2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是( )
A. (2,2)B. (−2,−2)C. (1,1)D. (−1,−1)
2.若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )
A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行、相交或异面
3.若i是虚数单位，则复数z=i2019⋅(2−3i)的虚部等于( )
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
4.如图，已知等腰三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′A′=A′B′，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是( )
A. 2 2
B. 1
C. 2
D. 22
5.已知圆锥的高为 3，其侧面展开图的心角为4π3，则该圆锥的体积为( )
A. 3π8B. 4 3π5C. 5π3D. 8π3
6.如图，在△ABC中，BD+4CD=0，则AD=( )
A. 15AB+45AC
B. 45AB+15AC
C. 16AB+56AC
D. 56AB+16AC
7.在△ABC中，已知|AB+AC|=|AB−AC|，且sinA=2sinBcsC，则△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8.已知平面上的两个单位向量a，b满足a⋅b=45，若m∈R，则|a+mb|的最小值为( )
A. 52B. 25C. 53D. 35
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是( )
A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 正方体
10.已知复数z=(m2−1)+(m− 3)(m−1)i(m∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若m=0，则共轭复数z−=1− 3iB. 若复数z=2，则m= 3
C. 若复数z为纯虚数，则m=±1D. 若m=0，则4+2z+z2=0
11.下列命题正确的是( )
A. (a⋅b)⋅c=(b⋅c)⋅a
B. 已知λ，μ为非零实数，若λa=μb，则a与b共线
C. 若a为非零向量，若“a⋅b=a⋅c”则“b=c”
D. 若单位向量a,b,c满足a+b+2c=0，则a与b的夹角为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数(3−4i)z=−3+i，则z−在复平面内对应的点位于______象限.
13.已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______.
14.已知向量a=(− 3,3)，|b|=1，且a，b的夹角为π6，则b在a上的投影向量的坐标为______，|a−b|=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求实数m的值或取值范围，使得复数z=m2+m−2+(m2−1)i分别满足：
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z是复平面中对应的点位于第二象限．
16.(本小题15分)
已知向量OA=(2,1)，OB=(3,−2)，OC=(6−m,−3−m).
(1)若点A，B，C共线，求实数m的值；
(2)若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
17.(本小题15分)
正棱锥S−ABCD的底面边长为4，高为1.求：
(1)棱锥的侧棱长和侧面的高；
(2)棱锥的表面积与体积．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−DEF中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.
(1)证明：MN//平面ABED.
(2)证明：平面GOH//平面BCFE.
19.(本小题17分)
如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，csA=1213，csC=35.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
根据向量的坐标运算即可求出．
【解答】
解：由图可知，A(2,2)，B(1,1)，
所以AB=(1,1)−(2,2)=(−1,−1).
故选D.
2.【答案】D
【解析】解：∵a是平面α外的一条直线，∴a//α或a与α相交，
若a//α，则a与平面α内的直线的位置关系是平行或异面；
若a与α相交，则a与α内直线的位置关系是相交或异面．
则直线a与平面α内的直线的位置关系是平行、相交或异面．
故选：D.
由a是平面α外的一条直线，可得a与α的位置关系，然后分类分析得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵z=i2019⋅(2−3i)=i4×504+3⋅(2−3i)=−i(2−3i)=−3−2i，
∴复数z的虚部等于−2.
故选：B.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，
∴直角三角形的直角边长是 2，
∴直角三角形的面积是12× 2× 2=1，
∴原平面图形的面积是1×2 2=2 2，
故选：A.
根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2 2倍，得到结果．
本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则l2=r2+( 3)2，即l2=r2+3；
其侧面展开图的心角为2πrl=4π3，即rl=23；
解得r2=125，
所以圆锥的体积为V=13πr2h=13π×125× 3=4 3π5.
故选：B.
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意列方程求出r2，再计算圆锥的体积．
本题考查了圆锥的侧面展开图以及体积计算问题，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵在△ABC中，BD=4DC，∴AD=AB+BD=AB+45BC=AB+45(AC−AB)=15AB+45AC.
故选：A.
