北京市中关村中学2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题
展开1.(4分)已知角的终边经过点,则( )
A.B.C.-2D.
2.(4分)已知向量,,若,则( )
A.-2B.C.2D.
3.(4分)下列函数的最小正周期为且为奇函数的是( )
A.B.C.D.
4.(4分)要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
5.(4分)已知扇形的圆心角为2rad,所对的弦长为4,则扇形的面积为( )
A.B.C.D.
6.(4分)如图所示,在正方形中,为的中点,为的中点,则( )
A.B.C.D.
7.(4分)“”是“为第一或第三象限角”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8.(4分)在中,,是直线上的一点,若,则实数的值为( )
A.B.C.D.
9.(4分)数学与音乐有着紧密的关联,我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音,而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象,则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A.B.
C.D.
10.(4分)已知函数,给出下列四个结论:
①对任意,函数的最大值与最小值,之差为2;
②存在,使得对任意,;
③当时,对任意非零实数,;
④当时,存在,存在,使得对任意都有.
其中正确的是( )
A.①②③B.②③C.③④D.②③④
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.(5分)已知为第三象限角,且,则___________,___________.
12.(5分)已知为坐标原点,,,,则点坐标为___________.
13.(5分)若,则___________.
14.(5分)已知函数的部分图象如图所示.
①函数的最小正周期为___________;
②将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.若函数为偶函数,则的最小值是___________.
15.(5分)在区间上有且仅有3个对称中心,给出下列四个结论:
①的取值范围是;
②的最小正周期可能是;
③在区间上单调递减;
④在区间上有且仅有3条对称轴;
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.(15分)已知,,,且,与相交于点P.
(1)求点C和点P的坐标;
(2)求.
17.(15分)设,是不共线的两个向量.
(1)若,,,求证:A,B,D三点共线;
(2)若与共线,求实数的值.
18.(15分)已知函数.
(1)某同学利用五点法画函数在区间上的图象,他列出表格,并填入了部分数据,请你帮他把表格填写完整,并在坐标系中画出图象;
(2)已知函数.
①若函数的最小正周期为,求的单调递增区间;
②若函数在上无零点,求的取值范围(直接写出结论).
19.(14分)已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为,且图像上一个最低点为.
(1)求的解析式;
(2)若当时方程有唯一实根,求的范围.
20.(13分)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮,该摩天轮轮盘直径为124米,设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米,已知关于的函数关系式满足(其中,,),求摩天轮转动一周的解析式;
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米?
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,从游客甲坐上摩天轮后开始计时,多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同?
21.(13分)对于分别定义在,上的函数,以及实数,若存在,使得,则称函数与具有关系.
(1)若,;,,判断与是否具有关系,并说明理由;
(2)若,与具有关系,求的取值范围;
(3)已知,为定义在上的奇函数,且满足:
①在上,当且仅当时,取得最大值1;
②对任意,有.
判断与是否具有关系,并说明理由.
参考答案与试题解析
一、本部分共10题,每题4分,共40分。在每题列出的四个选项中,选出最符合题目要求的一项。
1.【解答】解:角的终边经过点,则,
故选:B.
2.【解答】解:∵向量,,,
∴,
解得.
故选:B.
3.【解答】解:A:为偶函数,不符合题意;
B:的最小正周期,不符合题意;
C:为偶函数,不符合题意;
D:为奇函数,且,符合题意.
故选:D.
4.【解答】解:因为:.
根据函数图象的平移规律可得:须把函数相右平移个单位得到函数的图象.
故选:D.
5.【解答】解:扇形的圆心角为2rad,所对的弦长为4,
则,即,
故扇形的面积为.
故选:D.
6.【解答】解:根据题意得:,
又,,
所以.
故选:D.
7.【解答】解:因为,
所以,为第一或第三象限角,
反之,若为第一或第三象限角,则必有.
所以“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件.
故选:C.
8.【解答】解:因为,所以,
又是直线上的一点,所以,
又,
所以,所以.
故选:B.
9.【解答】解:对于A,函数,定义域为,
因为,所以函数为奇函数,
又,故A符合图象;
对于B,函数,定义域为,
因为,所以函数为奇函数,
又,故B不符题意;
对于C,函数,定义域为,
因为,故C不符题意;
对于D,当时,,故D不符题意.
故选:A.
10.【解答】解:当时,的最大值为1,最小值为0,①错误;
当时,,
则,②正确;
当时,,,③正确;
当时,的周期,
取,,即存在,存在,使得对任意都有,④正确.
故选:D.
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.
【解答】解:∵为第三象限角,且,
∴;
.
故答案为:;.
12..
【解答】解:由,可知为线段的中点,
又,,则.
故答案为:.
13.
【解答】解:∵,∴.
故答案为:.
14.① ;
② .
【解答】解:①由函数的部分图象可得函数的图象经过点,
故有,
结合图象可得,.
再把点代入,可得,即.
结合图象可得,∴,故函数的最小正周期为;
②将函数的图象向左平移个单位长度,
得到函数的图象,
若函数为偶函数,则,即,.
则正数的最小值是,此时,.
故答案为:①;②.
15.①②③.
【解答】解:①中,因为,所以,,
又因为在区间上有且仅有3个对称中心,
所以,解得,所以①正确;
②中,最小正周期,因为,所以②正确;
③中,因为,所以,,
又由①选项的分析,,所以,
所以在区间上单调递减,所以③正确;
④中,由①选项的分析,当,
则在区间上有且仅有2条对称轴,所以④不正确.
故答案为:①②③.
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.【解答】解:(1)设,因为,,,
所以,解得;
因为,A、B、C、D不共线,所以四边形为平行四边形,
所以,
所以,即.
(2)因为,所以.
17.【解答】解:(1)证明:,
∴,且有公共点B,
∴A,B,D三点共线;
(2)∵,不共线,∴,
又与共线,∴存在实数,使,
∴,解得.
18.【解答】解:函数,,
(2)①因为,
因为函数的最小正周期,可得,
即,
函数的单调递增区间满足:,,
解得,,
所以函数的单调递增区间为:;
②函数在上无零点,
因为,所以,
所以,
解得.
即的取值范围为.
19.【解答】解:(1)由题意可得,可得,
而,可得,
再由图像上一个最低点为,可得,
且,,又因为,
可得,
所以;
(2)当时方程有唯一实根,即,
所以,
设,
设,
所以时,单调递减,
时满足方程有唯一实根,
所以.
20.【解答】解:(1)由题意知,,,解得,
又,所以,
时,,解得,
因为,所以,
所以,;
(2)令,得,解得,
即,令,解得,
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟,距离地面的高度第一次恰好达到52米;
(3)由题意知,,中间间隔5个座舱,即,
令,得,
即,所以,解得,;
所以,;时,,不合题意;当时,,
即从游客甲坐上摩天轮后开始计时,17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同.
21.【解答】解:(1)与具有关系,理由如下:
当时,,,
当,,
当时,,
此时,
则与具有关系;
(2),
,
因为,
则当时,,
则,
所以,
则;
(3)不具有关系,理由如下:
因为在上,当且仅当时,取得最大值1;
又为定义在上的奇函数,
故在上,当且仅当时,取得最小值-1,
由对任意,有,
所以关于点对称,
又,
所以的周期为,
故的值域为,
,,
当时,,;
时,,,
若,则,,
此时有;
当时,,;
时,,,
若,则,时,
有;
由于,
所以,
故不存在,,使得,
所以与不具有关系.0
0
2
0
0
0
0
2
0
-2
0
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