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初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理巩固练习
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这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理巩固练习，共37页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3198" 【题型1 勾股定理之大树折断模型】 PAGEREF _Tc3198 \h 1
\l "_Tc3594" 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 PAGEREF _Tc3594 \h 3
\l "_Tc18459" 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 PAGEREF _Tc18459 \h 4
\l "_Tc4349" 【题型4 勾股定理之方向角问题】 PAGEREF _Tc4349 \h 5
\l "_Tc30596" 【题型5 勾股定理之梯子问题】 PAGEREF _Tc30596 \h 7
\l "_Tc19741" 【题型6 勾股定理之范围影响问题】 PAGEREF _Tc19741 \h 9
\l "_Tc2742" 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】 PAGEREF _Tc2742 \h 13
\l "_Tc18663" 【题型8 勾股定理应用之其他问题】 PAGEREF _Tc18663 \h 14
【题型1 勾股定理之大树折断模型】
【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 米处折断．
【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．
【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】
【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 尺．
【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 m．
【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm
【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】
【例3】（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A．17cmB．13cmC．12cmD．14cm
【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为6π，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【变式3-3】（2022春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．（3+13） cmB．97 cmC．85 cmD．109 cm
【题型4 勾股定理之方向角问题】
【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里
【变式4-1】（2022春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？
【变式4-2】（2022春•合肥期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．
【变式4-3】（2022春•潮南区期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．
（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．
（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．
【题型5 勾股定理之梯子问题】
【例5】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 米．
【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？
【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从教学楼4楼掉落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到衣服吗？
【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【题型6 勾股定理之范围影响问题】
【例6】（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【变式6-1】（2022春•孝南区月考）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．
【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里
【变式6-3】（2022春•綦江区期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】
【例7】（2022春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
【变式7-1】（2022•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 米．
【变式7-2】（2022•牡丹区期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
【变式7-3】（2022•和平区三模）如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km，现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC＝ ．
【题型8 勾股定理应用之其他问题】
【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
【变式8-1】（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？
【变式8-2】（2022春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．
【变式8-3】（2022•广陵区二模）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．
（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：
①该屏幕的长＝ 16 寸，宽＝ 12 寸；
②已知“屏幕浪费比=黑色带子的总面积电视机屏幕的总面积”，求该电视机屏幕的浪费比．
（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：5≈2.2，结果精确到0.1）
专题17.2 勾股定理的应用【八大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3198" 【题型1 勾股定理之大树折断模型】 PAGEREF _Tc3198 \h 1
\l "_Tc3594" 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 PAGEREF _Tc3594 \h 3
\l "_Tc18459" 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 PAGEREF _Tc18459 \h 5
\l "_Tc4349" 【题型4 勾股定理之方向角问题】 PAGEREF _Tc4349 \h 8
\l "_Tc30596" 【题型5 勾股定理之梯子问题】 PAGEREF _Tc30596 \h 12
\l "_Tc19741" 【题型6 勾股定理之范围影响问题】 PAGEREF _Tc19741 \h 14
\l "_Tc2742" 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】 PAGEREF _Tc2742 \h 19
\l "_Tc18663" 【题型8 勾股定理应用之其他问题】 PAGEREF _Tc18663 \h 22
【题型1 勾股定理之大树折断模型】
【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 24 米处折断．
【分析】根据题意设出从底部向上x米处折断，则由题意可知另外两边分别为50﹣x，10．利用勾股定理列出方程进行求解．
【解答】解：设从底部向上x米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10
故102+x2＝（50﹣x）2
解得x＝24（米）
故烟囱应从底部向上24米处折断．
故答案为24．
【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，
