C．﹣14D．﹣12
【答案】B
【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和．
【详解】不等式组整理得：，
由不等式组至少有1个整数解，得到，
解得：，
解方程组，得，
关于，的方程组的解为正整数，
或或，
解得或或，
所有满足条件的整数的值的和是．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型．
5．（2022秋·八年级课时练习）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：
解不等式①得，解不等式②得，
由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由两个已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a+b﹣7c中a，b转化为c，即可得解．
【详解】解：联立方程组，
解得，，
由题意知：a，b，c均是非负数，
则，
解得，
∴3a+b﹣7c
＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c
＝﹣2+3c，
当c＝时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×＝﹣．
故选：B．
【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．
7．（2023春·七年级课时练习）关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先解的不等式组，然后根据整数解的个数确定的不等式组，解出取值范围即可．
【详解】解：不等式组，
解得：，
不等式组只有个整数解，即解只能是，，，，，
的取值范围是：，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于的不等式组．
8．（2021春·浙江·七年级期中）对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围．
【详解】解：有正整数解，
，
即，，
，
是正整数，为正数，
，即可取1、2；
①当取1时，
，，
；
②当取2时，
，，
；
综上可得的范围是：或．
故选：D．
【点睛】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度．
9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据不等式的解集，可得答案．
【详解】解：不等式组的解集是，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集是，
不等式，①解集是不等式组的解集，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组中的两个不等式的解集都是大于，不等式组的解集大于大的，不等式②的解集是不等式组的解集．
10．（2022春·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则不符合条件的整数m的有（ ）
A．-4B．2C．4D．10
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集确定m的取值范围，根据方程组的解为整数，确定m的值．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
因为不等式组的解集是，
所以，，
解二元一次方程组得，，
因为x为整数，所以或或或，
则或或或，
∵
∴或或，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练运用解方程组和解不等式组方法求解，根据整数解准确进行求值．
11．（2023春·北京西城·九年级校考阶段练习）某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；
②初三学生人数多于教师人数；
③教师人数的四倍多于初一学生人数．
（1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为_____________；
（2）该小组人数的最小值为____________．
【答案】 5 7
【分析】①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解；
②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解．
【详解】解：①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得：
，且，
解得：，
∵x、y均为整数，
∴初二学生人数的最大值为5；
故答案为：5；
②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得：
，
当时，
即有：，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：，
此时团队总人数为：（人）；
当时，
即有：，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：，
此时小组总人数最小值为：（人），
可知随着老师的人数增加，小组总人数也增加，
即该小组人数最小值为7人；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
12．（2023春·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为______；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为___．（写出一种即可）
【答案】 3，1，1 1，1，3
【分析】（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，根据题意可得方程组，求解即可；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，则，解得，然后由装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，可得不等式组，进一步分析即得结果．
【详解】解：（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
由于x、y、z为整数，且每种款式至少有1个，
所以，
故答案为：3，1，1；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
∵装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，
∴，
当时，，
符合题目要求；
