北师大版七年级数学下册专题1.11乘法公式的几何背景问题大题提升训练(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册专题1.11乘法公式的几何背景问题大题提升训练(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了52﹣31，7452﹣56，51）等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共31小题）
1．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形，然后按图②所示拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．
（3）利用（2）得到的等量关系，解决如下问题：
若（a+b）2＝13，ab＝2，则（a﹣b）2＝ ．
2．（2023秋•南康区期末）四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2．
（1）继续观察，请你直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的数量关系： ；
（2）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．
3．（2023秋•同心县校级期中）如图（1），边长为a的正方形内有一个边长为b的小正方形．
（1）请用a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积；（用a、b的代数式表示）
（2）小明把阴影部分拼成了一个长方形，如图2，这个长方形的面积又是多少？
（3）根据图（1）和（2）给你的启发，你能验证什么乘法公式？
4．（2023秋•泉州期中）如图所示，从边长为（a+b）的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题：
（1）用如图所示图形验证的乘法公式是： ；
（2）运用（1）中的等式，计算：1.232+2.46×2.77+2.772的值为 ；
（3）运用（1）中的等式，若x2﹣3x+1＝0，求的值．
5．（2023秋•二道区校级月考）图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着腿线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 ；
（2）观察图2，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系： ；
（3）根据（2）中的结论，如果x+y＝5，xy＝，求代数式（x﹣y）2的值．
6．（2023秋•原阳县月考）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，图（1）可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）图（2）中各个小长方形大小均相同，请用两种不同的方法求阴影部分的面积（不化简）．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立．
（3）已知（2m+n）2＝12，（2m﹣n）2＝4，请利用（2）中的等式，求mn的值．
7．（2023春•盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．
（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．
（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．
8．（2023春•陈仓区期中）根据几何图形的面积可以说明整式的乘法，例如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②可以写出的一个等式是 ；
（2）请你计算（x+p）（x+q），并画出一个相应的几何图形加以说明．
9．（2023春•滕州市期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（结果不用化简）：
①方法1： ；方法2： ．
②请你写出代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决问题：若a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2；
（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，写出它表示的代数恒等式．
10．（2023春•正定县期中）如图，①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全一样的小长方形，再按照图②围成一个较大的正方形．
（1）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积（只需要表示，不必化简）；
（2）比较（1）中的两种结果，你能得到怎样的等量关系式？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下列问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求（m+n）2的值．
11．（2023春•仪征市校级月考）有一张边长为a的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加b，木师傅设计了如图所示的三种方案：
（1）小明发现这三种方案都能验证一个所学过的乘法公式： .（用a，b表示）
（2）请你根据三种方案分别写出这个乘法公式的三种验证过程．
12．（2023春•昭平县期末）如图，某中学校园内有一个长为（4a+b）米，宽为（3a+b）米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化．
（1）求绿化的面积．（用含a，b的代数式表示）
（2）当a＝4，b＝1时，求绿化的面积．
13．（2023春•兴平市期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1： ；
方法2： ．
（2）由（1）可得出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的一个等量关系为 ；
（3）利用（2）中得到的等量关系，解决如下问题：若2a+b＝6，ab＝4，求（2a﹣b）2的值．
14．（2023春•三元区校级月考）如图所示，请完成下列问题：
（1）填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为 或 ．
（2）通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．
15．（2023秋•海沧区期末）（1）如图，是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：cm），用式子表示该图形中阴影部分的面积．
