沪科版七年级数学下册专题10.4平行线四大模型专项训练(40道)(原卷版+解析)

这是一份沪科版七年级数学下册专题10.4平行线四大模型专项训练(40道)(原卷版+解析)，共80页。

考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的综合问题的所有类型！
【模型1 “铅笔”模型】
1．（2023·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
2．（2023·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（ ）
A．α+β+γB．β+γ−αC．180°−α−γ+βD．180°+α+β−γ
3．（2023·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
4．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，AB//CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相较于点F，∠E=80°，求∠BFD的度数.
5．（2023·全国·七年级专题练习）已知如图所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度数.
6．（2023·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
7．（2023·全国·七年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是____________°．
8．（2023·安徽合肥·七年级期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

【模型2 “猪蹄”模型】
9．（2023·全国·七年级）如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，AB∥CD，∠ABE=40°，则∠EDC=______度．
10．（2023·河南平顶山·八年级期末）如图：
(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
11．（2023·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
12．（2023·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
13．（2023·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.
（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
14．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求证：∠E=12(∠A+∠C)
15．（2023·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
16．（2023·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
17．（2023·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
18．（2023·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
19．（2023·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=180°n（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=______．
20．（2023·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．
21．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
22.（2023·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【模型3 “臭脚”模型】
23．（2023·全国·八年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？
24．（2023·全国·七年级）已知，AE//BD，∠A=∠D．
（1）如图1，求证：AB//CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，连接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且3∠E−5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度数．
25．（2023·广东·东莞市光明中学七年级期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
26．（2023·浙江台州·七年级期末）如图，已知AD⊥AB于点A，AE∥CD交BC于点E，且EF⊥AB于点F．
求证：∠C=∠1+∠2．
证明：∵AD⊥AB于点A，EF⊥AB于点F，（已知）
∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定义）
∴AD∥EF，（ ）
∴__________=∠1（ ）
∵AE∥CD，（已知）
∴∠C=________．（两直线平行，同位角相等）
∵∠AEB=∠AEF+∠2，
∴∠C=∠1+∠2．（等量代换）
27．（2023·广东珠海·七年级期中）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；
（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．
①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；
②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
28．（2023·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，AB ∥ CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB ∥ CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB ∥ CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB ∥ CD ∥ EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【模型4 “铅笔”模型】
29．（2023·福建·浦城县教师进修学校八年级期中）如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度．
30．（2023·江苏·景山中学七年级阶段练习）如图，若AB//CD，则∠1+∠3-∠2的度数为______
31．（2023·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．
32．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．
33．（2023·全国·七年级）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
34．（2023·全国·九年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
35．（2023·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC，CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．
（1）如图2，小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；
（2）如图3，若∠C=∠D=25°，调整线段AB、BC使得AB//CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．
（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．
36．（2023·山西晋中·七年级期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；

【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
37．（2023·湖北武汉·七年级阶段练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
38．（2023·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
39．（2023·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级阶段练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
40．（2023·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
专题10.4 平行线四大模型专项训练（40道）
【沪科版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的综合问题的所有类型！
【模型1 “铅笔”模型】
1．（2023·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
答案:C
分析：首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数．
【详解】解：
过点A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l1∥l2，
∴∠1+∠4=180°,∠2+∠5=180°，
∵∠1=105°,∠2=140 °，
∴∠4=75°,∠5=40°，
∵∠4+∠5+∠3=180°，
∴∠3=65°.
故选：C.
【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
2．（2023·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（ ）
A．α+β+γB．β+γ−αC．180°−α−γ+βD．180°+α+β−γ
答案:C
分析：过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，
∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，
∴x=∠BCD+∠DCM=180°−α−γ+β，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
3．（2023·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
答案:540
分析：过点E作EM∥CD，过点F作FN∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．
【详解】过点E作EM∥CD，过点F作FN∥CD，如图，
∵AB∥CD，EM∥CD，FN∥CD，
∴AB∥FN，EM∥FN，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，
故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线EM∥CD，FN∥CD是解答本题的关键．
4．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，AB//CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相较于点F，∠E=80°，求∠BFD的度数.
