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    北京市中关村中学2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题
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    北京市中关村中学2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题

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    这是一份北京市中关村中学2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题,共16页。试卷主要包含了解答题共6小题,共85分等内容,欢迎下载使用。

    1.(4分)已知角的终边经过点,则( )
    A.B.C.-2D.
    2.(4分)已知向量,,若,则( )
    A.-2B.C.2D.
    3.(4分)下列函数的最小正周期为且为奇函数的是( )
    A.B.C.D.
    4.(4分)要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
    A.向左平移个单位B.向右平移个单位
    C.向左平移个单位D.向右平移个单位
    5.(4分)已知扇形的圆心角为2rad,所对的弦长为4,则扇形的面积为( )
    A.B.C.D.
    6.(4分)如图所示,在正方形中,为的中点,为的中点,则( )
    A.B.C.D.
    7.(4分)“”是“为第一或第三象限角”的( )
    A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    8.(4分)在中,,是直线上的一点,若,则实数的值为( )
    A.B.C.D.
    9.(4分)数学与音乐有着紧密的关联,我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音,而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象,则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
    A.B.
    C.D.
    10.(4分)已知函数,给出下列四个结论:
    ①对任意,函数的最大值与最小值,之差为2;
    ②存在,使得对任意,;
    ③当时,对任意非零实数,;
    ④当时,存在,存在,使得对任意都有.
    其中正确的是( )
    A.①②③B.②③C.③④D.②③④
    二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
    11.(5分)已知为第三象限角,且,则___________,___________.
    12.(5分)已知为坐标原点,,,,则点坐标为___________.
    13.(5分)若,则___________.
    14.(5分)已知函数的部分图象如图所示.
    ①函数的最小正周期为___________;
    ②将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.若函数为偶函数,则的最小值是___________.
    15.(5分)在区间上有且仅有3个对称中心,给出下列四个结论:
    ①的取值范围是;
    ②的最小正周期可能是;
    ③在区间上单调递减;
    ④在区间上有且仅有3条对称轴;
    其中所有正确结论的序号是___________.
    三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
    16.(15分)已知,,,且,与相交于点P.
    (1)求点C和点P的坐标;
    (2)求.
    17.(15分)设,是不共线的两个向量.
    (1)若,,,求证:A,B,D三点共线;
    (2)若与共线,求实数的值.
    18.(15分)已知函数.
    (1)某同学利用五点法画函数在区间上的图象,他列出表格,并填入了部分数据,请你帮他把表格填写完整,并在坐标系中画出图象;
    (2)已知函数.
    ①若函数的最小正周期为,求的单调递增区间;
    ②若函数在上无零点,求的取值范围(直接写出结论).
    19.(14分)已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为,且图像上一个最低点为.
    (1)求的解析式;
    (2)若当时方程有唯一实根,求的范围.
    20.(13分)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮,该摩天轮轮盘直径为124米,设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
    (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米,已知关于的函数关系式满足(其中,,),求摩天轮转动一周的解析式;
    (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米?
    (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,从游客甲坐上摩天轮后开始计时,多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同?
    21.(13分)对于分别定义在,上的函数,以及实数,若存在,使得,则称函数与具有关系.
    (1)若,;,,判断与是否具有关系,并说明理由;
    (2)若,与具有关系,求的取值范围;
    (3)已知,为定义在上的奇函数,且满足:
    ①在上,当且仅当时,取得最大值1;
    ②对任意,有.
    判断与是否具有关系,并说明理由.
    参考答案与试题解析
    一、本部分共10题,每题4分,共40分。在每题列出的四个选项中,选出最符合题目要求的一项。