运用平面向量的三角形法则，直接求解．
本题考查了平面向量的基本运算，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由|AB+AC|=|AB−AC|得(AB+AC)2=(AB−AC)2，所以AB⋅AC=0，所以AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形；
由sinA=2sinBcsC得sin(π−B−C)=sin(B+C)=2sinBcsC，
所以sinBcsC+csBsinC=2sinBcsC，所以sinBcsC−csBsinC=0，
即sin(B−C)=0，因为−π综上，△ABC为等腰直角三角形．
故选：C.
由|AB+AC|=|AB−AC|两边平方得AB⊥AC，由sinA=2sinBcsC化简得B=C，得△ABC为等腰直角三角形．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：∵|a|=|b|=1,a⋅b=45，
∴|a+mb|= (a+mb)2= a2+2ma⋅b+m2b2= m2+85m+1= (m+45)2+925，
∴m=−45时，|a+mb|取最小值35.
故选：D.
根据条件及|a+mb|= (a+mb)2进行数量积的运算即可得出|a+mb|= m2+85m+1，然后配方即可求出最小值．
本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了用一个平面去截一个几何体时所截得的平面是什么形状的应用问题，是基础题．
根据圆锥、圆柱、三棱锥和正方体的结构特征，判断即可．
【解答】
解：用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以B不满足条件；
用一个平行于底面的平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件；
用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件．
故选：ACD.
10.【答案】BD
【解析】解：∵z=(m2−1)+(m− 3)(m−1)i，
若m=0，则z=−1+ 3i，∴z−=−1− 3i，故A错误；
此时4+2z+z2=4+2(−1+ 3i)+(−1+ 3i)2=2+2 3i−2−2 3i=0，故D正确；
若复数z=2，则m2−1=2(m− 3)(m−1)=0，即m= 3，故B正确；
若复数z为纯虚数，则m2−1=0(m− 3)(m−1)≠0，即m=−1，故C错误．
故选：BD.
把m=0代入，化简后可得A错误；代入4+2z+z2整理，可得D正确；再由实部为2，虚部为0求解m判断B；由实部为0且虚部不为0列式求解m判断C.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于选项A，不妨设a，b，c为非零向量，b=c且a⊥b，则(a⋅b)c=0，(b⋅c)a=b2a≠0，即选项A错误；
对于选项B，已知λ，μ为非零实数，若λa=μb，a=μλb，则a与b共线，即选项B正确；
对于选项C，已知a为非零向量，又“a⋅b=a⋅c”则a⋅(b−c)=0，即a⊥(b−c)或b=c，即选项C错误；
对于选项D，若单位向量a,b,c满足a+b+2c=0，
则a+b=−2c，
即a2+2a⋅b+b2=4，
即a⋅b=1，
即cs=1，
则=0，
则a与b的夹角为0，
即选项D正确．
故选：BD.
由平面向量数量积的运算，结合共线向量及向量夹角的运算，逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量的数量积，重点考查了共线向量及向量的夹角，属基础题．
12.【答案】第二
【解析】解：由(3−4i)z=−3+i，
得z=−3+i3−4i=(−3+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−9−4−12i+3i25=−1325−925i，
则z−=−1325+925i.
∴z−在复平面内对应的点的坐标为(−1325,925)，位于第二象限．
故答案为：第二．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z−的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
13.【答案】4348
【解析】解：4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，所有可能的长度组合为：①2，3，4；②3，4，6，
当长度分别为2，3，4时，该三角形最小内角θ的余弦值为csθ=32+42−222×3×4=78；
当长度分别为3，4，6时，该三角形最小内角φ的余弦值为csφ=42+62−322×4×6=4348，
∴该三角形最小内角的余弦值可以是4348或78.
故答案为：4348(答案不唯一).
