苏科版八年级数学下册专题11.1反比例函数【十大题型】(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册专题11.1反比例函数【十大题型】(原卷版+解析)，共47页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19616" 【题型1 反比例函数的定义】 PAGEREF _Tc19616 \h 1
\l "_Tc16768" 【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】 PAGEREF _Tc16768 \h 2
\l "_Tc8861" 【题型3 反比例函数的性质】 PAGEREF _Tc8861 \h 3
\l "_Tc29053" 【题型4 反比例函数的对称性】 PAGEREF _Tc29053 \h 3
\l "_Tc23014" 【题型5 反比例函数中k的几何意义（面积）】 PAGEREF _Tc23014 \h 5
\l "_Tc24187" 【题型6 反比例函数系数k的几何意义（规律题）】 PAGEREF _Tc24187 \h 6
\l "_Tc8315" 【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】 PAGEREF _Tc8315 \h 7
\l "_Tc4016" 【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】 PAGEREF _Tc4016 \h 8
\l "_Tc29987" 【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】 PAGEREF _Tc29987 \h 10
\l "_Tc29574" 【题型10 反比例函数与几何图形综合】 PAGEREF _Tc29574 \h 12
【知识点1 反比例函数的定义】
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数
【知识点2 反比例函数的解析式】
1、； 2、； 3、
【题型1 反比例函数的定义】
【例1】（2023•渭南模拟）已知函数是y=(n−2)xn2−n−3+3x是反比例函数，则n的值是 ．
【变式1-1】（2023春•高要市期中）反比例函数y=−25x中，比例系数k＝ ．
【变式1-2】（2023秋•新泰市校级月考）下列函数，①x（y+2）＝1②y=1x+1③y=1x2④y=−12x⑤y=−x2⑥y=13x；其中是y关于x的反比例函数的有： ．
【变式1-3】（2023春•高新区校级期末）若反比例函数y=(m+1)x3−m2的图象在第二、四象限，m的值为 ．
【知识点3 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】
【例2】（2023•巩义市模拟）如图为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在同一坐标系的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k1＞k2＞k3B．k2＞k1＞k3C．k3＞k1＞k2D．k3＞k2＞k1
【变式2-1】（2023•洪山区模拟）若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y=−k2+1x的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3
【变式2-2】（2023•温州校级开学）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y=−3x上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x2＞0，则y2y3＞0B．若x1x3＞0，则y2y3＜0
C．若x1x3＜0，则y2y3＞0D．若x1x2＜0，则y1y3＜0
【变式2-3】（2023春•福山区期末）在反比例函数y=k2+3x（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1
【题型3 反比例函数的性质】
【例3】（2023•大庆二模）正比例函数y＝﹣kx经过（1，﹣6），则对于反比例函数y=kx，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过第一、三象限
B．图象经过点（2，3）
C．当x＞1时，0＜y＜6
D．函数值y随x的增大而减小
【变式3-1】（2023•站前区校级一模）反比例函数y=a2+1x的图象在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
【变式3-2】（2023春•原阳县期中）已知反比例函数y=3−2mx，当x＜0时，y随x的增大而减小，则满足上述条件的正整数m有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【变式3-3】（2023•金华模拟）设函数y1=kx，y2=−kx（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则a＝ ．
【知识点4 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线和直线
【题型4 反比例函数的对称性】
【例4】（2023秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y=kx与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y=−8xB．y=−12xC．y=−14xD．y=−16x
【变式4-1】（2023秋•连平县校级月考）对于反比例函数y=6x的图象的对称性叙述错误的是（ ）
A．关于原点中心对称B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称D．关于x轴对称
【变式4-2】（2023春•金坛市校级期中）正比例函数y＝kx与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3，则A、B两点的坐标分别为 ．
【变式4-3】（2023春•姑苏区校级期末）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．任意四边形
【知识点5 反比例函数比例系数k的几何意义】
如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴
的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
【题型5 反比例函数中k的几何意义（面积）】
【例5】 （2023春•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y=6x(x＞0)，y=kx(x＜0)的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为9，CDAD=12．则k的值为（ ）
A．﹣9B．3C．﹣6D．﹣3
【变式5-1】（2023春•衢江区期末）如图，在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上有点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则S1的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-2】（2023春•秦淮区期末）如图，点A是函数y=2x图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y=kx的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【变式5-3】（2023•费县二模）在平面直角坐标系xOy中，过O点的直线AB分别交函数y=−1x(x＜0)，y=kx(k＜0，x＞0)的图象于点A，B，作AC⊥y轴于点C，作CD∥AB交y=kx(k＜0，x＞0)的图象于点D，连接OD．若△COD的面积为2，则k的值等于（ ）