（2）请根据（1）中的尺寸，画出示意图，使其面积为x2+xy+πx2．
16．（2023秋•定州市期末）如图，某校一块边长为2x米的正方形空地是八年级四个班的卫生区，据清扫难度不同，学校把它分成了四块，采用抽签的方式安排卫生区，如图是四个班所抽到的卫生区的情况，其中一班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．
（1）用含x，y的式子分别表示三班和四班的卫生区的面积；
（2）求二班的卫生区的面积比一班的卫生区的面积大多少平方米？
17．（2023秋•科左中旗期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是 （用式子表示），即乘法公式中的 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
18．（2023春•临渭区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
19．（2023秋•义马市期中）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）拼成的长方形的周长是多少？
（2）拼成的长方形的面积是多少？
20．（2023秋•中山区期末）（1）如图1，将边长为（a+b）的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是 （填序号）．
①（a+b）2＝a2+2ab+b2
②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
④a（a+b）＝a2+ab
（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝23，求阴影部分的面积．
21．（2023秋•思明区校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
22．（2023秋•唐河县期末）读下列材料，完成文后任务．
任务：
（1）方法1用到的乘法公式是 （填“平方差公式”或“完全平方公式”）．
（2）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若（x﹣11）2+（9﹣x）2＝10，求（x﹣11）（9﹣x）的值．
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40，求图中阴影部分的面积和．
23．（2023春•章丘区期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
（1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
（3）请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝ ；
②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）×…×（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
24．（2023春•潍坊期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣ab＝a（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．
25．（2023•南京模拟）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ ，S2＝ ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 ；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
26．（2023春•东乡区期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
27．（2023秋•渝水区校级期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
28．（2023秋•东台市期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．
（1）图1中图形的面积为a2﹣b2，图2中图形的面积为（a﹣b）× ．（用含有a、b的代数式表示）
（2）由（1）可以得到等式： ．
（3）根据你得到的等式解决下列问题：
①计算：68.52﹣31.52．
②若m+4n＝2，求（m+1）2﹣m2+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值．
29．（2023秋•思明区校级期中）如图，正方形ABCD，CEFG的边长分别为a，b，点G在边CD上，这两个正方形的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，求DG的长．
30．（2023秋•寿光市校级月考）边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ．
（1）图甲中阴影部分的面积为： ，图乙中阴影部分的面积为： ；
（2）根据（1）中计算得出的面积，你可以得到一个什么等式，请写出来： ；
（3）请用你发现的结论进行简便运算：43.7452﹣56.2552．
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足（6﹣x）（x﹣2）＝3．求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值，怎么解决呢？小英给出了如下两种方法：
方法1：设6﹣x＝m，x﹣2＝n，则（6﹣x）（x﹣2）＝mn＝3，m+n＝6﹣x+x﹣2＝4，
∴（6﹣x）2+（x﹣2）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝42﹣2×3＝16﹣6＝10
方法2：
∵（6﹣x）（x﹣2）＝3，∴6x﹣12+2x﹣x2＝3，∴x2﹣8x＝﹣15，（6﹣x）2+（x﹣2）2＝36﹣12x+x2+x2﹣4x+4＝2x2﹣16x+40＝2（x2﹣8x）+40＝2×（﹣15）+40＝﹣30+40＝10．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题1.11乘法公式的几何背景问题大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共31小题）
1．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形，然后按图②所示拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．
（3）利用（2）得到的等量关系，解决如下问题：
若（a+b）2＝13，ab＝2，则（a﹣b）2＝ 5 ．
分析：（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；
