苏科版八年级数学下册专题13.7期末专项复习之二次根式十六大必考点(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册专题13.7期末专项复习之二次根式十六大必考点(原卷版+解析)，共56页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21033" 【考点1 二次根式的概念】 PAGEREF _Tc21033 \h 1
\l "_Tc24284" 【考点2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc24284 \h 2
\l "_Tc22426" 【考点3 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc22426 \h 2
\l "_Tc26190" 【考点4 同类二次根式的概念】 PAGEREF _Tc26190 \h 2
\l "_Tc3867" 【考点5 最简二次根式】 PAGEREF _Tc3867 \h 3
\l "_Tc5859" 【考点6 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc5859 \h 3
\l "_Tc13876" 【考点7 求二次根式中的参数值】 PAGEREF _Tc13876 \h 4
\l "_Tc15546" 【考点8 化简并估算二次根式的值】 PAGEREF _Tc15546 \h 4
\l "_Tc8809" 【考点9 二次根式中的规律探究】 PAGEREF _Tc8809 \h 4
\l "_Tc20871" 【考点10 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc20871 \h 6
\l "_Tc32737" 【考点11 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc32737 \h 7
\l "_Tc27941" 【考点12 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc27941 \h 8
\l "_Tc31248" 【考点13 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc31248 \h 8
\l "_Tc23584" 【考点14 二次根式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc23584 \h 9
\l "_Tc18093" 【考点15 利用分母有理化求值】 PAGEREF _Tc18093 \h 10
\l "_Tc4927" 【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc4927 \h 12
【考点1 二次根式的概念】
【例1】（2023·北京·人大附中八年级期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A．2B．32C．xD．x
【变式1-1】（2023·河北沧州·八年级期中）下列式子一定是二次根式的是 ( )
A．a2B．－aC．3aD．a
【变式1-2】（2023·全国·八年级课时练习）若a=5，则下列各式是二次根式的是( )
A．3−aB．5−aC．a−52D．a−322
【变式1-3】（2023·内蒙古·北京师范大学乌海附属学校八年级期中）a是任意实数，下列各式中：①a+2；②(−2a)4；③a2+3；④a2+6a+9；⑤a2−3，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2023·山东·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）若a，b为实数，且b=a2−1+1−a2a+7+4，则a+b的值为（ ）
A．±1B．4C．3或5D．5
【变式2-1】（2023·广东惠州·八年级期末）若式子x+6在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥－6B．x≤－6C．x>－6D．x＜－6
【变式2-2】（2023·新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）下列二次根式一定有意义的是（ ）
A．2B．−2C．aD．−a
【变式2-3】（2023·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）若1999−x+x−2006=x，则x−19992=______．
【考点3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2023·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）若a＜0，b＞0，则化简214a2−ab+b2的结果为（ ）
A．a﹣2bB．2a﹣bC．2b﹣aD．b﹣2a
【变式3-1】（2023·河北· 沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）化简下列二次根式（字母表示正数）
(1)24a3b2c；
(2)16a3+32a2
【变式3-2】（2023·云南·会泽县以礼中学校八年级阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b2+(a−b)2−(a−1)2．
【变式3-3】（2023·安徽·芜湖市第二十九中学八年级期中）化简：x−32−2−x2．
【考点4 同类二次根式的概念】
【例4】（2023·全国·八年级单元测试）下列二次根式中，化简后可以合并的是 （ ）
A．a2b与aB．xy与xy
C．50与5D．a+b与a2+b2
【变式4-2】（2023·甘肃·民勤县第六中学八年级期中）若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11能合并，则x2+y2＝__．
【变式4-3】（2023·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）如果最简二次根式4a−5与13−2a是同类二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：x2−4x+4+x2−12x+36
【考点5 最简二次根式】
【例5】（2023春·山东淄博·九年级校考期中）下列各式①8；②0.3；③30；④x2+y2；⑤a2+1；其中一定是最简二次根式的有（ ）．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式5-1】下列各根式是最简二次根式的是（ ）
A．56B．xyC．m2+n2D．18x
【变式5-2】（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）若a−12a+5与3b+a是被开方数相同的最简二次根式，求ab的值．
【变式5-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如3x+1是x型无理数，则(2+10)2是（ ）
A．2型无理数B．5型无理数C．10型无理数D．20型无理数
【考点6 比较二次根式的大小】
【例6】（2023秋·福建福州·八年级校考期末）若a=2019×2021−2019×2020，b=20222−4×2021，c=20202+20，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a【变式6-1】（2023·福建泉州·九年级统考期末）设M=20172−2016×2018，N=20172−4034×2018+20182，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
【变式6-2】（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）5−2、2+52、2+2的大小关系是（ ）
A．2+2>2+52>5−2B．5−2>2+52>2+2
C．2+52>5−2>2+2D．5−2>2+2>2+52
【变式6-3】（2023秋·江西萍乡·八年级统考期末）若a=1003+997，b=1001+999，c=21001，则a，b，c的大小关系用“＜”号排列为 _________．
【考点7 求二次根式中的参数值】
【例7】（2023春·北京·八年级北京八中校考期中）已知n是正整数，18−2n是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
【变式7-1】（2023秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）如果17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．-4B．-2C．2D．8
【变式7-2】（2023春·四川凉山·七年级统考期末）已知12−n是正偶数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
【变式7-3】（2023秋·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足5−3a=2b+23−a，则a+b的值是______.
【考点8 化简并估算二次根式的值】
【例8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）估计2+3×22的值应在（ ）
A．8到9之间B．9到10之间C．10到11之间D．11到12之间
【变式8-1】（2023秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计42+3÷3的值应在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【变式8-2】（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，若以3米为单位长度建立数轴，线段AB=17米，点A在原点，点B在数轴的正半轴，估计点B位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．
【变式8-3】（2023春·八年级单元测试）观察下列各式子，并回答下面问题．
第一个：12−1
第二个：22−2
第三个：32−3
第四个：42−4…
（1）试写出第n个式子（用含n的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【考点9 二次根式中的规律探究】
【例9】（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）观察下列等式：第1个等式：a1=11+2=2−1；第2个等式：a2=12+3=3−2；第3个等式：a3=13+2=2−3；第4个等式：a4=12+5=5−2，……，按照上述规律，计算：a1+a2+a3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a99=（ ）
A．311−1B．10−311C．9D．8
【变式9-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11−12=112
1+122+132=1+12−13=116
1+132+142=1+13−14=1112
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)1+142+152=________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
(3)利用上述规律计算：5049+164（仿照上式写出过程）．
【变式9-2】（2023秋·辽宁抚顺·八年级校考期末）阅读材料：像6+56−5=1，a×a=a（a≥0），这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：
(1)7的有理化因式是___________；7+2的有理化因式是___________；
(2)观察下面的变形规律，请你猜想：12+1=2−1，13+2=3−2，14+3=4−3，……，1n+1+n=___________．
(3)利用上面的方法，请化简：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=___________．
【变式9-3】（2023秋·北京顺义·八年级统考期末）一些数按某种规律排列如下：
(1)根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；
(2)写出第n（n是正整数）行，从左数第n+1个数（用含n的代数式表示）．
【考点10 复合二次根式的化简】
【例10】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．
再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2 =(3+2)2= 3 +2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：12+235；
(2)化简：17−415；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式10-1】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝23和b＝32的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝42，d＝27大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝25+6，n＝23+14之间的大小，并证明．
(3)化简：4p−8p−1+4p+8p−1＝ （直接写出答案）．
【变式10-2】（2023秋·四川成都·八年级校考期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如m±2n的化简，我们只要找到两个数a，b，使a+b=m，ab=n，即(a)2+(b)2=m，a⋅b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b(a>b>0).
