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南通市2024届高考考前押题卷 数学试题及参考答案含答题卡
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2024.5
注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号.
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
试卷共4页，共19小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知复数z满足，则（ ▲ ）.
A. B. C. D.
某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ▲ ）.
A. 10 B. 09 C. 71 D. 20
若函数是偶函数，则（ ▲ ）.
A. B. C. 1 D. 2
“”是“直线与直线平行”的（ ▲ ）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ▲ ）.
A. B. C. D.
在正方体中，过点A且以为法向量的平面截正方体所得截面的形状为（ ▲ ）.
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
已知，，则（ ▲ ）.
A. B. C. D. 2
已知椭圆C的左、右焦点分别为，，下顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点若，则C的离心率为（ ▲ ）.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
设U为全集，集合A、B、C 满足，则下列各式中不一定成立的是（ ▲ ）.
A.
B.
C.
D.
已知点P在圆上，点，，则（ ▲ ）.
A.点P到直线AB的距离小于10
B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当最小时，
D. 当最大时，
“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为6cm，重量为360g的实心玩具，则下列说法正确的是（ ▲ ）.
A. 将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为
B. 将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为
C. 将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为
D. 将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知函数，若存在非零实数a，b，使恒成立，则满足条件的一组值可以是 ▲ ， ▲ .
把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 ▲ 种．
方程正实数解为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本小题满分13分）
在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且
（1）证明：
（2）已知BD是的平分线，若，求线段BD长度的取值范围.
（本小题满分15分）
如图，四边形是圆台的轴截面，是圆台的母线，点C是的中点．已知，点M是BC的中点．
（1）若直线与直线所成角为，证明：平面；
（2）记直线与平面ABC所成角为，平面与平面的夹角为，若，求．
（本小题满分15分）
某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的
（1）求甲任选一题并答对的概率;
（2）若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为
①求和
②求
（本小题满分17分）
抛物线，双曲线，点在C的左支上，过A作x轴的平行线交E于点M，过M作E的切线，过A作直线交于点P，交E于点N，且
（1）证明：与E相切；
（2）过N作x轴的平行线交C的左支于点，过P的直线平分，记的斜率为，，若，证明：为定值.
（本小题满分17分）
若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
（1）证明：存在源数列；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）记的源数列为，证明：前n项和
2024.5
注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号.
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
试卷共4页，共19小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知复数z满足，则（ ▲ ）.
A. B. C. D.
某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ▲ ）.
A. 10 B. 09 C. 71 D. 20
若函数是偶函数，则（ ▲ ）.
A. B. C. 1 D. 2
“”是“直线与直线平行”的（ ▲ ）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ▲ ）.
A. B. C. D.
在正方体中，过点A且以为法向量的平面截正方体所得截面的形状为（ ▲ ）.
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
已知，，则（ ▲ ）.
A. B. C. D. 2
已知椭圆C的左、右焦点分别为，，下顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点若，则C的离心率为（ ▲ ）.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
设U为全集，集合A、B、C 满足，则下列各式中不一定成立的是（ ▲ ）.
A.
B.
C.
D.
已知点P在圆上，点，，则（ ▲ ）.
A.点P到直线AB的距离小于10
B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当最小时，
D. 当最大时，
“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为6cm，重量为360g的实心玩具，则下列说法正确的是（ ▲ ）.
A. 将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为
B. 将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为
C. 将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为
D. 将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知函数，若存在非零实数a，b，使恒成立，则满足条件的一组值可以是 ▲ ， ▲ .
把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 ▲ 种．
方程正实数解为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本小题满分13分）
在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且
（1）证明：
（2）已知BD是的平分线，若，求线段BD长度的取值范围.
（本小题满分15分）
如图，四边形是圆台的轴截面，是圆台的母线，点C是的中点．已知，点M是BC的中点．
（1）若直线与直线所成角为，证明：平面；
（2）记直线与平面ABC所成角为，平面与平面的夹角为，若，求．
（本小题满分15分）
某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的
（1）求甲任选一题并答对的概率;
（2）若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为
①求和
②求
（本小题满分17分）
抛物线，双曲线，点在C的左支上，过A作x轴的平行线交E于点M，过M作E的切线，过A作直线交于点P，交E于点N，且
（1）证明：与E相切；
（2）过N作x轴的平行线交C的左支于点，过P的直线平分，记的斜率为，，若，证明：为定值.
（本小题满分17分）
若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
（1）证明：存在源数列；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）记的源数列为，证明：前n项和
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