浙教版八年级数学下册专项6.3反比例函数综合应用(八大类型)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册专项6.3反比例函数综合应用(八大类型)(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了3 反比例函数综合应用，，与x轴交于点C．，两点．等内容，欢迎下载使用。
1.（2023•大足区模拟）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（n，﹣1），与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足S△APB＝8，求点P的坐标．
2．（2023•南充）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
3.（2023•荥阳市二模）如图，一次函数y＝mx+n的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点C，连接OC，△AOC的面积为6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）结合图象直接写出当x＜0时，不等式﹣的解集．
4.（2023•富阳区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两个点，若x1＜x2，试比较y1与y2的大小；
（3）求△AOB的面积．
5.如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．
（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．
6．（2023秋•灯塔市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．
（1）求直线EF的解析式；
（2）求△EOF的面积；
（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
7．（2023秋•天桥区校级月考）如图1，一次函数AB：y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）大的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值．
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD．
①如图2，连接OA，OC，求△OAC的面积．
②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，OC＝3．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2023春•姑苏区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．
10．（2023春•大英县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．
（1）求反比例和一次函数解析式；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；
（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
11．（2023春•沭阳县期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
12．（2023•泰安二模）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，﹣2）、B两点．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．
（2）点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果△POC的面积为3，求点P的坐标．
（3）点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．（2023春•封丘县期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB＝3，DC＝2．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）连接BD，OB，OD，求△ODB的面积．
（3）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2023•利川市模拟）如图，直线y＝mx与双曲线相交于A，B两点，A点的坐标为（1，2）．
（1）求直线和双曲线的函数表达式；
（2）在x轴正半轴上是否存在点C，使△ABC为直角三角形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（培优特训）
专项6.3 反比例函数综合应用（八大类型）
1.（2023•大足区模拟）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（n，﹣1），与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足S△APB＝8，求点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入（k2≠0）中，
得k2＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为．
将点B（n，﹣1）代入中，
得n＝3，
∴点B的坐标为（3，﹣1），
将A（﹣1，3），B（3，﹣1）代入y＝k1x+b（k1≠0）中，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2．
（2）对于一次函数y＝﹣x+2，令y＝0，
得x＝2，
∴点C的坐标为（2，0）．
设点P坐标为（a，0），
∵S△APB＝S△ACP+S△BCP＝8，
即|2﹣a|×3+|2﹣a|×1＝8，
∴|a﹣2|＝4，
解得a＝﹣2或a＝6．
∴点P的坐标为（﹣2，0）或（6，0）．
2．（2023•南充）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）设双曲线的解析式为y＝，
∵点A（1，6）在该双曲线上，
∴6＝，
解得k＝6，
∴y＝，
∵B（m，﹣2）在双曲线y＝上，
∴﹣2＝，
解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如右图所示，
直线BO的解析式为y＝ax，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3a，
解得a＝，
∴直线BO的解析式为y＝x，
，
解得或，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2），
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4，
∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
＝8×6﹣﹣﹣
＝48﹣16﹣12﹣4
＝16．