例如化简：7+43
解：首先把7+43化为7+212，
这里m=7，n=12，
由于4+3=7，4×3=12，
所以(4)2+(3)2=7,4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3
（1）根据上述方法化简：4+23
（2）根据上述方法化简：13−242
（3）根据上述方法化简：4−15
【变式10-3】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3+55−3−55
设x=3+55−3−55，
易知3+55>3−55
故x>0，由x2=(3+55−3−55)2
=3+5+3−5−2(3+55)(3−55)
=2
解得x=2，即3+55−3−55=2．
根据以上方法，化简3−23+2+6−33−6+33
【考点11 二次根式的混合运算】
【例11】（2023·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级阶段练习）计算：
(1)12−613+48；
(2)3+23−2+1−32．
【变式11-2】（2023·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学八年级期中）计算：
(1)(13)−1−18×−2−3−2．
(2)(318+1672−418)÷32
【变式11-3】（2023·湖南·宁远县仁和镇中学九年级阶段练习）计算：
(1)40+82−45；
(2)2×6+9127−32÷2；
(3)7a+2a2x−5a4a−6ax9．
【考点12 二次根式的化简求值】
【例12】（2023·全国·八年级期中）已知a=3+1，求a+1a2−4a+1a+4的值.
【变式12-1】（2023·福建龙岩·八年级阶段练习）先化简，再求值：(a+b)2−(a−b)(a+b)，其中a＝3+2，b＝3−2．
【变式12-2】（2023·湖北·武汉市六中位育中学八年级阶段练习）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x=13，y=4．
【变式12-3】（2023·全国·八年级课时练习）已知y＝x−8＋8−x＋18，求代数式x+yx−y﹣2xyxy−yx的值为_____．
【考点13 二次根式的应用】
【例13】（2023·山东·费县第二中学八年级期中）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．4−23cm2B．83−4cm2C．83−12cm2D．8cm2
【变式13-1】（2023·江西省于都中学八年级期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p＝a+b+c2，那么这个三角形的面积S＝p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S＝14a2b2−(a2+b2−c22)2．通过公式变形，可以发现它们实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．
问题：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海伦﹣秦九韶公式求△ABC的面积为 _____．
【变式13-2】（2023·江苏·扬州市江都区华君外国语学校八年级阶段练习）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
【变式13-3】（2023·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为(13+1)m，宽为(13−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【考点14 二次根式中的新定义问题】
【例14】（2023·安徽合肥·八年级期中）我们规定用a,b表示-对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m,n与n,m称为数对a,b的一对“对称数对”，例如：4,1的一对“对称数对”为12,1与1,12．
(1)数对25,4的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对x,2的一对“对称数对”的一个数对是2,1，求x的值；
(3)若数对a,b的一对“对称数对”的一个数对是3,33，求ab的值．
【变式14-1】（2023·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：a∗b=3a−b2，例：2∗1=3×2−12=5．
(1)求2∗−2的值；
(2)若m=5−35+3，n=3−5，求m∗n的值．
【变式14-2】（2023·山东济宁·八年级期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与2是关于2的共轭二次根式，则a＝ ；
(2)若2+3与2+3m是关于1的共轭二次根式，求m的值．
【变式14-3】（2023·福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）我们规定，若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5－2与y是关于1的平衡数，求x，y的值；
（2）若（m＋3）×（1－3）＝－2n＋3（3－1），判断m＋3与5n－3是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【考点15 利用分母有理化求值】
【例15】（2023·山东·宗圣中学八年级阶段练习）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如23+1这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方法化简：
23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1．
(1)请用两种不同的方法化简17+6；
(2)选择合适的方法化简1n+n+1（n为正整数）；
(3)求11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+198+99+199+100的值．
【变式15-1】（2023·江苏盐城·八年级期末）像(5+2) (5−2)=1，a•a＝a（a≥0），（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：5与5，2+1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：①323= ；
②15−3= ；
(2)计算：(12+1+13+2+14+3…+12022+2021）(2022+1)＝ ；
(3)已知a=2022−2021，b=2023−2022，试比较a、b的大小，并说明理由．
【变式15-2】（2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料，然后解答问题：
在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如：32，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：32=3×22×2=322；23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2×(3−1)(3)2−12=3−1．
以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．
(1)根据上面规律化简：15＝______；15−1＝______．
(2)化简下列各式
①5−12−25−1，
②8−22−28−2，
③13−32−213−3，
④20−42−220−4．
(3)用含n（n≥1的整数）的式子写出（2）中第n个式子，并化简．
【变式15-3】（2023·全国·八年级单元测试）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 23+1= 2(3−1)(3+1)(3−1)= 2(3−1)(3)2−1= 2(3−1)2= 3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab  3 ，求 a2  b2 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则 a 2  b2  (a  b)2  2ab  x2 2y  4 610．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：13+1+ 15+3+ 17+5+ ...+12019+2017；
（2）已知 m 是正整数， a m+1−mm+1+m，b m+1+mm+1−m且 2a2 1823ab  2b2  2019 ．求 m．
（3）已知15+x2−26−x2=1，则15+x2+26−x2的值为
【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】
【例16】（2023·四川·乐山外国语学校九年级阶段练习）阅读下列短文，回答有关问题：
在实数这章中，遇到过2、3;9;12;a；这样的式子，我们把这样的式子叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数．如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开的尽方，可以利用a⋅b=a⋅b或者ab=ab将这些因数开出来，从而将二次根式化简．当一个二次根式的被开方数中不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分数时，这样的二次根式叫做最简二次根式，例如，13化成最简二次根式是33，27化成最简二次根式是33．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如上面的例子就是同类二次根式．
(1)请判断下列各式中，哪些是同类二次根式？2;75;18;150;127;3；
(2)二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并，请计算：2+75−18−150+127−3．
【变式16-1】（2023·全国·八年级专题练习）阅读理解：
设m，n是有理数，且满m+5n=2−35，求nm的值．
解：由题意，移项得：m−2+n+35=0，
∵m，n是有理数
∴m－2，n＋3也是有理数，
又∵5是无理数，
∴m−2=0,n+3=0，∴m＝2，n＝－3，
∴nm=−32=9．
问题解决：
设a，b都是有理数，且a2+b2=16+52，求2a−5b的值．
【变式16-2】（2023·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）请阅读下列材料：
现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x>0)；依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=5，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分制线，拼接出如图3所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．

(1)请计算出新正方形的边长；
(2)要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）
【变式16-3】（2023·河南商丘·八年级期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为整数），