A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12
【题型6 反比例函数系数k的几何意义（规律题）】
【例6】（2023•湘潭县校级模拟）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2022的坐标为 ．
【变式6-1】（2023•路南区二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
（1）点P2的坐标为 ；
（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 ．
【变式6-2】（2023•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 ．（用含有正整数n的式子表示）
【变式6-3】（2023秋•宁津县期末）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为 ．
【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】
【例7】（2023•龙湖区一模）如图，A（4，3）是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=kx的图象于点P．
（1）求反比例函数y=kx的表达式；
（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；
（3）求△OAP的面积．
【变式7-1】（2023•路桥区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和双曲线y=ax（a≠0）相交于点A，B，则关于x的不等式kx+b＞ax的解集是（ ）
A．x＞0.5B．﹣1＜x＜0.5
C．x＞0.5或﹣1＜x＜0D．x＜﹣1或0＜x＜0.5
【变式7-2】（2023•兴化市二模）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+3b（b为常数）与双曲线y=kx（k≠0）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝6，则y1﹣y2的值为（ ）
A．﹣12B．6C．﹣6D．12
【变式7-3】（2023春•九龙坡区校级月考）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A、B两点，其中A（2，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）直线AB沿y轴向上平移m个单位长度，分别与双曲线交于E、F两点，其中F点坐标是（1，2），求△BDE的面积．
【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】
【例8】（2023秋•崂山区期末）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2023秋•包河区期末）如图，A、B两点在双曲线y=kx（x＞0）的图象上，已知点A(1，4)，B(52，m)，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形：记阴影部分矩形面积为S，另两个矩形面积分别记为S1、S2．
（1）求反比例函数解析式及m的值；
（2）求S1+S2的值．
【变式8-2】（2023春•叙州区期中）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣2，﹣3），B（2m，y1），C（3m，y2），其中m＞0．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当y1﹣y2＝2时，求m的值：
（3）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若△PBD的面积是6，请求出点P坐标（横坐标用含m的式子表示）．
【变式8-3】（2023•商河县校级模拟）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF=13AD，求出点E的坐标．
【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】
【例9】（2023•广西）已知反比例函数y=bx（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-1】（2023秋•湘阴县月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2与反比例函数y=kx（其中k≠0）的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-2】（2023秋•榆次区期末）在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b（a≠0，b≠0）与反比例函数y=abx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-3】（2023•贺兰县模拟）已知二次函数y=−14x2+bx+c的图象如图，则一次函数y=−14x﹣2b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【题型10 反比例函数与几何图形综合】
【例10】（2023春•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．83B．8C．6D．63
【变式10-1】（2023•安顺模拟）如图，点A是反比例函数y=6x在第一象限内的图象上的一个动点，连接AO并延长交反比例函数的图象于另一点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，且点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（ ）
A．y=−13xB．y=−3xC．y=−16xD．y=−6x
【变式10-2】（2023•虞城县三模）如图，平行四边形OABC中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，反比例函数y=kx的图象经过顶点C，且经过对角线OB上一点D，若点D的坐标为（4，2），平行四边形OABC的面积为569，则顶点B的坐标为（ ）
A．（5，3）B．(163，83)C．(5，103)D．(183，103)
【变式10-3】（2023春•北碚区校级期末）如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等分点，且CE=15CD，双曲线y=kx（k≠0，x⟩0）的图象过点E，则k为（ ）
A．12125B．12425C．13225D．14325函数
图象
所在象限
增减性
三象限
在同一象限内，随的增大而减小
四象限
在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
专题11.1 反比例函数【十大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19616" 【题型1 反比例函数的定义】 PAGEREF _Tc19616 \h 1
\l "_Tc16768" 【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】 PAGEREF _Tc16768 \h 3