∴BC=AB2+AC2=62+82=10（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．
故选：D．
【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．
【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．
【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，
由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，
故BD=132−122=5（m），
即AD＝9m，
则AC=AD2+CD2=92+122=15（m），
故AC+AB＝15+4＝19（m）．
答：这棵树原来的高度是19米．
【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】
【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 13 尺．
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺．
故答案是：13．
【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．
【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 12 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 （12−39） m．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；
（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴AB=132−52=12（m），
故答案为：12；
（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，
∴CD＝8（m），
∴AD=CD2−AC2=82−52=39（m），
∴BD＝AB﹣AD＝（12−39）m．
故答案为：（12−39）．
【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC=AB2+BC2=122+92=15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】
【例3】（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A．17cmB．13cmC．12cmD．14cm
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为10cm，
则AD＝10×12=5（cm）．
又因为CD＝AB＝12cm，
所以AC=122+52=13（cm）．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．
故选：B．
【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【解答】解：将台阶展开，如下图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，
所以AB2＝AC2+BC2＝169，
所以AB＝13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为6π，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 13 ．
【分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可．
【解答】解：因为圆柱底面圆的周长为2π×6π=12，高为5，
所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，
根据勾股定理，对角线长为52+122=13．
故蚂蚁爬行的最短距离为13．
【变式3-3】（2022春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．（3+13） cmB．97 cmC．85 cmD．109 cm
【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是42+92=97；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是72+62=85；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是32+102=109；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
故选：C．
【题型4 勾股定理之方向角问题】
【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB=OA2+OB2=82+62=10（海里）．
故选：B．
【变式4-1】（2022春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？
【分析】根据题意可得∠BAC＝90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC的长度．
【解答】解：由题意知，∠BAC＝90°，AB＝2×120＝240，AC＝2×90＝180，
由勾股定理得BC=AB2+AC2=2402+1802=300，
答：此时两艘海舰相距300海里．
【变式4-2】（2022春•合肥期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．
【分析】利用勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再利用直角三角形的性质可求解∠CBD＝32°，进而可求解．
【解答】解：该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．
理由：由题意得：AB＝15海里，BC＝20海里，AC＝25海里，
∵152+202＝252，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
由题意得∠BAD＝32°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠CBD＝90°﹣58°＝32°，
故该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．
【变式4-3】（2022春•潮南区期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．
（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．
（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可；
（2）过点A作AD⊥PE于D，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴∠AON＝45°，
∴∠BON＝90°﹣45°＝45°，
∴“海天”号沿西北方向航行；
（2）过点F作FD⊥PE于D，
OF＝16×2＝32，
∵∠NOF＝60°，
∴∠FOD＝90°﹣60°＝30°，
∴FD=12OF=12×32=16，
∴16÷80＝0.2（小时），
∵0.2＜0.5，
∴能在半小时内回到海岸线．
【题型5 勾股定理之梯子问题】
【例5】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 2.2 米．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米2），
∵AB＞0，
∴AB＝2.5（米），
在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2米，A'B＝AB＝2.5米，
∴BD2+A′D2＝A′B2，
即BD2+22＝2.52（米2），
∵BD＞0，
∴BD＝1.5（米），
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米），
故答案为：2.2．
【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？
【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比较．
【解答】解：梯子顶端到地面的垂直距离为：52−22=21，
因为21＞4.5，
所以这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头．
【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从教学楼4楼掉落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到衣服吗？
【分析】根据梯子的长和距离树干的距离求出树干的高度和2.3米比较即可得到答案．
【解答】解：由题意得，梯子顶端距离地面的距离为：
2．52−1．52=2（米），
2米＜2.3米，
故这位同学不能拿到衣服；
1.5﹣0.8＝0.7（米），