则有a+b2=m2+2n2+2mn2．
∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=_________，b=_________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： ______+______3=(______+______3)2；
(3)若a+43=m+n32，且a、m、n均为正整数，求a的值？第一行
1
2
第二行
3
2
5
6
第三行
7
22
3
10
11
23
第四行
13
14
15
4
17
32
19
25
……
专题13.7 二次根式十六大必考点
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29961" 【考点1 二次根式的概念】 PAGEREF _Tc29961 \h 1
\l "_Tc20975" 【考点2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc20975 \h 3
\l "_Tc11775" 【考点3 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc11775 \h 4
\l "_Tc19509" 【考点4 同类二次根式的概念】 PAGEREF _Tc19509 \h 6
\l "_Tc31311" 【考点5 最简二次根式】 PAGEREF _Tc31311 \h 8
\l "_Tc13826" 【考点6 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc13826 \h 10
\l "_Tc20565" 【考点7 求二次根式中的参数值】 PAGEREF _Tc20565 \h 12
\l "_Tc31430" 【考点8 化简并估算二次根式的值】 PAGEREF _Tc31430 \h 14
\l "_Tc10789" 【考点9 二次根式中的规律探究】 PAGEREF _Tc10789 \h 16
\l "_Tc32546" 【考点10 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc32546 \h 20
\l "_Tc18765" 【考点11 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc18765 \h 24
\l "_Tc30741" 【考点12 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc30741 \h 28
\l "_Tc18899" 【考点13 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc18899 \h 30
\l "_Tc26761" 【考点14 二次根式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc26761 \h 34
\l "_Tc1547" 【考点15 利用分母有理化求值】 PAGEREF _Tc1547 \h 37
\l "_Tc24647" 【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc24647 \h 43
【考点1 二次根式的概念】
【例1】（2023·北京·人大附中八年级期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A．2B．32C．xD．x
答案:A
分析：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．
【详解】解：A、2是二次根式，符合题意；
B、32是三次根式，不合题意；
C、当x＜0时，x无意义，不合题意；
D、x属于整式，不合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．
【变式1-1】（2023·河北沧州·八年级期中）下列式子一定是二次根式的是 ( )
A．a2B．－aC．3aD．a
答案:A
分析：根据二次根式的定义，直接判断得结论．
【详解】解：A、a2的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确；
B、a<0时，－a不是二次根式，故B错误；
C、3a是三次根式，故C错误；
D、a<0时，a不是二次根式，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如a(a≥0)是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数．
【变式1-2】（2023·全国·八年级课时练习）若a=5，则下列各式是二次根式的是( )
A．3−aB．5−aC．a−52D．a−322
答案:B
分析：根据二次根式的定义进行判断．
【详解】A、当a=5时，3-a＜0，该式子不是二次根式，故本选项错误；
B、当a=5时，5-a=0，符合二次根式的定义，故本选项正确；
C、该代数式不是二次根式，故本选项错误；
D、该代数式不是二次根式，故本选项错误；
故选B．
【点睛】此题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
【变式1-3】（2023·内蒙古·北京师范大学乌海附属学校八年级期中）a是任意实数，下列各式中：①a+2；②(−2a)4；③a2+3；④a2+6a+9；⑤a2−3，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案:C
分析：根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】∵二次根式a必须满足a≥0
∴只有②③④可以确定被开方数非负
一定是二次根式的个数是3个
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2023·山东·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）若a，b为实数，且b=a2−1+1−a2a+7+4，则a+b的值为（ ）
A．±1B．4C．3或5D．5
答案:C
分析：首先根据题意，列出不等式组，即可解得a=1，b=4，即可得解．
【详解】根据题意，得
a2−1≥01−a2≥0a+7≠0
解得a=±1
∴b=4
∴a+b=5或3
故答案为C．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题．
【变式2-1】（2023·广东惠州·八年级期末）若式子x+6在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥－6B．x≤－6C．x>－6D．x＜－6
答案:A
分析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，x+6≥0，
解得，x≥-6，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式2-2】（2023·新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）下列二次根式一定有意义的是（ ）
A．2B．−2C．aD．−a
答案:A
分析：二次根式有意义的条件是二次根式中的被开方数必须是非负数．
【详解】解：A．2是二次根式，被开方数大于0，有意义，故本选项符合题意；
B．−2，被开方数小于0，无意义，故本选项不符合题意；
C．a，a如果小于0时无意义，故本选项不符合题意；
D．−a，−a如果小于0时无意义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
【变式2-3】（2023·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）若1999−x+x−2006=x，则x−19992=______．
答案:2006
分析：先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：∵x−2006有意义，
∴x−2006≥0，
∴原等式变形为x−1999+x−2006=x，
解得19992=x−2006，
∴x−19992=2006．
故答案为：2006．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
【考点3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2023·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）若a＜0，b＞0，则化简214a2−ab+b2的结果为（ ）
A．a﹣2bB．2a﹣bC．2b﹣aD．b﹣2a
答案:C
分析：先将原式化简为212a−b2，再由a＜0，b＞0判断出12a−b<0，即可求解；
【详解】解：原式=212a2−ab+b2
=212a−b2
∵a＜0，b＞0，
∴12a−b<0，
∴212a−b2=−212a−b=2b−a，
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，二次根式的定义，掌握相关知识并正确求解是解题的关键．
【变式3-1】（2023·河北· 沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）化简下列二次根式（字母表示正数）
(1)24a3b2c；
(2)16a3+32a2
答案:(1)4abac
(2)4aa+2
分析：（1）根据二次根式的化简运算法则化简即可；
（2）先将根式中的式子提公因式4a2，再化简即可；
（1）
解：原式=22ab2⋅ac
=22ab2⋅ac
=4abac
（2）
解：原式=4a2⋅a+2
=4a2⋅a+2
=4aa+2
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握相关运算法则是解题的关键.
【变式3-2】（2023·云南·会泽县以礼中学校八年级阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b2+(a−b)2−(a−1)2．
答案:3a﹣2b-1
分析：根据数轴可知b＜﹣1＜0＜a＜1，推出a﹣b＞0，a﹣1＜0，根据二次根式的性质得出a+（﹣b）+a﹣b﹣（1﹣a），求出即可．
【详解】解：根据数轴可知：b＜﹣1＜0＜a＜1，
则a﹣b＞0， a﹣1＜0，
则原式＝a+（﹣b）+a﹣b﹣（1﹣a）
＝a﹣b+a﹣b﹣1+a
＝3a﹣2b-1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和数轴，注意：当a≥0时，a2=a，当a≤0时，a2=−a．
【变式3-3】（2023·安徽·芜湖市第二十九中学八年级期中）化简：x−32−2−x2．
答案:1
分析：运用二次根式的性质进行化简，再合并即可．
【详解】由题意可知2−x≥0，
∴x≤2，
∴x−3<0，
∴原式=3−x−2+x
=1
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
【考点4 同类二次根式的概念】
【例4】（2023·全国·八年级单元测试）下列二次根式中，化简后可以合并的是 （ ）
A．a2b与aB．xy与xy
C．50与5D．a+b与a2+b2
答案:B
分析：先化简，然后根据同类二次根式的定义分别进行判断即可．
【详解】A、a2b=ab ，所以A选项错误；
B、xy=xyy，与xy 是同类二次根式，所以B选项正确；
C、50=52，所以C选项错误；
D、 a+b与a2+b2不是同类二次根式，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式.