\l "_Tc8861" 【题型3 反比例函数的性质】 PAGEREF _Tc8861 \h 5
\l "_Tc29053" 【题型4 反比例函数的对称性】 PAGEREF _Tc29053 \h 7
\l "_Tc23014" 【题型5 反比例函数中k的几何意义（面积）】 PAGEREF _Tc23014 \h 9
\l "_Tc24187" 【题型6 反比例函数系数k的几何意义（规律题）】 PAGEREF _Tc24187 \h 13
\l "_Tc8315" 【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】 PAGEREF _Tc8315 \h 18
\l "_Tc4016" 【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】 PAGEREF _Tc4016 \h 22
\l "_Tc29987" 【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】 PAGEREF _Tc29987 \h 28
\l "_Tc29574" 【题型10 反比例函数与几何图形综合】 PAGEREF _Tc29574 \h 32
【知识点1 反比例函数的定义】
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数
【知识点2 反比例函数的解析式】
1、； 2、； 3、
【题型1 反比例函数的定义】
【例1】（2023•渭南模拟）已知函数是y=(n−2)xn2−n−3+3x是反比例函数，则n的值是 2 ．
分析：此函数为反比例函数则可得（n﹣2）xn2−n−3为反比例函数，或者（n﹣2）xn2−n−3=0，由此可得出答案．
【解答】解：①若（n﹣2）xn2−n−3=0，则n＝2；
②若（n﹣2）xn2−n−3为反比例函数则n﹣2≠0，n2﹣n﹣3＝﹣1，
解得：n＝﹣1，当n＝﹣1时，y=−3x+3x=0，不符合题意．
综上可得n＝2．
故答案为：n＝2．
【变式1-1】（2023春•高要市期中）反比例函数y=−25x中，比例系数k＝ −25 ．
分析：由于反比例函数的比例系数即为k的值，可直接求出．
【解答】解：反比例函数y=−25x中，比例系数k=−25．
故答案为：−25．
【变式1-2】（2023秋•新泰市校级月考）下列函数，①x（y+2）＝1②y=1x+1③y=1x2④y=−12x⑤y=−x2⑥y=13x；其中是y关于x的反比例函数的有： ④⑥ ．
分析：根据反比例函数的定义进行判断即可．
【解答】解：①x（y+2）＝1，可化为y=1−2xx，不是反比例函数；
②y=1x+1，y与（x+1）成反比例关系；
③y=1x2 是y关于x2的反比例函数；
④y=−12x符合反比例函数的定义，是反比例函数；
⑤y=−x2是正比例函数；
⑥y=13x符合反比例函数的定义，是反比例函数；
故答案为：④⑥．
【变式1-3】（2023春•高新区校级期末）若反比例函数y=(m+1)x3−m2的图象在第二、四象限，m的值为 ﹣2 ．
分析：由反比例函数的定义可知3﹣m2＝﹣1，由反比例函数图象在第二、四象限可知m+1＜0．
【解答】解：∵y=(m+1)x3−m2是反比例函数，
∴3﹣m2＝﹣1．
解得：m＝±2．
∵函数图象在第二、四象限，
∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【知识点3 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】
【例2】（2023•巩义市模拟）如图为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在同一坐标系的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k1＞k2＞k3B．k2＞k1＞k3C．k3＞k1＞k2D．k3＞k2＞k1
分析：先根据函数图象所在的象限判断出k1、k2、k3的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．
【解答】解：由图知，y=k1x的图象在第二象限，y=k2x，y=k3x的图象在第一象限，
∴k1＜0，k2＞0，k3＞0，
又当x＝1时，有k2＜k3，
∴k3＞k2＞k1．
故选：D．
【变式2-1】（2023•洪山区模拟）若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y=−k2+1x的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3
分析：依据反比例函数为y=kx（k＜0），可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到x1、x2、x3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数为y＝y=−k2+1x中的﹣（k2+1）＜0，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）
∴x1＜0，点B、C位于第四象限，
∴x2＞x3＞0．
∴x1＜x3＜x2
故选：B．
【变式2-2】（2023•温州校级开学）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y=−3x上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x2＞0，则y2y3＞0B．若x1x3＞0，则y2y3＜0
C．若x1x3＜0，则y2y3＞0D．若x1x2＜0，则y1y3＜0
分析：先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜x3，结合选项条件，则y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵反比例函数y=−3x中k＝﹣3＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∴在每一象限内y随x的增大而增大，
若x1x2＞0，x1＜x2＜0＜x3，则y2y3＜0，故A不符合题意；
若x1x3＞0，则y2y3＞0，故B不符合题意；
若x1x3＜0，x1＜x2＜0＜x3，则y2y3＜0，故C不符合题意；
若x1x2＜0，则y1y3＜0，故D符合题意．
故选：D．
【变式2-3】（2023春•福山区期末）在反比例函数y=k2+3x（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1
分析：根据偶次方的非负性，得k2+3＞0，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．
【解答】解：∵k2≥0，
∴k2+3＞0．
∴反比例函数y=k2+3x（k为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，y随着x的增大而减小；在第三象限内，y随着x的增大而减小．
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜0，y2＞y3＞0，即y1＜y3＜y2．
故选：C．
【题型3 反比例函数的性质】
【例3】（2023•大庆二模）正比例函数y＝﹣kx经过（1，﹣6），则对于反比例函数y=kx，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过第一、三象限
B．图象经过点（2，3）
C．当x＞1时，0＜y＜6
D．函数值y随x的增大而减小
分析：先根据正比例函数y＝﹣kx经过（1，﹣6），求出k的值，再根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．
【解答】解：将（1，﹣6）代入y＝﹣kx，
得﹣k＝﹣6，
解得k＝6，
∴反比例函数解析式：y=6x，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，