2．52−0．72=2.4（米），
2.3米＜2.4米，
故如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，此时这位同学能拿到衣服．
【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：252−72=24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，
根据勾股定理得：25=202+(7+CC′)2，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【题型6 勾股定理之范围影响问题】
【例6】（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD=150×200250=120（m），
∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED=EC2−CD2=1302−1202=50（m），
∴EF＝100（m），
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【变式6-1】（2022春•孝南区月考）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．
【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，
∵∠O＝30°，OA＝80米，
∴AH=12OA＝40米，
∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；
（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，
由（1）知AH＝40米，
∴CH=AC2−AH2=502−402=30（米），
∴CN＝2CH＝60（米），
∴t＝60÷5＝12（秒），
∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．
【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里
【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，
故∠AOB＝90°，
∴AB=BO2+AO2=15（海里），
答：甲、乙两渔船相距15海里，
故选：D．
【变式6-3】（2022春•綦江区期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED=EC2−CD2=2602−2402=100（km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28=507（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为507小时．
【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】
【例7】（2022春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，
在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：AE＝BE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距C点13.3km，
即CE＝13.3km．
【变式7-1】（2022•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 312.5 米．
【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．
∴BD=AD2−AB2=400m，
设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，
根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，
x2＝160000+x2﹣800x+3002，
800x＝250000，
x＝312.5．
答：商店与车站之间的距离为312.5米，
故答案为：312.5．
【变式7-2】（2022•牡丹区期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 7.5 米．
【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度．
【解答】解：设树的高度为x米．
∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，
∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，
在Rt△ACD中根据勾股定理得，
CD2+AC2＝AD2，
x2+100＝（20﹣x）2，
x＝7.5，
故答案为：7.5．
【变式7-3】（2022•和平区三模）如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km，现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC＝ 78km ．
【分析】根据题意，AC＝CD，∠ABD＝90°，由AB、AD的长易求BD，设CD＝x米，则AC＝x，BC＝BD﹣x．在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解即可．
【解答】解：根据题意得：AC＝CD，∠ABD＝90°．
在直角三角形ABD中，
∵AB＝3km，AD＝5km，
∴BD=52−32=4km
设CD＝AC＝x米，BC＝（4﹣x）km，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
即x2＝32+（4﹣x）2，
解得：x=258，
∴BC＝BD﹣CD＝4−258=78km．
故答案为：78km．
【题型8 勾股定理应用之其他问题】
【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
【分析】根据题意得出EF的长，进而得出EH的长，即可得出答案．
【解答】解：∵车宽1.6米，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OEF中，由勾股定理可得：
EF=OE2−OF2=1−0．82=0.6（m），
EH＝EF+FH＝0.6+2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
【变式8-1】（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．
【解答】解：超速．理由如下：
在Rt△ABC中，AC＝60m，AB＝100m，
由勾股定理可得BC=AB2−AC2=1002−602=80m，
∴汽车速度为80÷4＝20m/s＝72km/h，
∵72＞60，
∴这辆小汽车超速了．
【变式8-2】（2022春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．
【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，
则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米），
BC＝70﹣20+10＝60（米），
故终止点与原出发点的距离AB=602+802=100（米），
答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．
【变式8-3】（2022•广陵区二模）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．
（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：
①该屏幕的长＝ 16 寸，宽＝ 12 寸；
②已知“屏幕浪费比=黑色带子的总面积电视机屏幕的总面积”，求该电视机屏幕的浪费比．
（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：5≈2.2，结果精确到0.1）
【分析】（1）①根据电视机屏幕的长宽比为4：3，设长为4x，则宽为3x，再由勾股定理求出x的值，进而可得出结论；
②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸），求出a的值，得出黑色带子的宽度，进而得出其比值；
（2）根据题意得出PQBC=12.4，EFFG=34，得PQ=512BC，FG=43EF．再由S矩形EFGH＝S矩形MNPQ即可得出BC2EF2=165，进而可得出结论．
【解答】解：（1）①∵电视机屏幕的长宽比为4：3，
∴设长为4x，则宽为3x，
∵电视机屏幕为20寸，
∴（4x）2+（3x）2＝202，解得x＝4，
∴4x＝16，3x＝12，
∴该屏幕的长为16寸，宽为12寸；
故答案为：16；12．
②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸）．
∵162.4=a1，解得 a=203．
∴黑色带子的宽的和＝12−203=163．
∴屏幕浪费比=163×1616×12=49；
（2）由题意：PQBC=12.4，EFFG=34，得：PQ=512BC，FG=43EF．