【变式4-1】（2023·全国·八年级单元测试）下面二次根式：①48；②23；③27；④23.化简后与3可以合并的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
答案:C
分析：直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】①48=43，②23=22，③27=33；④23=63，化简后与3被开方数相同的是：①③．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【变式4-2】（2023·甘肃·民勤县第六中学八年级期中）若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11能合并，则x2+y2＝__．
答案:5
分析：先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11能合并，
∴最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式，
∴3x−10=22x+y−5=x−3y+11，
∴x=4y=3，
∴x2+y2=32+42=25=5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到3x−10=22x+y−5=x−3y+11是解题的关键．
【变式4-3】（2023·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）如果最简二次根式4a−5与13−2a是同类二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：x2−4x+4+x2−12x+36
答案:(1)3
(2)4
分析：(1)根据同类二次根式的被开方数相等可列出方程，解出即可；
(2)根据(1)可得3≤x≤6，再根据完全平方公式及去绝对值符号法则进行运算，即可求得结果．
（1）
解：∵最简二次根式4a−5与13−2a是同类二次根式，
∴4a-5=13-2a，
解得a=3；
（2）
解：∵a≤x≤2a，a=3，
∴3≤x≤6，
∴x2−4x+4+x2−12x+36
=x−22+x−62
=x−2+x−6
=x−2+6−x
=4．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，去绝对值符合号法则，熟练掌握和运用各定义和法则是解决本题的关键．
【考点5 最简二次根式】
【例5】（2023春·山东淄博·九年级校考期中）下列各式①8；②0.3；③30；④x2+y2；⑤a2+1；其中一定是最简二次根式的有（ ）．
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案:B
分析：根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【详解】①8=22，②0.3=310=3010这两个不是最简二次根式，
③30、④x2+y2、⑤a2+1这三个均为最简二次根式；
故选：B．
【点睛】此题考查最简二次根式，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题．
【变式5-1】下列各根式是最简二次根式的是（ ）
A．56B．xyC．m2+n2D．18x
答案:C
分析：根据最简二次根式定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
56=214，故A选项不符合题意；
xy=xyy，故B选项不符合题意；
m2+n2是最简二次根式，故C选项符合题意；
18x=32x，故D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查最简二次根式定义，不含开得尽方的数，根号下不含分母或分母中不带根号．
【变式5-2】（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）若a−12a+5与3b+a是被开方数相同的最简二次根式，求ab的值．
答案:22
分析：根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入ab计算求值
【详解】解：∵ a−12a+5与3b+a是被开方数相同的最简二次根式
∴a−1=22a+5=3b+a
解得：a=3b=83
∵2a+5=11>0
∴a=3b=83符合题意
∴ab=3×83=22
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．
【变式5-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如3x+1是x型无理数，则(2+10)2是（ ）
A．2型无理数B．5型无理数C．10型无理数D．20型无理数
答案:B
分析：先利用完全平方公式计算，再化简得到原式=12+45，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】解：(2+10)2=2+22×10+10=12+45，
所以(2+10)2是5型无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
【考点6 比较二次根式的大小】
【例6】（2023秋·福建福州·八年级校考期末）若a=2019×2021−2019×2020，b=20222−4×2021，c=20202+20，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a答案:A
分析：利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】解：a=2019×2021-2019×2020
=（2023-1）（2023+1）-（2023-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
∵20222-4×2021
=（2023+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2023-1）2
=20202，
∴b=2020；
∵20202+20>20202，
∴c＞b＞a．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、20222−4×2021，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．
【变式6-1】（2023·福建泉州·九年级统考期末）设M=20172−2016×2018，N=20172−4034×2018+20182，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
答案:C
分析：将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得．
【详解】解：∵M=20172−(2017−1)×(2017+1)=20172−20172+1=1，
N=(2017−2018)2=1，
∴M=N，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．
【变式6-2】（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）5−2、2+52、2+2的大小关系是（ ）
A．2+2>2+52>5−2B．5−2>2+52>2+2
C．2+52>5−2>2+2D．5−2>2+2>2+52
答案:D
分析：根据作差法，分别比较5−2与2+2，2+2与2+52的大小，即可得到答案.
【详解】∵(5−2)-(2+2)=3-22=3-8=9-8>0，
∴5−2>2+2，
∵(2+2)-(2+52)=2-52=222-52=8−52>0，
∴2+2>2+52，
∴5−2>2+2>2+52，
故选D.
【点睛】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键.
【变式6-3】（2023秋·江西萍乡·八年级统考期末）若a=1003+997，b=1001+999，c=21001，则a，b，c的大小关系用“＜”号排列为 _________．
答案:a＜b＜c
分析：利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．
【详解】解：∵a2=2000+21003×997，b2=2000+21001×999，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c.
【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式．
【考点7 求二次根式中的参数值】
【例7】（2023春·北京·八年级北京八中校考期中）已知n是正整数，18−2n是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
答案:9或7或1
分析：先利用算数平方根有意义的条件求得正整数n的取值范围，然后令18−2n等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得18−2n≥0，
解得n≤9，
∵n是正整数，
∴n≥1
∴1≤n≤9，
∴2≤2n≤18，
∴0≤18−2n≤16，
∵18−2n是整数，
∴18−2n=0或18−2n=1或18−2n=4或18−2n=9或18−2n=16，
解得n=9或n=172或n=7或n=92或n=1，
∵n是正整数，
∴n=9或n=7或n=1，
故答案为：9或7或1
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
【变式7-1】（2023秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）如果17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．-4B．-2C．2D．8
答案:A
分析：根据17+4a是一个正整数，得出a＞−174，根据a为整数，得出a的最小值为−4，最后代入a=−4验证17+4a是一个正整数符合题意，得出答案即可．
【详解】解：∵17+4a是一个正整数，
∴17+4a＞0，
∴a＞−174，
∵a为整数，
∴a的最小值为−4，
且a=−4时，17+4a=17−16=1符合题意，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出a＞−174，是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·四川凉山·七年级统考期末）已知12−n是正偶数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
答案:C
分析：如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知12−n是正偶数，而最小的正偶数是2，则12−n＝2，从而得出结果．
【详解】解：当12−n等于最小的正偶数2时，
n取最大值,则n＝8，
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“12−n是正偶数”的含义．
【变式7-3】（2023秋·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足5−3a=2b+23−a，则a+b的值是______.
答案:−12
分析：将已知等式整理得−3a+a−2b=23−5，由a，b为有理数，得到−3a=23,a−2b=−5，求出a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵5−3a=2b+23−a，
∴−3a+a−2b=23−5，
∵a，b为有理数，
∴−3a=23,a−2b=−5，
解得a=−2,b=32，
∴a+b=−2+32=−12，
故答案为：−12．
【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．
【考点8 化简并估算二次根式的值】
【例8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）估计2+3×22的值应在（ ）
A．8到9之间B．9到10之间C．10到11之间D．11到12之间
答案:A
分析：根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：2+3×22
=2×22+3×22
=4+26
∵4<6<6.25，
∴2<6<2.5
∴4<26<5
∴8<4+26<9
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式8-1】（2023秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计42+3÷3的值应在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
答案:C
分析：先根据二次根式的除法进行计算42+3÷3，然后估算14的大小即可求解．
【详解】解：∵42+3÷3 =14+1，
∵3<14<4
∴4<14+1<5
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．
【变式8-2】（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，若以3米为单位长度建立数轴，线段AB=17米，点A在原点，点B在数轴的正半轴，估计点B位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．
答案:9和10
分析：先计算17里面有几个3即可求解．
【详解】17÷3=2893，
∵9=2433，10=3003
∴9<2893<10
∴这两个相邻整数是9和10．
故答案为：9和10．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确估算出17÷3的大小是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·八年级单元测试）观察下列各式子，并回答下面问题．
第一个：12−1
第二个：22−2
第三个：32−3
第四个：42−4…
（1）试写出第n个式子（用含n的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
答案:（1）n2−n，该式子一定是二次根式，理由见解析；（2）240在15和16之间．理由见解析．
分析：（1）依据规律可写出第n个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；
（2）将n=16代入，得出第16个式子为240，再判断即可．
【详解】解：（1）n2−n，
该式子一定是二次根式，
因为n为正整数，n2−n=n(n−1)≥0，所以该式子一定是二次根式
（2）162−16=240
∵225=15，256=16，
∴15<240<16.
