苏科版八年级数学下册专题13.9期末复习之选填压轴题专项训练(苏科版)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册专题13.9期末复习之选填压轴题专项训练(苏科版)(原卷版+解析)，共45页。

考点1
中心对称图形—平行四边形选填期末真题压轴题
1．（2023春·江苏·八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长AB=5，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为（ ）
A．1+2B．5+12C．1D．2
2．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）如图，直线l交正方形ABCD的对边AD、BC于点P、Q，正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，点H在CD边上，点A在边FE上，BC、.HG交于点M，AB、FG交于点N．以下结论错误的是（ ）
A．EA+NG=ANB．△GQM的周长等于线段CH的长
C．△BQN的周长等于线段CM的长D．△FNA的周长等于2DH+2HC
3．（2023春·江苏·八年级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB=AE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G．点H在AD上，且EH∥AF．若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE=OG；②EH=BE；③AH=22−2；④AG·AF=22．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期末）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，分别连接A′B，D′B，则A′B+D′B的最小值为( )
A．43B．23C．46D．26
5．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在正方形ABCD内有一点F，连接AF，CF，有AF=AB，若∠BAF的角平分线交BC于点E，若E为BC中点，CF=3，则AD的长为（ ）
A．33B．6C．35D．5
6．（2023秋·江苏南京·八年级校考期末）如图，在正方形ABCD所在平面内求一点P，使点P与正方形ABCD的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAD，△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）．
A．8个B．9个C．10个D．11个
7．（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、F为AB、BC边上的动点，以EF为斜边作等腰直角△GEF（其中EG=FG，∠EGF=90°），连接CG、DG，则CG+DG的最小值为__________________________．
8．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，AB=13cm．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得△DEC，直线AD、EB相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为________cm．
9．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，分别连接A′B，D′B，则A′B+D′B的最小值为__________．
10．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，点E是CD上的一点，过点E作EF⊥BE，交AD于点F，作点D关于EF的对称点G，依次连接BG、EG、FG．已知AB=16，BC=12，且当△BEG是以BE为腰的等腰三角形时，则CE的值为 ___________．
考点2
分式选填期末真题压轴题
1．（2023春·江苏·八年级期末）若关于x的分式方程x−a3x−6+x+1x−2=1的解为非负数，且关于y的不等式组y+6≤2(y+2)3y−a3<1有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．19B．22C．30D．33
2．（2023春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校联考期末）一项工程，甲单独做要x天完成，乙单独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ）
A．xyx+yB．x+y2C．x+yxyD．x+y
3．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如图，若a=−3b，则表示a2−aba2−b2的值的点落在（ ）
A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段
4．（2023春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期末）若关于x的不等式组3x−12>1a+5x3≤8恰有3个整数解，且关于y的分式方程a−32−y+1y−2=−2有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．6B．10C．8D．2
5．（2023春·江苏南京·八年级南京玄武外国语学校校联考期末）已x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，则A+2B+3C的值是__________．
6．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）要使关于x的方程x+1x+2−xx−1=a(x+2)(x−1)的解是正数，a的取值范围是___．.
7．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）若关于x的分式方程3x−mx−1=2的解是正数，则m的取值范围为_______.
8．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期末）已知关于x的方程mxx−8=4m+xx−8的解是正整数，则正整数m的值是______．
9．（2023春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期末）已知实数a、b、c满足a+b+c=0，则代数式：2a1b+1c+b2c+2a+2c1a+1b的值为__．
考点3
反比例函数选填期末真题压轴题
1．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，反比例函数y=kxx>0的图象经过点E，若OA=5，OC=3，则k值是（ ）
A．454B．15C．152D．12
2．（2023春·江苏·八年级期末）如图，点A是反比例函数y=4x图像上的一动点，连接AO并延长交图像的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C(m,n)，使得AC⊥BC，AC=BC，则m，n满足（ ）
A．mn=−2B．mn=−4C．n=−2mD．n=−4m
3．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，2），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y=15x上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（ ）
A．245B．236C．437D．214
4．（2023春·江苏苏州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE、BE，若AD平分∠OAE，反比例函数y=kxk<0,x<0的图像经过AE上的点A、F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．−6B．−12C．−18D．−24
