2024年甘肃省定西市中考数学第二次模拟测试题（原卷版+解析版）

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一、选题题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1. 的倒数的绝对值为（ ）
A. B. C. 2021D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用倒数的定义结合绝对值的性质即可答案．
【详解】解：-2021的倒数为，
的绝对值为．
故选D．
【点睛】本题考查了倒数的定义及绝对值的性质．倒数的定义：乘积为1的两个数称互为倒数；绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数．
2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可．
【详解】解：A. ，计算正确，故选项A符合题意；
B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意；
C. 与不同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
5. 中央财政给某市投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金亿元，将“亿”用科学记数法表示应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，解答本题的关键是熟记科学记数法表示较大数的特征．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将亿=，用科学记数法表示应是．
故选：C．
6. 最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸号引了全国很多游客，为了给游客带大更便捷的体验，当地开通了天水火车站和天水南站两条“麻辣烫”公交专线，据介绍，想要成就一份香喷喷美味的麻辣烫，甘谷辣椒、秦安花椒、武山蔬菜、于擀粉缺一不可，为了了解外地游客对麻烫口味的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意； E不清楚．五者任选其一），根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和不完整的扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ）
A. 选择“C满意”的人数最多
B. 抽样调查的样本容量是240
C. 样本中“A不满意”的百分比为
D. 若周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体数量等知识；由“C满意”的人数，从而可判断A；由“B一般”的人数及其占比可求得抽取的总人数，则可判断B；可以计算出样本中“A不满意”的百分比，从而判断C；根据口味“B一般”的人数占比，即可求得周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的大约人数，从而判断D．
【详解】解：由题意知，选择“C满意”的人数最多，故A正确，不符合题意；
抽取的人数中，口味“B一般”的人数为20人，其占比为，则抽取的总人数为：（人），故抽样调查的样本容量是100，故B错误，符合题意；
“A不满意”的人数为（人），样本中“A不满意”的百分比为，故C正确；不符合题意；
周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的人数为：（人），
即周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的大约人数为160人．不符合题意；
故选B
7. 分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故选：B．
8. 如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则______．

【答案】##61度
【解析】
【分析】如图，连接，证明，求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接．

∵是直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
10. 如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，过点C作于D，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而利用等面积法求出，则可利用勾股定理求出；再证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，则点E的坐标为．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和的意义得到和，然后解不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得，且．
故答案为且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关知识点四解题的关键．
13. 把二次函数先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后解析式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．根据函数平移的规律上加下减，左加右减直接代入即可得到答案；
【详解】解：∵二次函数的图像先向右平移2个单位．再向下平移3个单位，
∴解析式为，
故答案：．
14. 近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“________米”．
【答案】
【解析】
【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．
【详解】解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．
15. 如图，矩形边，平分交于点，，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的定义分别求出AE、BE的长，以及的度数，进而利用图中阴影部分的面积=矩形ABCD面积-，据此解答．
【详解】解：矩形ABCD中，平分交于点，
阴影部分面积=-
．
【点睛】本题考查扇形的面积、矩形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16. 如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，点是对角线上的一个动点，则线段的最小值是 _______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，根据正方形的对称性得到，根据题意得到，当E、P、C三点共线时，取得最小值为，由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，如下图所示：