∵S矩形EFGH＝S矩形MNPQ，
∴BC•512BC＝EF•43EF．
∴BC2EF2=165，
∴BCEF=45≈1.8．
答：这种屏幕的长宽比约为1.8．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3198" 【题型1 勾股定理之大树折断模型】 PAGEREF _Tc3198 \h 1
\l "_Tc3594" 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 PAGEREF _Tc3594 \h 3
\l "_Tc18459" 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 PAGEREF _Tc18459 \h 4
\l "_Tc4349" 【题型4 勾股定理之方向角问题】 PAGEREF _Tc4349 \h 5
\l "_Tc30596" 【题型5 勾股定理之梯子问题】 PAGEREF _Tc30596 \h 7
\l "_Tc19741" 【题型6 勾股定理之范围影响问题】 PAGEREF _Tc19741 \h 9
\l "_Tc2742" 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】 PAGEREF _Tc2742 \h 13
\l "_Tc18663" 【题型8 勾股定理应用之其他问题】 PAGEREF _Tc18663 \h 14
【题型1 勾股定理之大树折断模型】
【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 米处折断．
【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．
【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】
【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 尺．
【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 m．
【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm
【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】
【例3】（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A．17cmB．13cmC．12cmD．14cm
【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为6π，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【变式3-3】（2022春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．（3+13） cmB．97 cmC．85 cmD．109 cm
【题型4 勾股定理之方向角问题】
【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里
【变式4-1】（2022春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？
【变式4-2】（2022春•合肥期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．
【变式4-3】（2022春•潮南区期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．
（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．
（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．
【题型5 勾股定理之梯子问题】
【例5】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 米．
【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？
【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从教学楼4楼掉落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到衣服吗？
【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【题型6 勾股定理之范围影响问题】
【例6】（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【变式6-1】（2022春•孝南区月考）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．
【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里
【变式6-3】（2022春•綦江区期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】
【例7】（2022春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
【变式7-1】（2022•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 米．
【变式7-2】（2022•牡丹区期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
【变式7-3】（2022•和平区三模）如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km，现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC＝ ．
【题型8 勾股定理应用之其他问题】
【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
【变式8-1】（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？
【变式8-2】（2022春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．
【变式8-3】（2022•广陵区二模）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．
（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：
①该屏幕的长＝ 16 寸，宽＝ 12 寸；
②已知“屏幕浪费比=黑色带子的总面积电视机屏幕的总面积”，求该电视机屏幕的浪费比．
（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：5≈2.2，结果精确到0.1）
专题17.2 勾股定理的应用【八大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3198" 【题型1 勾股定理之大树折断模型】 PAGEREF _Tc3198 \h 1
\l "_Tc3594" 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 PAGEREF _Tc3594 \h 3
\l "_Tc18459" 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 PAGEREF _Tc18459 \h 5
\l "_Tc4349" 【题型4 勾股定理之方向角问题】 PAGEREF _Tc4349 \h 8
\l "_Tc30596" 【题型5 勾股定理之梯子问题】 PAGEREF _Tc30596 \h 12
\l "_Tc19741" 【题型6 勾股定理之范围影响问题】 PAGEREF _Tc19741 \h 14
\l "_Tc2742" 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】 PAGEREF _Tc2742 \h 19
\l "_Tc18663" 【题型8 勾股定理应用之其他问题】 PAGEREF _Tc18663 \h 22
【题型1 勾股定理之大树折断模型】
【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 24 米处折断．
【分析】根据题意设出从底部向上x米处折断，则由题意可知另外两边分别为50﹣x，10．利用勾股定理列出方程进行求解．
【解答】解：设从底部向上x米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10
故102+x2＝（50﹣x）2
解得x＝24（米）
故烟囱应从底部向上24米处折断．
故答案为24．
【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，
∴BC=AB2+AC2=62+82=10（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．
故选：D．
【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．