5．（2023春·江苏苏州·八年级校联考期末）两个反比例函数y=3x，y=6x在第一象限内的图像如图所示，点P1、P2、P3……P2020反比例函数y=6x图像上，它们的横坐标分别是x1、x2、x3……x2020，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点P1、P2、P3……P2020分别作y轴的平行线，与反比例函数y=3x的图像交点依次是Qx1,y1、Qx2,y2、Qx3,y3……Qx2020,y2020，则y2020等于（ ）
A．2019.5B．2020.5C．2019D．4039
6．（2023春·江苏·八年级期末）2021年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线y=x−2，双曲线y=3x，点A11,−1，我们从A1点出发构造无穷点列A2x2,y2，A3x3,y3…构造规则为：若点Anxn,yn在直线y=x−2上，那么下一个点An+1xn+1,yn+1就在双曲线y=3x上，且xn+1=xn；若点Anxn,yn在双曲线y=3x上，那么下一个点An+1xn+1,yn+1就在直线y=x−2上，且yn+1=yn，根据规则，点A3的坐标为____．无限进行下去，无限接近的点的坐标____．
7．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，已知一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=kx的图像交于A(3,a),B(14−2a,2)两点．点C是x轴上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形ACBD是以AB为对角线的菱形，则点C的坐标为__________．
8．（2023春·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校联考期末）如图，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，OA=5，反比例函数y=mxx>0的图像经过点C1,4．过AB的中点D作DP∥x轴交反比例函数图像于点P，连接CP，OP，△COP的面积为______．
9．（2023春·江苏·八年级期末）如图，正比例函数y1=3x与反比例函数y2=kx(x>0)的图像交于点A，另有一次函数y=−3x+b与y1、y2图像分别交于B、C两点（点C在直线OA的上方），且OB2−BC2=163，则k=__________．
10．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如图，点A，B在反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图像上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x 轴于点D，BE⊥y轴于点E，连接AE，若OE=1，OC=34OD，AC=AE，则k的值为___．
考点4
二次根式选填期末真题压轴题
1．（2023春·江苏·八年级期末）已知m、n是正整数，若2m+5n是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
2．（2023春·江苏·八年级期末）已知x=2−3,y=2+3，则代数式x2+2xy+y2+x−y−4的值为（ ）
A．32B．34C．3−1D．5−12
3．（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD=8，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（2023秋·江苏南通·八年级校考期末）阅读理解:对于任意正整数a，b，∵a−b2≥0，∴a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2ab.若m>1，m+1m−1有最小值为__________．
5．（2023春·江苏·八年级期末）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足a＜m＜b（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为a，b．例： 2＜5＜3，所以5的“神奇区间”为2，3．若某一无理数的“神奇区间”为a，b，且满足6＜a+b≤16，其中x=b， y=a是关于x、y的二元一次方程组bx+ay=p的一组正整数解，则p=__．
6．（2023春·江苏·八年级期末）设x=t+1−tt+1+t，y=t+1+tt+1−t，当t为___________时，代数式20x2+62xy+20y2=2022．
7．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）已知m为正整数，若189m是整数，则根据189m=3×3×3×7m=33×7m可知m有最小值3×7=21．设n为正整数，若200n是大于1的整数，则n的最小值为______．
8．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若a+42=(m+n2)2，当a,m,n均为正整数时，则a的值为_____．
9．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）已知m是2的小数部分，求m2+1m2-2＝ ___________．
专题13.9 期末复习之选填压轴题专项训练
【苏科版】
考点1
中心对称图形—平行四边形选填期末真题压轴题
1．（2023春·江苏·八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长AB=5，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为（ ）
A．1+2B．5+12C．1D．2
答案:A
分析：连接AC，交BD于点O，连接ON，易得ON是△BDM的中位线，得到ON∥BM，取OD的中点E，连接CE,NE，得到CN≤CE+NE，得到当C,N,E三点共线时，CN最长，进行求解即可．
【详解】解：连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长AB=5，
∴AC⊥BD，OD=12BD=2，CD=5，
∴OC=CD2−OC2=1，
∵N为MD中点，
∴ON∥BM，
∵BM⊥DM，
∴ON⊥DM，
∴∠OND=90°，
取OD的中点E，连接CE,NE，
则：OE=12OD=1,CE=OC2+OE2=2,NE=12OD=1，
∵CN≤CE+NE，
∴当C,N,E三点共线时，CN的长度最大为CE+NE=1+2；
故选A．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键．
2．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）如图，直线l交正方形ABCD的对边AD、BC于点P、Q，正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，点H在CD边上，点A在边FE上，BC、.HG交于点M，AB、FG交于点N．以下结论错误的是（ ）
A．EA+NG=ANB．△GQM的周长等于线段CH的长
C．△BQN的周长等于线段CM的长D．△FNA的周长等于2DH+2HC
答案:C
分析：过点A作AK垂直于HG，垂足为K，连接AH，AM，HB，KF，根据两正方形关于直线l对称，可得Rt△ADH≌Rt△AKH，Rt△AKM≌Rt△ABM,，再根据边的转化即可证明A选项不符合题意；根据对称可得QG=QB，将△GQM的周长表示出来，在通过边的转化即可证明B选项不符合题意；根据对称可得Rt△GQM≌Rt△BQN，即可证明C选项符合题意；根据对称，可得Rt△HCM≌Rt△AFN，将△HCM周长表示出来，再根据边的转化即可证明D选项不符合题意．
【详解】如图，过点A作AK垂直于HG，垂足为K，连接AH，AM，HB，KF，则AK=EH，
∵正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，
∴EP=DP,AP=HP，
∴EH=AD，
∴AK=AD．
在Rt△ADH和Rt△AKH中，
∵AD=AKAH=AH，
∴Rt△ADH≌Rt△AKH，
∴.DH=HK，
同理可证：Rt△AKM≌Rt△ABM，
∴KM=BM，
∵正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，
∴EA=DH,NG=BM,HM=AN，
∴EA+NG=DH+BM=HK+KM=HM=AN，故A选项不符合题意；