故答案为：1，1，3．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和不等式组的应用，正确理解题意、列出相应的方程组和不等式组是解题的关键．
13．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．寒假期间，学校书法社开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，社员甲需书写五字春联，社员乙需书写七字春联，社员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字，七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍，实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，书法社统计员惊讶地发现，三人书写的字数一样多，则原计划甲书写春联的字数是___字．
【答案】196
【分析】由题意得每副五字春联有（字）；每副七字春联有（字）；每副十二字春联有（字）；若设甲、乙、丙三人最终每人都写了x字，则由题意可得甲社员原计划用时为分钟，乙社员原计划用时分钟，丙社员原计划用时分钟．然后根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设活动结束时每人都写了x个字，则甲社员计划用时为分钟，乙社员计划用时为分钟，丙社员计划用时为分钟，
由题意列方程，
整理得，
解得，
由，把代入解得，
∵，
又∵应为整数，
∴式中应是7的倍数，
∴，
∴，
故原计划甲社员书写的春联字数为个字．
故答案为：196．
【点睛】本题考查了方程与不等式的应用．解题的关键在于审清题意，根据等量关系列方程．
14．（2022秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）若关于的方程有解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】把方程去掉绝对值后，由绝对值的非负性可得有解，解不等式求解即可．
【详解】解：由题可得，
即，
因为方程有解，
所以或
解得：．
【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．
15．（2022秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）某茶店购进普洱，白茶，红茶，绿茶四种茶叶，其中白茶的进价正好是普洱和红茶进价的平均数，白茶的售价正好是普洱和红茶售价的平均数，这样白茶的单利润不小于5元且不大于10元，普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，绿茶的销量是普洱，白茶，红茶销量的总和，其中四种茶叶的进价，售价和销量均为整数．若普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，则绿茶的总利润的最小值为 _____元．
【答案】3728
【分析】设普洱，红茶，绿茶的进价分别为x元，y元，n元，普洱，红茶，绿茶的售价分别为a元，b元，m元，则白茶的售价为元，进价为元，所以普洱和红茶的销量为，白茶的销量为，绿茶的销量为．再根据题干中的信息列出方程和不等式，得出结论即可．
【详解】解：设普洱，红茶，绿茶的进价分别为x元，y元，n元，普洱，红茶，绿茶的售价分别为a元，b元，m元，则白茶的售价为元，进价为元，
∵普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，
∴普洱和红茶的销量为，白茶的销量为，
∴绿茶的销量为．
∵普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，
∴，
整理得．
∵白茶的单利润不小于5元且不大于10元，
∴，整理得，
∵四种茶叶的进价，售价和销量均为整数且，
∴或17．
若使绿茶的总利润的最小，则最小，
当时，，
此时，
∵，
∴当，即时，，
此时绿茶的利润为：（元）．
当时，，
此时，
∵，
∴当时，（不符合实际意义），时，（舍），即此时不存在．
综上，绿茶的利润的最小值为3728元．
故答案为：3728．
【点睛】本题主要考查一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，设出未知数，根据题干中的信息得出m，n之间的关系是解题关键．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）把一筐苹果分给几个学生，如果每人分3个，那么余8个；如果每人分5个，那么最后一人分到，但不足3个．设学生有x人，列不等式组为________．
【答案】
【分析】若干个苹果分给x个小孩，根据如果每人分3个，那么余8个，共（3x＋8）个苹果；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果是（3x＋8）−5（x−1），可列出不等式组．
【详解】解：设学生有x人，列不等式组为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，设出人数就能表示出苹果数，然后根据最后一人分到的苹果不足3个，可列出不等式组．
17．（2023春·七年级课时练习）若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为___________．
【答案】或2##2或-1
【分析】由不等式组的解集中的整数和为-5，可确定整数解为：或，即可得出整数的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵不等式组的解集中的整数和为-5，
∴或，
∴或，
则整数的值为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解，再确定参数的范围．
18．（2023春·江苏·七年级专题练习）若，且，，设，则t的取值范围为______．
【答案】
【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．
【详解】解： ，，
∴
解得： 而，

∵，

∴





∴t的取值范围是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．
19．（2022秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考阶段练习）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣12，则m的取值范围为 _____．
【答案】或
【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为﹣12，可以确定整数解为﹣5，﹣4，﹣3或﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，再根据解集确定m的取值范围．