    1.【解答】解:角的终边经过点,则,
    故选:B.
    2.【解答】解:∵向量,,,
    ∴,
    解得.
    故选:B.
    3.【解答】解:A:为偶函数,不符合题意;
    B:的最小正周期,不符合题意;
    C:为偶函数,不符合题意;
    D:为奇函数,且,符合题意.
    故选:D.
    4.【解答】解:因为:.
    根据函数图象的平移规律可得:须把函数相右平移个单位得到函数的图象.
    故选:D.
    5.【解答】解:扇形的圆心角为2rad,所对的弦长为4,
    则,即,
    故扇形的面积为.
    故选:D.
    6.【解答】解:根据题意得:,
    又,,
    所以.
    故选:D.
    7.【解答】解:因为,
    所以,为第一或第三象限角,
    反之,若为第一或第三象限角,则必有.
    所以“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件.
    故选:C.
    8.【解答】解:因为,所以,
    又是直线上的一点,所以,
    又,
    所以,所以.
    故选:B.
    9.【解答】解:对于A,函数,定义域为,
    因为,所以函数为奇函数,
    又,故A符合图象;
    对于B,函数,定义域为,
    因为,所以函数为奇函数,
    又,故B不符题意;
    对于C,函数,定义域为,
    因为,故C不符题意;
    对于D,当时,,故D不符题意.
    故选:A.
    10.【解答】解:当时,的最大值为1,最小值为0,①错误;
    当时,,
    则,②正确;
    当时,,,③正确;
    当时,的周期,
    取,,即存在,存在,使得对任意都有,④正确.
    故选:D.
    二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
    11.
    【解答】解:∵为第三象限角,且,
    ∴;
    .
    故答案为:;.
    12..
    【解答】解:由,可知为线段的中点,
    又,,则.
    故答案为:.
    13.
    【解答】解:∵,∴.
    故答案为:.
    14.① ;
    ② .
    【解答】解:①由函数的部分图象可得函数的图象经过点,
    故有,
    结合图象可得,.
    再把点代入,可得,即.
    结合图象可得,∴,故函数的最小正周期为;
    ②将函数的图象向左平移个单位长度,
    得到函数的图象,
    若函数为偶函数,则,即,.
    则正数的最小值是,此时,.
    故答案为:①;②.
    15.①②③.
    【解答】解:①中,因为,所以,,
    又因为在区间上有且仅有3个对称中心,
    所以,解得,所以①正确;
    ②中,最小正周期,因为,所以②正确;
    ③中,因为,所以,,
    又由①选项的分析,,所以,
    所以在区间上单调递减,所以③正确;
    ④中,由①选项的分析,当,
    则在区间上有且仅有2条对称轴,所以④不正确.
    故答案为:①②③.
    三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
    16.【解答】解:(1)设,因为,,,
    所以,解得;
    因为,A、B、C、D不共线,所以四边形为平行四边形,
    所以,
    所以,即.
    (2)因为,所以.
    17.【解答】解:(1)证明:,
    ∴,且有公共点B,
    ∴A,B,D三点共线;
    (2)∵,不共线,∴,
    又与共线,∴存在实数,使,
    ∴,解得.
    18.【解答】解:函数,,
    (2)①因为,
    因为函数的最小正周期,可得,
    即,
    函数的单调递增区间满足:,,
    解得,,
    所以函数的单调递增区间为:;
    ②函数在上无零点,
    因为,所以,
    所以,
    解得.
    即的取值范围为.
    19.【解答】解:(1)由题意可得,可得,
    而,可得,
    再由图像上一个最低点为,可得,
    且,,又因为,
    可得,
    所以;
    (2)当时方程有唯一实根,即,
    所以,
    设,
    设,
    所以时,单调递减,
    时满足方程有唯一实根,
    所以.
    20.【解答】解:(1)由题意知,,,解得,
    又,所以,
    时,,解得,
    因为,所以,
    所以,;
    (2)令,得,解得,
    即,令,解得,
    所以游客甲坐上摩天轮后5分钟,距离地面的高度第一次恰好达到52米;
    (3)由题意知,,中间间隔5个座舱,即,
    令,得,
    即,所以,解得,;
    所以,;时,,不合题意;当时,,
    即从游客甲坐上摩天轮后开始计时,17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同.
    21.【解答】解:(1)与具有关系,理由如下:
    当时,,,
    当,,
    当时,,
    此时,
    则与具有关系;
    (2),

    因为,
    则当时,,
    则,
    所以,
    则;
    (3)不具有关系,理由如下:
    因为在上,当且仅当时,取得最大值1;
    又为定义在上的奇函数,
    故在上,当且仅当时,取得最小值-1,
    由对任意,有,
    所以关于点对称,
    又,
    所以的周期为,
    故的值域为,
    ,,
    当时,,;
    时,,,
    若,则,,
    此时有;
    当时,,;
    时,,,
    若,则,时,
    有;
    由于,
    所以,
    故不存在,,使得,
    所以与不具有关系.0
    0
    2
    0
    0
    0
    0
    2
    0
    -2
    0
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