【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．
【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，
由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，
故BD=132−122=5（m），
即AD＝9m，
则AC=AD2+CD2=92+122=15（m），
故AC+AB＝15+4＝19（m）．
答：这棵树原来的高度是19米．
【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】
【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 13 尺．
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺．
故答案是：13．
【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．
【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 12 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 （12−39） m．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；
（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴AB=132−52=12（m），
故答案为：12；
（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，
∴CD＝8（m），
∴AD=CD2−AC2=82−52=39（m），
∴BD＝AB﹣AD＝（12−39）m．
故答案为：（12−39）．
【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC=AB2+BC2=122+92=15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】
【例3】（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A．17cmB．13cmC．12cmD．14cm
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为10cm，
则AD＝10×12=5（cm）．
又因为CD＝AB＝12cm，
所以AC=122+52=13（cm）．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．
故选：B．
【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【解答】解：将台阶展开，如下图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，
所以AB2＝AC2+BC2＝169，
所以AB＝13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为6π，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 13 ．
【分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可．
【解答】解：因为圆柱底面圆的周长为2π×6π=12，高为5，
所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，
根据勾股定理，对角线长为52+122=13．
故蚂蚁爬行的最短距离为13．
【变式3-3】（2022春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．（3+13） cmB．97 cmC．85 cmD．109 cm
【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是42+92=97；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是72+62=85；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是32+102=109；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
故选：C．
【题型4 勾股定理之方向角问题】
【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB=OA2+OB2=82+62=10（海里）．
故选：B．
【变式4-1】（2022春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？
【分析】根据题意可得∠BAC＝90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC的长度．
【解答】解：由题意知，∠BAC＝90°，AB＝2×120＝240，AC＝2×90＝180，
由勾股定理得BC=AB2+AC2=2402+1802=300，
答：此时两艘海舰相距300海里．
【变式4-2】（2022春•合肥期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．
【分析】利用勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再利用直角三角形的性质可求解∠CBD＝32°，进而可求解．
【解答】解：该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．
理由：由题意得：AB＝15海里，BC＝20海里，AC＝25海里，
∵152+202＝252，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
由题意得∠BAD＝32°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠CBD＝90°﹣58°＝32°，
故该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．
【变式4-3】（2022春•潮南区期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．
（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．
（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可；
（2）过点A作AD⊥PE于D，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴∠AON＝45°，
∴∠BON＝90°﹣45°＝45°，
∴“海天”号沿西北方向航行；
（2）过点F作FD⊥PE于D，
OF＝16×2＝32，
∵∠NOF＝60°，
∴∠FOD＝90°﹣60°＝30°，
∴FD=12OF=12×32=16，
∴16÷80＝0.2（小时），
∵0.2＜0.5，
∴能在半小时内回到海岸线．
【题型5 勾股定理之梯子问题】
【例5】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 2.2 米．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米2），
∵AB＞0，
∴AB＝2.5（米），
在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2米，A'B＝AB＝2.5米，
∴BD2+A′D2＝A′B2，
即BD2+22＝2.52（米2），
∵BD＞0，
∴BD＝1.5（米），
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米），
故答案为：2.2．
【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？
【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比较．
【解答】解：梯子顶端到地面的垂直距离为：52−22=21，
因为21＞4.5，
所以这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头．
【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从教学楼4楼掉落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到衣服吗？
【分析】根据梯子的长和距离树干的距离求出树干的高度和2.3米比较即可得到答案．
【解答】解：由题意得，梯子顶端距离地面的距离为：
2．52−1．52=2（米），
2米＜2.3米，
故这位同学不能拿到衣服；
1.5﹣0.8＝0.7（米），
2．52−0．72=2.4（米），
2.3米＜2.4米，
故如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，此时这位同学能拿到衣服．