∵正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，
∴QG=QB,，
∴C△GQM=MQ+QG+MG=MQ+QB+MG
=BM+GM=KM+MG=KG，
∵KG=HG−HK=DC−DH=CH，
∴C△GQM=CH，故B选项不符合题意；
∵正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，
∴Rt△GQM≌Rt△BQN，
∴CΔBQN=CΔGQM=CH≠CM，故C选项符合题意；
∵正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，
∴Rt△HCM≌Rt△AFN，
∵BM=KM，
∴CM=HK+MG，
∴C△HCM=C△AFN
=CM+CH+HM
=HK+MG+CH+HG−MG
=HK+CH+HG
=DH+CH+DC
=2(DH+CH)，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
3．（2023春·江苏·八年级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB=AE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G．点H在AD上，且EH∥AF．若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE=OG；②EH=BE；③AH=22−2；④AG·AF=22．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:D
分析：①根据正方形性质得出AC⊥BD，OA=OB，求出∠FAO=∠OBE，根据ASA推出ΔAGO≌ΔBEO，可得结论正确；
②作辅助线，证明ΔBNE≌ΔEMH(ASA)，可得EH=BE正确；
③证明ΔBCE≌ΔEAH(SAS)，可得AH=CE=22−2，结论正确；
④利用面积法列式，可得结论正确．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∴∠AOG=∠BOE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠BFG=90°，
∴∠OBE+∠BGF=90°，∠FAO+∠AGO=90°，
∵∠AGO=∠BGF，
∴∠FAO=∠EBO，
在ΔAGO和ΔBEO中，∠FAO=∠EBO∠AOG=∠BOEAO=BO，
∴ΔAGO≌ΔBEO(ASA)，
∴OE=OG．
故①正确；
②∵EH∥AF，AF⊥BE，
∴EH⊥BE，
∴∠BEH=90°，
如图1，过E作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则MN⊥AD，MN⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠EAM=45°，
∴ΔENC是等腰直角三角形，
∴EN=CN=DM，
∵AD=BC，
∴AM=EM=BN，
∵∠NBE+∠BEN=∠BEN+∠HEM=90°，
∴∠NBE=∠HEM，
∴ΔBNE≌ΔEMH(ASA)，
∴EH=BE，
故②正确；
③如图2，RtΔABC中，AB=BC=2，
∴AC=22，
∵AB=AE，
∴EC=AC−AE=22−2，∠AEB=∠ABE，
∴∠EBC=∠AEH，
由②知：EH=BE，
∴ΔBCE≌ΔEAH(SAS)，
∴AH=CE=22−2；
故③正确；
④如图2，SΔABE=12AE·OB=12BE·AF，
∵BE=AG，
∴AF·AG=AE·OB=22，
故④正确；
本题正确的有：①②③④，4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，直角三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．
4．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期末）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，分别连接A′B，D′B，则A′B+D′B的最小值为( )
A．43B．23C．46D．26
答案:A
分析：根据菱形的性质得到AB=4，∠ABC=120°，得出∠BAC=30°，根据平移的性质得到A′D′ =AD=4，A′D′ ∥ AD，推出四边形A′BCD′是平行四边形，得到A′B=D′C，于是得到A′B+BD′的最小值=CD′+BD′的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，则BE的长度即为A′B+D′B的最小值，求得CE=CB，得到∠E=∠CBE=30°，于是得到结论．
【详解】解：∵在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴AB=CD=4，∠BAC=∠DAC=30°，
∵将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，
∴ A′D′ =AD=4，A′D′ ∥ AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADC=120°，
∴ A′D′=CB，A′D′∥CB，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
∴ A′B=D′C，
∴ A′B+D′B的最小值=CD′+BD′的最小值，
∵点D′在过点D且平行于AC的定直线上，
∴作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，
则BE的长度即为A′B+D′B的最小值，
在Rt△CHD中，∵ ∠D′DC=∠ACD=30°，CD=4，
∴CH=EH= 12 CD=2，
∴CE=4，
∴CE=CB，
∵∠ECB= ∠ECA′ +∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠E=∠CBE=30°，
∴BE= 2×32CD=43．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
5．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在正方形ABCD内有一点F，连接AF，CF，有AF=AB，若∠BAF的角平分线交BC于点E，若E为BC中点，CF=3，则AD的长为（ ）
A．33B．6C．35D．5
答案:C
分析：连接EF，过点E作EH⊥FC于点H，过点F作FG⊥AE于点G．设正方形的边长AD=2x，通过证明△ABE≌△AFE．得到△AFE各边与正方形边长的关系，再利用面积法把FG用含x的代数式表示出来，通过角相等证明FC∥AE，从而得到EH=FG，在Rt△EHC中利用勾股定理求出x的值，从而求出AD的长．
【详解】解：设AD的长为2x，连接EF，过点E作EH⊥FC于点H，过点F作FG⊥AE于点G．如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=2x．
∵E为BC的中点，
∴BE=EC=x．
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AF=AB=2x,AE=AE，
∴△BAE≌△FAESAS．
∴EF=EB=x，∠AFE=∠B=90°，∠AEB=∠AEF．
∴EF=EC．
∴∠ECF=∠EFC．
∵∠ECF+∠EFC+∠CEF=180°，∠AEB+∠AEF+∠CEF=180°．
∴∠ECF=∠AEB．
∴FC∥AE．
∵EH⊥FC，FG⊥AE．
∴EH=FG，
在Rt△AEF中，AE=AF2+EF2=2x2+x2=5x，
∵S△AEF=12AF⋅EF=12AE⋅FG
∴FG=AF⋅EFAE=25x5，
∴EH=25x5，
在Rt△EHC中，HC=12FC=32,EC=x，
∵EC2=HC2+EH2，
∴x2=322+25x52，解得：x=352，
∴AD=2x=35．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理的应用，本题是一道综合性很强的题目，难度比较大，解题时注意灵活运用正方形的性质、三角形全等的性质．
6．（2023秋·江苏南京·八年级校考期末）如图，在正方形ABCD所在平面内求一点P，使点P与正方形ABCD的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAD，△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）．