答案:∠BFD=140°.
分析：先设∠ABE=2x，∠CDE=2y，由题意的∠ABF=∠FBE=x，∠EDF=∠CDF=y，题意得到x+y=140°；由侧M图ABFDC知，∠BFD=∠ABF+∠CDF=x+y=140°.
【详解】设∠ABE=2x，∠CDE=2y，
∵∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，
∴∠ABF=∠FBE=x，∠EDF=∠CDF=y，
由笔尖图ABEDC知，∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
即2x+80°+2y=360°，x+y=140°，
由侧M图ABFDC知，∠BFD=∠ABF+∠CDF=x+y=140°.
【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线，解题的关键是设∠ABE=2x，∠CDE=2y，
并由题意得到x，y的关系式.
5．（2023·全国·七年级专题练习）已知如图所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度数.
答案:56°.
分析：由平行线的性质可知∠ABF=∠DFE，由三角形邻补角可得∠E=∠ABE−∠DCE，带入题干信息即可得出答案.
【详解】由平行线的性质可知∠ABF=∠DFE，由三角形邻补角以及鸟嘴图DCEFBA知∠E=∠ABE−∠DCE=3×28°−28°=56°.
【点睛】本题考查平行线的性质，知道同位角相等时解题的关键.
6．（2023·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
答案:(1) 110°，见解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
分析：(1)过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
(2)过P作PE∥AD交CD于E点，推出AD∥PE∥BC，根据平行线性质得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
【详解】解：(1)剩余过程：∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°-120°=60°
∠APC=50°+60°=110°；
(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如下图，过P作PE∥AD交CD于点E，
∵AD∥BC
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.
7．（2023·全国·七年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是____________°．
答案:（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
分析：（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
8．（2023·安徽合肥·七年级期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

答案:（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β
分析：（1）根据平行线的判定与性质填写即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，
所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，如图4所示：
过P作PE∥AD交CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
当P在AB延长线时，如图5所示：
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．
综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
【模型2 “猪蹄”模型】
9．（2023·全国·七年级）如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，AB∥CD，∠ABE=40°，则∠EDC=______度．
答案:20
分析：如图（见详解），过点E作EF∥AB， 先证明AB∥EF∥CD，再由平行线的性质定理得到∠ABE=∠BEF=40°，∠EDC=∠DEF，结合已知条件∠BED=60°即可得到．
【详解】解：由题意可得：∠BED=60°．
如图，过点E作EF∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE=∠BEF=40°，∠EDC=∠DEF，
∵∠BED=60°，
∴∠DEF+∠BEF=60°，
∴∠DEF=20°，
即：∠EDC=20°．
故答案为：20．
【点睛】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决．
10．（2023·河南平顶山·八年级期末）如图：
(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
答案:(1)∠BED=66°；
(2)∠BED=2∠F，见解析；
(3)∠BED的度数为130°．
分析：（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；
（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．
（1）
解：（1）如图，作EF∥AB，
，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，
∴∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）
解：∠BED=2∠F，
理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，
∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，
又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，
∴∠BED=2(∠2+∠3) ，
又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，
∴∠3+∠2+∠F=∠BED，
综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；
（3）
解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，
∵∠BGD=60°，
∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，
∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，
∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，
∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，
∴∠BED的度数为130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．
11．（2023·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
答案:(1)80°
(2)∠P=360°−∠1−∠2；证明见详解
(3)140°
分析：（1）过点P作MN∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
（1）
解：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∵∠1=130°，∠2=150°，
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∴∠EPN+FPN=360°−130°−150°=80°．
∵∠P=∠EPN+∠FPN，
∴∠P=80°．
故答案为：80°；
（2）
解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下：
如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∵∠EPN+∠FPN=∠P，
∠P=360°−∠1−∠2．
（3）
如图分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥KR∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠NPG+∠PGR=180°，
∠RGF+∠2=180°．
∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°
∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，
∠PGR+∠RGF=∠PGF，
∠1+∠2=325°，
∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°
∴∠PGF=540°−325°−75°=140°
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
12．（2023·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
答案:(1)证明见详解
(2)∠GQH=180°−∠M；理由见详解
分析：（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；
（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得∠GQH=180°−∠M．
（1）
解：如图：过点M作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，
∵∠M=∠GMN+∠HMN，
∴∠M=∠AGM+∠CHM．
（2）
解：∠GQH=180°−∠M，理由如下：
如图：过点M作MN∥AB，
由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM，
∵HM平分∠GHC，
∴∠CHM=∠GHM，
∵∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M=∠HGQ+∠GHM，
∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，
∴∠GQH=180°−∠M．
【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．
13．（2023·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.