（2）利用（1）中图2中的阴影部分的正方形面积，得到（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（3）根据（2）的结论得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，然后把（a+b）2＝13，ab＝2代入计算即可．
【解答】解：（1）方法1：图2中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n，故阴影部分面积为（m﹣n）2；方法2：图2中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，
积（m+n）2﹣4mn；
（2）由（1）知代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是：
（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
验证：∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，
（m﹣n）2+4mn＝m2﹣2mn+n2+4mn＝m2+2mn+n2，
∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（3）∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
当（a+b）2＝13，ab＝2时，
∴13＝（a﹣b）2+4×2，
∴（a﹣b）2＝13﹣8＝5．
2．（2023秋•南康区期末）四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2．
（1）继续观察，请你直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的数量关系： （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ；
（2）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．
分析：（1）根据题意可得，可得空白部分的面积等于边长为（a+b）的正方向面积减去长为a，宽为b的长方形面积，计算即可得出答案；
（2）根据（1）中的结论进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）根据题意可得，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4，
∴x﹣y＝±2，即x﹣y的值是±2．
3．（2023秋•同心县校级期中）如图（1），边长为a的正方形内有一个边长为b的小正方形．
（1）请用a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积；（用a、b的代数式表示）
（2）小明把阴影部分拼成了一个长方形，如图2，这个长方形的面积又是多少？
（3）根据图（1）和（2）给你的启发，你能验证什么乘法公式？
分析：（1）求大正方形与小正方形的差即可；
（2）应用长方形的面积公式，即可计算；
（3）由图1和图2的阴影面积相等，即可判断．
【解答】解：（1）图1的阴影面积是a2﹣b2；
（2）图2的阴影面积是（a+b）（a﹣b）；
（3）可以验证平方差公式，
∵图1和图2的阴影面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
4．（2023秋•泉州期中）如图所示，从边长为（a+b）的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题：
（1）用如图所示图形验证的乘法公式是： （a+b）2＝a²+2ab+b² ；
（2）运用（1）中的等式，计算：1.232+2.46×2.77+2.772的值为 16 ；
（3）运用（1）中的等式，若x2﹣3x+1＝0，求的值．
分析：（1）根据题意可得，边长为a+b的正方形的面积等于边长为a和b的正方形面积加上长为a宽为b的长方形的面积，列式即可得出答案；
（2）根据（1）中的结论进行计算即可得出答案；
（3）由x2﹣3x+1＝0，两边同除以x可得x﹣3+＝0，即可得出x+＝3，等式两边同时平方计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
（a+b）²＝a²+2ab+b²；
故答案为：（a+b）²＝a²+2ab+b²；
（2）1.232+2.46×2.77+2.77²＝（1.23+2.77）²＝4²＝16；
（3）由x2﹣3x+1＝0，
可得x﹣3+＝0，
即x+＝3，
（x+）²＝9，
x²+2+＝9，
即x²+＝7．
5．（2023秋•二道区校级月考）图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着腿线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 a﹣b ；
（2）观察图2，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系： （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
（3）根据（2）中的结论，如果x+y＝5，xy＝，求代数式（x﹣y）2的值．
分析：（1）由图形可得，阴影部分的正方形边长为小长方形的长减去宽即可得出答案；
（2）由图形可得，大正方形的边长为a+b，大正方形的面积等于阴影部分正方形的面积加上4个小长方形的面积，进行计算即可得出答案；
（3）根据（2）中的结论进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）图2中阴影部分的正方形边长为a﹣b；
故答案为：a﹣b；
（2）根据题意可得，
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）根据题意可得，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4ab，
＝52﹣4×
＝25﹣9
＝16．
6．（2023秋•原阳县月考）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，图（1）可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）图（2）中各个小长方形大小均相同，请用两种不同的方法求阴影部分的面积（不化简）．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立．
（3）已知（2m+n）2＝12，（2m﹣n）2＝4，请利用（2）中的等式，求mn的值．
分析：（1）根据题意可得，方法一：阴影部分的面积等于4个长为a宽为b的长方形面积，即可得出S阴＝4×ab＝4ab；方法二阴影部分面积等于长为a+b的正方形面积减去长为a﹣b的正方形面积即可得出：S阴＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；