A．8个B．9个C．10个D．11个
答案:B
分析：作AD,BC,AB,CD的中垂线，则中垂线上的点到线段两端点的距离相等，分别以A,C为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，根据半径都相等，8个交点的位置都满足△PAB，△PBC，△PAD，△PCD均是等腰三角形，再加上两条中垂线的交点，也满足△PAB，△PBC，△PAD，△PCD均是等腰三角形，共有9个点．
【详解】解：如图，作AD,BC,AB,CD的中垂线，
①分别以A,C为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，
根据中垂线的性质以及圆内半径相等，8个交点的位置都满足△PAB，△PBC，△PAD，△PCD均是等腰三角形；
②两条中垂线的交点，也满足△PAB，△PBC，△PAD，△PCD均是等腰三角形；
∴满足条件的所有点P的个数为：4+4+1=9；
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的判定，中垂线的性质．熟练掌握相关性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
7．（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、F为AB、BC边上的动点，以EF为斜边作等腰直角△GEF（其中EG=FG，∠EGF=90°），连接CG、DG，则CG+DG的最小值为__________________________．
答案:17
分析：过点G作GM⊥AB，GN⊥BC，可证得△MGE≌△NGFAAS，进而证得点G在∠ABC的角平分线BP上，在BA的延长线上取点Q，使得BQ=BC=4，可得QD=17，可证得△QBG≌△CBGSAS，可得CG=QG，可知CG+DG=QG+DG≥QD=17，当Q、G、D在同一直线上时去等号，进而可知CG+DG的最小值为17．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=4，
过点G作GM⊥AB，GN⊥BC，则四边形MBNG是矩形，
∴∠MGN=90°，∠GME=∠GNF=90°，
∵EG=FG，∠EGF=90°，则∠MGE+∠EGN=∠NGF+∠EGN=90°，
∴∠MGE=∠NGF，
∴△MGE≌△NGFAAS，
∴GM=GN，
∴点G在∠ABC的角平分线BP上，
∴∠ABG=∠CBG，
在BA的延长线上取点Q，使得BQ=BC=4，则AQ=1，
则QD=AQ2+AD2=17
∵BG=BG，
∴△QBG≌△CBGSAS，
∴CG=QG，
则CG+DG=QG+DG≥QD=17，当Q、G、D在同一直线上时去等号，
即：CG+DG的最小值为17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
8．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，AB=13cm．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得△DEC，直线AD、EB相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为________cm．
答案:9
分析：取AB的中点H，连接HG，HF，由旋转的性质易得∠BFA=90°，由三角形中位线定理及直角三角形斜边上中线的性质可求得HG、HF的长，则由FG≤HF+HG可求得GF的最大值．
【详解】解：取AB的中点H，连接HG，HF，如下图，
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴CE=CB，CD=CA，∠BCE=∠ACD，
设∠BCE=∠ACD=α，则∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°−12α，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90°−α，∠CDF=∠CBF=180°−(90°−12α)=90°+12α，
在四边形BCDF中，∠BFA=360°−∠BCD−∠CDF−∠CBF=360°−(90°−α)−2(90°+12α)=90°，
∵在Rt△ABC，AC=5cm，AB=13cm，
∴由勾股定理可得BC=AB2−AC2=12cm，
∵在Rt△ABF中，点H为AB的中点，
∴HF=12AB=132cm，
∵点H为AB的中点，点G为BC的中点，
∴HG=12AC=52cm，
∵FG≤HF+HG=132+52=9cm，
∴当F、H、G三点共线时，FG最大，最大值为HF+HG=9cm．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理、中位线定理等知识，构建以FG为边的三角形，根据三角形三边关系得出FG的长度范围是解题的关键．
9．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，分别连接A′B，D′B，则A′B+D′B的最小值为__________．
答案:43
分析：根据菱形的性质得到AB=CD=4，∠ABC=120°，得出∠BAC=30°，根据平移的性质得到A′D′=AD=4，A′D′∥AD，推出四边形A′BCD′是平行四边形，得到A′B=D′C，于是得到A′B+D′B的最小值为BD′+CD′的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，则BE的长度即为A′B+D′B的最小值，求得CE=CB，得到∠E=∠BCE=30°，于是得到结论．
【详解】解：在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴AB=CD=4，∠ACB=∠DAC=30°，
将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，
∴A′D′=AD=4，A′D′∥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADC=120°，
∴A′D′=CB，A′D′∥CB，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B=D′C，
∴A′B+BD′的最小值=BD′+CD′的最小值，
∵点D′在过点D且平行于AC的定直线上，
∴作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，
则BE的长度即为BD′+BA′的最小值，
在Rt△CHD中，∠D′DC=∠ACD=30°，AD=4，
∴CH=EH=12AD=2，
∴CE=4，
∴CE=CB，
∵∠ECB=∠ECA′+∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠E=∠BCE=30°，
∴BE=2×32CD=43．
故答案为：43．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
10．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，点E是CD上的一点，过点E作EF⊥BE，交AD于点F，作点D关于EF的对称点G，依次连接BG、EG、FG．已知AB=16，BC=12，且当△BEG是以BE为腰的等腰三角形时，则CE的值为 ___________．
答案:72或163
分析：①当BE=GE时，△BEG是以BE为腰的等腰三角形，设DE=x，则DE=GE=BE=x，CE=16−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理，可列出方程求出x的值，进而可得CE的值；②当BE=BG时，△BEG是以BE为腰的等腰三角形，过点B做BH⊥GE，证明△CEB≅△EHB，CE=HE，再列方程求解即可．
【详解】解：①当BE=GE时，△BEG是以BE为腰的等腰三角形，
在矩形ABCD中，∵D关于EF的对称点G，
∴DE=GE，
∵△BEG是以BE为腰的等腰三角形，
∴GE=BE，
∴DE=GE=BC，
设DE=x，则BE=DE=x，CE=16−x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，即：122+16−x2=x2，解得：x=252，
∴CE=16−x=16−252=72；
②当BE=BG时，△BEG是以BE为腰的等腰三角形，
