北京市中关村中学2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题

这是一份北京市中关村中学2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题，共16页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

1.（4分）已知角的终边经过点，则（ ）
A.B.C.-2D.
2.（4分）已知向量，，若，则（ ）
A.-2B.C.2D.
3.（4分）下列函数的最小正周期为且为奇函数的是（ ）
A.B.C.D.
4.（4分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
5.（4分）已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为（ ）
A.B.C.D.
6.（4分）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A.B.C.D.
7.（4分）“”是“为第一或第三象限角”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8.（4分）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ）
A.B.C.D.
9.（4分）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A.B.
C.D.
10.（4分）已知函数，给出下列四个结论：
①对任意，函数的最大值与最小值，之差为2；
②存在，使得对任意，；
③当时，对任意非零实数，；
④当时，存在，存在，使得对任意都有.
其中正确的是（ ）
A.①②③B.②③C.③④D.②③④
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.（5分）已知为第三象限角，且，则___________，___________.
12.（5分）已知为坐标原点，，，，则点坐标为___________.
13.（5分）若，则___________.
14.（5分）已知函数的部分图象如图所示.
①函数的最小正周期为___________；
②将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为偶函数，则的最小值是___________.
15.（5分）在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
①的取值范围是；
②的最小正周期可能是；
③在区间上单调递减；
④在区间上有且仅有3条对称轴；
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（15分）已知，，，且，与相交于点P.
（1）求点C和点P的坐标；
（2）求.
17.（15分）设，是不共线的两个向量.
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）若与共线，求实数的值.
18.（15分）已知函数.
（1）某同学利用五点法画函数在区间上的图象，他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
（2）已知函数.
①若函数的最小正周期为，求的单调递增区间；
②若函数在上无零点，求的取值范围（直接写出结论）.
19.（14分）已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为，且图像上一个最低点为.
（1）求的解析式；
（2）若当时方程有唯一实根，求的范围.
20.（13分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？
21.（13分）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系.
（1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
（2）若，与具有关系，求的取值范围；
（3）已知，为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
判断与是否具有关系，并说明理由.
参考答案与试题解析
一、本部分共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1.【解答】解：角的终边经过点，则，
故选：B.
2.【解答】解：∵向量，，，
∴，
解得.
故选：B.
3.【解答】解：A：为偶函数，不符合题意；
B：的最小正周期，不符合题意；
C：为偶函数，不符合题意；
D：为奇函数，且，符合题意.
故选：D.
4.【解答】解：因为：.
根据函数图象的平移规律可得：须把函数相右平移个单位得到函数的图象.
故选：D.
5.【解答】解：扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，
则，即，
故扇形的面积为.
故选：D.
6.【解答】解：根据题意得：，
又，，
所以.
故选：D.
7.【解答】解：因为，
所以，为第一或第三象限角，
反之，若为第一或第三象限角，则必有.
所以“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件.
故选：C.
8.【解答】解：因为，所以，
又是直线上的一点，所以，
又，
所以，所以.
故选：B.
9.【解答】解：对于A，函数，定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A符合图象；
对于B，函数，定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B不符题意；
对于C，函数，定义域为，
因为，故C不符题意；
对于D，当时，，故D不符题意.
故选：A.
10.【解答】解：当时，的最大值为1，最小值为0，①错误；
当时，，
则，②正确；
当时，，，③正确；
当时，的周期，
取，，即存在，存在，使得对任意都有，④正确.
故选：D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.
【解答】解：∵为第三象限角，且，
∴；
.
故答案为：；.
12..
【解答】解：由，可知为线段的中点，
又，，则.
故答案为：.
13.
【解答】解：∵，∴.
故答案为：.
14.① ；
② .
【解答】解：①由函数的部分图象可得函数的图象经过点，
故有，
结合图象可得，.
再把点代入，可得，即.
结合图象可得，∴，故函数的最小正周期为；
②将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
若函数为偶函数，则，即，.
则正数的最小值是，此时，.
故答案为：①；②.
15.①②③.
【解答】解：①中，因为，所以，，
又因为在区间上有且仅有3个对称中心，
所以，解得，所以①正确；
②中，最小正周期，因为，所以②正确；
③中，因为，所以，，
又由①选项的分析，，所以，
所以在区间上单调递减，所以③正确；
④中，由①选项的分析，当，
则在区间上有且仅有2条对称轴，所以④不正确.
故答案为：①②③.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.【解答】解：（1）设，因为，，，
所以，解得；
因为，A、B、C、D不共线，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，即.
（2）因为，所以.
17.【解答】解：（1）证明：，
∴，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线；
（2）∵，不共线，∴，
又与共线，∴存在实数，使，
∴，解得.
18.【解答】解：函数，，
（2）①因为，
因为函数的最小正周期，可得，
即，
函数的单调递增区间满足：，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为：；
②函数在上无零点，
因为，所以，
所以，
解得.
即的取值范围为.
19.【解答】解：（1）由题意可得，可得，
而，可得，
再由图像上一个最低点为，可得，
且，，又因为，
可得，
所以；
（2）当时方程有唯一实根，即，
所以，
设，
设，
所以时，单调递减，
时满足方程有唯一实根，
所以.
20.【解答】解：（1）由题意知，，，解得，
又，所以，
时，，解得，
因为，所以，
所以，；
（2）令，得，解得，
即，令，解得，
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；
（3）由题意知，，中间间隔5个座舱，即，
令，得，
即，所以，解得，；
所以，；时，，不合题意；当时，，
即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同.
21.【解答】解：（1）与具有关系，理由如下：
当时，，，
当，，
当时，，
此时，
则与具有关系；
（2），
，
因为，
则当时，，
则，
所以，
则；
（3）不具有关系，理由如下：
因为在上，当且仅当时，取得最大值1；
又为定义在上的奇函数，
故在上，当且仅当时，取得最小值-1，
由对任意，有，
所以关于点对称，
又，
所以的周期为，
故的值域为，
，，
当时，，；
时，，，
若，则，，
此时有；
当时，，；
时，，，
若，则，时，
有；
由于，
所以，
故不存在，，使得，
所以与不具有关系.0
0
2
0
0
0
0
2
0
-2
0