（2）根据题意可得（1）中两次计算阴影部分的面积相等即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．（a+b）2﹣（a﹣b）2根据完全平方公式进行计算可得a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2），即可算出答案；
（3）由（2）中结论可得mn＝[（2m+n）2﹣（2m﹣n）2]代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
方法一：S阴＝4×ab＝4ab；
方法二：S阴＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；
（2）4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝4ab；
（3）mn＝[（2m+n）2﹣（2m﹣n）2]＝×（12﹣4）＝1．
7．（2023春•盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．
（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．
（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．
分析：（1）通过观察图形发现空白部分的正方形的边长是a﹣b；
（2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，从而求得空白部分的正方形面积；
（3）通过观察图2发现，大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积，从而得到三个式子之间的数量关系；
（4）把（x﹣10）看作a，把（20﹣x）看作b，然后运用（3）中的数量关系（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，求得（a﹣b）2即（2x﹣30）2的值．
【解答】解：（1）图2中的空白部分的正方形的边长＝a﹣b．
（2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积
＝（a+b）2﹣4ab
＝102﹣4×3
＝100﹣12
＝88．
（3）图2中大正方形的面积＝（a+b）2，
空白部分的正方形面积＝（a﹣b）2，
阴影的面积＝4ab，
∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（4）∵（x﹣10）+（20﹣x）＝x﹣10+20﹣x＝10，
∴[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，
由（3）的结论可知，
[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4（x﹣10）（20﹣x），
把[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，（x﹣10）（20﹣x）＝8代入，
得100＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4×8，
100＝（x﹣10﹣20+x）2+32，
68＝（2x﹣30）2，
即（2x﹣30）2＝68．
8．（2023春•陈仓区期中）根据几何图形的面积可以说明整式的乘法，例如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②可以写出的一个等式是 （a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2 ；
（2）请你计算（x+p）（x+q），并画出一个相应的几何图形加以说明．
分析：（1）应用多项式乘法乘多项式的法则进行计算即可得出答案；
（2）应用多项式乘法乘多项式的法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
图形如下：
9．（2023春•滕州市期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（结果不用化简）：
①方法1： （m﹣n）2 ；方法2： （m+n）2﹣4mn ．
②请你写出代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决问题：若a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2；
（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，写出它表示的代数恒等式．
分析：（1）①方法1：阴影部分正方形的边长为m﹣n，根据正方形的面积计算方法进行计算即可得出答案；方法2：用边长为m+n的大正方形面积减去4个长为m，宽为n的小长方形面积，列式计算即可得出答案；
（2）根据（1）中两次计算面积相等可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；等量代换即可得出答案；
（3）根据题意大长方形的长为2m+n，宽为m+n，应用多项式乘多项式法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
①方法1：阴影部分正方形的边长为m﹣n，
则面积为：（m﹣n）2，
方法2：用边长为m+n的大正方形面积减去4个长为m，宽为n的小长方形面积，
（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
②（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52+4×（﹣6）＝25﹣24＝1；
（3）根据题意可得；
（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2．
10．（2023春•正定县期中）如图，①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全一样的小长方形，再按照图②围成一个较大的正方形．
（1）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积（只需要表示，不必化简）；
（2）比较（1）中的两种结果，你能得到怎样的等量关系式？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下列问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求（m+n）2的值．
分析：（1）阴影部分的面积可以看作是边长（m﹣n）的正方形的面积，也可以看作边长（m+n）的正方形的面积减去4个小长方形的面积；
（2）由（1）的结论根据面积相等直接写出即可；