（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
答案:（1）见解析；（2）∠ACD=3∠GAC，见解析；（3）54019°或54023°．
分析：（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到∠AQD=∠E+∠EAQ，结合平行线的性质得到∠BDQ=∠E+∠EAQ，再根据角平分线的定义证得∠CDB=2∠E+∠GAC，结合已知即可得出结论；
（3）分当K在直线GH下方和当K在直线GH上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．
【详解】解：（1）如图1，延长AC交MN于点P，
∵∠ACD=∠C，
∴AP//BD，
∴∠NBD=∠NPA，
∵∠GAC=∠NBD，
∴∠GAC=∠NPA，
∴GH//MN；
（2）延长AC交MN于点P，交DE于点Q，
∵∠E+∠EAQ+∠AQE=180°，∠AQE+∠AQD=180°，
∴∠AQD=∠E+∠EAQ，
∵AP//BD，
∴∠AQD=∠BDQ，
∴∠BDQ=∠E+∠EAQ，
∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，
∴∠GAC=2∠EAQ，∠CDB=2∠BDQ，
∴∠CDB=2∠E+∠GAC，
∵∠AED=∠GAC，∠ACD=∠CDB，
∴∠ACD=2∠GAC+∠GAC=3∠GAC；
（3）当K在直线GH下方时，如图，设射线BF交GH于I，
∵GH//MN，
∴∠AIB=∠FBM，
∵BF平分∠MBD，
∴∠DBF=∠FBM=12(180°−∠DBN)，
∴∠AIB=∠DBF，
∵∠AIB+∠KAG=∠AKB，∠AKB=∠ACD，
∴∠ACD=∠DBF+∠KAG，
∵∠KAG=13∠GAC，∠GAC=∠NBD，
∴13∠GAC+12(180°−∠DBN)=∠ACD=3∠GAC，
即13∠GAC+90°−12∠GAC=3∠GAC，
解得：∠GAC=54019∘．
当K在直线GH上方时，如图，同理可证得∠AIB=12(180°−∠DBN)=∠AKB+∠KAG，
则有3∠GAC+13∠GAC=12(180∘−∠GAC)，
解得：∠GAC=54023∘．
综上，故答案为54019°或54023°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
14．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求证：∠E=12(∠A+∠C)
答案:见解析
分析：先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝12∠ADC，∠2＝12∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝12∠ADC，∠2＝12∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
∴∠E+12∠ABC=∠C+12∠ADC，
即∠E＋12∠C＝∠C＋12∠A，
∴∠E＝12（∠A＋∠C）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键．
15．（2023·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
答案:（1）见解析；（2）55°；（3）180°−12α+12β
分析：（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点F作FE//AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=50°，∠ADC=60°，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求∠BFD的度数；
②如图3，过点F作EF//AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出∠BFD的度数．
【详解】解：（1）如图1，过点E作EF//AB，
则有∠BEF=∠B，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FED=∠D，
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D；
（2）①如图2，过点F作FE//AB，
有∠BFE=∠FBA．
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠EFD=∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD=∠FBA+∠FDC．
即∠BFD=∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FBA=12∠ABC=25°，∠FDC=12∠ADC=30°，
∴∠BFD=∠FBA+∠FDC=55°．
答：∠BFD的度数为55°；
②如图3，过点F作FE//AB，
有∠BFE+∠FBA=180°．
∴∠BFE=180°−∠FBA，
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠EFD=∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD=180°−∠FBA+∠FDC．
即∠BFD=180°−∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FBA=12∠ABC=12α，∠FDC=12∠ADC=12β，
∴∠BFD=180°−∠FBA+∠FDC=180°−12α+12β．
答：∠BFD的度数为180°−12α+12β．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
16．（2023·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
答案:(1)∠BAE+∠CDE=∠AED；
(2)∠AFD=12∠AED；
(3)∠BAE=60°
分析：（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE，则∠AFD=12（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=12∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-32∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．
(1)
∠BAE+∠CDE=∠AED
理由如下：
作EF∥AB，如图1
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED
(2)
如图2，由（1）的结论得
∠AFD=∠BAF+∠CDF
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F
∴∠BAF=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE
∴∠AFE=12（∠BAE+∠CDE）
∵∠BAE+∠CDE=∠AED
∴∠AFD=12∠AED
(3)
由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG
而射线DC沿DE翻折交AF于点G
∴∠CDG=4∠CDF
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=12∠BAE+2∠CDE=12∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-32∠BAE
∵90°-∠AGD=180°-2∠AED
∴90°-2∠AED+32∠BAE=180°-2∠AED
∴∠BAE=60°
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
17．（2023·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
答案:(1)90°
(2)∠F=∠E+30°，理由见解析
(3)15°