【详解】解：解不等式组得：﹣5≤x＜m，
∵所有整数解的和是﹣12，
∴不等式组的整数解为﹣5，﹣4，﹣3或﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
∴﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3；
故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．
【点睛】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．
20．（2022秋·浙江宁波·七年级统考期末）已知正整数，，均小于5，存在整数满足，则的值为______．
【答案】
【分析】首先根据正整数a，b，c均小于5，得出2a+2b+2c≤24+24+24=48，2a+2b+2c≥2+2+2=6，即6≤2022+1000m≤48，解不等式组求出m的范围，根据m为整数，得出m=-2，那么2022+1000m=22．观察得只有2+4+16=22，求出a+b+c=1+2+4=7，进而得到m（a+b+c）=-2×7=-14．
【详解】解：∵正整数a，b，c均小于5，
∴2a+2b+2c≤24+24+24=48，
2a+2b+2c≥2+2+2=6，
∴6≤2022+1000m≤48，
∴-2.016≤m≤-1.974，
∵m为整数，
∴m=-2，
∴2022+1000m=22．
∵2a，2b，2c，的取值只能为2，4，8，16，
观察得只有2+4+16=22，
∴a+b+c=1+2+4=7，
∴m（a+b+c）=-2×7=-14．
故答案为：-14．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，不等式的性质，一元一次不等式组的解法，求出m与a+b+c的值是解题的关键．
21．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，如果自然数M的前2位数字之和为8，后两位数字之和为6，则称M为“优数”，把“优数”M的前两位数字和后两位数字整体交换所得新四位自然数记为，并规定．
例如：自然数7124中，，，所以7124是“优数”，此时；
自然数3516中，虽，但，所以3516不是“优数”．
(1)分别判断自然数2634和1751是否是“优数”，并请说明理由．
(2)若自然数A为“优数”，且能被7整除，请求出满足条件的所有“优数”
【答案】(1)2634不是“优数”，1751是优数，理由见解析
(2)2651或3542或4433或5324或6215
【分析】（1）根据“优数”定义进行解答便可；
（2）设，根据题意求得、的取值范围，再根据定义求得（A），根据整除性质列出、的等量关系，进而求得不定方程的解析便可．
【详解】（1）解：2634不是“优数”，1751是优数．理由如下：
自然数2634中，虽，但，所以26343516不是“优数”；
自然数1751中，，，所以1751是“优数”；
（2）设，，，、为整数），
（A），
（A）能被7整除，
为整数，
即为整数，
，，
，
，
，或，或，或，或，．
或3542或4433或5324或6215．
【点睛】本题属于定义类题型，解题关键是理解定义．本题中运用到的分类讨论思想是重要一种数学解题思想方法．
22．（2022·全国·七年级专题练习）对于不等式且当时，当时，
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)解关于x的不等式：
(2)解关于x的不等式其解集中无正整数解，求k的取值范围
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据题意列出一元一次不等式求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式求解，并根据解集中无正整数解求出k的取值范围即可.
【详解】（1）解：∵，，
∴，
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
（2）∵，
∴
移项合并得：；
当，即时，解得：（可以取遍所有正整数，不合题意）；
当，即时，化简得（恒成立，可以取遍所有正整数，不合题意）；
当，即时，解得：，
∵解集中无正整数解，
∴，
去分母得：，（，不等号改变方向）
解得：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式与不等式的性质，掌握解一元一次不等式的一般步骤与不等式的性质是解题的关键．
23．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料：
[数学问题]已知x−y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x−y＝2，∴x＝y+2
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞−1
又∵y＜0，
∴−1＜y＜0①
同理得：1＜x＜2②
由①+②得：−1+1＜x+y＜0+2
即：0＜x+y＜2
(1)[类比探究]在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ．
(2)已知x−y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
(3)已知y≥1，x＜−1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x−2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】（1）仿照阅读材料求出的取值范围；
（2）①仿照阅读材料求出y的取值范围；②仿照阅读材料求出x的取值范围，再利用不等式的同号可加性，即可求出x+2y的取值范围；
（3）仿照阅读材料分情况讨论出x、y的取值范围，再可以利用不等式的同号可加性，即可求出x−2y的取值范围；
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴①，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，②，
由①+②得：，
即：，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②∵，
∴①，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，②，
由①+②得：，
即：；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴当时，，则，故①，
当时，，则，故②，
当时，，则，故③，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴当时，，则④，
当时，，则⑤，
当时，，则⑥，
∴当时，①+④得，则，即，
当时，②+⑤得，则，即，
当时，③+⑥得，则，即．