故A选项不符合题意；
当x＝2时，代入反比例函数解析式，得y＝3，
∴图象经过点（2，3），
故B选项不符合题意；
当x＞1时，反比例函数在第一象限随着x增大而减小，
∴0＜y＜6，
故C选项不符合题意，
在每一象限内，反比例函数y=6x随着x增大而减小，
故D选项符合题意，
故选：D．
【变式3-1】（2023•站前区校级一模）反比例函数y=a2+1x的图象在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
分析：判断反比例函数的比例系数的符号后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵反比例函数y=a2+1x中a2+1＞0，
∴反比例函数y=a2+1x的图象在一、三象限，
故选：A．
【变式3-2】（2023春•原阳县期中）已知反比例函数y=3−2mx，当x＜0时，y随x的增大而减小，则满足上述条件的正整数m有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
分析：根据函数增减性可得3﹣2m＞0，解不等式求出m的取值范围，然后取正整数，即可确定．
【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴3﹣2m＞0，
∴m＜32，
∴正整数m值为1，
故选：B．
【变式3-3】（2023•金华模拟）设函数y1=kx，y2=−kx（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则a＝ 2 ．
分析：直接利用反比例函数的性质分别得出k与a的关系，进而得出答案．
【解答】解：∵函数y1=kx（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，
∴x＝1时，y＝k＝a，
∵y2=−kx（k＞0），当1≤x≤3时，函数y2的最小值为y＝a﹣4，
∴当x＝1时，y＝﹣k＝a﹣4，
∴k＝4﹣a，
故a＝4﹣a，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【知识点4 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线和直线
【题型4 反比例函数的对称性】
【例4】（2023秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y=kx与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y=−8xB．y=−12xC．y=−14xD．y=−16x
分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积14，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr2＝10π．
解得：r＝210．
∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y=kx（k＜0）与⊙O的一个交点．
∴﹣2a2＝k且(−2a)2+a2=r．
∴a2＝8．
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
则反比例函数的解析式是：y=−16x．
故选：D．
【变式4-1】（2023秋•连平县校级月考）对于反比例函数y=6x的图象的对称性叙述错误的是（ ）
A．关于原点中心对称B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称D．关于x轴对称
分析：根据反比例函数图象的对称性判断即可．
【解答】解：反比例函数y=6x的图象关于原点中心对称、关于直线y＝x对称、关于直线y＝﹣x对称，
∵它的图象在第一、三象限，
∴不关于x轴对称，
A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意，
故选：D．
【变式4-2】（2023春•金坛市校级期中）正比例函数y＝kx与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3，则A、B两点的坐标分别为 （1，3）、（﹣1，﹣3） ．
分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，
∴点A、B关于原点对称．
又∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3，
∴点A的纵坐标是3，点B的横坐标是﹣1．
∴A（1，3），B（﹣1，﹣3）．
故答案是：（1，3）、（﹣1，﹣3）．
【变式4-3】（2023春•姑苏区校级期末）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．任意四边形
分析：根据反比例函数的对称性，可得OA与OC，OB与OD的关系，可得答案．
【解答】解：由反比例函数的对称性，得
OA＝OC，OB＝OD，
ABCD是平行四边形，
故选：A．
【知识点5 反比例函数比例系数k的几何意义】
如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴
的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
【题型5 反比例函数中k的几何意义（面积）】
【例5】 （2023春•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y=6x(x＞0)，y=kx(x＜0)的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为9，CDAD=12．则k的值为（ ）
A．﹣9B．3C．﹣6D．﹣3
分析：根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OMAE＝6，再根据三角形的面积公式可得S△ABD=23S△ABC＝6=12S矩形AMNB，进而求出S矩形AMNB和S矩形ONBE，由反比例函数系数k的几何意义可求出k的值．
【解答】解：如图，过点A、点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵点A在反比例y=6x的图象上，
∴S矩形OMAE＝6，
又∵△ABC的面积为9，CDAD=12．
∴S△ABD=21+2S△ABC=23×9＝6=12S矩形AMNB，
∴S矩形AMNB＝12，
∴S矩形ONBE＝12﹣6＝6＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：C．
【变式5-1】（2023春•衢江区期末）如图，在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上有点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则S1的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
分析：由点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，得P1（1，k），P2（3，k3），P3（6，k6），由S2＝3，可求出k的值，进而求出S1的值．
【解答】解：∵P1（1，k），P2（3，k3），P3（6，k6），
∴S2＝3×k6=3，
∴k＝6，
∴S1＝1×（k−k3）＝4．
故选：B．
【变式5-2】（2023春•秦淮区期末）如图，点A是函数y=2x图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y=kx的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
