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北师大版七年级数学下册专题2.7平行线的性质与判定大题专练(拔高篇，重难点培优)(原卷版+解析)
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这是一份北师大版七年级数学下册专题2.7平行线的性质与判定大题专练(拔高篇，重难点培优)(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了7平行线的性质与判定大题专练等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（吉林省吉林市亚桥中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图所示，已知AD⊥BC于点D，FE⊥BC于点E，交AB于点G，交CA的延长线于点F，且∠1=∠F.问：AD平分∠BAC吗？并说明理由．
2．（吉林省延边朝鲜族自治州敦化市红石乡中心校2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
3．（江苏省淮安市淮安经济技术开发区开明中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
(1)求证：DE∥AC；
(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数．
4．（广东省东莞市石龙第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2+∠4=180°，求证：∠BFC+∠C=180°；
(3)在（2）的条件下，若∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．
5．（辽宁省鞍山市第二中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，已知点E，F为四边形ABDC的边CA的延长线上的两点，连接DE，BF，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P．若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C．
(1)判断DE与BF是否平行？并说明理由；
(2)试说明：∠C＝2∠P．
6．（河南省信阳市浉河区信阳文华寄宿学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
7．（辽宁省丹东市振兴区第六中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．
(1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由．
(2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由．
8．（贵州省黔西南州兴仁市黔龙、黔峰、金成学校2021-2022学年七年级下学期7月月考数学试题）如图，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°．
(1)求证：AD∥EF；
(2)若∠AEC=70°，求∠CAE的度数．
9．（江苏省泰州中学附属初级中学、靖江外国语学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=132°，求∠AFG的度数．
10．（江苏省扬州市江都区华君外国语学校2021-2022学年七年级下学期第二次教学专项调研数学试题）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．
(1)求证：CF∥BD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
11．（湖北省宜昌市五峰土家族自治县2021-2022学年七年级下学期期末学业水平监测数学试题）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
12．（江苏省徐州市丰县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
13．（江苏省苏州市吴江区铜罗中学、盛泽一中2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，在ΔABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：CD//EF；
(2)如果∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数．
14．（河北省保定市阜平县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．
(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥EF．
15．（江苏省连云港市东海县2018-2019学年第二学期七年级下学期期末试题）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
16．（陕西省宝鸡市陇县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
17．（江苏省淮安市涟水县第四中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
18．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．
(1)若α=30°，说明AB∥CE；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．
19．（陕西省渭南市韩城市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F在线段BC上（不与点B，C重合），且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
(1)求证：OC∥AB；
(2)求∠EOB的度数．
20．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．
21．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．
(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：
①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．
②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．
(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．
22．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求证：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．
23．（陕西省渭南市潼关县2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
(3)在（2）的条件下，若∠BFC=117∠C，求∠AHB的度数．
24．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．
25．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
26．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
(1)求证：EG⊥FG；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
27．（四川省资阳市安岳县2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）已知，O是直线上一点，∠AOC=2∠BOC，将一直角三角板DOE绕点O旋转，其中∠DOE=90°，∠D=45°．
(1)如图1，若OC平分∠BOE，求∠BOD的度数；
(2)如图2，若DE∥OC，求∠BOE的度数．
28．（黑龙江省哈尔滨市风华中学校2022—2023学年七年级上学期期中测试数学试卷）如图，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF=180°．
(1)求证：AB∥CD．
(2)如图2，Y为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFY，∠CYF之间的数量关系．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AY，延长FY交射线AB于W，N为线段AW上一动点，若AY平分∠BAF，YN平分∠WYE，∠NWY=30°时，求2∠AYN+∠FEY的值．
29．（黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校2023-2024学年七年级上学期数学学科线上线下教学衔接学业质量检测）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．
(1)如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ；
(2)如图2，在（1）的条件下，若∠DBA=5∠ACE，∠PAG=30°，求证AB⊥AC；
(3)点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG=126∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．
30．（四川省宜宾市叙州区天池中学2023-2024学年七年级上学期11月月考数学试题）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当∠A=60∘时，求证：∠CBD=∠A．
(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，
当∠A=40∘则∠CBD=_______度，
当∠A=x∘时，则∠CBD=_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题2.7平行线的性质与判定大题专练（拔高篇，重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（吉林省吉林市亚桥中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图所示，已知AD⊥BC于点D，FE⊥BC于点E，交AB于点G，交CA的延长线于点F，且∠1=∠F.问：AD平分∠BAC吗？并说明理由．
答案:AD平分∠BAC，理由见解析
分析：根据题意易得AD∥FE且∠1=∠BAD，∠F=∠DAC，再根据等式的性质可得∠BAD=∠DAC；故AD平分∠BAC．
【详解】解：AD平分∠BAC．
理由：如图所示
∵AD⊥BC，FE⊥BC，
∴ AD∥FE，
∴∠1=∠BAD∠F=∠DAC．
又∵∠1=∠F，
∴∠BAD=∠DAC，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定及角与角相互间的等量关系．
2．（吉林省延边朝鲜族自治州敦化市红石乡中心校2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
答案:平行，理由见解析
分析：先根据角平分线的定义可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，从而可得∠ADF+∠ABE=90°，再结合∠ADF+∠AFD=90°可得∠ABE=∠AFD，然后根据平行线的判定即可得．
【详解】解：BE∥DF，理由如下：
∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADF+∠ABE=12∠ADC+∠ABC=90°，
又∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
3．（江苏省淮安市淮安经济技术开发区开明中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
(1)求证：DE∥AC；
(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数．
答案:(1)见解析
(2)∠BAC=95°
分析：（1）只需要证明∠EDA=∠CAD，即可证明DE∥AC；
（2）利用三角形内角和定理求出∠EDF=50°，进而求出∠BED=95°，再利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC；
（2）
解：∵EF⊥BD，
∴∠EFD=90°，
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°，
∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°，
∵DE∥AC，
∴∠BAC=∠BED=95°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
4．（广东省东莞市石龙第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2+∠4=180°，求证：∠BFC+∠C=180°；
(3)在（2）的条件下，若∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)∠B=50°
分析：（1）已知∠1=∠2，所以∠3=∠2，又因为∠3=∠C，可以得出∠1=∠C
即可判定AB∥CD；
（2）已知∠2=∠3，∠2+∠4=180°，可以得出BF//EC，即可得出∠BFC+∠C=180°；
（3）由（1）（2）可知AB∥CD，BF//EC，可以得出∠1=∠C，∠BFC+∠C=180°；可以得出∠BFC−30°=2∠1=2∠C，可以得出∠C，又因为∠C=∠1=∠B，即可求出∠B的度数．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠3=∠C，∠2=∠3，