∴240在15和16之间．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．
【考点9 二次根式中的规律探究】
【例9】（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）观察下列等式：第1个等式：a1=11+2=2−1；第2个等式：a2=12+3=3−2；第3个等式：a3=13+2=2−3；第4个等式：a4=12+5=5−2，……，按照上述规律，计算：a1+a2+a3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a99=（ ）
A．311−1B．10−311C．9D．8
答案:C
分析：首先根据题意，得出一般规律an=1n+1+n=n+1−n，代入数字相加即可得解．
【详解】解：第1个等式：a1=11+2=2−1，
第2个等式：a2=12+3=3−2，
第3个等式：a3=13+2=2−3，
第4个等式：a4=12+5=5−2，
……
第n个等式：an=1n+1+n=n+1−n，
∴a1+a2+a3+⋯⋯+a99
=2−1+3−2+2−3+⋯+100−99
=100−1
=10−1
=9，故C正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．
【变式9-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11−12=112
1+122+132=1+12−13=116
1+132+142=1+13−14=1112
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)1+142+152=________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
(3)利用上述规律计算：5049+164（仿照上式写出过程）．
答案:(1)1+14−15=1120；
(2)1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1nn+1
(3)1+172+182=1+17−18=1156．
分析：（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）原式先变形为1+172+182，再根据得出的规律进行计算即可．
【详解】（1）1+142+152=1+14−15=1120
（2）1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1nn+1
（3）5049+164=1+172+182=1+17−18=1156
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律．
【变式9-2】（2023秋·辽宁抚顺·八年级校考期末）阅读材料：像6+56−5=1，a×a=a（a≥0），这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：
(1)7的有理化因式是___________；7+2的有理化因式是___________；
(2)观察下面的变形规律，请你猜想：12+1=2−1，13+2=3−2，14+3=4−3，……，1n+1+n=___________．
(3)利用上面的方法，请化简：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=___________．
答案:(1)7，7−2
(2)n+1−n
(3)9
分析：（1）根据题意及二次根式的乘法即可得出结果；
（2）根据题干中的例子，直接猜想求解即可；
（3）根据（2）中结论将式子化简变形求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，7×7=7，7+27−2=7−4=3
∴7的有理化因式是7，7+2的有理化因式是7−2
故答案为：7，7−2；
（2）12+1=2−1，
13+2=3−2，
14+3=4−3，
‥‥‥，
1n+1+n=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)=n+1−n，
故答案为：n+1−n
（3）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99
=2−1+3−2+4−3+⋯+100−99
=100−1
=10−1
=9．
故答案为：9．
【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及二次根式的化简，分母有理化，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
【变式9-3】（2023秋·北京顺义·八年级统考期末）一些数按某种规律排列如下：
(1)根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；
(2)写出第n（n是正整数）行，从左数第n+1个数（用含n的代数式表示）．
答案:(1)26
(2)n2+1
分析：（1）根据第4行的最后一个数为：25，即可得到第5行第一个数为：21，从左到右，被开方数依次加1，即可得解；
（2）根据规律可知：第1行最后一个数是：1×2=2，第2行最后一个数是：2×3=6，第3行最后一个数是：3×4=12=23，第4行最后一个数是：4×5=20=25，
进而推出第n−1行最后一个数，然后推导出第n（n是正整数）行，从左数第n+1个数即可．
【详解】（1）解：由表格可知：第5行第一个数为：21，
则第5行，从左到右依次是：21，22，23，⋯，30，
∴第5行从左数第4个数：24=26；
（2）解：由表格可知：第1行最后一个数是：1×2=2，
第2行最后一个数是：2×3=6，
第3行最后一个数是：3×4=12=23，
第4行最后一个数是：4×5=20=25，
⋯
∴第n−1行最后一个数是：n−1×n=n2−n，
∴第n行的第一个数是：n2−n+1，从左数第n+1个数为：n2−n+n+1=n2+1．
【点睛】本题考查数字规律探究．观察出被开方数是连续自然数，并且每一行的最后一个被开方数是所在行数乘以比行数大1的数，是解题的关键．
【考点10 复合二次根式的化简】
【例10】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．
再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2 =(3+2)2= 3 +2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：12+235；
(2)化简：17−415；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
答案:(1)5+7
(2)23−5
(3)14或46
分析：（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）12+235=52+2×5×7+72=(7+5)2=5+7
（2）17−415=12−415+5=232−2×23×5+52=23−52=23−5
（3）∵a+65=m2+5n2+5，
∴a=m2+5n2，6=2mn，
∴mn=3
又∵a、m、n为正整数，
∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，
∴当m=1,n=3时，a=46；
当m=3,n=1时，a=14．
∴a的值为：14或46．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
【变式10-1】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝23和b＝32的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝42，d＝27大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝25+6，n＝23+14之间的大小，并证明．
(3)化简：4p−8p−1+4p+8p−1＝ （直接写出答案）．
答案:(1)c>d
(2)m(3)4或4p−1
分析：（1）根据题干中“平方法”比较实数大小；
（2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小；
（3）根据题干中“平方法”找出(p−1−1)2=p−2p−1，(p−1+1)2=p+2p−1，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案．
【详解】（1）解：∵c2=32，d2=28，
则c2>d2，
∴c>d；
故答案为：>．
（2）解：猜想：m证明：∵m＝25+6，n＝23+14，
∴m2=(25+6)2=26+430， n2＝(23+14)2=26+442，
∵30<42，
∴m2∴m（3）解：∵(p−1−1)2=p−2p−1，(p−1+1)2=p+2p−1，
∴4p−8p−1+4p+8p−1
=2p−2p−1+2p+2p−1
=2p−1−1+2p−1+1
∵p−1≥0
∴p≥1，
分情况讨论：
①若p−1−1≤0，即1≤p≤2时，
原式=2(1−p−1)+2(p−1+1)，
=4；
②若p−1−1>0，即p>2时，
原式=2(p−1−1)+2(p−1+1)，
=4p−1
综合①②得：
当1≤p≤2时，原式=4；
当p>2时，原式=4p−1；
故答案为：4或4p−1．
【点睛】此题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论．
【变式10-2】（2023秋·四川成都·八年级校考期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如m±2n的化简，我们只要找到两个数a，b，使a+b=m，ab=n，即(a)2+(b)2=m，a⋅b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b(a>b>0).