分析：由反比例函数系数k的几何意义可得S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，利用反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为a，用代数式表示MN、AM，列方程求解即可．
【解答】解：如图，延长CA交x轴于点N，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，
∵S阴影部分＝S△CON+S矩形ABMN﹣S△BOM，而S△CON＝S△BOM=12|k|，
∴S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，
设ON＝a，
∵点A在反比例函数y=2x的图象上，
∴AN=2a=BM，
又∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴OM=ak2，
∴MN=ak2−a，
由S阴影部分＝S矩形ABMN＝4得，
（ak2−a）×2a=4，
即k﹣2＝4，
∴k＝6，
故选：D．
【变式5-3】（2023•费县二模）在平面直角坐标系xOy中，过O点的直线AB分别交函数y=−1x(x＜0)，y=kx(k＜0，x＞0)的图象于点A，B，作AC⊥y轴于点C，作CD∥AB交y=kx(k＜0，x＞0)的图象于点D，连接OD．若△COD的面积为2，则k的值等于（ ）
A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12
分析：先表示三角形COD面积，再求k．
【解答】解：设A（m，−1m），则AC＝﹣m，OC=−1m，
∴C（0，−1m），
∵△COD的面积为2，
∴12OC•DM＝2，即即12×（−1m）•DM＝2，
∴DM＝﹣4m，
∴设D（﹣4m，−k4m），
再设直线AB：y＝ax，
代入A（m，−1m）得：−1m=am．
∴a=−1m2．
∴直线AB：y=−1m2x，
∵直线CD∥AB．
∴设直线CD：y=−1m2x+b，
将C代入直线CD得：b=−1m，
∴y=−1m2x−1m．
将D（﹣4m，−k4m）代入直线CD得：−k4m=−1m2×（﹣4m）−1m．
∴k＝﹣12．
故选：D．
【题型6 反比例函数系数k的几何意义（规律题）】
【例6】（2023•湘潭县校级模拟）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2022的坐标为 （22022，0） ．
分析：过点B1作B1H⊥x轴于点H，过点B2作B2G⊥x轴于点G，根据等边三角形的性质可得，H是OA1的中点，∠B1OA1＝60°，设OH＝m，则B1（m，3m）代入反比例函数解析式，即可求出m的值，进一步求出A1点坐标，同理可求出A2点坐标，A3点坐标，A2022点坐标．
【解答】解：过点B1作B1H⊥x轴于点H，过点B2作B2G⊥x轴于点G，如图所示，
∵△OB1A1，△A1B2A2是等边三角形，
∴H是OA1的中点，G是A1A2的中点，∠B1OA1＝∠B2A1A2＝60°，
设OH＝m，则B1H=3m，
∴B1（m，3m），
将点B1坐标代入反比例函数解析式，
得m•3m=3，
解得m＝1，
∴A1（2，0），
同理，可得A2（22，0），A3（23，0），
∴A2022的坐标（22022，0）；
故答案为：（22022，0）．
【变式6-1】（2023•路南区二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
（1）点P2的坐标为 （2，12） ；
（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 （218，1218） ．
分析：（1）利用正方形的性质得到P1（1，1），则可确定反比例函数的解析式为y=1x，再利用点B1的纵坐标为12，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点P2的纵坐标为12，则点P2横坐标为2；
（2）同样方法得到点P3的纵坐标为122，点P3的横坐标为22，利用2的指数与P点的序号数的关系可得到点P19的坐标．
【解答】解：（1）∵正方形OAP1B的边长为1，
∴P1（1，1），
把P1（1，1）代入y=kx(x＞0)的得到k＝1×1＝1，
∴反比例函数的解析式为y=1x，
∵点B1为P1A的中点，
∴点B1的纵坐标为12，
∵四边形B1AA1P2为矩形，
∴点P2的纵坐标为12，
∵点P2在y=1x的图象上，
∴点P2横坐标为（2，12）；
（2）∵点P2横坐标为（2，12），点B2为P2A1的中点，
∴点B2的纵坐标为12×12=122，
∵四边形B2A1A2P3为矩形，
∴点P3的纵坐标为122，
∵点P3在y=1x的图象上，
∴点P3的横坐标为22，
•••，
∴点P19的纵坐标为1218，
∴点P19的横坐标为218，
即P19（218，1218）．
故答案为：（218，1218）．
【变式6-2】（2023•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 （n−1+n，−n−1+n） ．（用含有正整数n的式子表示）
分析：由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y＝x，将它与y=1x联立，求出方程组的解，得到点B1的坐标，则A1的横坐标是B1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，则A1B2∥OB1，直线A1B2可看作是直线OB1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1B2的解析式，同样，将它与y=1x联立，求出方程组的解，得到点B2的坐标，则B2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3的坐标，即可求得点B3的坐标，得出规律．
【解答】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，
易知M1（1，0）是OA1的中点，
∴A1（2，0）．
可得B1的坐标为（1，1），
∴B1O的解析式为：y＝x，
∵B1O∥A1B2，
∴A1B2的表达式一次项系数与B1O的一次项系数相等，
将A1（2，0）代入y＝x+b，
∴b＝﹣2，
∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，
与y=1x（x＞0）联立，解得B2（1+2，﹣1+2）．
仿上，A2（22，0）．
B3（2+3，−2+3），
以此类推，点Bn的坐标为（n−1+n，−n−1+n），
故答案为（n−1+n，−n−1+n）．
【变式6-3】（2023秋•宁津县期末）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为 （22021，0） ．
分析：先设点C1的坐标为（x，1x），然后由点C1是OB1的中点得到点B1的坐标为（2x，2x），进而得到A1的坐标为（2x，0），即可得到OA1＝2x，A1B1=2x，然后由△OA1B1是等腰直角三角形得到2x=2x，解方程得到x的值，即可得到点A1的坐标；然后设点C2的坐标为（a，1a），进而得到点B2和A2的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到A1A2＝A2B2，求得a的值即可得到A2的坐标，用同样的方法求得点A3验证，结合点A1、点A2、A3的坐标猜测规律，得到点A2021的坐标．
【解答】解：设点C1的坐标为（x，1x），
∵点C1是OB1的中点，
∴点B1的坐标为（2x，2x），
∴A1的坐标为（2x，0），
∴OA1＝2x，A1B1=2x，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OA1＝A1B1，即2x=2x，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍），
∴点A1的坐标为（2，0）；