由三角形的三边满足的条件可得到能围成三角形的钢丝长度情况，然后由大边对大角在每种情况下求出最小角的余弦值，最后比较余弦值的大小和余弦函数的单调性得到最小角的余弦值．
本题考查用余弦定理解三角形和大边对大角等知识，属于基础题．
14.【答案】(− 34,34) 7
【解析】解：∵a=(− 3,3)，|b|=1，且a，b的夹角为π6，
∴b在a上的投影向量的坐标为a⋅b|a|⋅a|a|=|b|csπ6⋅(− 32 3,32 3)
= 32⋅(− 32 3,32 3)=(− 34,34)；
由a=(− 3,3)，得|a|=2 3，
∴|a−b|= (a−b)2= |a|2+|b|2−2a⋅b= 12+1−2×2 3×1× 32= 7.
故答案为：(− 34,34)； 7.
直接利用向量在向量上的投影向量的定义求b在a上的投影向量的坐标，再由|a−b|= (a−b)2，结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查平面向量数量积的运算及性质，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)由题意得m2−1=0，所以m=±1；
(2)由题意得m2+m−2=0m2−1≠0，所以m=−2；
(3)由题意得m2+m−2<0m2−1>0，所以−2故m的取值范围为(−2,−1).
【解析】(1)根据复数的概念列式可求出结果；
(2)根据复数的概念列式可求出结果；
(3)根据复数的几何意义可求出结果．
本题主要考查实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
16.【答案】解：(1)向量OA=(2,1)，OB=(3,−2)，OC=(6−m,−3−m).
故AB=(1,−3)，BC=(3−m,−1−m)，
故AB=λBC，
整理得：−1−m+3(3−m)=0，
故m=2.
(2)由于向量OA=(2,1)，OB=(3,−2)，OC=(6−m,−3−m).
故AB=(1,−3)，BC=(3−m,−1−m)，AC=(4−m,−4−m)，
①当∠A为直角时，
所以AC⋅AB=0，
故4−m+3(4+m)=0，解得m=−8；
②当∠B为直角时，
AB⋅BC=0，
故4−m+2+3m=0，解得m=−3；
③当∠C为直角时，
所以AC⋅BC=0，
故2m2−2m+17=0，无解．
由①②③可知：m=−3或−8.
【解析】(1)直接利用向量的线性运算和向量的共线的条件的应用建立方程，进一步求出m的值；
(2)利用分类讨论思想的应用和向量垂直的充要条件的应用求出m的值．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)设SO为正四棱锥S−ABCD的高，则SO=1，
作OM⊥BC，则M为BC中点，
连结OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，BC=4，BM=2，则OM=2,OB=2 2，
在Rt△SOD中，SB= SO2+OB2= 1+8=3，
在Rt△SOM中，SM= 5，
∴棱锥的侧棱长为3，侧面的高为 5.
(2)棱锥的表面积：S=S正方形ABCD+4S△SBC=4×4+4×(12×4× 5)=16+8 5
几何体的体积为：13×4×4×1=163
【解析】(1)直接利用公式计算；
(2)直接利用公式计算；
本题考查了几何体的表面积、体积，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)连接BG，由N为CG的中点，M为BC的中点，
可得MN//BG，
又MN⊄平面ABED，BG⊂平面ABED，
则MN//平面ABED；
(2)由O为DF的中点，G为DE的中点，可得GO//EF，
又GO⊄平面BCFE，EF⊂平面BCFE，
可得GO//平面BCFE.
又O为DF的中点，H为AC的中点，
可得OH//FC，
又OH⊄平面BCFE，FC⊂平面BCFE，
则OH//平面BCFE.
又GO∩OH=O，可得平面GOH//平面BCFE.
【解析】(1)连接BG，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理可得证明；
(2)运用面面平行的判定定理可得证明．
本题考查线面平行和面面平行的判定定理，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)在△ABC中，因为csA=1213，csC=35，所以sinA=513，sinC=45，
从而sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=513×35+1213×45=6365，
由正弦定理ABsinC=ACsinB，得AB=AC⋅sinCsinB=1260×456365=1040m.
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100+50t)m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得：d2=(100+50t)2+(130t)2−2×130t×(100+50t)×1213=200(37t2−70t+50)=200[37(t−3537)2+62537]，
因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，
故当t=3537min时，甲、乙两游客距离最短．
【解析】(1)根据正弦定理即可确定出AB的长；
(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100+50t)m，乙距离A处130t m，由余弦定理即可得解．
此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．