分析：（1）如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH//EP，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到结论．
（1）
解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；
故答案为：90°；
（2）
解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°；
（3）
解：如图2，过点F作FH//EP，
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，
设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，
∵FH//EP，
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，
∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，
∴∠P=15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
18．（2023·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
答案:（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
分析：（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；
（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；
（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．
【详解】解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．
19．（2023·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=180°n（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=______．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
分析：（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到结论；
（3）作CF∥ST，设∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分别表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．
【详解】解：（1）如图，连接AB，
，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°，
∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠MAB+∠SBA=180°，
∴MN//ST
（2）∠CAE=2∠CAN，
理由：作CF//ST，则MN//CF//ST, 如图，
设∠CBT=α，则∠DAE=2α．
∠BCF=∠CBT=α，∠CAN=∠ACF=60°−α，
∵AD//BC，∠DAC=180°−∠ACB=120°，
∴∠CAE=120°−∠DAE=120°−2α=2(60°−α)=2∠CAN．
即∠CAE=2∠CAN．
（3）作CF//ST，则MN//CF//ST, 如图，设∠CBT=β，则∠MAE=nβ．
∵CF//ST，
∴∠CBT=∠BCF=β，
∠ACF=∠CAN=180°n−β=180°−nβn，
∠CAE=180°−∠MAE−∠CAN=180°−nβ−180°n+β=n−1n(180°−nβ)，
∠CAE:∠CAN=n−1n:1n=n−1，
故答案为n−1．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
20．（2023·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．
答案:（1）∠BEO+∠DFO=260° ；（2）∠EMN−∠FNM的值为40°；（3）53．
分析：（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及∠FMN−∠ENM=50°，可得∠KFD−∠AEG=50°，结合∠AEG=n∠OEG，DFK=n∠OFK，∠BEO+∠DFO=260°，可得∠AEG+1n∠AEG+180°−∠KFD−1n∠KFD=100°，
即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【详解】证明：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG=360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°，
∵∠EOF=100°，
∴∠BEO+∠DFO=260°；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，
∵∠BEO+∠DFO=260°
∴∠BEO+∠DFO=2x+180°−2y=260°，
∴x-y=40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，
∴∠EMN+∠FNM=∠EMK+∠KMN−（∠HNM+∠HNF）
=x+∠KMN−∠HNM−y
=x-y
=40°，
故∠EMN−∠FNM的值为40°；
（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，
∵AB∥CD，
∴∠AKF=∠KFD，
∵∠AKF=∠EHK+∠HEK=∠EHK+∠AEG，
∴∠KFD=∠EHK+∠AEG，
∵∠EHK=∠NMF−∠ENM=50°，
∴∠KFD=50°+∠AEG，
即∠KFD−∠AEG=50°，
∵∠AEG=n∠OEG，FK在∠DFO内，∠DFK=n∠OFK．
∴∠CFO=180°−∠DFK−∠OFK=180°−∠KFD−1n∠KFD ，
∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+1n∠AEG，
∵∠BEO+∠DFO=260°，
∴∠AEO+∠CFO=100°，
∴∠AEG+1n∠AEG+180°−∠KFD−1n∠KFD=100°，
即1+1n(∠KFD−∠AEG)＝80°，
∴1+1n×50°＝80°，
解得n=53 ．
经检验，符合题意，
故答案为：53．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
21．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）40°
分析：（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝12 ∠AFE，
即12(180°−10x)=13x，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．
22.（2023·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
答案:(1)证明见详解
(2)①∠3=∠1+∠2；证明见详解；②∠1=∠2+∠3；证明见详解
分析：（1）如图4过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠2=∠1+∠3；
（2）①如图5过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠3=∠BPC，∠1=∠APC，根据等量代换就可以得出∠3=∠1+∠2；
②如图6过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠1=∠2+∠3．
（1）
解：如图4所示：过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠2=∠APC+∠BPC，
∴∠2=∠1+∠3；
（2）