（3）利用（2）的结论：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，把数值整体代入即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积为：（m﹣n）2，也可表达为：（m+n）2﹣4mn；
（2）等量关系式：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）将m﹣n＝4，mn＝12代入等式，得：
16＝（m+n）²﹣48，
（m+n）²＝64．
11．（2023春•仪征市校级月考）有一张边长为a的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加b，木师傅设计了如图所示的三种方案：
（1）小明发现这三种方案都能验证一个所学过的乘法公式： （a+b）2＝a2+b2+2ab .（用a，b表示）
（2）请你根据三种方案分别写出这个乘法公式的三种验证过程．
分析：（1）根据面积的两种表示方法得出公式即可；
（2）分别根据三种图形的面积得出（1）中的公式即可．
【解答】解：（1）由图知，得出的乘法公式为：（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）由方案一的图知，（a+b）2＝a2+b2+2ab，
由方案二的图知，（a+b）2＝a2+ab+（a+b）b＝a2+b2+2ab，
由方案三的图知，（a+b）2＝a2+（a+a+b）b＝a2+b2+2ab，
即三种方案都能得出乘法公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
12．（2023春•昭平县期末）如图，某中学校园内有一个长为（4a+b）米，宽为（3a+b）米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化．
（1）求绿化的面积．（用含a，b的代数式表示）
（2）当a＝4，b＝1时，求绿化的面积．
分析：（1）根据题意绿化的面积等于长为4a+b，宽为3a+b的长方形面积减去边长为a+b的正方形面积，列出代数式，应用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案；
（2）根据（1）中的结论，把a，b的值代入计算计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
S绿＝（4a+b）（3a+b）﹣（a+b）2＝11a2+5ab；
（2）当a＝4，b＝1时，
S绿＝11a2+5ab＝11×42+54×1＝196（平方米）．
13．（2023春•兴平市期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1： （m﹣n）2 ；
方法2： （m+n）2﹣4mn ．
（2）由（1）可得出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的一个等量关系为 （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）利用（2）中得到的等量关系，解决如下问题：若2a+b＝6，ab＝4，求（2a﹣b）2的值．
分析：（1）第一种表示方法：小正方形的面积为阴影部分的面积；第二种表示方法：大正方形的面积减去四个小长方形的面积；
（2）由（1）可知两种表示方法都是阴影部分面积，所以两个代数式相等；
（3）根据（2）中的等量关系，代入已知数值求解即可．
【解答】解：（1）方法1：
∵阴影部分边长为：m﹣n，
∴阴影部分面积为：（m﹣n）2；
故答案为：（m﹣n）2；
方法2：
∵大正方形面积﹣4个小长方形面积＝阴影部分面积，
大正方形面积＝（m+n）2，四个小长方形面积＝4mn，
∴阴影部分面积＝（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m+n）2﹣4mn；
（2）由（1）可知两种表示方法都是阴影部分面积，
∴（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）∵（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
∴（2a+b）2﹣4•2a•b＝（2a﹣b）2，
∵2a+b＝6，ab＝4，
∴（2a﹣b）2＝62﹣4×2×4＝4．
14．（2023春•三元区校级月考）如图所示，请完成下列问题：
（1）填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为 （a+b）2 或 a2+b2+2ab ．
（2）通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．
分析：（1）大正方形的面积可由边长乘边长得到，也可由中间4个图形面积相加得到；
（2）利用面积相等即可得到结论．
【解答】解：（1）大正方形的边长为：a+b，
∴大正方形面积为：（a+b）2，
∵大正方形面积为四个图形面积之和，
∴大正方形面积为：a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）∵大正方形面积为（a+b）2或a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．
15．（2023秋•海沧区期末）（1）如图，是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：cm），用式子表示该图形中阴影部分的面积．
（2）请根据（1）中的尺寸，画出示意图，使其面积为x2+xy+πx2．
分析：（1）分析出图形中由四个图形组成，长方形、正方形，三角形，圆形，很容易用式子表示该图形中阴影部分的面积；
（2）根据面积为x2+xy+πx2分析出可以由一个边长为x的正方形，一个直角边分别为x，y的三角形，一个半径为x的圆形组成．
【解答】解：（1）分析图形可知，
S阴影＝S长方形+S正方形+S三角形﹣S圆
＝1.2x+x2+xy﹣πr2，
阴影部分的面积为：（1.2x+x2+xy﹣πr2）cm2，
（2）使其面积为x2+xy+πx2，
则可以由一个边长为x的正方形，一个直角边分别为x，y的三角形，一个半径为x的圆形组成，
示意图可以表示为下图所示，
．
16．（2023秋•定州市期末）如图，某校一块边长为2x米的正方形空地是八年级四个班的卫生区，据清扫难度不同，学校把它分成了四块，采用抽签的方式安排卫生区，如图是四个班所抽到的卫生区的情况，其中一班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．
（1）用含x，y的式子分别表示三班和四班的卫生区的面积；
（2）求二班的卫生区的面积比一班的卫生区的面积大多少平方米？
分析：（1）结合图形、根据平方差公式计算即可；
（2）根据图形分别表示出二班的卫生区的面积和一班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、求差即可．
【解答】解：（1）八年三班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；
八年四班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；