∵正方形的边长为2，点E是边AD的中点，
∴，，，
由正方形的对称性可知：，
∴，
∴当E、P、C三点共线时，取得最小值为，
在中，．
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点；本题的关键是得到当E、P、C三点共线时，取得最小值为进而求解．
三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，先根据零指数幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂及绝对值的代数意义将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键．
【详解】解：
．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，把解集在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分， 再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】解：
．
20. 《九意算术》是我国吉代数学名著，也是东方数学的代表作之一，书中记载了这样一个回题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何”译文：如图今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆)的半径是多少步？
（1）如图，已知，请你根据以下步骤完成作图过程：
①作的平分线的平分线，两条射线交于点O：
②过点O作的垂线（提示：取点P，使点P和点O位于的异侧，以O为圆心，长为半径画弧，交于M、N两点，线段MN的垂直平分线即为的垂线），交于点H；
③以点O为圆心，为半径作，则即为的内切圆．
（2）已知中，，求（1）中所作的的半径．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】此题考查了尺规作图，勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，
（1）①利用尺规作图画角平分线即可；②利用尺规作图画垂直平分线即可；③用圆规画圆即可；
（2）过点O作，垂足为E，过点O作，垂足为F，可以得到正方形，设圆的半径为，结合切线定理可以得到，建立方程即可求得答案．
小问1详解】
①点O如下图所示，
②点H如下图所示，
③如下图所示．
【小问2详解】
如下图所示，过点O作，垂足为E，过点O作，垂足为F，
设圆的半径为，
根据题意得，且四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为2．
21. 2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸、琮琮、莲莲”．我校举办了“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟将一些吉祥物“宸宸、琮琮、莲莲”作为竞赛奖品．主持人在3张完全相同的卡片上分别写上“”后放入一个盒子里．
（1）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“宸宸”的概率为 ；
（2）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回，再随机抽取一张卡片．请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母相同”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了列表法与树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，符合题意的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“宸宸”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，“两次抽取卡片上字母相同”的结果有3种，
（两次抽取卡片上字母相同）．
22. 贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）

（1）求索道的长（结果精确到）；
（2）求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案；
（2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，
∴；
【小问2详解】
解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，
∴，，
∴；
【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．
四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 为了解学生的课外阅读情况，某校调研了七、八年级学生，分别从七、八年级中各随机抽取20名学生了解平均每天课外阅读时长（单位：小时），对调查结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息1．七年级20名学生平均每天课外阅读时长如下所示：
3.0 2.8 2.6 2.5 2.4 2.3 2.0 2.0 2.0 1.7
1.6 1.6 1.4 1.2 1.0 1.0 0.8 0.6 0.3 0.2
信息2．（1）八年级20名学生平均每天课外阅读时长的频数分布直方图如下图：（阅读时长用表示，数据分为六组：，，，，，）．
（2）八年级阅读时长范围为的数据如下：
1.6 1.8 1.9 2.0 2.1 2.1 2.1 2.4；
信息3．七、八年级抽取学生平均每天课外阅读时长统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，__________；请补全频数分布直方图；
（2）该校八年级共1800人，估计八年级每天课外阅读不少于1.5小时的学生人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级在课外阅读方面哪个年级做得更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
【答案】（1）2.0，1.7；见详解
（2）990人 （3）该校八年级在课外阅读方面做得更好，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义，确定的值；结合八年级阅读时长范围为的数据，补画频数分布直方图即可；
（2）利用八年级学生总人数乘以参与调查的20名学生中每天课外阅读不少于1.5小时的学生占比，即可获得答案；
（3）根据该校参与调查的七、八年级学生平均每天课外阅读时长统计数据的中位数，分析判断即可．
【小问1详解】
解：∵七年级20名学生平均每天课外阅读时长统计数据中，2.0出现了3次，出现的次数最多，
∴七年级20名学生平均每天课外阅读时长统计数据中，众数；
将八年级20名学生平均每天课外阅读时长统计数据按从小到大排列，排在第10，11位的是1.6，1.8，
∴八年级20名学生平均每天课外阅读时长统计数据的中位数；
由题目中的信息可知，八年级阅读时长范围为的数据有1.6，1.8，1.9，共计3个，
阅读时长范围为的数据有2.0，2.1，2.1，2.1，2.4，共计5个，
故可补画频数分布直方图如下：
【小问2详解】
解：（人），
∴估计八年级每天课外阅读不少于1.5小时的学生人数为990人；
【小问3详解】
解：我认为该校八年级在课外阅读方面做得更好，理由如下：
∵八年级抽取学生平均每天课外阅读时长的中位数为，大于七年级抽取学生平均每天课外阅读时长的中位数1.65，
∴我认为该校八年级在课外阅读方面做得更好．
【点睛】本题主要考查了中位数、众数、频数分布直方图、利用样本估计总体以及统计数据的应用等知识，通过题目中描述获得所需信息是解题关键．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点是否在一次函数的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1），；（2）在，理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）先利用点A求出反比例函数的解析式，由此求出点B的坐标，再利用点A及点B的坐标求出一次函数的解析式；
（2）将点P的坐标代入解析式判断即可；
（3）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方确定不等式的解集．
【详解】解：（1）将点代入反比例函数中，得，
∴反比例函数解析式为；
将点代入，得-a=6，
∴a=-6，
∴，
将点、代入一次函数中，得
，∴，
∴一次函数的解析式为；
（2）点P在一次函数的图象上．
理由：当x=-2时，，
∴点P在一次函数的图象上；
（3）由图象可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
∴当或时．
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特点，利用函数图象确定不等式的解集，正确掌握一次函数及反比例函数的知识是解题的关键．
25. 如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求和弧的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）长为，弧的长为；
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质得到，最后利用切线的判定即可解答；
（2）根据正弦值得到，再根据补角的定义及角平分线的定义得到，最后利用直角三角形的性质及弧长公式即可解答．
【小问1详解】
解：连接，
∵平分，
∴，
∵，垂足为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
即长为，弧的长为；
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，锐角三角函数，角平分线的定义，切线的判定，直角三角形的性质，弧长公式，掌握圆周角定理及锐角三角函数是解题的关键．
26. 已知正方形，E为对角线上一点．