例如化简：7+43
解：首先把7+43化为7+212，
这里m=7，n=12，
由于4+3=7，4×3=12，
所以(4)2+(3)2=7,4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3
（1）根据上述方法化简：4+23
（2）根据上述方法化简：13−242
（3）根据上述方法化简：4−15
答案:（1）3+1；（2）7−6；（3）102−62
分析：根据题意把题目中的无理式转化成m±2n的形式，然后仿照题意化简即可．
【详解】解：（1）∵4+23，
∴m=4，n=3，
∵3+1=4，3×1=3，
∴32+12=4，3×1=3，
∴4+23=32+12+2×3×1=3+12=3+1；
（2）∵13−242，
∴m=13，n=42，
∵7+6=13，7×6=42，
∴72+62=13，7×6=42，
∴13−242=72+62−2×7×6=7−62=7−6．
（3）∵4−15=128−215=228−215，
∴m=8，n=15，
∵3+5=8，3×5=15，
∴32+52=8，3×5=15，
∴4−15=1232+52−2×3×5=225−32=102−62．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键．
【变式10-3】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3+55−3−55
设x=3+55−3−55，
易知3+55>3−55
故x>0，由x2=(3+55−3−55)2
=3+5+3−5−2(3+55)(3−55)
=2
解得x=2，即3+55−3−55=2．
根据以上方法，化简3−23+2+6−33−6+33
答案:5−36
分析：由常见的分母有理化利用平方差公式化解3−23+2，由题提供的方式化解6−33−6+33，之后再整理即可得．
【详解】解：设x=6−33−6+33，易知6+33>6−33
∴x<0
∴x2=6−33−2(6−33)(6+33)+6+33
∴x2=12−2×3=6
∴x=−6
∵3−23+2=3−223−2=5−26
∴原式=5−26−6=5−36
【点睛】本题考察了分母有理化以及提取题干信息的能力；关键在于要会用平方差公式进行分母有理化，读懂题干，能用完全平方差公式进行有理化．
【考点11 二次根式的混合运算】
【例11】（2023·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级阶段练习）计算：
(1)12−613+48；
(2)3+23−2+1−32．
答案:(1)43
(2)3−2
分析：（1）把每个二次根式化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式和二次根式的性质化简即可求解．
（1）
12−613+48
=23−6×33+43
=23−23+43
=43
（2）
3+23−2+1−32
=32−22+1−3
=3−4+3−1
=3−2
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质和乘方公式是解题的关键．
【变式11-1】（2023·山东·宁津县德清中学八年级期中）计算：
(1)2×(1−2)+8；
(2)(43+36)÷23；
(3)1232−275+0.5−3127；
(4)32−2332+23．
答案:(1)2
(2)2+322
(3)522−3133
(4)6
分析：（1）根据二次根式的性质和实数的混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（4）利用平方差公式求解即可．
（1）
解：原式=2−22+22
=2；
（2）
解：原式=43÷23+36÷23
=2+322；
（3）
解：原式=22−103+22−33
=522−3133；
（4）
解：原式=322−232
=18−12
=6．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，二次根式的性质化简，实数的混合计算，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式11-2】（2023·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学八年级期中）计算：
(1)(13)−1−18×−2−3−2．
(2)(318+1672−418)÷32
答案:(1)7+3
(2)94．
分析：（1）先利用负整数指数幂、绝对值、二次根式的性质进行化简，然后再计算；
（2）分别化简二次根式，先计算括号内的，然后再计算即可．
（1）
解：(13)−1−18×−2−3−2
=3+18×2−(2−3)
=3+6−2+3
=7+3；
（2）
解：(318+1672−418)÷32
=(3×32+16×62−4×142)÷42
=(92+2−2)÷42
=92÷42
=94．
【点睛】本题考查了根据二次根式的性质化简，二次根式的除法运算，二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质并正确的计算是解题的关键．
【变式11-3】（2023·湖南·宁远县仁和镇中学九年级阶段练习）计算：
(1)40+82−45；
(2)2×6+9127−32÷2；
(3)7a+2a2x−5a4a−6ax9．
答案:(1)2−5
(2)532
(3)−3a
分析：（1）先计算二次根式的除法，再将每个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；
（2）利用二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后合并同类二次根式；
（3）先化为最简二次根式，分母有理化，再计算二次根式的加减法．
（1）
解：原式=20+4−35=25+2−35=2−5；
（2）
原式=23+9×39−32×12=23+3−32=532；
（3）
原式=7a+2ax−10a−2ax=−3a．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、最简二次根式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【考点12 二次根式的化简求值】
【例12】（2023·全国·八年级期中）已知a=3+1，求a+1a2−4a+1a+4的值.
答案:18−932
分析：经观察可得所求的式子满足完全平方公式，利用完全平方式可将所求的式子化为最简，代入a的值后可得结果．
【详解】a+1a2−4a+1a+4=a+1a−22=a2−2a+1a2=(a−1)2a2.
当a=3+1时，原式=(3+1−1)23+12=94+23=9(4−23)4=18−932.
【变式12-1】（2023·福建龙岩·八年级阶段练习）先化简，再求值：(a+b)2−(a−b)(a+b)，其中a＝3+2，b＝3−2．
答案:2ab+2b；27+6﹣22．
分析：先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并得到原式＝2ab+2b，接着计算ab的值，然后把ab和b的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝a+2ab+b﹣（a﹣b）
＝a+2ab+b﹣a+b
＝2ab+2b，
∵a＝3+2，b＝3−2，
∴ab＝9﹣2＝7，
∴原式＝27+2×（3−2）
＝27+6﹣22．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算以及化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．
【变式12-2】（2023·湖北·武汉市六中位育中学八年级阶段练习）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x=13，y=4．
答案:233
分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式=xy，然后把x、y的值代入计算．
【详解】解： ∵x>0，y>0
∴原式=5xy+xy−4xy−xy
=xy
当x=13，y=4时，原式=233
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值,熟练运算二次根式是解题关键．
【变式12-3】（2023·全国·八年级课时练习）已知y＝x−8＋8−x＋18，求代数式x+yx−y﹣2xyxy−yx的值为_____．
答案:-2
分析：首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值．
【详解】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，
解得，x＝8，则y＝18，
∵x＞0，y＞0，
∴原式＝x+yx−y﹣2xy⋅xyxy(x−y)
＝x+yx−y﹣2xyx−y
＝(x−y)2x−y
＝x﹣y
把x＝8， y＝18代入
原式＝8﹣18
＝22﹣32
＝-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．
【考点13 二次根式的应用】
【例13】（2023·山东·费县第二中学八年级期中）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．4−23cm2B．83−4cm2C．83−12cm2D．8cm2
答案:C
分析：欲求S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，进而解决此题．
【详解】解：如图：
由题意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，
∴HC=4cm，LM=LF=23cm．
∴S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF=HL•LF+MC•ME=HL•LF+MC•LF
=（HL+MC）•LF
=（HC-LM）•LF
=(4−23)×23
=(83−12)cm2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
【变式13-1】（2023·江西省于都中学八年级期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p＝a+b+c2，那么这个三角形的面积S＝p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S＝14a2b2−(a2+b2−c22)2．通过公式变形，可以发现它们实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．
问题：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海伦﹣秦九韶公式求△ABC的面积为 _____．
答案:66
分析：直接利用已知公式求出p的值，进而代入三角形面积公式中得出答案．
【详解】解：∵b=AC＝5，c=AB＝6，a=BC＝7，
∴p＝a+b+c2＝5+6+72＝9，
∴这个三角形的面积：
S＝p(p−a)(p−b)(p−c)
＝9×(9−5)×(9−6)×(9−7)
＝66．
故答案为：66．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，理解定义，正确化简二次根式是解题关键．
【变式13-2】（2023·江苏·扬州市江都区华君外国语学校八年级阶段练习）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
答案:（1）>，>，=；（2）m+n≥2mn(m≥0，n≥0)；（3）40米
分析：（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2mn；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
【详解】解：（1）∵4+3=7,24×3=43
∴72=49,(43)2=48
∵49>48
∴4+3>24×3
∵1+16=76>1,21×16=63<1
∴1+16>21×16
∵5+5=10,25×5=10,
∴5+5=25×5
故答案为：＞，＞，＝．
（2）m+n≥2mn理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵(m−n)2≥0
∴(m)2−2m⋅n+(n)2≥0
∴m−2mn+n≥0
∴m+n≥2mn
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：a+2b≥2a⋅2b=22ab=22×200=40．
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．
【变式13-3】（2023·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为(13+1)m，宽为(13−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
答案:(1)342m
(2)660
分析：（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
（1）
解：∵长方形的长BC为162m，宽AB为128m，
∴长方形ABCD的周长为：
2162+128
=292+82
=342m．
答：长方形ABCD的周长是342m．
（2）
由题意，知
162×128−13+1×13−1×5
=92×82−13−1×5
=144−12×5
=660（元）．
答：购买地砖需要花费660元．
【点睛】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
【考点14 二次根式中的新定义问题】
【例14】（2023·安徽合肥·八年级期中）我们规定用a,b表示-对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m,n与n,m称为数对a,b的一对“对称数对”，例如：4,1的一对“对称数对”为12,1与1,12．
(1)数对25,4的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对x,2的一对“对称数对”的一个数对是2,1，求x的值；
(3)若数对a,b的一对“对称数对”的一个数对是3,33，求ab的值．
答案:(1)15,2；2,15.