设点C2的坐标为（a，1a），
∵点C2是A1B2的中点，
∴点B2的坐标为（2a﹣2，2a），点A2的坐标为（2a﹣2，0），
∴A1A2＝2a﹣4，A2B2=2a，
∵△A1B2A2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝A2B2，即2a﹣4=2a，
解得：a＝1+2或a＝1−2（舍），
∴点A2的坐标为（22，0），
设点C3的坐标为（m，1m），
∵点C3是A2B3的中点，
∴点B3的坐标为（2m﹣22，2m），点A3的坐标为（2m﹣22，0），
∴A2A3＝2m﹣42，A3B3=2m，
∵△A2B3A3是等腰直角三角形，
∴A2A3＝A3B3，即2m﹣42=2m，
解得：m=2+3或m=2−3（舍），
∴点A3的坐标为（23，0），…，点A2021的坐标为（22021，0），
故答案为：（22021，0）．
【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】
【例7】（2023•龙湖区一模）如图，A（4，3）是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=kx的图象于点P．
（1）求反比例函数y=kx的表达式；
（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；
（3）求△OAP的面积．
分析：（1）直接代入A点坐标，即可得出k的值，进而求出函数解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AB长，然后可得B点坐标．设OB所在直线解析式为y＝mx（m≠0）利用待定系数法可求出BO的解析式；
（3）首先联立两个函数解析式，求出P点坐标，过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，再确定E点坐标，最后求面积即可．
【解答】解：（1）将点A（4，3）代入y=kx（k≠0），
得：k＝12，
则反比例函数解析式为y=12x；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝4、AC＝3，
∴OA=42+32=5，
∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，
∴点B的坐标为（9，3）；
设OB所在直线解析式为y＝mx（m≠0），
将点B（9，3）代入得m=13，
∴OB所在直线解析式为y=13x；
（3）联立解析式：y=13xy=12x
解得：x=6y=2，
可得点P坐标为（6，2），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，
则点E坐标为（6，3），
∴AE＝2，PE＝1，PD＝2，
则△OAP的面积=12×（2+6）×3−12×6×2−12×2×1＝5．
【变式7-1】（2023•路桥区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和双曲线y=ax（a≠0）相交于点A，B，则关于x的不等式kx+b＞ax的解集是（ ）
A．x＞0.5B．﹣1＜x＜0.5
C．x＞0.5或﹣1＜x＜0D．x＜﹣1或0＜x＜0.5
分析：结合一次函数y＝kx+b和反比例函数y=ax（a≠0）的图象即可得出答案．
【解答】解：由图象可知，当x＞0.5和﹣1＜x＜0时，一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y=ax（a≠0）的上方，
∴关于x的不等式kx+b＞ax的解集为x＞0.5或﹣1＜x＜0．
故选：C．
【变式7-2】（2023•兴化市二模）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+3b（b为常数）与双曲线y=kx（k≠0）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝6，则y1﹣y2的值为（ ）
A．﹣12B．6C．﹣6D．12
分析：将点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入直线y＝2x+3b，得y1＝2x1+3b，y2＝2x2+3b，则y1﹣y2＝2（x1﹣x2），即可得出答案．
【解答】解：将点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入直线y＝2x+3b，
得y1＝2x1+3b，y2＝2x2+3b，
∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2），
∵x1﹣x2＝6，
∴y1﹣y2＝12．
故选：D．
【变式7-3】（2023春•九龙坡区校级月考）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A、B两点，其中A（2，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）直线AB沿y轴向上平移m个单位长度，分别与双曲线交于E、F两点，其中F点坐标是（1，2），求△BDE的面积．
分析：（1）利用待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式，再将A、D坐标代入直线解析式即可；
（2）根据平移，设直线EF的解析式为：y=32x﹣2+m，代入F点坐标，求出m的值，在联立EF解析式和反比例函数的解析即可求出E点坐标，再通过△MED的面积减去△MBD的面积即可求出．
【解答】解：（1）∵点A在双曲线y=k2x上，A（2，1），
∴k2＝2×1＝2，
∴双曲线的解析式为y=2x，
∴B点坐标为（−23，﹣3），
将点A（2，1），D（0，﹣2）代入直线y＝k1x+b中得2k1+b=1b=−2，
∴k1=32b=−2，
∴直线AB的解析式为y=32x﹣2；
（2）∵直线EF是直线AB向上平移m个单位得到，
可设EF的解析式为：y=32x﹣2+m，
将点F（1，2）代入，
得m=52，
∴直线EF的解析式为：y=32x+12．
联立y=32x+12y=2x，解得x1=−43，x2=1，
∴E点坐标为（−43，−32）．
延长EB交y轴于点M，如下图所示：
设直线EB的解析式为y＝k'x+b'，将点E（−43，−32）和B（−23，﹣3）代入，
得−43k′+b′=−32−23k′+b′=−3，
解得，k′=−94b′=−92，
∴直线EB的解析式为：y=−94x−92，
∴M点坐标为（0，−92）．
∴S△BED＝S△MED﹣S△MBD=(−2+92)×432−(−2+92)×232=56．
【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】
【例8】（2023秋•崂山区期末）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（2）存在，设设P（0，m），表示出CP，DP，连接AP，BP，三角形ABP面积＝四边形ABCD面积﹣三角形ADP面积﹣三角形BCP面积，求出即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，
∴6n＝m①，
∵DC＝5，
∴m﹣n＝5②，
联立①②解得，m＝6，n＝1，
∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y=kx，
将A（1，6）代入得：k＝6，
则反比例解析式为y=6x；
（2）存在，
如图，设P（0，m），则CP＝m﹣1，DP＝6﹣m，
∵AD⊥y轴，BC⊥y轴，
∴∠ADP＝∠BCP＝90°，
连接AP，BP，
则S△ABP＝S四边形ABCD﹣S△ADP﹣S△BCP
=12（BC+AD）•DC−12DP•AD−12CP•BC
=12×（1+6）×5−12（6﹣m）×1−12（m﹣1）×6
＝10，
解得：m＝3，
则P（0，3）．