故答案为：当时，；当时，；当时，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，二元一次方程的解，理解例题的解题思路，和注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件是解题的关键．
24．（2022春·河南信阳·七年级校考期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，不等式的“云不等式”是_____________．（填序号）
(2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)或
【分析】（1）分别解出每个不等式，再求出其与不等式的公共解，最后由“云不等式”的定义判断即可；
（2）解不等式，得．由不等式，得．再分类讨论：①当即时，和②当，即时，结合“云不等式”的定义求解即可．
（1）
解不等式①得：，
∴一元一次不等式和一元一次不等式有公共解为：，
∴①是不等式的“云不等式”；
一元一次不等式和一元一次不等式有公共解为：，
∴②是不等式的“云不等式”；
解不等式③得：
∴一元一次不等式和一元一次不等式没有公共解，
∴③不是不等式的“云不等式”．
故答案为：①②；
（2）
由得：，
由得：，
分类讨论：①当即时，．
∵其与互为“云不等式”，
∴，
解得：．
∴；
②当，即时，．
此时与一定互为“云不等式”
综上所述，当或时，两不等式互为“云不等式”．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数．理解“云不等式”的定义和掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小大小中间找，大大小小找不到”是解题关键．
25．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）随着科技兴农不断深化，某果农在科技兴农服务团的帮助下，种植的西瓜喜迎丰收，货物运输成为焦点问题．现有大小两种货车，1辆大货车和2辆小货车一次可以运货9t，3辆大货车和4辆小货车一次可以运货22 t．
(1)求1辆大货车、1辆小货车每次分别运货多少吨；
(2)目前受疫情影响，大货车数量紧缺，该果农计划共租用8辆货车运走不少于t西瓜，那么至少租几辆大货车？
【答案】(1)1辆大货车每次运货4吨，1辆小货车每次运货2.5吨
(2)至少租 5 台大货车
【分析】（1）设1辆大货车一次可以运货x吨， 1辆小货车一次可以运货y吨，根据“1辆大货车和2辆小货车一次可以运货9t，3辆大货车和4辆小货车一次可以运货22 t”列方程组求解即可；
（2）设果农租用大货车m辆，则安排小货车(8-m)辆，根据“果农计划运走不少于t西瓜”列出不等式，求解不等式确定m的值即可．
（1）
解：设1辆大货车一次可以运货x吨， 1辆小货车一次可以运货y吨，根据题意得：
，
解得 ，
答：1辆大货车每次运货4吨，1辆小货车每次运货2.5吨；
（2）
解：设果农租用大货车m辆，则安排小货车(8-m)辆，根据题意得：
4m+2.5(8-m)≥27.5，
解得：m≥5，
∴至少租 5 台大货车．
【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理清等量关系和不等关系列出方程组和不等式．
26．（2023春·八年级课时练习）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案．
(3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？
【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元
(2)方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶；方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶；方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶．
(3)这批消毒液最多可使用5天
【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共6000ml，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案．
（3）设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液，利用使用时间=购买免洗手消毒液的总量÷（全校师生人数×10），即可得出w关于m的关系式，再利用性质及m，均为正整数，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元．
依题意得：
解得：
答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元．
（2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶．
依题意得：
∴
又∵a、b均为正整数
∴
∴共有3种购买方案
方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶．
方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶．
方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶．
（3）解：设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液．
依题意得：
∵
∴w随m的增大而减小
又∵m，均为正整数
∴当时，w取得最大值，最大值=
答：这批消毒液最多可使用5天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
27．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号）
①；②；③
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）．
【答案】(1)①②
(2)3＜k≤4；
(3)2＜m≤3
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出＜≤3，再去解不等式组的解集即可；
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可．
（1）
解：解不等式组得-1＜x＜2，
解方程x-1=0得：x=1；
解方程2x+1=0得：x=-；
解方程-2x-2=0得：x=-1，
∵-1＜1＜2，-1＜-＜2，-1=-1，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）
解：解不等式组得：＜x≤3，
解方程2x-k=2得：x=，
∵关于x的方程2x-k=2是不等式组的“相伴方程”，
∴＜≤3，