如图1，过点B做BH⊥GE，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ECB=90°，AB=CD=16，
∴∠CEB+∠CBE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠DEF+∠CEB=90°，
∴∠DEF=∠CBE，
∵点D关于EF的对称点G，
∴△EDF≅△EGF，
∴DE=EG，∠DEF=∠GEF，
∵EF⊥BE，HB⊥GE，
∴∠GEF+∠HEB=90°，∠HBE+∠HEB=90°，
∴∠GEF=∠HBE，
∵∠DEF=∠CBE，∠GEF=∠HBE，∠DEF=∠GEF，
∴∠CBE=∠HBE，
∵∠ECB=90°，HB⊥GE，
∴∠ECB=∠EHB=90°，
在△CEB和△EHB中，
∠CBE=∠HBEEB=EB∠ECB=∠EHB，
∴△CEB≅△EHBASA，
∴HB=BC=12，HE=EC，
设CE=x，则DE=CD−CE=16−x，
∵DE=GE，BE=BG，HB⊥GE，
∴HE=12GE=12DE=1216−x，
∵HE=CE，
∴1216−x=x，解得：x=163，
∴CE=163，
综上所述，当△BEG是以BE为腰的等腰三角形时，则CE的值为72或163．
故答案为：72或163．
【点睛】本题考查了矩形、等腰三角形、轴对称的性质，根据勾股定理巧妙设方程求解是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
考点2
分式选填期末真题压轴题
1．（2023春·江苏·八年级期末）若关于x的分式方程x−a3x−6+x+1x−2=1的解为非负数，且关于y的不等式组y+6≤2(y+2)3y−a3<1有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．19B．22C．30D．33
答案:B
分析：先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的整数解．
【详解】解：解分式方程可得：x=a−9，且x=a−9≠2
∵解为非负数，
∴得：a−9≥0，即a≥9且a≠11，
解不等式组y+6≤2(y+2)①3y−a3<1②，
解不等式①得：y≥2，
解不等式②得：y＜a3+1，
∴不等式组的解集为：2≤y＜a3+1，
∵有3个整数解，
∴y=2，3，4，即4＜a3+1≤5
利用不等式性质，将其两边先同时减1，再乘以3，可得9＜a≤12，
综上所述：a的整数值可以取10、12，
∴其和为22，
故选：B
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键．
2．（2023春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校联考期末）一项工程，甲单独做要x天完成，乙单独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ）
A．xyx+yB．x+y2C．x+yxyD．x+y
答案:A
【详解】∵工作量=工作效率×工作时间，把总工作量看作单位“1”，
∴甲的工作效率为1x，乙的工作效率为1y，
∴甲乙合作完成工程需要：1÷（1x+1y）=xyx+y．
故选：Ａ．
3．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如图，若a=−3b，则表示a2−aba2−b2的值的点落在（ ）
A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段
答案:D
分析：将a=−3b代入a2−aba2−b2化简求值，再根据数轴的性质即可得．
【详解】解：∵a=−3b，
∴a2−aba2−b2=−3b2−−3b⋅b−3b2−b2=9b2+3b29b2−b2=12b28b2=32，
∵1<32<2，
∴表示a2−aba2−b2的值的点落在第④段，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值、数轴，正确求出分式的值是解题关键．
4．（2023春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期末）若关于x的不等式组3x−12>1a+5x3≤8恰有3个整数解，且关于y的分式方程a−32−y+1y−2=−2有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．6B．10C．8D．2
答案:D
分析：分别解不等式组3x−12>1a+5x3≤8，的两个不等式，根据“该不等式组有且仅有3个整数解”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程a−32−y+1y−2=−2，结合“该分式方程有非负整数解”，得到a的值，即可得到答案．
【详解】解：解不等式3x−12>1得：x>1，
解不等式a+5x3≤8得：x≤24−a5，
∵该不等式组有且仅有3个整数解，
∴该不等式组的整数解为：2，3，4，
则4≤24−a5<5，
解得：−1解分式方程a−32−y+1y−2=−2得：y=a2且y≠2，
∵该分式方程有非负整数解，
∴a2≥0且a2≠2，
∴a≥0且a≠4的整数．
综上，a的取值范围为：0≤a<4的整数，
∴a=0，2,
∴符合条件的所有整数a的和为0+2=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式组的取值范围，分式方程的解，分式方程的非负整数与a的整数解容易混淆，仔细辩解是解决本题的关键．
5．（2023春·江苏南京·八年级南京玄武外国语学校校联考期末）已x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，则A+2B+3C的值是__________．
答案:4
分析：先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于A、B、C的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：∵ x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，
∴ x2+2x(x+1)(x+2)=A(x+1)(x+2)x(x+1)(x+2)+Bx(x+2)x(x+1)(x+2)+Cx(x+1)x(x+1)(x+2)，
∴ x2+2x(x+1)(x+2)=(A+B+C)x2+(3A+2B+C)x+2Ax(x+1)(x+2)，
∴ A+B+C=13A+2B+C=02A=2，
解得，A=1B=−3C=3，
∴A+2B+3C=1+2×(−3)+3×3=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于A、B、C的方程组是解题的关键．
6．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）要使关于x的方程x+1x+2−xx−1=a(x+2)(x−1)的解是正数，a的取值范围是___．.
答案:a<−1且a≠-3.
【详解】分析：解分式方程，用含a的式子表示x，由x＞0，求出a的范围，排除使分母为0的a的值.
详解：x＋1x＋2−xx−1＝ax＋2x−1，
去分母得，(x＋1)(x－1)－x(x＋2)＝a，
去括号得，x2－1－x2－2x＝a，
移项合并同类项得，－2x＝a＋1，
系数化为1得，x＝−a−12.
根据题意得，−a−12＞0，解得a＜－1.
当x＝1时，－2×1＝a＋1，解得a＝－3；
当x＝－2时，－2×(－2)＝a＋1，解得a＝3.
所以a的取值范围是a＜－1且a≠－3.
故答案为a＜－1且a≠－3.
点睛：本题考查了由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，这种问题的一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.
7．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）若关于x的分式方程3x−mx−1=2的解是正数，则m的取值范围为_______.
答案:m＞2且m≠3
【详解】解关于x的方程3x−mx−1=2得：x=m−2，
∵原方程的解是正数，
∴m−2>0m−2−1≠0 ，解得：m>2且m≠3.
故答案为m>2且m≠3.
点睛：关于x的方程3x−mx−1=2的解是正数，则字母“m”的取值需同时满足两个条件：（1）x=m−2不能是增根，即m−2−1≠0；（2）x=m−2>0.