（2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2＝8xy．
答：二班的卫生区的面积比一班的卫生区的面积大8xy平方米．
17．（2023秋•科左中旗期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用式子表示），即乘法公式中的 平方差 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
分析：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；平方差公式；
（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，平方差．
（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；
②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
18．（2023春•临渭区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 3 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
分析：【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
【应用】
（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成+1）×﹣1），再利用平方差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
【解答】解：
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，
∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，
∴2m﹣n＝3．
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣+1）×﹣1）
＝20192﹣2﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1；
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050．
19．（2023秋•义马市期中）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）拼成的长方形的周长是多少？
（2）拼成的长方形的面积是多少？
分析：（1）根据题意列出拼接成的长方形的长和宽，再表示周长；
（2）由长方形的长和宽表示面积即可．
【解答】解：由图形拼接可知：
长方形的长＝（a+1）+（a+4）＝（2a+5）cm，
长方形的宽＝（a+4）﹣（a+1）＝3cm，
∴（1）拼成的长方形的周长＝2（2a+2）+2×3＝4（a+4）cm，
（2）拼成的长方形的面积＝（2a+5）×3＝（6a+15）cm2．
20．（2023秋•中山区期末）（1）如图1，将边长为（a+b）的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是 ① （填序号）．
①（a+b）2＝a2+2ab+b2
②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
④a（a+b）＝a2+ab
（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝23，求阴影部分的面积．
分析：（1）用代数式利用两种方法分别表示图形的面积即可；
（2）①根据完全平方公式的结构特征，将a2+b2转化为（a+b）2﹣2ab，再整体代入计算即可；
②设AC＝a、BC＝b，由题意可知AB＝a+b＝7，S1+S2＝a2+b2＝23，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab，求出ab即可．
【解答】解：（1）图1组整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，
图1中4个部分面积的和为a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：①；
（2）①∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝25﹣6
＝19；
②设AC＝a、BC＝b，则AB＝a+b＝7，S1+S2＝a2+b2＝23，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝49﹣23
＝26，
∴S阴影部分＝ab
＝．
21．（2023秋•思明区校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
分析：（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；
（2）①根据平方差公式将x2﹣4y2＝12化为（x+2y）（x﹣2y）＝12，再整体代入计算即可；
②利用平方差公式将原式化为（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）……（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），进而得出×××××××……××××，进行计算即可．
【解答】解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝12，
∴（x+2y）（x﹣2y）＝12，
又∵x+2y＝4，
∴x﹣2y＝12÷4＝3，
答：x﹣2y的值为3；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）……（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝×××××××……××××
＝×
＝．
22．（2023秋•唐河县期末）读下列材料，完成文后任务．
任务：
（1）方法1用到的乘法公式是 完全平方公式 （填“平方差公式”或“完全平方公式”）．
（2）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若（x﹣11）2+（9﹣x）2＝10，求（x﹣11）（9﹣x）的值．
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40，求图中阴影部分的面积和．
分析：（1）根据方法1用到的方法，可知方法1用到的乘法公式是完全平方公式．
（2）使用方法1：设x﹣11＝m，9﹣x＝n，则可得（x﹣11）2+（9﹣x）2＝m2+n2＝10，m+n＝x﹣11+9﹣x＝﹣2，根据完全平方公式化简得mn＝﹣3，即（x﹣11）（9﹣x）＝﹣3；使用方法2：将（x﹣11）2+（9﹣x）2＝10用完全平方公式打开并化简得x2﹣20x＝﹣96，再用多项式乘多项式法则计算（x﹣11）（9﹣x）得﹣（x2﹣20x）﹣99，最后将x2﹣20x＝﹣96即可求解．