∴∠1=∠C，
∴AB//CD；
（2）证明：∵∠2+∠4=180°，∠2=∠3，
∴∠3+∠4=180°，
∴BF//EC，
∴∠BFC+∠C=180°；
（3）∵∠BFC+∠C=180°，
∵∠BFC−30°=2∠1=2∠C，
∴∠BFC=2∠C+30°，
∴2∠C+30°+∠C=180°，
∴∠C=50°，
∴∠BFC=130°，
∵AB//CD，
∴∠B+∠BFC=180°，
∴∠B=50°．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
5．（辽宁省鞍山市第二中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，已知点E，F为四边形ABDC的边CA的延长线上的两点，连接DE，BF，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P．若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C．
(1)判断DE与BF是否平行？并说明理由；
(2)试说明：∠C＝2∠P．
答案:(1)DE∥BF，理由见解析
(2)说明见解析
分析：（1）根据平行线的判定得出BD∥CE，根据平行线的性质得出∠5＝∠FAB，求出∠C＝∠FAB，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠2＝∠BGD即可；
（2）求出∠BDP＝∠PDH＝∠P，根据三角形的外角性质得出即可．
（1）
解：（1）DE∥BF，
理由是：∵∠3＝∠4，
∴BD∥CE，
∴∠5＝∠FAB，
∵∠5＝∠C，
∴∠C＝∠FAB，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠BGD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BGD，
∴DE∥BF；
（2）
∵AB∥CD，
∴∠P＝∠PDH，
∵DP平分∠BDH，
∴∠BDP＝∠PDH，
∴∠BDP＝∠PDH＝∠P，
∵∠5＝∠P＋∠BDP，
∴∠5＝2∠P，
∵∠C＝∠5，
∴∠C＝2∠P．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
6．（河南省信阳市浉河区信阳文华寄宿学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
答案:(1)证明见解析
(2)CD∥OE，理由见解析
分析：（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．
【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CD∥OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD∥OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
7．（辽宁省丹东市振兴区第六中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．
(1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由．
(2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由．
答案:(1)AB∥CD，理由见解析；
(2)∠E＝∠EAB +∠DCE，理由见解析．
分析：（1）根据角平分线的定义得出∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，再根据∠1和∠2互余可知∠1+∠2＝90°，故可得出∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，进而得出结论；
（2）根据已知求出∠BAE+∠DCE＝90°，根据三角形的内角和定理可得∠E＝90°，从而证得结论．
（1）
解：AB∥CD，
理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∵∠1和∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）
∠E＝∠EAB +∠DCE，
理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAE+∠DCE＝90°，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠EAB +∠DCE．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理等知识，熟练应用平行线的判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
8．（贵州省黔西南州兴仁市黔龙、黔峰、金成学校2021-2022学年七年级下学期7月月考数学试题）如图，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°．
(1)求证：AD∥EF；
(2)若∠AEC=70°，求∠CAE的度数．
答案:(1)见解析
(2)70°
分析：（1）先根据角平分线的定义与角的和差，得到∠ACB的度数，再根据同旁内角互补可得结论；
（2）利用三角形的内角和是180°可得答案．
（1）
证明：∵CE平分∠BCF，
∴∠ECB=∠FCE，
∵∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°，
∴∠BCF=2∠ECB=40°，
∴∠ACB=40°+20°=60°，
∵∠DAC=120°，
∴∠DAC+∠ACB=120°+60°=180°，
∴AD∥EF；
（2）
解：由（1）得，∠ACE=20°+20°=40°，
∵∠AEC=70°，
∴∠CAE=180°−70°−40°=70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定和三角形的内角和定理，能熟练地运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
9．（江苏省泰州中学附属初级中学、靖江外国语学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=132°，求∠AFG的度数．
答案:(1)BF∥DE，见解析
(2)42°
分析：（1）根据同位角相等两直线平行可得GF∥BC，可证∠1=∠3，结合∠1+∠2=180°，可得∠3+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得解；
（2）由∠2=132°得∠1=48°，继而得到∠AFG的度数．
【详解】（1）解：BF∥DE；理由如下：
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1=∠3，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF∥DE；
（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=132°，
∴∠1=48°，
又∵BF⊥AC，
∴∠BFA=90°，
∴∠AFG=∠BFA−∠1=90°−48°=42°；
故∠AFG的度数为42°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是平行线的判定和性质的灵活运用，解题时注意与方程思想相结合．
10．（江苏省扬州市江都区华君外国语学校2021-2022学年七年级下学期第二次教学专项调研数学试题）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．
(1)求证：CF∥BD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
答案:(1)见解析
(2)42°
分析：（1）利用平行线的性质定理和判定定理可得结论；
（2）由∠ADB+∠FAD=180°，可得∠FAD，易得∠FAB=42°，由CF∥BD，再根据平行线的性质推出∠B=∠FAB=42°．
（1）
证明：∵AB∥CD，
∴∠C=∠FAB，
∴∠C=∠B，
∴∠B=∠FAB，
∴CF∥BD；
（2）
解：∵CF∥BD，
∴∠FAD+∠ADB=180°，
∵∠ADB=96°，
∴∠FAD=180°-96°=84°，
∵AB平分∠FAD，
∴∠FAB=12∠FAD＝12×84°=42°，
∵CF∥BD，
∴∠B=∠FAB=42°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
11．（湖北省宜昌市五峰土家族自治县2021-2022学年七年级下学期期末学业水平监测数学试题）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
答案:(1)证明见解析
(2)∠C=30°
分析：（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明∠CEA=∠EAB，从而可得答案；
（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70° 代入进行计算即可.
【详解】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠EAB=∠FGB，
∵∠CEA=∠FGB，
∴∠CEA=∠EAB，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）得，AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，
∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，
∴∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°
∴∠ABC=30°，
∴∠C=∠ABC=30°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.
12．（江苏省徐州市丰县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
答案:DG⊥BC；理由见解析
分析：根据EF⊥AB，CD⊥AB，得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠DCE=180°，根据∠1+∠2=180°，得出∠1=∠DCE，即可得出DG∥AC，根据∠ACB=90°，即可得出结果．
【详解】解：DG⊥BC；理由如下：
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2+∠DCE=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠DCE，
∴DG∥AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠DGB=∠ACB=90°，
∴DG⊥BC．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握内错角相等，两直线平行，两直线平行同旁内角互补，是解题的关键．
13．（江苏省苏州市吴江区铜罗中学、盛泽一中2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，在ΔABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：CD//EF；
(2)如果∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数．
答案:(1)见解析
(2)∠ACB＝100°
分析：（1）先根据垂直的定义得到∠BFE＝∠BDC＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明CD//EF；
（2）由于CD//EF，则∠2＝∠BCD，利用∠1＝∠2得到∠BCD＝∠1，根据内错角相等，两直线平行得到DG//BC，然后根据平行线的性质求解．
（1）
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠BDC＝90°，
∴CD∥EF；
（2）
解：∵CD//EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BCD＝∠1，
∴DG//BC，
∴∠ACB＝∠3＝100°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
14．（河北省保定市阜平县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．
(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥EF．
答案:(1)EB⊥EF，理由见解析
(2)见解析
分析：（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；
（2）由等角的余角相等可证得∠2=∠5，进而可得∠2=∠A，再由内错角相等两直线平行即可证得．
(1)
解：EB⊥EF，
理由如下：
∵EB平分∠AEC，EF平分∠AED，
∴∠3=∠4=12∠AEC，∠1=∠2=12∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠BEF=∠2+∠3=12∠AED+12∠AEC=12(∠AED+∠AEC)=12×180°=90°，
∴EB⊥EF；
(2)
证明：∵∠2+∠3=90°（已证），∠4+∠5=90°（已知），
又∵∠3=∠4，
∴∠2=∠5，
∵∠A=∠5，
∴∠2=∠A，
∴AB∥EF．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键．
15．（江苏省连云港市东海县2018-2019学年第二学期七年级下学期期末试题）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
答案:（1）证明见解析；（2）∠C=∠D，理由见解析.