8．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期末）已知关于x的方程mxx−8=4m+xx−8的解是正整数，则正整数m的值是______．
答案:5或3
分析：根据解方式方程的方法解出分式的解，再根据解是正整数，判断正整数m的值，由此即可求解．
【详解】解：mxx−8=4m+xx−8
移项，mxx−8−4m+xx−8=0
即，mx−4m−xx−8=0
(m−1)x−4mx−8=0
∴(m−1)x−4m=0x−8≠0，
∴x=4mm−1且x≠8，
∵解是正整数，
∴4mm−1>0，且x=4mm−1=4m−4+4m−1=4+4m−1，
∵m正整数，
∴m−1=1,2,4，即m=2,3,5，
此时x=8（舍去）或x=6或x=5，符合题意；
综上所述，正整数m的值是5或3．
【点睛】本题主要考查解分式方程，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
9．（2023春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期末）已知实数a、b、c满足a+b+c=0，则代数式：2a1b+1c+b2c+2a+2c1a+1b的值为__．
答案:−6
分析：根据分式的加减混合运算进行化简，然后将a+b+c=0代入原式即可求出答案．
【详解】解：2a1b+1c+b2c+2a+2c1a+1b
=2ab+2ac+2bc+2ba+2ca+2cb
=2a+2cb+2a+2bc+2b+2ca
=2a+cb+2a+bc+2b+ca
∵a+b+c=0，
∴a+cb=−1，a+bc=−1，b+ca=−1
∴原式=−2−2−2=−6，
故答案为：−6．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
考点3
反比例函数选填期末真题压轴题
1．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，反比例函数y=kxx>0的图象经过点E，若OA=5，OC=3，则k值是（ ）
A．454B．15C．152D．12
答案:A
分析：连接DE，交AB于F，先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，证出四边形AEBD是菱形，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；把点E坐标代入y=kx(x＞0)，求出k的值即可．
【详解】解：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，OA=5，OC=3，
∴DA=12AC，DB=12OB，AC=OB，AB=OC=3，
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=5，OC=3，
∴EF=DF=12OA=52，AF=12AB=32，5+52=152，
∴点E坐标为：（152，32）．
∵反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过点E，
∴k=152×32=454，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度．
2．（2023春·江苏·八年级期末）如图，点A是反比例函数y=4x图像上的一动点，连接AO并延长交图像的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C(m,n)，使得AC⊥BC，AC=BC，则m，n满足（ ）
A．mn=−2B．mn=−4C．n=−2mD．n=−4m
答案:B
分析：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质得出OC=OA，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出ΔAOE≅ΔCOF，根据全等三角形的性质，可得出A(−m,n)，进而得到−mn=4，进一步得到mn=−4．
【详解】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示：
∵由直线AB与反比例函数y=4x的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO，
又∵AC⊥BC，AC=BC，
∴CO⊥AB，CO=12AB=OA，
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴ΔAOE≅ΔCOF(AAS)，
∴OE=OF，AE=CF，
∵点C(m,n)，
∴CF=−m，OF=n，
∴AE=−m，OE=n，
∴A(n,−m)，
∵点A是反比例函数y=4x图像上，
∴−mn=4，即mn=−4，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点A的坐标．
3．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，2），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y=15x上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（ ）
A．245B．236C．437D．214
答案:C
分析：设点Dm,15m，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A作x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，可证得△DHA≌△CGD(AAS)、△ANB≌△DGC(AAS)得到：AN=DG=2=AH，而AH=−1−m=2，解得：m=−3，据此即可求解．
【详解】解：设点Dm,15m，
如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，
∵∠GDC+∠DCG=90°，∠GDC+∠HDA=90°，
∴∠HDA=∠GCD，
在△DHA和△CGD中，
∠HDA=∠GCD∠DHA=∠CGD=90°AD=DC ，
∴△DHA≌△CGD(AAS)，
∴HA=GD，DH=CG，
同理可证得△ANB≌△DGC(AAS)，
∴AN=DG=2=AH，则点Gm,15m−2G，CG=DH，
AH=−1−m=2，解得：m=−3，
故点G(−3,−7)，D(−3,−5)，H(−3,2)，
则点E−157,−7，GE=3−157=67，DH=5+2=7，
CE=CG−GE=DH−GE=7−67=437，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
4．（2023春·江苏苏州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE、BE，若AD平分∠OAE，反比例函数y=kxk<0,x<0的图像经过AE上的点A、F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．−6B．−12C．−18D．−24
答案:B
分析：连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOE＝9，可得S△FME＝3，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝12AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM，
∴ON•AN＝•OM•FM，
∴ON＝12OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝13OE，
∴S△FME＝13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOF＝9，
∴S△FME＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6，
12OM·MF=6，
∵点F在第二象限，
∴k＝-12．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，解题的关键是证明BD∥AE，利用等积法求出三角形面积．
5．（2023春·江苏苏州·八年级校联考期末）两个反比例函数y=3x，y=6x在第一象限内的图像如图所示，点P1、P2、P3……P2020反比例函数y=6x图像上，它们的横坐标分别是x1、x2、x3……x2020，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点P1、P2、P3……P2020分别作y轴的平行线，与反比例函数y=3x的图像交点依次是Qx1,y1、Qx2,y2、Qx3,y3……Qx2020,y2020，则y2020等于（ ）
A．2019.5B．2020.5C．2019D．4039
答案:A
分析：主要是找规律，找出规律即可求出本题答案，先根据已知条件求出y分别为1、3、5时x的值，即可求出当y=2020时x的值，再将其代入y=3x中即可求出y2020．
【详解】解：当y=1,3,5⋅⋅⋅2020时，x1、x2、x3…x2020分别为6、2、65…62020
将x1、x2、x3…x2020代入y=3x，
得：y1、y2、y3…y2020
y2020=40392=2019.5，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k≠0）的图像是双曲线；图像上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
6．（2023春·江苏·八年级期末）2021年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线y=x−2，双曲线y=3x，点A11,−1，我们从A1点出发构造无穷点列A2x2,y2，A3x3,y3…构造规则为：若点Anxn,yn在直线y=x−2上，那么下一个点An+1xn+1,yn+1就在双曲线y=3x上，且xn+1=xn；若点Anxn,yn在双曲线y=3x上，那么下一个点An+1xn+1,yn+1就在直线y=x−2上，且yn+1=yn，根据规则，点A3的坐标为____．无限进行下去，无限接近的点的坐标____．
答案: 5,3 3,1
分析：先根据题意求出A2从而可以求出A3的坐标，从而求出A4，A5，A6 ，A7的坐标，可以发现结合函数图像可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，则无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，由此求解即可．
【详解】解：∵点A11,−1满足一次函数解析式y=x−2，即点A1在直线y=x−2上，
∴点A2的横坐标为1且点A2在反比例函数y=3x上，
∴点A2的纵坐标为3，
∴点A3的纵坐标为3，且点A3在直线y=x−2上，
∴点A3的横坐标为5，
∴点A3的坐标为5,3，
同理点A4的坐标为5，35，A5135，35，A6135，1513 ，A74113，1513，
结合函数图像可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，
∴无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，
联立y=x−2y=3x，
解得x=3y=1或x=−1y=−3（舍去），
故答案为：5,3，3,1．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数与反比例函数综合，正确理解题意是解题的关键．
7．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，已知一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=kx的图像交于A(3,a),B(14−2a,2)两点．点C是x轴上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形ACBD是以AB为对角线的菱形，则点C的坐标为__________．
答案:52,0
分析：点A(3,a)，点B(14−2a,2)在反比例函数上，则3×a=(14−2a)×2，即可求出a=4，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴交x轴于点F，由勾股定理得AE2+CE2=AC2,BF2+CF2=BC2，根据四边形ABCD是菱形得AC=CB，从而得出AE2+CE2=BF2+CF2，进一步得出方程求解即可．
【详解】∵点A(3,a)，点B(14−2a,2)在在反比例函数上，
∴3×a=(14−2a)×2，
解得：a=4，
∴A3,4,B6,2,
过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴交x轴于点F，如图，
∵点C在x轴上，
∴设点C的坐标为(x,0)，
∴CE=3−x,AE=4,BF=2.