【变式8-1】（2023秋•包河区期末）如图，A、B两点在双曲线y=kx（x＞0）的图象上，已知点A(1，4)，B(52，m)，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形：记阴影部分矩形面积为S，另两个矩形面积分别记为S1、S2．
（1）求反比例函数解析式及m的值；
（2）求S1+S2的值．
分析：（1）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后把点B的坐标代入y=4x即可求得m的值．
（2）欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=4x的系数4，然后根据S1+S2＝4+4﹣2S求得即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在双曲线y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为y=4x，
∵点B（52，m）在双曲线y=4x的图象上，
∴m=452=85．
（2）∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，
即S1+S＝4，S+S2＝4，
∵S＝1×85=85，
∴S1+S2＝4+4﹣2×85=245．
【变式8-2】（2023春•叙州区期中）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣2，﹣3），B（2m，y1），C（3m，y2），其中m＞0．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当y1﹣y2＝2时，求m的值：
（3）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若△PBD的面积是6，请求出点P坐标（横坐标用含m的式子表示）．
分析：（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣2，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=6x；
（2）由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1=62m=3m，y2=63m=2m，再根据y1﹣y2＝2列出方程3m−2m=2，解方程即可求出m的值；
（3）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是6，列出方程12•1m•PE＝6，求出PE＝12m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=kx，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x；
（2）反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（3m，y2），
∴y1=62m=3m，y2=63m=2m，
∵y1﹣y2＝2，
∴3m−2m=2，
∴m=12，
经检验，m=12是原方程的解．
故m的值是12；
（3）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，3m），C（3m，2m），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，2m），BD=3m−2m=1m．
∵三角形PBD的面积是6，
∴12BD•PE＝6，
∴12•1m•PE＝6，
∴PE＝12m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣10m，0）或（14m，0）．
【变式8-3】（2023•商河县校级模拟）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF=13AD，求出点E的坐标．
分析：（1）设反比例函数的解析式为y=kx，根据题意B点坐标得出k的值以及m的值；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON，求出答案即可；
（3）设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，6m），求出EF＝﹣m+7−6m，得出关于m的方程，求出m即可．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=kx，
将B（6，1）的坐标代入y=kx，得k＝6．
∴反比例函数的解析式为y=6x．
将A（m，6）的坐标代入y=6x，得m＝1．
（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得
a+b=66a+b=1，
解得：a=−1b=7，
故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，
∴M（0，7），N（7，0），
∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON=12OM×ON−12OM×|xA|−12ON×|yB|
=12×7×7−12×7×1−12×7×1
=352．
（3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，6m），
∴EF＝﹣m+7−6m．
∵EF=13AD，
∴﹣m+7−6m=13×6．
解得m1＝2，m2＝3，
经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根，
∴E的坐标为（2，5）或（3，4）．
【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】
【例9】（2023•广西）已知反比例函数y=bx（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
分析：本题形数结合，根据反比例函数y=bx（b≠0）的图象位置，可判断b＞0；再由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，排除A，B，再根据一次函数y＝cx﹣a（c≠0）的图象和性质，排除C．
【解答】解：∵反比例函数y=bx（b≠0）的图象位于一、三象限，
∴b＞0；
∵A、B的抛物线都是开口向下，
∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，
故A、B都是错误的．
∵C、D的抛物线都是开口向上，
∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0
由a＞0，c＜0，排除C．
故选：D．
【变式9-1】（2023秋•湘阴县月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2与反比例函数y=kx（其中k≠0）的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
分析：比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可．
【解答】解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=kx的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合题意；
k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y=kx的两个分支分别位于第二、四象限，选项A符合题意．
故选：A．
【变式9-2】（2023秋•榆次区期末）在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b（a≠0，b≠0）与反比例函数y=abx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