分析：（1）根据对顶角相等得出∠DGH的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论；
（2）先根据BD∥CE得出∠D=∠CEF，再由∠A=∠F得出AC∥DF，据此可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠DGH=52°，∠2=128°，
∴∠DGH+∠2=180°，
∴BD∥CE；
（2）解：∠C=∠D．
理由：∵BD∥CE，
∴∠D=∠CEF．
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C=∠CEF，
∴∠C=∠D．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
16．（陕西省宝鸡市陇县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
答案:（1）AD∥BC，理由详见解析；（2）AB∥EF，理由详见解析
分析：（1）先根据补角的性质证明∠ADF=∠BCF，然后根据同位角相等两直线平行即可证明AD∥BC；
（2）根据BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E可证∠E=∠ABE，结论：AB∥EF， 然后根据内错角相等两直线平行即可证明AB∥EF．
【详解】（1）AD∥BC，
理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC；．
（2）AB∥EF，
理由是：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF．
【点睛】本题考查了补角的性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（江苏省淮安市涟水县第四中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
答案:(1)证明见解析；
(2)135°
分析：（1）由对顶角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义得到∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，再根据平行线的性质即可得解．
（1）
证明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，
∴∠EAF＝∠FCD，
∴AB∥CD；
（2）
解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，
∴∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，
由（1）知，AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BCD，
∠ABG＝135°，
故∠ABG的度数是135°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
18．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．
(1)若α=30°，说明AB∥CE；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．
答案:(1)见解析
(2)15°或165°
分析：（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）分两种情形：如图②中，当DE∥CE时，如图③中，当DE∥BC时，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵∠ACE=α=30°，∠A=30°，
∴∠ACE=∠A，
∴AB∥CE；
（2）解：如图②中，当DE∥CE时，则∠BCE=∠E=45°，
∴α=∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−45°=15°；
如图③中，当DE∥BC时，则∠BCD=∠D=90°，
∴α=∠ACE=360°−∠ACB−∠ECD−∠BCD=360°−60°−45°−90°=165°．
综上所述，α的值为15°或165°．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
19．（陕西省渭南市韩城市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F在线段BC上（不与点B，C重合），且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
(1)求证：OC∥AB；
(2)求∠EOB的度数．
答案:(1)见解析
(2)36°
分析：（1）根据BC∥OA，推出∠COA+∠C=180°，根据∠C=∠OAB，得到∠COA+∠OAB=180°，推出OC∥AB；
（2）根据OE平分∠COF，得到∠EOF=12∠COF，根据∠FOB=∠AOB=12∠FOA，推出∠EOB=12∠COA，根据BC∥OA，∠C=108°，推出 ∠COA=180°−∠C=72°，得到∠EOB=12×72°=36°．
（1）
证明：∵BC∥OA，
∴∠COA+∠C=180°.
∵∠C=∠OAB，
∴∠COA+∠OAB=180°，
∴OC∥AB；
（2）
解：∵OE平分∠COF，
∴∠EOF=12∠COF，
∵∠FOB=∠AOB=12∠FOA，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB
=12∠COF+12∠FOA
=12(∠COF+∠FOA)
=12∠COA，
∵BC∥OA，∠C=108°，
∴∠COA=180°−∠C=180°−108°=72°，
∴∠EOB=12×72°=36°．
【点睛】本题主要考查了平行线，角平分线，解决问题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义．
20．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．
答案:(1)证明见解析
(2)150°
分析：（1）过点E作EF∥AB于点F，先根据平行线的性质可得∠A=180°−∠AEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠C=180°−∠CEF，最后计算∠A−∠C即可得证；
（2）过点F作FG∥CE于点G，先根据平行线的性质可得∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，从而可得∠CEF+∠ECF=75°，再根据角平分线的定义可得∠AEC+∠ECD=150°，然后根据（1）的结论即可得．
（1）
证明：如图，过点E作EF∥AB于点F，
∴∠A=180°−∠AEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠C=180°−∠CEF，
∴∠A−∠C=180°−∠AEF−180°−∠CEF=∠AEC．
（2）
解：如图，过点F作FG∥CE于点G，
∴∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，
∵∠EFC=105°，
∴∠EFG−∠CFG=180°−∠CEF−∠ECF=105°，
解得∠CEF+∠ECF=75°，
∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，
∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF，
∴∠AEC+∠ECD=2∠CEF+∠ECF=150°，
由（1）已得：∠A−∠ECD=∠AEC，
∴∠A=∠AEC+∠ECD=150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
21．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．
(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：
①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．
②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．
(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．
答案:(1)①AD∥BC；理由见解析；②∠DFB＝115°
(2)∠DFB＝180°−12α
分析：（1）①根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
②根据角平分线的定义可求∠CBF，再根据平行线的性质可求∠DFB；
（2）作CG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝360°−2∠DFB，即可得到结论．
（1）
解：①AD∥BC，理由如下：
∵ED∥AB，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DA是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠DAB＝∠ADC，
∵∠FDC＋∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，
∴∠FBC＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠DFB＝180°−∠FBC＝115°．
（2）
作CG∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，
∴CG∥AB∥DE，
∴∠1＝180°−∠EDC，
∠2＝180°−∠ABC，
∴∠BCD＝∠1＋∠2
＝180°−∠EDC＋180°−∠ABC
＝180°−2∠EDA＋180°−2∠ABF
＝180°−2∠DAB＋180°−2∠ABF
＝360°−2（∠DAB＋∠ABF）
＝360°−2∠DFB
＝α
∴∠DFB＝180°−12α．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
22．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求证：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．
答案:(1)见解析
(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°
(3)∠A=105°
分析：（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．
（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；
（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴CM∥DE，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴AD∥NG；
（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵AD∥NG，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AN∥DH，
又∵CM∥DH，
∴BP∥CM，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，
∴∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（陕西省渭南市潼关县2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
(3)在（2）的条件下，若∠BFC=117∠C，求∠AHB的度数．
答案:(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)70°
分析：（1）只需要证明∠AEG=∠C即可证明AB∥CD；
（2）先证明∠HGE=∠AHF得到BF∥CE则∠B=∠AEG，再由∠AEG=∠C即可证明∠B=∠C；
（3）根据平行线的性质得到∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，再结合已知条件求出∠C的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC，
∴∠AEG=∠C，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠AGE+∠HGE=180°，∠AGE+∠AHF=180°，
∴∠HGE=∠AHF，
∴BF∥CE，
∴∠B=∠AEG，
又∵∠AEG=∠C，
∴∠B=∠C；
（3）解：由（2）得BF∥CE，
∴∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，
又∵∠BFC=117∠C，
∴117∠C+∠C=180°，
∴∠C=70°，
∴∠AHB=∠DGC=∠C=70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
24．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．
答案:(1)90°
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析
(3)12α
分析：（1）根据两直线平行内错角相等求出∠1=∠AEP=40°，根据两直线平分线同旁内角互补得到∠2=180°−130°=50°，进而可求出∠EPF的度数；
（2）首先根据平行线的性质得到∠PEA=∠NPE，然后根据平行线的性质得到∠FPN=∠PFC，进而可得到∠PFC=∠PEA+∠EPF；