（3）根据AB＝10，BC＝6，BE＝DF＝x，得到FC＝AB﹣DF＝10﹣x，EC＝BC﹣BE＝6﹣x，即有：（10﹣x）（6﹣x）＝40，设10﹣x＝m，6﹣x＝n，可得m﹣n＝4，mn＝40，再利用完全平方公式化简计算即可求解．
【解答】解：（1）根据方法1用到的方法，可知方法1用到的乘法公式是完全平方公式；
故答案为：完全平方公式．
（2）使用方法1：设x﹣11＝m，9﹣x＝n，
则（x﹣11）2+（9﹣x）2＝m2+n2＝10，
∵m+n＝x﹣11+9﹣x＝﹣2，
∴m2+n2＝m2+n2+2mn﹣2mn＝（m+n）2﹣2mn＝10，
∴2mn＝（m+n）2﹣10，
∴，
即：（x﹣11）（9﹣x）＝﹣3；
使用方法2：
∵（x﹣11）2+（9﹣x）2＝10，
∴x2﹣22x+121+81﹣18x+x2＝10，即2x2﹣40＝﹣192，
∴x2﹣20x＝﹣96，
∴（x﹣11）（9﹣x）＝9x﹣x2﹣99+11x
＝﹣x2+20x﹣99
＝﹣（x2﹣20x）﹣99
＝96﹣99
＝﹣3．
（3）∵AB＝10，BC＝6，BE＝DF＝x，
∴FC＝AB﹣DF＝10﹣x，EC＝BC﹣BE＝6﹣x，
∵长方形CEPF的面积为40，
即有：（10﹣x）（6﹣x）＝40，
设10﹣x＝m，6﹣x＝n，
则m﹣n＝（10﹣x）﹣（6﹣x）＝4，mn＝40，
∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝16，
∴m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝16+2×40＝96，
∵四边形CFGH和CEMN均是正方形，
∴图中阴影部分的面积和是：
（10﹣x）2+（6﹣x）2＝m2+n2＝96．
23．（2023春•章丘区期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
（1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 （a+b）（a﹣b） ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 a2﹣b2 ；（写成两数平方差的形式）；
（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 B ；
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
（3）请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝ 3 ；
②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）×…×（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
分析：（1）根据图2的长为a+b，宽为a﹣b，可表示出面积，图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可；
（2）由图2、图3面积相等可得答案；
（3）①根据平方差公式进行计算即可；
②将原式配上因式（2﹣1），连续利用平方差公式得出结果为264，再根据底数为2的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案．
【解答】解：（1）图2的阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
图3中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
（2）由图2、图3面积相等得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：B；
（3）①∵4m2﹣n2＝12，即（2m+n）（2m﹣n）＝12，而2m+n＝4，
∴2m﹣n＝12÷4＝3，
故答案为：3；
②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）×…×（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）×…×（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）×…×（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）×…×（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128……，64÷4＝16，
所以264的个位数字为6．
24．（2023春•潍坊期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 B ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣ab＝a（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．
分析：（1）根据面积相等得出结论；
（2）根据（1）的结论，进行计算．
【解答】解：（1）根据阴影部分的面积相等得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）①∵x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，
∴x+2y＝（x2﹣4y2）÷（x﹣2y）＝18÷3＝6；
②原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×……×（1﹣）×（1+）
＝××××……××
＝×
＝．
25．（2023•南京模拟）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ （a+b）（a﹣b） ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
分析：（1）S1＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，S2＝长方形的长×长方形的宽，由S1＝S2得出乘法公式．
（2）公式直接应用，①中的﹣x是公式里的a，y是公式里的b，②102×98转化为（100+2）×（100﹣2）再利用公式计算．
（3）乘法算式先乘以（3﹣1），再除以（3﹣1），乘法算式的乘积不变，出现平方差公式的形式，找到规律，从而计算出结果．
【解答】解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
∵S1＝S2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）①（﹣x﹣y）（y﹣x）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2；
②102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝9996．