【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：252−72=24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，
根据勾股定理得：25=202+(7+CC′)2，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【题型6 勾股定理之范围影响问题】
【例6】（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD=150×200250=120（m），
∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED=EC2−CD2=1302−1202=50（m），
∴EF＝100（m），
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【变式6-1】（2022春•孝南区月考）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．
【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，
∵∠O＝30°，OA＝80米，
∴AH=12OA＝40米，
∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；
（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，
由（1）知AH＝40米，
∴CH=AC2−AH2=502−402=30（米），
∴CN＝2CH＝60（米），
∴t＝60÷5＝12（秒），
∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．
【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里
【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，
故∠AOB＝90°，
∴AB=BO2+AO2=15（海里），
答：甲、乙两渔船相距15海里，
故选：D．
【变式6-3】（2022春•綦江区期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED=EC2−CD2=2602−2402=100（km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28=507（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为507小时．
【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】
【例7】（2022春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，
在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：AE＝BE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距C点13.3km，
即CE＝13.3km．
【变式7-1】（2022•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 312.5 米．
【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．
∴BD=AD2−AB2=400m，
设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，
根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，
x2＝160000+x2﹣800x+3002，
800x＝250000，
x＝312.5．
答：商店与车站之间的距离为312.5米，
故答案为：312.5．
【变式7-2】（2022•牡丹区期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 7.5 米．
【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度．
【解答】解：设树的高度为x米．
∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，
∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，
在Rt△ACD中根据勾股定理得，
CD2+AC2＝AD2，
x2+100＝（20﹣x）2，
x＝7.5，
故答案为：7.5．
【变式7-3】（2022•和平区三模）如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km，现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC＝ 78km ．
【分析】根据题意，AC＝CD，∠ABD＝90°，由AB、AD的长易求BD，设CD＝x米，则AC＝x，BC＝BD﹣x．在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解即可．
【解答】解：根据题意得：AC＝CD，∠ABD＝90°．
在直角三角形ABD中，
∵AB＝3km，AD＝5km，
∴BD=52−32=4km
设CD＝AC＝x米，BC＝（4﹣x）km，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
即x2＝32+（4﹣x）2，
解得：x=258，
∴BC＝BD﹣CD＝4−258=78km．
故答案为：78km．
【题型8 勾股定理应用之其他问题】
【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
【分析】根据题意得出EF的长，进而得出EH的长，即可得出答案．
【解答】解：∵车宽1.6米，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OEF中，由勾股定理可得：
EF=OE2−OF2=1−0．82=0.6（m），
EH＝EF+FH＝0.6+2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
【变式8-1】（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．
【解答】解：超速．理由如下：
在Rt△ABC中，AC＝60m，AB＝100m，
由勾股定理可得BC=AB2−AC2=1002−602=80m，
∴汽车速度为80÷4＝20m/s＝72km/h，
∵72＞60，
∴这辆小汽车超速了．
【变式8-2】（2022春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．
【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，
则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米），
BC＝70﹣20+10＝60（米），
故终止点与原出发点的距离AB=602+802=100（米），
答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．
【变式8-3】（2022•广陵区二模）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．
（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：
①该屏幕的长＝ 16 寸，宽＝ 12 寸；
②已知“屏幕浪费比=黑色带子的总面积电视机屏幕的总面积”，求该电视机屏幕的浪费比．
（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：5≈2.2，结果精确到0.1）
【分析】（1）①根据电视机屏幕的长宽比为4：3，设长为4x，则宽为3x，再由勾股定理求出x的值，进而可得出结论；
②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸），求出a的值，得出黑色带子的宽度，进而得出其比值；
（2）根据题意得出PQBC=12.4，EFFG=34，得PQ=512BC，FG=43EF．再由S矩形EFGH＝S矩形MNPQ即可得出BC2EF2=165，进而可得出结论．
【解答】解：（1）①∵电视机屏幕的长宽比为4：3，
∴设长为4x，则宽为3x，
∵电视机屏幕为20寸，
∴（4x）2+（3x）2＝202，解得x＝4，
∴4x＝16，3x＝12，
∴该屏幕的长为16寸，宽为12寸；
故答案为：16；12．
②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸）．
∵162.4=a1，解得 a=203．
∴黑色带子的宽的和＝12−203=163．
∴屏幕浪费比=163×1616×12=49；
（2）由题意：PQBC=12.4，EFFG=34，得：PQ=512BC，FG=43EF．
∵S矩形EFGH＝S矩形MNPQ，
∴BC•512BC＝EF•43EF．
∴BC2EF2=165，
∴BCEF=45≈1.8．
答：这种屏幕的长宽比约为1.8．
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