（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，然后根据角平分线的概念得到∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，最后结合（2）的结论求解即可．
【详解】（1）解：∵AB∥PM，
∴∠1=∠AEP=40°．
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°．
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°−130°=50°．
∴∠1+∠2=40°+50°=90°．
即∠EPF=90°．
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠EPF．
理由：∵PN∥AB，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN∥AB,AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE．
（3）解：∵GH∥AB,AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，
由（2）可知，∠CFP=∠FPE+∠AEP，
∴∠HGF=12(∠FPE+∠AEP)=12(α+∠AEP)，
∴∠EGF=∠HGF−∠HGE=12(α+∠AEP)−∠HGE=12α+12∠AEP−∠HGE=12α．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
25．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
答案:(1)AB∥CD，见解析
(2)平行，理由见解析
分析：（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．
【详解】（1）解：AB∥CD，
理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵AB∥PQ,AB∥CD,
∴∠EPQ=∠BEP=12∠BEF,PQ∥CD，
∴∠FPQ=∠PFD=12∠EFD，
∴∠EPQ+∠FPQ=12(∠BEF+∠EFD),
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
26．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
(1)求证：EG⊥FG；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
答案:(1)见解析
(2)①45°；②结论：∠EOF=2∠EPF
分析：（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠BEG=∠EGH，∠DFG=∠FGH，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEB=12∠BEF，∠GFD=12∠DFE，
∴∠GEB+∠GFD=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°，
在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°，
∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，
∴EG⊥FG；
（2）解：①如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG=90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD=12(∠BEG+∠DFG)=45°，
∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，
故答案为：45°；
②结论：∠EOF=2∠EPF．
理由：如图3中，由题意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，
∴∠EOF=2∠EPF，
故答案为：∠EOF=2∠EPF．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
27．（四川省资阳市安岳县2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）已知，O是直线上一点，∠AOC=2∠BOC，将一直角三角板DOE绕点O旋转，其中∠DOE=90°，∠D=45°．
(1)如图1，若OC平分∠BOE，求∠BOD的度数；
(2)如图2，若DE∥OC，求∠BOE的度数．
答案:(1)30°
(2)165°
分析：（1）根据平角定理和∠AOC=2∠BOC，可知∠AOC=120°，∠BOC=60°，再依据OC平分∠BOE，可得∠BOE=2∠BOC=120°，又根据∠DOE=90°，进而可知∠BOD=∠BOE−∠DOE=30°；
（2）根据DE∥OC，可知∠COD=∠D=45°，再由∠AOD=180°−∠BOC−∠COD，可求出∠AOD=75°，又根据∠DOE=90°，可得∠AOE=15°，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=2∠BOC，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°
∵OC平分∠BOE，
∴∠BOE=2∠BOC=120°
又∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE−∠DOE=30°．
（2）解：∵DE∥OC，
∴∠COD=∠D
∵∠D=45°，
∴∠COD=45°
∵∠AOD=180°−∠BOC−∠COD，
∴∠AOD=75°
又∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=15°
∴∠BOE=180°−∠AOE=165°．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，角平分线定义，角的计算应用等知识，解题关键是根据图形求出各个角的度数．
28．（黑龙江省哈尔滨市风华中学校2022—2023学年七年级上学期期中测试数学试卷）如图，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF=180°．
(1)求证：AB∥CD．
(2)如图2，Y为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFY，∠CYF之间的数量关系．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AY，延长FY交射线AB于W，N为线段AW上一动点，若AY平分∠BAF，YN平分∠WYE，∠NWY=30°时，求2∠AYN+∠FEY的值．
答案:(1)见解析；
(2)∠AFY+∠CYF+∠BAF=180°；
(3)2∠AYN+∠FEY=150°．
分析：（1）根据对顶角相等结合已知求出∠AED+∠BAF=180°，根据平行线的判定得出结论；
（2）根据三角形外角的性质可得∠AED=∠AFY+∠CYF，结合∠AED+∠BAF=180°可得答案；
（3）根据平行线的性质和角平分线定义求出∠NYE=75°，∠EAY=∠AYE，由三角形外角的性质可得∠FEY=∠EAY+∠AYE=2∠AYE，再求出∠AYN=∠NYE−∠AYE=75°−∠AYE，进而可计算2∠AYN+∠FEY的值．
【详解】（1）解：∵∠CEF=∠AED，∠CEF+∠BAF=180°，
∴∠AED+∠BAF=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）可知∠AED+∠BAF=180°，
∵∠AED=∠AFY+∠CYF，
∴∠AFY+∠CYF+∠BAF=180°；
（3）解：由（1）知AB∥CD，
∴∠WYD=∠NWY=30°，
∴∠WYE=180°−∠WYD=180°−30°=150°，
∵YN平分∠WYE，
∴∠NYW=∠NYE=12∠WYE=12×150°=75°，
∵AY平分∠BAF，
∴∠EAY=∠WAY，
∵AB∥CD，
∴∠AYE=∠WAY，
∴∠EAY=∠AYE，
∴∠FEY=∠EAY+∠AYE=2∠AYE，
∵∠AYN=∠NYE−∠AYE=75°−∠AYE，
∴2∠AYN=150°−2∠AYE，
∴2∠AYN+∠FEY=150°−2∠AYE+2∠AYE=150°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
29．（黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校2023-2024学年七年级上学期数学学科线上线下教学衔接学业质量检测）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．
(1)如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ；
(2)如图2，在（1）的条件下，若∠DBA=5∠ACE，∠PAG=30°，求证AB⊥AC；
(3)点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG=126∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．
答案:(1)∠BAP=∠PAG+∠ACE
(2)证明见解析
(3)50.4°
分析：（1）由两直线平行内错角相等可得∠GAC=∠ACE，再根据AP平分∠BAC的性质即可推出数量关系；
（2）由DM∥FG得到∠DBA=∠BAG，再由∠BAP=∠PAG+∠ACE结合∠DBA=5∠ACE可列出5∠ACE=∠ACE+∠PAG+∠PAG，求得∠ACE=15°，从而得到∠BAC=90°，此题得证；
（3）设∠ACE=x，根据题意得∠PAG=45°−x，∠FAC=180°−x，再根据∠PAG=126∠FAC列方程并解出x=39.6°，最后根据余角性质求出∠ABD，此题得解．
【详解】（1）∠BAP=∠PAG+∠ACE，
证明：∵DM∥FG∥EN，AP平分∠BAC，
∴∠GAC=∠ACE，∠BAP=∠PAC，
∴∠BAP=∠PAG+∠GAC=∠PAG+∠ACE；
（2）证明：∵DM∥FG∥EN，∴∠DBA=∠BAG，
∵∠GAC=∠ACE，∠PAG=30°，∠DBA=5∠ACE，
AP平分∠BAC，∠BAP=∠PAC=∠PAG+∠ACE，
∴5∠ACE=∠ACE+∠PAG+∠PAG，∠ACE=15°，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAC+∠GAC=90°，
∴AB与AC都相交于直线FG上的A点，
并且在同一平面内，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；
（3）证明：设∠ACE=x，则∠ABD=90°−x，
∠PAG=45°−x，∠FAC=180°−x，
45°−x=126(180°−x)，解得x=39.6°
∠ABD=90°−39.6°=50.4°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质的综合题，熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键．
30．（四川省宜宾市叙州区天池中学2023-2024学年七年级上学期11月月考数学试题）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当∠A=60∘时，求证：∠CBD=∠A．
(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，
当∠A=40∘则∠CBD=_______度，
当∠A=x∘时，则∠CBD=_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
答案:(1)见解析
(2) 70 90−x2
(3)∠APB=2∠ADB，理由见解析
分析：（1）根据平行线的性质可求得∠ABN=120∘，再根据角平分线的定义求得∠CBD=12∠ABN=60∘即可证得结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义推出∠CBD=180∘−∠A2，进而求解即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠PBN=2∠NBD，∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB，进而解答即可．
【详解】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180∘，
又∵∠A=60∘，
∴∠ABN=180∘−∠A=120∘．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=12∠ABP，∠DBP=12∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12∠ABP+12∠PBN=12∠ABN=60∘，
∴∠CBD=∠A．
（2）解：∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=12∠ABP，∠DBP=12∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12∠ABP+12∠PBN=12∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180∘，
∴∠ABN=180∘−∠A，
∴∠CBD=180∘−∠A2．
当∠A=40∘时，则∠CBD=180∘−40∘2=70∘，
当∠A=x∘时，则∠CBD=180°−x°2=90−x2∘；
故答案为：70，90−x2；
（3）解：∠APB=2∠ADB.理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB，