解：①如图5过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠3=∠BPC，∠1=∠APC，
∵∠BPC=∠2+∠APC，
∴∠3=∠1+∠2；
②如图6过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠APC=∠2+∠BPC，
∴∠1=∠2+∠3．
【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．
【模型3 “臭脚”模型】
23．（2023·全国·八年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？
答案:（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，∠ABC−∠CDE=∠BCD，见解析
分析：（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．
【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，
证明：如图：
∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠BFD，
在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．
若点C在直线AB与DE之间，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°,
∵AB∥ED∥CF，
∴∠ABC+∠BCF=180°,∠CDE+∠DCF=180°,
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠DCF+∠CDE=360°.
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．
24．（2023·全国·七年级）已知，AE//BD，∠A=∠D．
（1）如图1，求证：AB//CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，连接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且3∠E−5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度数．
答案:（1）见解析；（2）72°
分析：（1）根据平行线的性质得出∠A+∠B=180°，再根据等量代换可得∠B+∠D=180°，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E作EP//CD，延长DC至Q，过点M作MN//AB，根据平行线的性质及等量代换可得出∠ECQ=∠BGM=∠DFG，再根据平角的含义得出∠ECF=∠CFG，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出∠BHF=∠CFH,∠CFA=∠FAB；设∠FAB=α,∠CFH=β，根据角的和差可得出∠AEC=2∠AFH，结合已知条件3∠AEC−5∠AFH=180°可求得∠AFH=18°，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AE//BD
∴∠A+∠B=180°
∵∠A=∠D
∴∠B+∠D=180°
∴AB//CD；
（2）过点E作EP//CD，延长DC至Q，过点M作MN//AB
∵AB//CD
∴∠QCA=∠CAB，∠BGM=∠DFG，∠CFH=∠BHF，∠CFA=FAG
∵∠ACE=∠BAC+∠BGM
∴∠ECQ+∠QCA=∠BAC+∠BGM
∴∠ECQ=∠BGM=∠DFG
∵∠ECQ+ECD=180°,∠DFG+CFG=180°
∴∠ECF=∠CFG
∵AB//CD
∴AB//EP
∴∠PEA=∠EAB,∠PEC=∠ECF
∵∠AEC=∠PEC−∠PEA
∴∠AEC=∠ECF−∠EAB
∴∠ECF=∠AEC+∠EAB
∵AF平分∠BAE
∴∠EAF=∠FAB=12∠EAB
∵FH平分∠CFG
∴∠CFH=∠HFG=12∠CFG
∵CD//AB
∴∠BHF=∠CFH,∠CFA=∠FAB
设∠FAB=α,∠CFH=β
∵∠AFH=∠CFH−∠CFA=∠CFH−∠FAB
∴∠AFH=β−α，∠BHF=∠CFH=β
∴∠ECF+2∠AFH=∠AEC+∠EAB+2∠AFH=∠AEC+2β
∴∠ECF+2∠AFH=∠E+2∠BHF
∴∠AEC=2∠AFH
∵3∠AEC−5∠AFH=180°
∴∠AFH=18°
∵FH⊥HM
∴∠FHM=90°
∴∠GHM=90°−β
∵∠CFM+∠NMF=180°
∴∠HMB=∠HMN=90°−β
∵∠EAF=∠FAB
∴∠EAF=∠CFA=∠CFH−∠AFH=β−18°
∴∠EAF+∠GMH=β−18°+90°−β=72°
∴∠EAF+∠GMH=72°．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
25．（2023·广东·东莞市光明中学七年级期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
答案:（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析
分析：（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．
（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．
【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
（2）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．
（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠BPD，
∴∠D=∠B+∠BPD，
即∠BPD=∠D-∠B；
如图（4），∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠BPD，
∴∠B=∠D+∠BPD，
即∠BPD=∠B-∠D．
【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．
26．（2023·浙江台州·七年级期末）如图，已知AD⊥AB于点A，AE∥CD交BC于点E，且EF⊥AB于点F．
求证：∠C=∠1+∠2．
证明：∵AD⊥AB于点A，EF⊥AB于点F，（已知）
∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定义）
∴AD∥EF，（ ）
∴__________=∠1（ ）
∵AE∥CD，（已知）
∴∠C=________．（两直线平行，同位角相等）
∵∠AEB=∠AEF+∠2，
∴∠C=∠1+∠2．（等量代换）
答案:见解析
分析：首先根据同位角相等，两直线平行AD//EF， 再根两直线平行，内错角相等得到∠AEF=∠1．最后根据两直线平行，同位角相等得到∠C= ∠AEB，再进行等量代换即可．
【详解】证明：∵AD⊥AB于点A，EF⊥AB于点F，
∴∠DAB=∠EFB=90°．
∴AD//EF， （同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF=∠1．
（两直线平行，内错角相等）
∵AE//CD，
∴∠C= ∠AEB．
∵∠AEB=∠AEF+∠2，
∴∠C=∠1+∠2．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，掌握相关知识是解题的关键．
27．（2023·广东珠海·七年级期中）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；
（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．
①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；
②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
答案:（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°