(2)x=1
(3)9或19
分析：（1）根据题意将a=25，b=4代入m=1a=2，n=b=1即可；
（2）由题m=1a，n=b，数对x,2的一对“对称数对”的一个数对是2,1和1,2，可得，1x=1即可得出x的值；
（3）将数对a,b的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出a，b，即可知ab．
（1）
解：由题意知：m=125=15，n=4=2，
∴数对25,4的一对“对称数对”是15,2和2,15．
（2）
解：∵数对x,2的一对“对称数对”是1x,2和2,1x，
∴1x=1，
∴x=1.
（3）
解：∵数对a,b的一对“对称数对”是1a,b和b,1a，
∴1a=3b=33或1a=33b=3.
∴a=13b=27或a=127b=3.
∴ab=9或19.
【点睛】本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题的关键．
【变式14-1】（2023·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：a∗b=3a−b2，例：2∗1=3×2−12=5．
(1)求2∗−2的值；
(2)若m=5−35+3，n=3−5，求m∗n的值．
答案:(1)4
(2)65−8
分析：（1）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，进行计算即可解答；
（2）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，得到m∗n=3m﹣n2，代入数值进行计算即可解答．
(1)
解：∵a∗b=3a−b2，
∴2∗−2
=3×2−−22
=6−2
=4
(2)
解：∵m=52−32=5−3=2，n=3−5，
∴m∗n=3m﹣n2
＝3×2−3−52
=6−9−65+5
=65−8
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解定义新运算a*b＝3a﹣b2是解题的关键．
【变式14-2】（2023·山东济宁·八年级期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与2是关于2的共轭二次根式，则a＝ ；
(2)若2+3与2+3m是关于1的共轭二次根式，求m的值．
答案:(1)2
(2)m=−1
分析：（1）根据共轭二次根式的定义可得2a=2，由此即可得；
（2）根据共轭二次根式的定义可得2+32+3m=1，化简求值即可得．
（1）
解：由题意得：2a=2，
解得a=2，
故答案为：2．
（2）
解：由题意得：2+32+3m=1，
两边同除以2+3得：2+3m=12+3，即2+3m=2−3，
解得m=−1．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的除法，理解共轭二次根式的定义是解题关键．
【变式14-3】（2023·福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）我们规定，若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5－2与y是关于1的平衡数，求x，y的值；
（2）若（m＋3）×（1－3）＝－2n＋3（3－1），判断m＋3与5n－3是否是关于1的平衡数，并说明理由．
答案:（1） －1，−3+2；（2）当m=−69−5333，n=27+333时，m+3与5n−3是关于1的平衡数，否则m+3与5n−3不是关于1的平衡数；见解析
分析：（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案；
（2）对式子进行化简，得到m，n的关系，再对m，n进行分情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：3+x=2，5−2+y=2
解得x=−1，y=2−3
故答案为−1，2−3
（2）m+31−3=−2n+33−1，
∴ m−m3+3−3=−2n+33−3，
∴ m−m3+3=−2n+33，
∴ m+2n−23−m3=0
①当m和n均为有理数时，
则有 m+2n =0 ， −m+2=0，
解得：m=−2 ， n=1，
当m=−2 ， n=1时，
m+3+5n−3=−2+3+5−3=3≠2
所以m+3与5n−3不是关于1的平衡数
②当m和n中一个为有理数，另一个为无理数时，
m+3+5n−3=m+5n，而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2，
所以m+3与5n−3不是关于1的平衡数
③当m和n均为无理数时，当m+5n=2时，联立m+2n−23−m3=0，解得
m=−69−5333，n=27+333
存在m=−69−5333，n=27+333使得m+3与5n−3是关于1的平衡数，
当m≠−69−5333且n≠27+333时，m+3与5n−3不是关于1的平衡数
综上可得：当m=−69−5333，n=27+333时，m+3与5n−3是关于1的平衡数，否则m+3与5n−3不是关于1的平衡数．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，并掌握分类讨论的思想．
【考点15 利用分母有理化求值】
【例15】（2023·山东·宗圣中学八年级阶段练习）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如23+1这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方法化简：
23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1．
(1)请用两种不同的方法化简17+6；
(2)选择合适的方法化简1n+n+1（n为正整数）；
(3)求11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+198+99+199+100的值．
答案:(1)7−6，过程见解析
(2)n+1−n
(3)9
分析：（1）仿照题意进行化简即可；
（2）仿照题意进行分母有理化即可；
（3）根据（2）的结论求解即可．
（1）
解：17+6=7−67+67−6=7−672−62=7−67−6=7−6；
17+6=7−67+6=72−627+6=7−67+67+6=7−6；
（2）
解：1n+n+1=n−n+1n+n+1n−n+1=n+n+1n2−n+12=n−n+1n−n+1=n−n+1n−n−1=n+1−n；
（3）
解：∵1n+n+1=n+1−n，
∴11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+198+99+199+100
=2−1+3−2+4−3+⋯+99−98+100−99
=100−1
=10−1
=9．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，实数运算相关的规律，正确理解题意熟知分母有理化的计算法则是解题的关键．
【变式15-1】（2023·江苏盐城·八年级期末）像(5+2) (5−2)=1，a•a＝a（a≥0），（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：5与5，2+1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：①323= ；
②15−3= ；
(2)计算：(12+1+13+2+14+3…+12022+2021）(2022+1)＝ ；
(3)已知a=2022−2021，b=2023−2022，试比较a、b的大小，并说明理由．
答案:(1)①32，②5+32
(2)2021
(3)a>b，理由见详解
分析：（1）①将二次根式分母有理化进行计算；②先确定分母有理化因式，然后进行计算；
（2）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解；
（3）通过比较a，b的倒数，然后进行a，b的大小比较．
（1）
①323=3323×3=32，
故答案为：32；
②15−3=5+3(5−3)(5+3)=5+32，
故答案为：5+32；
（2）
12+1+13+2+14+3+⋯+12022+20212022+1 =2−12+12−1+3−23+23−2+...+2022−20212022+20212022−2021⋅2022+1 =2−1+3−2+...+2022−20212022+1
=2022−12022+1
=2022−1
=2021，
故答案为：2021；
（3）
a>b，理由如下：
1a=12022−2021=2022+20212022+20212022−2021=2022+2021，
同理：1b=12023−2022=2023+2022，
∵2023+2022＞2022+2021，
∴1a<1b，
∴a>b．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键．
【变式15-2】（2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料，然后解答问题：
在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如：32，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：32=3×22×2=322；23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2×(3−1)(3)2−12=3−1．
以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．
(1)根据上面规律化简：15＝______；15−1＝______．
(2)化简下列各式
①5−12−25−1，
②8−22−28−2，
③13−32−213−3，
④20−42−220−4．
(3)用含n（n≥1的整数）的式子写出（2）中第n个式子，并化简．
答案:(1)55，5+14
(2)①-1；②-2；③-3；④-4
(3)﹣n
分析：（1）根据题目中的例子，可以求得所求式子的值；
（2）利用分母有理化的方法可以求得各小题中式子的值；
（3）根据（2）中的式子，可以发现每个式子第一个数的分子是n2+4−n，分母都是2，而第二个数和第一个数互为倒数，然后化简即可解答本题．
（1）
解：15=1×55×5=55；
15−1=5+1(5−1)×(5+1)=5+15−1=5+14；
故答案为：55；5+14；
（2）
解：①5−12−25−1