分析：先确定a，b的符号，再判断反比例函数的图象位置．
【解答】解：A，B选项中，抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∴双曲线在一、三象限．
∴A不合题意，B合题意．
C选项中，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴双曲线在第二、四象限，
∴C不合题意．
在D选项中，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＞0．
∴ab＜0．
∴双曲线在第二、四象限．
∴D不合题意．
故选：B．
【变式9-3】（2023•贺兰县模拟）已知二次函数y=−14x2+bx+c的图象如图，则一次函数y=−14x﹣2b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
分析：由函数图象经过y轴正半轴可知c＞0，利用排除法即可得出正确答案．
【解答】解：对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b＜0．图象经过y轴正半可知c＞0，根据对称轴和一个交点坐标用a表示出b，c，b＝2a=−12，c=34，
由一次函数y=−14x﹣2b与反比例函数y=cx得到：cx=−14x﹣2b，即x2﹣4x+3＝0．
则△＝16﹣12＝4＞0，
所以，可以确定一次函数和反比例函数有2个交点，
由b＜0可知，直线y=−14x﹣2b经过一、二、四象限，
由c＞0可知，反比例函数y=cx的图象经过第一、三象限，
故选：C．
【题型10 反比例函数与几何图形综合】
【例10】（2023春•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．83B．8C．6D．63
分析：作BF⊥x轴于点F，根据有一个30°角的直角三角形的性质，求出各边的长，得B的坐标，即可求出k的值．
【解答】解：如图，作BE⊥x轴于点E，
∵∠OAE＝30°，AE＝DE=12AD＝2，
∴OE=12AE＝1，∠AEO＝60°，
∴OA=3，∠CED＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝4，
∴CD＝23，
∴AB=23，
在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，
∴AF=12AD=3AF，BF＝3，
∴B的坐标为（23，3），
∴k=23×3=63．
故选：D．
【变式10-1】（2023•安顺模拟）如图，点A是反比例函数y=6x在第一象限内的图象上的一个动点，连接AO并延长交反比例函数的图象于另一点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，且点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（ ）
A．y=−13xB．y=−3xC．y=−16xD．y=−6x
分析：连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为（a，6a），得出得出OD＝AE=6a，CD＝OE＝a，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．
【解答】解：如图，连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=6x的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC＝OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE＝90°，
∵∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠AOE，
∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（a，6a），得出OD＝AE=6a，CD＝OE＝a，
∴C点坐标为（−6a，a），
∵−6a•a＝﹣6，
∴点C在比例函数y=−6x（x＜0）图象上．
故选：D．
【变式10-2】（2023•虞城县三模）如图，平行四边形OABC中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，反比例函数y=kx的图象经过顶点C，且经过对角线OB上一点D，若点D的坐标为（4，2），平行四边形OABC的面积为569，则顶点B的坐标为（ ）
A．（5，3）B．(163，83)C．(5，103)D．(183，103)
分析：由待定系数法可求得反比例函数的解析式为y=8x，直线OB的解析式为y=12x，设点C的坐标为（a，8a），可得点B的纵坐标为8a，则B（16a，8a），BC=16a−a，S平行四边形OABC＝2S△OAB＝2×12×（16a−a）×8a=569，解得a＝3或a＝﹣3（舍去），即可得点B的坐标．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点D（4，2），
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y=8x，
设直线OB的解析式为y＝mx，
将点D（4，2）代入，
得2＝4m，
解得m=12，
∴直线OB的解析式为y=12x，
设点C的坐标为（a，8a），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
∴点B的纵坐标为8a，
将y=8a代入y=12x，
得x=16a，
∴B（16a，8a），
∴BC=16a−a，
∴S平行四边形OABC＝2S△OAB＝2×12×（16a−a）×8a=569，
解得a＝3或a＝﹣3（舍去），
∴点B的坐标为（163，83）．
故选：B．
【变式10-3】（2023春•北碚区校级期末）如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等分点，且CE=15CD，双曲线y=kx（k≠0，x⟩0）的图象过点E，则k为（ ）
A．12125B．12425C．13225D．14325
分析：根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可求出点D、点C的坐标，再根据平行线分线段成比例可求出点E坐标即可．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥y轴于F，过点D作DG⊥x轴于G，过C、E分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，与x轴，y轴分别相交于点A，点B，
∴点A（1，0），点B（0，2），
即OA＝1，OB＝2，
∴AB=12+22=5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD=5，
∴∠OAB+∠GAD＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠OBA＝∠GAD，
∵∠AOB＝∠DGA＝90°，
∴△AOB≌△DGA（AAS），
∴OA＝DG＝1，OB＝GA＝2，
同理OA＝BF＝1，OB＝FC＝2，
∴点C（2，3），D（3，1），
∵CE=15CD，CM∥EN∥DG，
∴MN=15MG=15（3﹣2）=15，
∴ON＝OM+MN＝2+15=115，
∴EN=45（3﹣1）+1=135，
∴点E（115，135），
又∵点E在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=115×135=14325，
故选：D．
函数
图象
所在象限
增减性
三象限
在同一象限内，随的增大而减小
四象限
在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点