分析：（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°；
（2）①如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥DM，
∴BG//CN,
∴∠C=∠CBG，
∠ABD=∠C；
②如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
28．（2023·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，AB ∥ CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB ∥ CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB ∥ CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB ∥ CD ∥ EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:B
分析：①过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①错误；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正确；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③错误；
④如图4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正确；
综上结论正确的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
【模型4 “铅笔”模型】
29．（2023·福建·浦城县教师进修学校八年级期中）如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度．
答案:30
分析：要求∠P的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形的一个外角，根据三角形的外角的性质进行求解．
【详解】解：根据平行线的性质，得∠A的同位角是70°，再根据三角形的外角的性质，得∠P＝70°−40°＝30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可以牢记此题中的结论：∠P＝∠A−∠B．
30．（2023·江苏·景山中学七年级阶段练习）如图，若AB//CD，则∠1+∠3-∠2的度数为______
答案:180°
分析：延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据AB//CD可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．
【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：
∵ AB//CD，
∴∠1=∠EFD，
∵∠2+∠EFC=∠3，
∴ ∠EFC=∠3−∠2，
∵ ∠EFC+∠EFD=180°，
∴ ∠1+∠3−∠2=180°；
故答案为180°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．
31．（2023·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．
答案:40°
分析：延长ED交BC于M，根据两直线平行，内错角相等证明∠BMD=∠ABC，再求解∠CMD，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：延长ED交BC于M，
∵AB//DE，
∴∠BMD=∠ABC=80°，
∴∠CMD=180°−∠BMD=100°；
又∵∠CDE=∠CMD+∠C，
∴∠BCD=∠CDE−∠CMD=140°−100°=40°．
故答案是：40°
【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
32．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．
答案:57°
分析：根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．
【详解】解：设AE、CD交于点F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，
∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，
∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-123°=57°，
故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
33．（2023·全国·七年级）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
答案:∠2+∠3﹣∠1=180°
分析：根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
34．（2023·全国·九年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
答案:见解析
分析：过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．
【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD，
∵EF∥CD（辅助线），
∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），
∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．
35．（2023·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC，CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．
（1）如图2，小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；
（2）如图3，若∠C=∠D=25°，调整线段AB、BC使得AB//CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．
（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．
答案:（1）AB∥DE，理由见解析；（2）25°或155°，画图见解析；（3）60°或120°或70°或110°
分析：（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；
（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数；
（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数．
【详解】解：（1）AB∥DE，理由是：
如下图，过点C作CF∥AB，
∴∠B=∠BCF=50°，
∵∠BCD=75°，
∴∠DCF=25°，
∵∠D=25°，
∴∠D=∠DCF=25°，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE；
（2）如下图，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=25°；
如图4：
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-25°=155°；
（3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°；
如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，
∴∠FCD=∠D=25°，
∵∠BCD=85°，
∴∠BCF=85°-25°=60°，