∴∠APB=2∠ADB．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，能借助图形进行角度运算是解答的关键．
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（吉林省吉林市亚桥中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图所示，已知AD⊥BC于点D，FE⊥BC于点E，交AB于点G，交CA的延长线于点F，且∠1=∠F.问：AD平分∠BAC吗？并说明理由．
2．（吉林省延边朝鲜族自治州敦化市红石乡中心校2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
3．（江苏省淮安市淮安经济技术开发区开明中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
(1)求证：DE∥AC；
(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数．
4．（广东省东莞市石龙第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2+∠4=180°，求证：∠BFC+∠C=180°；
(3)在（2）的条件下，若∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．
5．（辽宁省鞍山市第二中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，已知点E，F为四边形ABDC的边CA的延长线上的两点，连接DE，BF，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P．若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C．
(1)判断DE与BF是否平行？并说明理由；
(2)试说明：∠C＝2∠P．
6．（河南省信阳市浉河区信阳文华寄宿学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
7．（辽宁省丹东市振兴区第六中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．
(1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由．
(2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由．
8．（贵州省黔西南州兴仁市黔龙、黔峰、金成学校2021-2022学年七年级下学期7月月考数学试题）如图，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°．
(1)求证：AD∥EF；
(2)若∠AEC=70°，求∠CAE的度数．
9．（江苏省泰州中学附属初级中学、靖江外国语学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=132°，求∠AFG的度数．
10．（江苏省扬州市江都区华君外国语学校2021-2022学年七年级下学期第二次教学专项调研数学试题）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．
(1)求证：CF∥BD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
11．（湖北省宜昌市五峰土家族自治县2021-2022学年七年级下学期期末学业水平监测数学试题）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
12．（江苏省徐州市丰县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
13．（江苏省苏州市吴江区铜罗中学、盛泽一中2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，在ΔABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：CD//EF；
(2)如果∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数．
14．（河北省保定市阜平县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．
(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥EF．
15．（江苏省连云港市东海县2018-2019学年第二学期七年级下学期期末试题）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
16．（陕西省宝鸡市陇县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
17．（江苏省淮安市涟水县第四中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
18．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．
(1)若α=30°，说明AB∥CE；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．
19．（陕西省渭南市韩城市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F在线段BC上（不与点B，C重合），且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
(1)求证：OC∥AB；
(2)求∠EOB的度数．
20．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．
21．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．
(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：
①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．
②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．
(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．
22．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求证：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．
23．（陕西省渭南市潼关县2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
(3)在（2）的条件下，若∠BFC=117∠C，求∠AHB的度数．
24．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．
25．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
26．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
(1)求证：EG⊥FG；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
27．（四川省资阳市安岳县2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）已知，O是直线上一点，∠AOC=2∠BOC，将一直角三角板DOE绕点O旋转，其中∠DOE=90°，∠D=45°．
(1)如图1，若OC平分∠BOE，求∠BOD的度数；
(2)如图2，若DE∥OC，求∠BOE的度数．
28．（黑龙江省哈尔滨市风华中学校2022—2023学年七年级上学期期中测试数学试卷）如图，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF=180°．
(1)求证：AB∥CD．
(2)如图2，Y为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFY，∠CYF之间的数量关系．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AY，延长FY交射线AB于W，N为线段AW上一动点，若AY平分∠BAF，YN平分∠WYE，∠NWY=30°时，求2∠AYN+∠FEY的值．
29．（黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校2023-2024学年七年级上学期数学学科线上线下教学衔接学业质量检测）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．
(1)如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ；
(2)如图2，在（1）的条件下，若∠DBA=5∠ACE，∠PAG=30°，求证AB⊥AC；
(3)点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG=126∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．
30．（四川省宜宾市叙州区天池中学2023-2024学年七年级上学期11月月考数学试题）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当∠A=60∘时，求证：∠CBD=∠A．
(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，
当∠A=40∘则∠CBD=_______度，
当∠A=x∘时，则∠CBD=_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题2.7平行线的性质与判定大题专练（拔高篇，重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（吉林省吉林市亚桥中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图所示，已知AD⊥BC于点D，FE⊥BC于点E，交AB于点G，交CA的延长线于点F，且∠1=∠F.问：AD平分∠BAC吗？并说明理由．
答案:AD平分∠BAC，理由见解析
分析：根据题意易得AD∥FE且∠1=∠BAD，∠F=∠DAC，再根据等式的性质可得∠BAD=∠DAC；故AD平分∠BAC．
【详解】解：AD平分∠BAC．
理由：如图所示
∵AD⊥BC，FE⊥BC，
∴ AD∥FE，
∴∠1=∠BAD∠F=∠DAC．
又∵∠1=∠F，
∴∠BAD=∠DAC，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定及角与角相互间的等量关系．
2．（吉林省延边朝鲜族自治州敦化市红石乡中心校2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
答案:平行，理由见解析
分析：先根据角平分线的定义可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，从而可得∠ADF+∠ABE=90°，再结合∠ADF+∠AFD=90°可得∠ABE=∠AFD，然后根据平行线的判定即可得．
【详解】解：BE∥DF，理由如下：
∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADF+∠ABE=12∠ADC+∠ABC=90°，
又∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
3．（江苏省淮安市淮安经济技术开发区开明中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
(1)求证：DE∥AC；
(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数．
答案:(1)见解析
(2)∠BAC=95°
分析：（1）只需要证明∠EDA=∠CAD，即可证明DE∥AC；
（2）利用三角形内角和定理求出∠EDF=50°，进而求出∠BED=95°，再利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC；
（2）
解：∵EF⊥BD，
∴∠EFD=90°，
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°，
∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°，
∵DE∥AC，
∴∠BAC=∠BED=95°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
4．（广东省东莞市石龙第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2+∠4=180°，求证：∠BFC+∠C=180°；
(3)在（2）的条件下，若∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)∠B=50°
分析：（1）已知∠1=∠2，所以∠3=∠2，又因为∠3=∠C，可以得出∠1=∠C
即可判定AB∥CD；
（2）已知∠2=∠3，∠2+∠4=180°，可以得出BF//EC，即可得出∠BFC+∠C=180°；
（3）由（1）（2）可知AB∥CD，BF//EC，可以得出∠1=∠C，∠BFC+∠C=180°；可以得出∠BFC−30°=2∠1=2∠C，可以得出∠C，又因为∠C=∠1=∠B，即可求出∠B的度数．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠3=∠C，∠2=∠3，
∴∠1=∠C，
∴AB//CD；
（2）证明：∵∠2+∠4=180°，∠2=∠3，
∴∠3+∠4=180°，