解得：3＜k≤4，
即k的取值范围是3＜k≤4；
（3）
解：解方程2x+4=0得x=-2，
解方程得x=-1，
∵方程2x+4=0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠2，
所以分为两种情况：
①当m＜2时，不等式组为，
此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去；
②当m＞2时，不等式组的解集是m-5≤x＜1，
所以根据题意得，
解得：2＜m≤3，
所以m的取值范围是2＜m≤3，
故答案为：2＜m≤3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
28．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）阅读理解，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点A(x，y)，若点B的坐标为（ax+y，x﹣ay），则称点B为点A的“a级关联点”，如点A(2，5)的“2级关联点”为B(2×2+5，2﹣2×5)，即B(9，﹣8)．
(1)已知点P(﹣2，1)的“4级关联点”为P1，则点P1的坐标为 ；
(2)已知点Q的“3级关联点”为Q1(﹣11，﹣7)，求Q点的坐标．
(3)如果点C(﹣1，c+1)的“2级关联点”C1在第二象限．
①求c的取值范围．
②在①中，当c取最大整数时，连接OC1，坐标平面内是否存在点M(3，m)，使得三角形OCM的面积不超过7，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②且
【分析】（1）由题意可直接求解；
（2）设点Q坐标为（x，y），由题意列出两方程，即可求解；
（3）①由题意列出不等式组，即可求解；
②当取最大整数时，，此时点坐标为，
根据“2级关联点”定义得点的坐标为，过点（3，0）作x轴的垂线，延长C1O与其相交于点N，所以N（3，－1），分情况讨论，根据≤7，解不等式即可求解．
（1）
解∵点P（-2，1）的“4级关联点”为P1，
∴4×（-2）+1=-7，-2-4×1=-6，
∴点P1的坐标为（-7，-6），
故答案为：（-7，-6）；
（2）
设点的坐标为，
点的“3级关联”为
，
解得：，
点坐标为，
（3）
①点的“2级关联点”为，，
化简得，
根据题意得：，
解得：；
②存在点，使得，
当取最大整数时，，此时点坐标为，
根据“2级关联点”定义得点的坐标为，
过点（3，0）作x轴的垂线，延长C1O与其相交于点N，所以N（3，－1），
如图，当点M在点N上方时，记为M1，
＝－
＝=，
∵≤7，
∴ m≤；
当点M在点N下方时，记为M2，
＝－
＝=，
∵≤7，
∴ m≥；
当点与重合时，△不存在，∴m≠－1；
∴的取值范围是：且．
【点睛】本题考查了新定义的阅读理解能力，坐标与图形，三角形面积的运用，二元一次方程组的解法，不等式的解法，解题关键是阅读理解能力和综合解题能力．
29．（2022春·江苏泰州·七年级统考阶段练习）对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数， 表示，，这三个数中最大的数，如：
，；
，
解决下列问题：
(1)填空：_________；
(2)若，求的取值范围；
(3)①若，那么_________；
②根据①，你发现结论“若，那么_________．”（填，，大小关系）
③运用②解决问题：若，求的值．
【答案】(1)1
(2)1≤≤2
(3)；； 2
【分析】（1）max{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最大的数，找到最大的数字即为所求．
（2）因为表示2x+1，4﹣x，2这三个数中最大的数是5，由此得出其他两个代数式都小于或等于5，解不等式组，解集即为所求的x的取值范围．
（3）①表示这三个数的平均数，计算＝x+1，所以max{2，x+1，2x}＝x+1，由此得出其他两个代数式都大于或等于x+1，从而得出x＝1，即三个算式相等时，成立．
②由①的发现的结论得出，时，a＝b＝c．
③由②的结论得出，，得出3m-n＝2m+n+1＝m+5n，解得，从而得出结论．
（1）
1．
故答案为：1．
（2）
∵，
∴，
这个不等式组的解集为1≤≤2．
∴x的取值范围1≤≤2．
（3）
①∵x+1，，
∴max{2，x+1，2x}＝x+1，
∴，
这个不等式组的解集为x＝1．
故答案为：1．
②∵，，
∴max{a，b，c}，
当a时，b+c＝2a，此时，
∴a＝b＝c，
同理，当b时，得a＝b＝c，
当b时，得a＝b＝c．
综上所得，时，a＝b＝c．
故答案为：a＝b＝c．
③由②的结论知，∵，
∴3m-n＝2m+n+1＝m+5n，
即，
这个方程组的解为，
∴m-n＝2．
【点睛】本题考查算数平均数、解一元一次不等式、解二元一次方程，其中根据题中的信息比较三个数或代数式的大小，并由此确定字母的取值范围是解答本题的关键．
30．（2022春·福建福州·七年级统考期末）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
(1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①，
②，
③；
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围；
(3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)
(3)
【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可；
（2）把代入相应的方程组和不等式，从而求得q的取值范围；
（3）根据当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，可求得， ，从而得到，结合且满足条件的整数n有且只有一个，此时n恰好有一个整数解－2，从而可求m的范围．
（1）解：3x-5=4，解得：x=3，当x=3时，①，解得：，故①不符合题意；②，解得：x≤3，故②符合题意；③，解得，故不等式组的解集是：，故③符合题意；故答案为：②③；
（2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”∴，解得，∴，解得；
（3）解：∵当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，∴，解得，由解得．当时，∴，即.∵方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，∴，∴．∵满足条件的整数n有且只有一个，∴∴解得∴，，∴此时n恰好有一个整数解-2，∴，∴．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用
包装款式
包装的重量（吨）
含I号新产品的重量（吨）
含II号产品的重量（吨）
A款
6
3
3
B款
5
3
2
C款
5
2
3