由勾股定理得，AE2+CE2=AC2,BF2+CF2=BC2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=CB，
∴AE2+CE2=BF2+CF2，即：(3−x)2+42=22+(6−x)2，
解得，x=52，
∴点C的坐标为52,0
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，正确根据已知条件列出方程是解题关键．
8．（2023春·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校联考期末）如图，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，OA=5，反比例函数y=mxx>0的图像经过点C1,4．过AB的中点D作DP∥x轴交反比例函数图像于点P，连接CP，OP，△COP的面积为______．
答案:3
分析：由点C的坐标利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；延长DP交OC于点E，由点D为线段AB的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y=2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论；
【详解】解：∵反比例函数y=mx(x>0)的图像经过点C(1,4)，
∴m=1×4=4，
∴反比例函数的关系式为y=4x(x>0)，
∵四边形OABC为平行四边形，且点O(0,0)，OA=5，点C(1,4)，
∴点A(5,0)，点B(6,4)．
延长DP交OC于点E，如图所示：

∵点D为线段AB的中点，点A(5,0)、B(6,4)，
∴点D(112,2)，
令y=4x中y=2，则x=2，
∴点P(2,2)，
∴PD=112−2=72，EP=ED−PD=32，
S△OPC=12EPyc−y=12×32×4−0=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、三角形的面积公式及平行四边形的性质，求出EP长度是解决问题的关键．
9．（2023春·江苏·八年级期末）如图，正比例函数y1=3x与反比例函数y2=kx(x>0)的图像交于点A，另有一次函数y=−3x+b与y1、y2图像分别交于B、C两点（点C在直线OA的上方），且OB2−BC2=163，则k=__________．
答案:433
分析：设直线BC与y轴交于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥BE于点F，易得△OBD是等腰三角形，△BCF是含30°的直角三角形，设BF=t，则可表达点C的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点C在反比例函数上，可得出结论．
【详解】解：如图，设直线BC与y轴交于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
令x=0，则y=b，
∴D0,b，
令y=3x=−3x+b，
∴x=36b，
∴B36b,12b，
∴DE=OE=12b，
∴△OBD是等腰三角形，
∵BE=36b，OE=12b，
∴OB=33b，
∴∠BOE=∠BDE=30°，
∴∠EBD=∠ABE=60°，
过点C作CF⊥BE于点F，
∴∠BCF=30°，
设BF=t，则CF=3t，BC=2t，
∴C36b−t,12b+3t，
∵OB2−BC2=163，
∴33b2−4t2=163，
则t2=112b2−43，即：14b2−3t2=4，
∵点C36b−t,12b+3t在反比例函数y=kx上，
∴k=36b−t12b+3t=3314b2−3t2=433；
故答案为：433．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，等腰三角形的判定与性质，含30°的直角三角形等相关知识，设出参数，得出方程是解题关键．
10．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如图，点A，B在反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图像上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x 轴于点D，BE⊥y轴于点E，连接AE，若OE=1，OC=34OD，AC=AE，则k的值为___．
答案:4915/4159
分析：根据题意求得B(k,1)，进而有OD＝k，OC＝34k，把x＝34k代入y=kx得，AC＝43，即有AE＝AC＝43，易得四边形AEFC是矩形，即有FC=OE=1，则有OC＝EF＝34k，AF＝AC-CF=43−1＝13，然后在Rt△AEF中，根据勾股定理得到322=23k2+122，解方程即可求得k的值．
【详解】解：设AC、BE交于点F，如图，
∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
∴四边形BDOE是矩形，
∴BD＝OE＝1，
把y＝1代入y=kx，求得x＝k，
∴B(k,1)，
∴OD＝k，
∵OC＝34OD，
∴OC＝34k，
∵AC⊥x轴于点C，
∴把x＝34k代入y=kx得，y=43，
∴AC＝43，
∴AE＝AC＝43，
∵AC⊥x轴于点C，
∴AC⊥OC，
∴可得四边形AEFC是矩形，即有FC=OE=1，
∴OC＝EF＝34k，AF＝AC-CF=43−1＝13，
在Rt△AEF中，AE2=EF2+AF2，
∴432=34k2+132，
解得k=±4159，
∵k＞0，
∴k=4159．
故答案为：4159．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，利用反比例函数表示出线段的长度是解题的关键．
考点4
二次根式选填期末真题压轴题
1．（2023春·江苏·八年级期末）已知m、n是正整数，若2m+5n是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
答案:C
分析：根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】解：∵2m+5n是整数，m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
2．（2023春·江苏·八年级期末）已知x=2−3,y=2+3，则代数式x2+2xy+y2+x−y−4的值为（ ）
A．32B．34C．3−1D．5−12
答案:C
分析：根据已知，得到x+y=2−3+2+3=22,x−y=2−3−2−3=−23，整体思想带入求值即可．
【详解】解：∵x=2−3,y=2+3，
∴x+y=2−3+2+3=22,x−y=2−3−2−3=−23，
∴x2+2xy+y2+x−y−4=x+y2+x−y−4
=222−23−4
=8−23−4
=4−23
=32−23+1
=3−12
=3−1．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