=5−12−2(5+1)(5−1)×(5+1)
=5−12−2(5+1)4
=5−12−5+12
=-1；
②8−22−28−2
=22−22−222−2
=2−1−12−1
=2−1−(2+1)
=2−1−2−1
=-2；
③13−32−213−3
=13−32−2(13+3)(13−3)×(13+3)
=13−32−2(13+3)4
=13−32−13+32
=-3；
④20−42−220−4
=25−42−225−4
=5−2−15−2
=5−2−(5+2)
=5−2−5−2
=-4；
（3）
解：由（2）可得，
第n个式子是n2+4−n2−2n2+4−n，
n2+4−n2−2n2+4−n
=n2+4−n2−2(n2+4+n)(n2+4−n)(n2+4+n)
=n2+4−n2−2(n2+4+n)n2+4−n2
=n2+4−n2−n2+4+n2
=n2+4−n−n2+4−n2
=-n．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类、平方差公式、分母有理数，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
【变式15-3】（2023·全国·八年级单元测试）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 23+1= 2(3−1)(3+1)(3−1)= 2(3−1)(3)2−1= 2(3−1)2= 3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab  3 ，求 a2  b2 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则 a 2  b2  (a  b)2  2ab  x2 2y  4 610．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：13+1+ 15+3+ 17+5+ ...+12019+2017；
（2）已知 m 是正整数， a m+1−mm+1+m，b m+1+mm+1−m且 2a2 1823ab  2b2  2019 ．求 m．
（3）已知15+x2−26−x2=1，则15+x2+26−x2的值为
答案:（1）2019−12；（2）2；（3）9
分析：（1）先将式子的每一项进行分母有理化，再计算即可；
（2）先求出a+b,ab的值，再用换元法计算求解即可；
（3）先利用15+x2−26−x2=1计算得出15+x2⋅26−x2的值，再对15+x2+26−x2进行变形求解即可；
【详解】解：（1）原式=3−12+5−32+7−52+⋯+2019−20172
=3−1+5−3+7−5+⋯+2019−20172=2019−12，
（2）∵a m+1−mm+1+m，b m+1+mm+1−m，
∴a+b=(m+1−m)2+(m+1+m)2(m+1+m)(m+1−m)=2(2m+1),ab=1，
∵2a2 1823ab  2b2 2019，
∴2(a2+b2)+1823=2019，
∴a2+b2=98，
∴4(2m+1)2=100，
∴2m=±5−1，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由15+x2−26−x2=1得出(15+x2−26−x2)2=1，
∴15+x2⋅26−x2=20，
∵(15+x2+26−x2)2=(15+x2−26−x2)2+415+x2⋅26−x2=81，
∵15+x2≥0,26−x2≥0，
∴15+x2+26−x2=9．
【点睛】本题考查的知识点是分母有理化以及利用换元思想求解，解此题的关键是读懂题意．理解分母有理化的方法以及利用换元方法解题的方法．
【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】
【例16】（2023·四川·乐山外国语学校九年级阶段练习）阅读下列短文，回答有关问题：
在实数这章中，遇到过2、3;9;12;a；这样的式子，我们把这样的式子叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数．如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开的尽方，可以利用a⋅b=a⋅b或者ab=ab将这些因数开出来，从而将二次根式化简．当一个二次根式的被开方数中不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分数时，这样的二次根式叫做最简二次根式，例如，13化成最简二次根式是33，27化成最简二次根式是33．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如上面的例子就是同类二次根式．
(1)请判断下列各式中，哪些是同类二次根式？2;75;18;150;127;3；
(2)二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并，请计算：2+75−18−150+127−3．
答案:(1)2、18、150是同类二次根式；75、127、3是同类二次根式(2)−21210+3739
分析：（1）先将二次根式化简，后根据同类二次根式的定义，被开方数相同即可判断；
（2）先化简二次根式，后合并最简二次根式即可．
【详解】(1)75=53，18=32，150=210，127=39，
∴2、18、150是同类二次根式；75、127、3是同类二次根式；
(2)原式=2+53−32−210+39−3，
=−21210+3739．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念及二次根式的加减法，属于基础题，注意掌握同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
【变式16-1】（2023·全国·八年级专题练习）阅读理解：
设m，n是有理数，且满m+5n=2−35，求nm的值．
解：由题意，移项得：m−2+n+35=0，
∵m，n是有理数
∴m－2，n＋3也是有理数，
又∵5是无理数，
∴m−2=0,n+3=0，∴m＝2，n＝－3，
∴nm=−32=9．
问题解决：
设a，b都是有理数，且a2+b2=16+52，求2a−5b的值．
答案:－21
分析：已知等式变形后，根据a与b为有理数，确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意，移项得：a2−16+b−52=0，
∵a，b都是有理数，
∴a2−16，b−5也是有理数，
又∵2是无理数，
∴a2−16=0，b−5=0，
∴a=4或a=−4（舍），b=5．
∵2a−5b=24−5×5=2×2−25=−21．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式16-2】（2023·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）请阅读下列材料：
现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x>0)；依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=5，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分制线，拼接出如图3所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．

(1)请计算出新正方形的边长；
(2)要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）
答案:(1)x=10
(2)详见解析
分析：（1）根据图4的边长求出矩形的面积．然后再求出正方形的边长；
（2）根据勾股定理画出分割线，然后根据网格画出图形．
（1）
解：设新正方形的边长为10，由题意得
x2=10
解得x=10．
（2）
所画图形如图所示：
【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，关键是根据图形面积计算出正方形的边长．
【变式16-3】（2023·河南商丘·八年级期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为整数），
则有a+b2=m2+2n2+2mn2．
∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=_________，b=_________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： ______+______3=(______+______3)2；
(3)若a+43=m+n32，且a、m、n均为正整数，求a的值？
答案:(1)m2+3n2；2mn
(2)4；2；1；1
(3)a=13或者a=7
分析：（1）根据小明的方法，将(m+n3)2按照完全平方公式展开，得到m2+2mn3+3n2，再和a+b3的系数进行对比，即可求出a和b的值；
（2）任意找出一组m和n的值，预设m=1，n=1代入（1）中探索的结论中即可求出a和b的值；
（3）若要求a、m、n的值，需要先求出m、n的值，根据题意可知b=2mn=4，进而得出mn=2，再结合m、n均为正整数即可求出m、n的值，然后根据a=m2+3n2分类讨论即可求出a的值．
（1）
解：若a+b3=(m+n3)2，则有a+b3=m2+3n2+2mn3，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：m2+3n2；2mn；
（2）
令m=1，n=1，
由（1）可知，a=m2+3n2=1+3=4,b=2×1×1=2
故答案为：4；2；1；1（答案不唯一）
（3）
由（1）可知，a=m2+3n2，b=2mn=4，
∴mn=42=2
而a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=2或者m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=m2+3n2=1+3×22=13；
当m=2，n=1时，a=m2+3n2=22+3×1=7．
综上，a=13或者a=7．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的应用，分类讨论思想是本题的关键．第一行
1
2
第二行
3
2
5
6
第三行
7
22
3
10
11
23
第四行
13
14
15
4
17
32
19
25
……