（3）（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（31024+1）+1，
＝（3﹣1）×[（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（31024+1）]÷（3﹣1）+1，
＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（31024+1）÷2+1，
＝[（31024）2﹣12]÷2+1，
＝（32048﹣1）÷2+1，
＝．
26．（2023春•东乡区期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： B ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
分析：（1）分别表示两个图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论．
（2）①利用平方差公式，整体代入即可得出答案．
②利用平方差公式转化为分数的乘积形式，再根据规律可得出答案．
【解答】解：（1）图中两个阴影部分的面积分别为a2﹣b2和（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B．
（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，
∴（a+b）（a﹣b）＝3（a+b）＝21，
∴a+b＝7．
②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）
＝ו••×
＝ו••+
＝
＝．
27．（2023秋•渝水区校级期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
分析：（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．
（2）利用（1）中得到的平方差公式计算．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图②中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选A．
（2）①∵（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2．
∴6（2a﹣b）＝24，
∴2a﹣b＝24÷6＝4．
故答案为：4．
②＝
＝
＝
＝．
28．（2023秋•东台市期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．
（1）图1中图形的面积为a2﹣b2，图2中图形的面积为（a﹣b）× （a﹣b） ．（用含有a、b的代数式表示）
（2）由（1）可以得到等式： a2﹣b2＝（a﹣b）×（a﹣b） ．
（3）根据你得到的等式解决下列问题：
①计算：68.52﹣31.52．
②若m+4n＝2，求（m+1）2﹣m2+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值．
分析：（1）图2面积根据长方形面积公式可得；
（2）根据两个图形的面积相等可得；
（3）①直接套用公式a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）可得；②将原式变形为[（m+1）2﹣m2]+[（2n+1）2﹣（2n﹣1）2]，再套用平方差公式可得答案．
【解答】解：（1）图1中图形的面积为a2﹣b2，图2中图形的面积为（a﹣b）×（a+b），
故答案为：a+b；
（2）根据两个图形的面积相等，可得a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），
故答案为：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
（3）①68.52﹣31.52＝（68.5﹣31.5）（68.5+31.5）＝37×100＝3700；
②（m+1）2+（2n+1）2﹣m2﹣（2n﹣1）2
＝[（m+1）2﹣m2]+[（2n+1）2﹣（2n﹣1）2]
＝[（m+1﹣m）（m+1+m）]+[（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）]
＝2m+1+8n
＝2（m+4n）+1
＝4+1
＝5．
29．（2023秋•思明区校级期中）如图，正方形ABCD，CEFG的边长分别为a，b，点G在边CD上，这两个正方形的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，求DG的长．
分析：先用a，b表示51和17，再利用平方差公式，整体代入求解．
【解答】解：由题意得：a+b＝17，a2﹣b2＝51，
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即：51＝17×（a﹣b），
∴a﹣b＝3．
所以DG的长为3cm．
30．（2023秋•寿光市校级月考）边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（1）图甲中阴影部分的面积为： a2﹣b2 ，图乙中阴影部分的面积为： （a+b）（a﹣b） ；
（2）根据（1）中计算得出的面积，你可以得到一个什么等式，请写出来： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；
（3）请用你发现的结论进行简便运算：43.7452﹣56.2552．
分析：第一个图形中阴影部分的面积是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：（1）∵图甲中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）因为图甲和图乙中的阴影面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）原式＝（43.745+56.255）×（43.745﹣56.255）
＝100×（﹣12.51）
＝﹣1251．
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足（6﹣x）（x﹣2）＝3．求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值，怎么解决呢？小英给出了如下两种方法：
方法1：设6﹣x＝m，x﹣2＝n，则（6﹣x）（x﹣2）＝mn＝3，m+n＝6﹣x+x﹣2＝4，
∴（6﹣x）2+（x﹣2）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝42﹣2×3＝16﹣6＝10
方法2：
∵（6﹣x）（x﹣2）＝3，∴6x﹣12+2x﹣x2＝3，∴x2﹣8x＝﹣15，（6﹣x）2+（x﹣2）2＝36﹣12x+x2+x2﹣4x+4＝2x2﹣16x+40＝2（x2﹣8x）+40＝2×（﹣15）+40＝﹣30+40＝10．