3．（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD=8，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
答案:A
分析：如图，作N关于BE的对称点N′，则MN=MN′，当C,M,N′三点共线时最短即CN′，当CN′⊥BF时最短，过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，即N′与F点重合时最短，过点D作DG⊥BC于点G，根据等面积法求得CF，即可求解．
【详解】解：如图，作N关于BE的对称点N′，过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，过点D作DG⊥BC于点G，
∴MN=MN′，当C,M,N′三点共线时CM+MN最小即CN′，当CN′⊥BF时最短，CF即为所求，
∵DG⊥BC， Rt△ABC是等腰直角三角形，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∴DC=2DG
∵BD平分∠ABC，
∴DA=DG
∵AC=AB，
设AD=a，则AB=AC=1+2a
在Rt△ABD中，BD=8,AD=a,AB=1+2a
∵BD2=AD2+AB2
∴82=a2+1+2a2
解得a2=32−162
∴BC=2AC=2+2a
∵S△BDC=12BC×DG=12BD×CF
∴CF=BC×DGBD =2+2a×a8 =2+2×32−1628
=2+24−22
=42−4+8−42
=4
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
4．（2023秋·江苏南通·八年级校考期末）阅读理解:对于任意正整数a，b，∵a−b2≥0，∴a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2ab.若m>1，m+1m−1有最小值为__________．
答案:3
分析：根据a+b≥2ab（a、b均为正实数），对代数式m+1m−1进行化简求最小值．
【详解】解：由题中结论可得m+1m−1=m−1+1+1m−1
=m−1+1+1m−1
=(m−1)+1m−1+1
≥2(m−1)·1(m−1)+1=3
即：当m>1时，m+1m−1有最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值．
5．（2023春·江苏·八年级期末）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足a＜m＜b（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为a，b．例： 2＜5＜3，所以5的“神奇区间”为2，3．若某一无理数的“神奇区间”为a，b，且满足6＜a+b≤16，其中x=b， y=a是关于x、y的二元一次方程组bx+ay=p的一组正整数解，则p=__．
答案:33或127/127或33
分析：根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况．
【详解】解：∵“神奇区间”为a，b，
∴a、b为连续正整数，
∵6＜a+b≤16，x=b， y=a是关于x、y的二元一次方程组bx+ay=p的一组正整数解，
∴符合条件的a，b有①a=4，b=5，a=2；②a=9，b=10，a=3．
①a=4，b=5，a=2时，x=5，y=2，
5×5+4×2=p，
∴p=33，
②a=9，b=10，a=3时，x=10，y=3，
10×10+9×3=p，
∴p=127，
故p的值为33或127，
故答案为：33或127．
【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力．
6．（2023春·江苏·八年级期末）设x=t+1−tt+1+t，y=t+1+tt+1−t，当t为___________时，代数式20x2+62xy+20y2=2022．
答案:2
分析：根据x，y的表达式，可以观察出xy=1，x+y=2t+2，再将20x2+62xy+20y2改写为含有x+y与xy的形式，代入解出t即可．
【详解】∵ x=t+1−tt+1+t，y=t+1+tt+1−t
∴ x+y=t+1+t2+t+1−t2t+1+tt+1−t=2t+1+tt+1−t=4t+2，
xy=t+1−tt+1+tt+1+tt+1−t=1
∵ 20x2+62xy+20y2=20x2+40xy+20y2+22xy=20x+y2+22xy=2022
∴ 204t+22+22=2022，解得t1=−3（舍去），t2=2．
故答案为：2
【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有x+y与xy的形式，是本题的解题关键．
7．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）已知m为正整数，若189m是整数，则根据189m=3×3×3×7m=33×7m可知m有最小值3×7=21．设n为正整数，若200n是大于1的整数，则n的最小值为______．
答案:2
分析：根据n为正整数， 200n是大于1的整数，先求出n的值可以为2、8、32，128，再结合200n是大于1的整数来求解．
【详解】解：∵200n=2×2×2×5×5n=102n，200n是大于1的整数，
∴200n=102n>1．
∵n为正整数
∴n的值可以为2、8、32，128，
n的最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
8．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若a+42=(m+n2)2，当a,m,n均为正整数时，则a的值为_____．
答案:9或6/6或9
分析：先利用完全平方公式将(m+n2)2展开，再等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【详解】解：∵a+42=(m+n2)2=m2+2n2+22mn，
∴a=m2+2n2，2mn=4，
∵m、n均为正整数，
∴m=1，n=2，或m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=12+2×22=9；
当m=2，n=1时，a=22+2×12=6，
故答案为：9或6．
【点睛】本题考查完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用是解答的关键．
9．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）已知m是2的小数部分，求m2+1m2-2＝ ___________．
答案:2
分析：根据题意知m=2-1，将所求式子进行通分化简，再将m的值代入即可求解．
【详解】解：由题意，知m=2-1，
m2+1m2-2
=m4+1−2m2m2
=m2−12m2
当m=2-1时，原式=2−12−122−12=2−2222−12=42−122−12=4=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的性质．