∴BF//EC，
∴∠BFC+∠C=180°；
（3）∵∠BFC+∠C=180°，
∵∠BFC−30°=2∠1=2∠C，
∴∠BFC=2∠C+30°，
∴2∠C+30°+∠C=180°，
∴∠C=50°，
∴∠BFC=130°，
∵AB//CD，
∴∠B+∠BFC=180°，
∴∠B=50°．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
5．（辽宁省鞍山市第二中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，已知点E，F为四边形ABDC的边CA的延长线上的两点，连接DE，BF，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P．若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C．
(1)判断DE与BF是否平行？并说明理由；
(2)试说明：∠C＝2∠P．
答案:(1)DE∥BF，理由见解析
(2)说明见解析
分析：（1）根据平行线的判定得出BD∥CE，根据平行线的性质得出∠5＝∠FAB，求出∠C＝∠FAB，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠2＝∠BGD即可；
（2）求出∠BDP＝∠PDH＝∠P，根据三角形的外角性质得出即可．
（1）
解：（1）DE∥BF，
理由是：∵∠3＝∠4，
∴BD∥CE，
∴∠5＝∠FAB，
∵∠5＝∠C，
∴∠C＝∠FAB，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠BGD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BGD，
∴DE∥BF；
（2）
∵AB∥CD，
∴∠P＝∠PDH，
∵DP平分∠BDH，
∴∠BDP＝∠PDH，
∴∠BDP＝∠PDH＝∠P，
∵∠5＝∠P＋∠BDP，
∴∠5＝2∠P，
∵∠C＝∠5，
∴∠C＝2∠P．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
6．（河南省信阳市浉河区信阳文华寄宿学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
答案:(1)证明见解析
(2)CD∥OE，理由见解析
分析：（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．
【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CD∥OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD∥OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
7．（辽宁省丹东市振兴区第六中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．
(1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由．
(2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由．
答案:(1)AB∥CD，理由见解析；
(2)∠E＝∠EAB +∠DCE，理由见解析．
分析：（1）根据角平分线的定义得出∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，再根据∠1和∠2互余可知∠1+∠2＝90°，故可得出∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，进而得出结论；
（2）根据已知求出∠BAE+∠DCE＝90°，根据三角形的内角和定理可得∠E＝90°，从而证得结论．
（1）
解：AB∥CD，
理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∵∠1和∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）
∠E＝∠EAB +∠DCE，
理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAE+∠DCE＝90°，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠EAB +∠DCE．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理等知识，熟练应用平行线的判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
8．（贵州省黔西南州兴仁市黔龙、黔峰、金成学校2021-2022学年七年级下学期7月月考数学试题）如图，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°．
(1)求证：AD∥EF；
(2)若∠AEC=70°，求∠CAE的度数．
答案:(1)见解析
(2)70°
分析：（1）先根据角平分线的定义与角的和差，得到∠ACB的度数，再根据同旁内角互补可得结论；
（2）利用三角形的内角和是180°可得答案．
（1）
证明：∵CE平分∠BCF，
∴∠ECB=∠FCE，
∵∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°，
∴∠BCF=2∠ECB=40°，
∴∠ACB=40°+20°=60°，
∵∠DAC=120°，
∴∠DAC+∠ACB=120°+60°=180°，
∴AD∥EF；
（2）
解：由（1）得，∠ACE=20°+20°=40°，
∵∠AEC=70°，
∴∠CAE=180°−70°−40°=70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定和三角形的内角和定理，能熟练地运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
9．（江苏省泰州中学附属初级中学、靖江外国语学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=132°，求∠AFG的度数．
答案:(1)BF∥DE，见解析
(2)42°
分析：（1）根据同位角相等两直线平行可得GF∥BC，可证∠1=∠3，结合∠1+∠2=180°，可得∠3+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得解；
（2）由∠2=132°得∠1=48°，继而得到∠AFG的度数．
【详解】（1）解：BF∥DE；理由如下：
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1=∠3，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF∥DE；
（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=132°，
∴∠1=48°，
又∵BF⊥AC，
∴∠BFA=90°，
∴∠AFG=∠BFA−∠1=90°−48°=42°；
故∠AFG的度数为42°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是平行线的判定和性质的灵活运用，解题时注意与方程思想相结合．
10．（江苏省扬州市江都区华君外国语学校2021-2022学年七年级下学期第二次教学专项调研数学试题）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．
(1)求证：CF∥BD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
答案:(1)见解析
(2)42°
分析：（1）利用平行线的性质定理和判定定理可得结论；
（2）由∠ADB+∠FAD=180°，可得∠FAD，易得∠FAB=42°，由CF∥BD，再根据平行线的性质推出∠B=∠FAB=42°．
（1）
证明：∵AB∥CD，
∴∠C=∠FAB，
∴∠C=∠B，
∴∠B=∠FAB，
∴CF∥BD；
（2）
解：∵CF∥BD，
∴∠FAD+∠ADB=180°，
∵∠ADB=96°，
∴∠FAD=180°-96°=84°，
∵AB平分∠FAD，
∴∠FAB=12∠FAD＝12×84°=42°，
∵CF∥BD，
∴∠B=∠FAB=42°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
11．（湖北省宜昌市五峰土家族自治县2021-2022学年七年级下学期期末学业水平监测数学试题）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
答案:(1)证明见解析
(2)∠C=30°
分析：（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明∠CEA=∠EAB，从而可得答案；
（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70° 代入进行计算即可.
【详解】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠EAB=∠FGB，
∵∠CEA=∠FGB，
∴∠CEA=∠EAB，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）得，AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，
∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，
∴∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°
∴∠ABC=30°，
∴∠C=∠ABC=30°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.
12．（江苏省徐州市丰县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
答案:DG⊥BC；理由见解析
分析：根据EF⊥AB，CD⊥AB，得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠DCE=180°，根据∠1+∠2=180°，得出∠1=∠DCE，即可得出DG∥AC，根据∠ACB=90°，即可得出结果．
【详解】解：DG⊥BC；理由如下：
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2+∠DCE=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠DCE，
∴DG∥AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠DGB=∠ACB=90°，
∴DG⊥BC．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握内错角相等，两直线平行，两直线平行同旁内角互补，是解题的关键．
13．（江苏省苏州市吴江区铜罗中学、盛泽一中2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，在ΔABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：CD//EF；
(2)如果∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数．
答案:(1)见解析
(2)∠ACB＝100°
分析：（1）先根据垂直的定义得到∠BFE＝∠BDC＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明CD//EF；
（2）由于CD//EF，则∠2＝∠BCD，利用∠1＝∠2得到∠BCD＝∠1，根据内错角相等，两直线平行得到DG//BC，然后根据平行线的性质求解．
（1）
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠BDC＝90°，
∴CD∥EF；
（2）
解：∵CD//EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BCD＝∠1，
∴DG//BC，
∴∠ACB＝∠3＝100°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
14．（河北省保定市阜平县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．
(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥EF．
答案:(1)EB⊥EF，理由见解析
(2)见解析
分析：（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；
（2）由等角的余角相等可证得∠2=∠5，进而可得∠2=∠A，再由内错角相等两直线平行即可证得．
(1)
解：EB⊥EF，
理由如下：
∵EB平分∠AEC，EF平分∠AED，
∴∠3=∠4=12∠AEC，∠1=∠2=12∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠BEF=∠2+∠3=12∠AED+12∠AEC=12(∠AED+∠AEC)=12×180°=90°，
∴EB⊥EF；
(2)
证明：∵∠2+∠3=90°（已证），∠4+∠5=90°（已知），
又∵∠3=∠4，
∴∠2=∠5，
∵∠A=∠5，
∴∠2=∠A，
∴AB∥EF．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键．
15．（江苏省连云港市东海县2018-2019学年第二学期七年级下学期期末试题）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
答案:（1）证明见解析；（2）∠C=∠D，理由见解析.