【建立模型】
（1）如图1，连接，，求证：；
【模型应用】
（2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G．
①判断的形状并说明理由；
②若G为的中点，且，求的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，，请写出与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①为等腰三角形，理由见解析；②
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论；
（2）①根据（1）证明出；②过点F作于H，先求出，，进而求出,最后用勾股定理即可求出答案；
（3）先判断出，由（1）知，，由（2）知，,即可判断出结论．
【小问1详解】
证明：∵是正方形的对角线，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①为等腰三角形，理由：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②

如图，过点F作于H，
∵四边形为正方形，点G为的中点，，
∴，，
由①知，，
∴，
∴，
在与中，∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
在中，，
∴，
由（1）知，，
由（2）知，，
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角函数，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键．
27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）．

（1）如图2，抛物线的顶点为点Q，求的面积；
（2）如图3，过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D、交于点F，当点P在何位置时，最大？求出最大值；
（3）在（2）条件下，当最大时，将抛物线沿着射线平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）16 （2）
（3）或或．
【解析】
【分析】（1）先求出点Q，点B，点E的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）求出，，再用待定系数法求出直线的函数表达式为，设，则，得出，，得出的表达式，根据二次函数性质即可求解；
（3）由（2）可得：，设点A平移后对应点坐标为，则点A向右平移t个单位长度，向下平移个单位长度，得出，把代入求出，设点，点，然后进行分类讨论：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，即可解答．
【小问1详解】
解：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为，
设，则，
∵，，轴，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值；
【小问3详解】
解：由（2）可得：，
∵直线的函数表达式为，
∴设点A平移后对应点坐标为，
∵，
∴点A向右平移t个单位长度，向下平移个单位长度，
∵抛物线沿着射线平移，
∴，
把代入得：，
解得：或（舍去）
∴，
∵点M在上，
∴设点，
∵N是对称轴上一点，
∴设点，
①当是对角线时，
∵，，，，
∴，
解得：；
∴；
②当是对角线时，
∵，，，，
∴，
解得：，
∴；
③当是对角线时，
∵，，，，
∴，
解得：，
∴；
综上：或或．
【点睛】本题主要考查二次函数综合，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数平移的规律，以及平行四边形的性质．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
1.65
1.65
0.63
八年级
1.65
2.1
0.61