2024年湖南省长沙市开福区北雅中学中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 四大名著一般指《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四部小说，它们是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产之一．某同学想阅读其中的两本，从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，将一个含角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点E，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
5. 《九章算术》中有这样一个问题：今有垣（墙）高九尺（1尺10寸），瓜生其上，蔓向下日长七寸，瓠（葫芦）生其下，蔓向上日长一尺，问几日相逢？设x天后瓜与葫芦的蔓长在一起，根据题意可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 直线和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9. 将矩形纸片放置在如图所示平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式______．
12. 在平面直角坐标系中，把点沿水平方向平移3个单位长度得到点，点的坐标是______．
13. 运动心率（次/分）是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全都很重要．对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：(220－年龄)×0.8=最大运动心率，(220－年龄)×0.6=最小运动心率．健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动心率与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是_______岁．
14. 如图，在矩形ABCD中，是BC的中点，连接是边上一个动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为___________．
15. 如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得．
（1）把代入中，最后求出的x值为______；
（2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是______．
16. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. （1）计算：．
（2）化简求值：，其中．
18 解方程组：
19. 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________．
（2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片__________张，3号卡片__________张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是__________；
（4）动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图分解因式，并画出拼图的图形．
20. 2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9．将这四张牌背面朝上，洗匀．
（1）小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是______；
（2）小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率．
21. 如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点．
（1）求和的值．
（2）过点作轴，与双曲线交于点，求的面积．
22. 如图，中，，为上一点，以为圆心，以为半径的与相切于点，交于点，过作的切线，交于点．
（1）若，用含的代数式表示；
（2）若，求的长．
23. 如图，道路的坡度为，坡长为，有一座建筑物垂直于地面，在同一平面上，且．在坡顶B处测得该建筑物顶端D的仰角为．求建筑物的高度（结果保留整数）．（参考数据：）
24. 如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点．
（1）求证：；
（2）如果，且，求余切值；
（3）连接，当平分时，求的值．
25. 如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标．
（3）为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由．