分析：（1）根据对顶角相等得出∠DGH的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论；
（2）先根据BD∥CE得出∠D=∠CEF，再由∠A=∠F得出AC∥DF，据此可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠DGH=52°，∠2=128°，
∴∠DGH+∠2=180°，
∴BD∥CE；
（2）解：∠C=∠D．
理由：∵BD∥CE，
∴∠D=∠CEF．
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C=∠CEF，
∴∠C=∠D．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
16．（陕西省宝鸡市陇县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
答案:（1）AD∥BC，理由详见解析；（2）AB∥EF，理由详见解析
分析：（1）先根据补角的性质证明∠ADF=∠BCF，然后根据同位角相等两直线平行即可证明AD∥BC；
（2）根据BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E可证∠E=∠ABE，结论：AB∥EF， 然后根据内错角相等两直线平行即可证明AB∥EF．
【详解】（1）AD∥BC，
理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC；．
（2）AB∥EF，
理由是：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF．
【点睛】本题考查了补角的性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（江苏省淮安市涟水县第四中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
答案:(1)证明见解析；
(2)135°
分析：（1）由对顶角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义得到∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，再根据平行线的性质即可得解．
（1）
证明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，
∴∠EAF＝∠FCD，
∴AB∥CD；
（2）
解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，
∴∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，
由（1）知，AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BCD，
∠ABG＝135°，
故∠ABG的度数是135°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
18．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．
(1)若α=30°，说明AB∥CE；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．
答案:(1)见解析
(2)15°或165°
分析：（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）分两种情形：如图②中，当DE∥CE时，如图③中，当DE∥BC时，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵∠ACE=α=30°，∠A=30°，
∴∠ACE=∠A，
∴AB∥CE；
（2）解：如图②中，当DE∥CE时，则∠BCE=∠E=45°，
∴α=∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−45°=15°；
如图③中，当DE∥BC时，则∠BCD=∠D=90°，
∴α=∠ACE=360°−∠ACB−∠ECD−∠BCD=360°−60°−45°−90°=165°．
综上所述，α的值为15°或165°．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
19．（陕西省渭南市韩城市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F在线段BC上（不与点B，C重合），且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
(1)求证：OC∥AB；
(2)求∠EOB的度数．
答案:(1)见解析
(2)36°
分析：（1）根据BC∥OA，推出∠COA+∠C=180°，根据∠C=∠OAB，得到∠COA+∠OAB=180°，推出OC∥AB；
（2）根据OE平分∠COF，得到∠EOF=12∠COF，根据∠FOB=∠AOB=12∠FOA，推出∠EOB=12∠COA，根据BC∥OA，∠C=108°，推出 ∠COA=180°−∠C=72°，得到∠EOB=12×72°=36°．
（1）
证明：∵BC∥OA，
∴∠COA+∠C=180°.
∵∠C=∠OAB，
∴∠COA+∠OAB=180°，
∴OC∥AB；
（2）
解：∵OE平分∠COF，
∴∠EOF=12∠COF，
∵∠FOB=∠AOB=12∠FOA，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB
=12∠COF+12∠FOA
=12(∠COF+∠FOA)
=12∠COA，
∵BC∥OA，∠C=108°，
∴∠COA=180°−∠C=180°−108°=72°，
∴∠EOB=12×72°=36°．
【点睛】本题主要考查了平行线，角平分线，解决问题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义．
20．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．
答案:(1)证明见解析
(2)150°
分析：（1）过点E作EF∥AB于点F，先根据平行线的性质可得∠A=180°−∠AEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠C=180°−∠CEF，最后计算∠A−∠C即可得证；
（2）过点F作FG∥CE于点G，先根据平行线的性质可得∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，从而可得∠CEF+∠ECF=75°，再根据角平分线的定义可得∠AEC+∠ECD=150°，然后根据（1）的结论即可得．
（1）
证明：如图，过点E作EF∥AB于点F，
∴∠A=180°−∠AEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠C=180°−∠CEF，
∴∠A−∠C=180°−∠AEF−180°−∠CEF=∠AEC．
（2）
解：如图，过点F作FG∥CE于点G，
∴∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，
∵∠EFC=105°，
∴∠EFG−∠CFG=180°−∠CEF−∠ECF=105°，
解得∠CEF+∠ECF=75°，
∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，
∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF，
∴∠AEC+∠ECD=2∠CEF+∠ECF=150°，
由（1）已得：∠A−∠ECD=∠AEC，
∴∠A=∠AEC+∠ECD=150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
21．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．
(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：
①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．
②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．
(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．
答案:(1)①AD∥BC；理由见解析；②∠DFB＝115°
(2)∠DFB＝180°−12α
分析：（1）①根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
②根据角平分线的定义可求∠CBF，再根据平行线的性质可求∠DFB；
（2）作CG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝360°−2∠DFB，即可得到结论．
（1）
解：①AD∥BC，理由如下：
∵ED∥AB，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DA是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠DAB＝∠ADC，
∵∠FDC＋∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，
∴∠FBC＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠DFB＝180°−∠FBC＝115°．
（2）
作CG∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，
∴CG∥AB∥DE，
∴∠1＝180°−∠EDC，
∠2＝180°−∠ABC，
∴∠BCD＝∠1＋∠2
＝180°−∠EDC＋180°−∠ABC
＝180°−2∠EDA＋180°−2∠ABF
＝180°−2∠DAB＋180°−2∠ABF
＝360°−2（∠DAB＋∠ABF）
＝360°−2∠DFB
＝α
∴∠DFB＝180°−12α．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
22．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求证：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．
答案:(1)见解析
(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°
(3)∠A=105°
分析：（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．
（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；
（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴CM∥DE，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴AD∥NG；
（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵AD∥NG，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AN∥DH，
又∵CM∥DH，
∴BP∥CM，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，
∴∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（陕西省渭南市潼关县2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
(3)在（2）的条件下，若∠BFC=117∠C，求∠AHB的度数．
答案:(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)70°
分析：（1）只需要证明∠AEG=∠C即可证明AB∥CD；
（2）先证明∠HGE=∠AHF得到BF∥CE则∠B=∠AEG，再由∠AEG=∠C即可证明∠B=∠C；
（3）根据平行线的性质得到∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，再结合已知条件求出∠C的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC，
∴∠AEG=∠C，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠AGE+∠HGE=180°，∠AGE+∠AHF=180°，
∴∠HGE=∠AHF，
∴BF∥CE，
∴∠B=∠AEG，
又∵∠AEG=∠C，
∴∠B=∠C；
（3）解：由（2）得BF∥CE，
∴∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，
又∵∠BFC=117∠C，
∴117∠C+∠C=180°，
∴∠C=70°，
∴∠AHB=∠DGC=∠C=70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
24．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．
答案:(1)90°
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析
(3)12α
分析：（1）根据两直线平行内错角相等求出∠1=∠AEP=40°，根据两直线平分线同旁内角互补得到∠2=180°−130°=50°，进而可求出∠EPF的度数；
（2）首先根据平行线的性质得到∠PEA=∠NPE，然后根据平行线的性质得到∠FPN=∠PFC，进而可得到∠PFC=∠PEA+∠EPF；