∵AB∥CF，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠B=120°；
如图6，∵∠C=85°，∠D=25°，
∴∠CFD=180°-85°-25°=70°，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠CFD=70°，
如图7，同理得：∠B=25°+85°=110°，
综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．
36．（2023·山西晋中·七年级期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；

【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
答案:（1）∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；②图见解析，∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β
分析：（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过P作PE//AD交CD于E，由平行线的性质，得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在BA延长线时；当P在BO之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．
【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图：
∵EF//MN，
∴EF//MN//PQ，
∴∠PAF+∠APQ=180°，∠PBN+∠BPQ=180°，
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ
∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；
（2）①∠CPD=∠α+∠β；
理由如下：如图，
过P作PE//AD交CD于E，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
②当点P在BA延长线时，如备用图1：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=β，∠EPD=α，
∴∠CPD=∠β−∠α；
当P在BO之间时，如备用图2：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPD=α，∠CPE=β，
∴∠CPD=∠α−∠β．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
37．（2023·湖北武汉·七年级阶段练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
答案:（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
分析：（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
38．（2023·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
答案:（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．
分析：（1）过E作EM∥AB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；
（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；
（3）过P作PL∥AB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF，
∵∠DCF＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CEM＝60°，
又∵∠CEB＝20°，
∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，
∴∠ABE＝40°；
（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，
∵∠EBF＝2∠ABF，
∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，
∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，
同理∠CFB＝y﹣x，
∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，
∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，
∴x＝10°，
∴∠ABE＝3x＝30°；
（3）过P作PL∥AB，
∵GM平分∠DGP，
∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，
∵PQ平分∠BPG，
∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，
∵PQ∥GN，
∴∠PGN＝∠GPQ＝x，
∵AB∥CD，
∴PL∥AB∥CD，
∴∠GPL＝∠DGP＝2y，
∠BPL＝∠ABP＝30°，
∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，
∴30°＝2y﹣2x，
∴y﹣x＝15°，
∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，
∴∠MGN＝15°．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．
39．（2023·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级阶段练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
答案:（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
分析：（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD=12∠PAB，∠ODN=12∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+12∠PAB=∠APD，即∠PAN+12∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=12∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=12∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=12∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-12(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-12(∠PAB+∠PDC)
=180°-12(180°+∠APD)
=180°-12(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
40．（2023·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
答案:（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
分析：（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=12∠BME，进而可求解．
【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）﹣12∠END＝12∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝12×60°＝30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．