（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，然后根据角平分线的概念得到∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，最后结合（2）的结论求解即可．
【详解】（1）解：∵AB∥PM，
∴∠1=∠AEP=40°．
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°．
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°−130°=50°．
∴∠1+∠2=40°+50°=90°．
即∠EPF=90°．
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠EPF．
理由：∵PN∥AB，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN∥AB,AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE．
（3）解：∵GH∥AB,AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，
由（2）可知，∠CFP=∠FPE+∠AEP，
∴∠HGF=12(∠FPE+∠AEP)=12(α+∠AEP)，
∴∠EGF=∠HGF−∠HGE=12(α+∠AEP)−∠HGE=12α+12∠AEP−∠HGE=12α．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
25．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
答案:(1)AB∥CD，见解析
(2)平行，理由见解析
分析：（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．
【详解】（1）解：AB∥CD，
理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵AB∥PQ,AB∥CD,
∴∠EPQ=∠BEP=12∠BEF,PQ∥CD，
∴∠FPQ=∠PFD=12∠EFD，
∴∠EPQ+∠FPQ=12(∠BEF+∠EFD),
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
26．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
(1)求证：EG⊥FG；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
答案:(1)见解析
(2)①45°；②结论：∠EOF=2∠EPF
分析：（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠BEG=∠EGH，∠DFG=∠FGH，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEB=12∠BEF，∠GFD=12∠DFE，
∴∠GEB+∠GFD=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°，
在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°，
∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，
∴EG⊥FG；
（2）解：①如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG=90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD=12(∠BEG+∠DFG)=45°，
∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，
故答案为：45°；
②结论：∠EOF=2∠EPF．
理由：如图3中，由题意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，
∴∠EOF=2∠EPF，
故答案为：∠EOF=2∠EPF．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
27．（四川省资阳市安岳县2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）已知，O是直线上一点，∠AOC=2∠BOC，将一直角三角板DOE绕点O旋转，其中∠DOE=90°，∠D=45°．
(1)如图1，若OC平分∠BOE，求∠BOD的度数；
(2)如图2，若DE∥OC，求∠BOE的度数．
答案:(1)30°
(2)165°
分析：（1）根据平角定理和∠AOC=2∠BOC，可知∠AOC=120°，∠BOC=60°，再依据OC平分∠BOE，可得∠BOE=2∠BOC=120°，又根据∠DOE=90°，进而可知∠BOD=∠BOE−∠DOE=30°；
（2）根据DE∥OC，可知∠COD=∠D=45°，再由∠AOD=180°−∠BOC−∠COD，可求出∠AOD=75°，又根据∠DOE=90°，可得∠AOE=15°，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=2∠BOC，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°
∵OC平分∠BOE，
∴∠BOE=2∠BOC=120°
又∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE−∠DOE=30°．
（2）解：∵DE∥OC，
∴∠COD=∠D
∵∠D=45°，
∴∠COD=45°
∵∠AOD=180°−∠BOC−∠COD，
∴∠AOD=75°
又∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=15°
∴∠BOE=180°−∠AOE=165°．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，角平分线定义，角的计算应用等知识，解题关键是根据图形求出各个角的度数．
28．（黑龙江省哈尔滨市风华中学校2022—2023学年七年级上学期期中测试数学试卷）如图，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF=180°．
(1)求证：AB∥CD．
(2)如图2，Y为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFY，∠CYF之间的数量关系．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AY，延长FY交射线AB于W，N为线段AW上一动点，若AY平分∠BAF，YN平分∠WYE，∠NWY=30°时，求2∠AYN+∠FEY的值．
答案:(1)见解析；
(2)∠AFY+∠CYF+∠BAF=180°；
(3)2∠AYN+∠FEY=150°．
分析：（1）根据对顶角相等结合已知求出∠AED+∠BAF=180°，根据平行线的判定得出结论；
（2）根据三角形外角的性质可得∠AED=∠AFY+∠CYF，结合∠AED+∠BAF=180°可得答案；
（3）根据平行线的性质和角平分线定义求出∠NYE=75°，∠EAY=∠AYE，由三角形外角的性质可得∠FEY=∠EAY+∠AYE=2∠AYE，再求出∠AYN=∠NYE−∠AYE=75°−∠AYE，进而可计算2∠AYN+∠FEY的值．
【详解】（1）解：∵∠CEF=∠AED，∠CEF+∠BAF=180°，
∴∠AED+∠BAF=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）可知∠AED+∠BAF=180°，
∵∠AED=∠AFY+∠CYF，
∴∠AFY+∠CYF+∠BAF=180°；
（3）解：由（1）知AB∥CD，
∴∠WYD=∠NWY=30°，
∴∠WYE=180°−∠WYD=180°−30°=150°，
∵YN平分∠WYE，
∴∠NYW=∠NYE=12∠WYE=12×150°=75°，
∵AY平分∠BAF，
∴∠EAY=∠WAY，
∵AB∥CD，
∴∠AYE=∠WAY，
∴∠EAY=∠AYE，
∴∠FEY=∠EAY+∠AYE=2∠AYE，
∵∠AYN=∠NYE−∠AYE=75°−∠AYE，
∴2∠AYN=150°−2∠AYE，
∴2∠AYN+∠FEY=150°−2∠AYE+2∠AYE=150°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
29．（黑龙江省哈尔滨市第四十九中学校2023-2024学年七年级上学期数学学科线上线下教学衔接学业质量检测）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．
(1)如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ；
(2)如图2，在（1）的条件下，若∠DBA=5∠ACE，∠PAG=30°，求证AB⊥AC；
(3)点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG=126∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．
答案:(1)∠BAP=∠PAG+∠ACE
(2)证明见解析
(3)50.4°
分析：（1）由两直线平行内错角相等可得∠GAC=∠ACE，再根据AP平分∠BAC的性质即可推出数量关系；
（2）由DM∥FG得到∠DBA=∠BAG，再由∠BAP=∠PAG+∠ACE结合∠DBA=5∠ACE可列出5∠ACE=∠ACE+∠PAG+∠PAG，求得∠ACE=15°，从而得到∠BAC=90°，此题得证；
（3）设∠ACE=x，根据题意得∠PAG=45°−x，∠FAC=180°−x，再根据∠PAG=126∠FAC列方程并解出x=39.6°，最后根据余角性质求出∠ABD，此题得解．
【详解】（1）∠BAP=∠PAG+∠ACE，
证明：∵DM∥FG∥EN，AP平分∠BAC，
∴∠GAC=∠ACE，∠BAP=∠PAC，
∴∠BAP=∠PAG+∠GAC=∠PAG+∠ACE；
（2）证明：∵DM∥FG∥EN，∴∠DBA=∠BAG，
∵∠GAC=∠ACE，∠PAG=30°，∠DBA=5∠ACE，
AP平分∠BAC，∠BAP=∠PAC=∠PAG+∠ACE，
∴5∠ACE=∠ACE+∠PAG+∠PAG，∠ACE=15°，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAC+∠GAC=90°，
∴AB与AC都相交于直线FG上的A点，
并且在同一平面内，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；
（3）证明：设∠ACE=x，则∠ABD=90°−x，
∠PAG=45°−x，∠FAC=180°−x，
45°−x=126(180°−x)，解得x=39.6°
∠ABD=90°−39.6°=50.4°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质的综合题，熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键．
30．（四川省宜宾市叙州区天池中学2023-2024学年七年级上学期11月月考数学试题）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当∠A=60∘时，求证：∠CBD=∠A．
(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，
当∠A=40∘则∠CBD=_______度，
当∠A=x∘时，则∠CBD=_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
答案:(1)见解析
(2) 70 90−x2
(3)∠APB=2∠ADB，理由见解析
分析：（1）根据平行线的性质可求得∠ABN=120∘，再根据角平分线的定义求得∠CBD=12∠ABN=60∘即可证得结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义推出∠CBD=180∘−∠A2，进而求解即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠PBN=2∠NBD，∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB，进而解答即可．
【详解】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180∘，
又∵∠A=60∘，
∴∠ABN=180∘−∠A=120∘．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=12∠ABP，∠DBP=12∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12∠ABP+12∠PBN=12∠ABN=60∘，
∴∠CBD=∠A．
（2）解：∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=12∠ABP，∠DBP=12∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12∠ABP+12∠PBN=12∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180∘，
∴∠ABN=180∘−∠A，
∴∠CBD=180∘−∠A2．
当∠A=40∘时，则∠CBD=180∘−40∘2=70∘，
当∠A=x∘时，则∠CBD=180°−x°2=90−x2∘；
故答案为：70，90−x2；
（3）解：∠APB=2∠ADB.理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB，
∴∠APB=2∠ADB．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，能借助图形进行角度运算是解答的关键．
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