3.（2023•荥阳市二模）如图，一次函数y＝mx+n的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点C，连接OC，△AOC的面积为6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）结合图象直接写出当x＜0时，不等式﹣的解集．
【解答】解：（1）将点A（4，0），点B（0，2）代入y＝mx+n，
得，解得，
∴一次函数的解析式为．
∵＝6，OA＝4，
∴yc＝3，
把yc＝3代入，得xc＝﹣2．
∴点C的坐标为（﹣2，3）．
将点C（﹣2，3）代入，
得，
解得k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为．
（2）∵x＜0，
根据图象可知，当x＜﹣2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴不等式﹣的解集为x＜﹣2．
4.（2023•富阳区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两个点，若x1＜x2，试比较y1与y2的大小；
（3）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）将点B（2，﹣4）代入反比例函数y＝，
得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
∴反比例函数解析式：，
将点A（﹣4，n）代入，
得﹣4n＝﹣8，
解得n＝2，
∴A（﹣4，2），
将A，B点坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式：y＝﹣x﹣2；
（2）若x1＜x2，
分三种情况：
①x1＜x2＜0，y1＜y2，
②x1＜0＜x2，y1＞y2，
③0＜x1＜x2，y1＜y2；
（3）设一次函数与y轴的交点为D，则D点坐标为（0，﹣2），
∴OD＝2，
∵A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝＝6，
∴△AOB的面积为6．
5.如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．
（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，
∴y2＝；
如图，作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，
，
解得k1＝﹣，b＝﹣，
∴；
（2）由，解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝；
（3）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．
（4）如图，作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，
∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，
令x＝0，则y＝﹣，
∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．
6．（2023秋•灯塔市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．
（1）求直线EF的解析式；
（2）求△EOF的面积；
（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线EF的解析式为：y＝kx+b，
∵点B的坐标为（4，2），BA⊥y轴，BC⊥x轴，
∴点F的横坐标为4，点E的纵坐标为2，
∵点E、F都在反比例函数y＝的图象上，
∴点F的坐标为（4，1），点E的坐标为（2，2），
则，
解得：，
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+3；
（2）S△EOF＝2×4﹣×2×2﹣×4×1﹣×2×1＝3；
（3）∵点E的坐标为（2，2），
∴OE＝＝2，
当OP＝OE＝2时，点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）；
当EO＝EP时，PA＝OA＝2，
则点P的坐标为（0，4），
当PO＝PE时，点P与点A重合，
∴点P的坐标为（0，2），
综上所述，△POE是等腰三角形时，点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，4）或（0，2）．
7．（2023秋•天桥区校级月考）如图1，一次函数AB：y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）大的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值．
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD．
①如图2，连接OA，OC，求△OAC的面积．
②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）将（a，3）代入y＝x+1，
得3＝a+1，
∴a＝4，
将（4，3）代入y＝，
∴k＝12；
（2）①∵AC＝AD，A（4，3），
设C（m，n），D（z，0），
由中点公式知：
＝3，＝4
n＝6，
将n＝6代入y＝，得6＝，
∴m＝2，
∴z＝6，
∴△OAC的面积＝6×6÷2﹣6×3÷2＝9；
（3）设P（s，0），
∵A（4，3），B（0，1），
当PA＝PB时，（s﹣4）2+32＝s2+12，
解得s＝3，
∴P（3，0），
当PB＝AB时，s2+12＝42+（3﹣1）2，
解得s＝±，
∴P（，0）或P（﹣，0），
当PA＝AB时，（s﹣4）2+32＝42+（3﹣1）2，
解得s1＝4+，s2＝4﹣，
∴P（4+，0）或（4﹣，0），
综上所述，点P的坐标为（3，0）或（，0）或（﹣，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，OC＝3．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵四边形OABC为矩形，
∴△OCD为直角三角形，
∵OD＝5，OC＝3，
∴CD＝4，
∴D（4，3），
设反比例函数解析式为y＝，
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵D为BC的中点，且BC＝2CD＝8，
∴B（8，3），
∴E点横坐标为8，且E在反比例函数图象上，
在y＝中，令x＝8，可得y＝，
∴E（8，），
∴BE＝3﹣＝，且BD＝4，
∴S△DBE＝BD•BE＝×4×＝3；
（3）∵P在x轴上，
∴可设P（t，0），
∵∠DOA为锐角，
∴当△OPD为直角三角形时，有∠DPO＝90°或∠ODP＝90°，且点P在x轴正半轴上，
①当∠DPO＝90°时，则DP⊥x轴，此时P点坐标为（4，0）；
②当∠ODP＝90°时，由D（4，3），P（t，0），
∴PD2＝（t﹣4）2+32＝t2﹣8t+25，且OD2＝52＝25，OP2＝t2，
由勾股定理可得PD2+OD2＝OP2，即t2﹣8t+25+25＝t2，解得t＝，
∴P（，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（4，0）或（，0）．
9．（2023春•姑苏区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．
【解答】解：（1）将点A（1，6）代入，
∴m＝6，
∴y＝，
将B（3，n）代入y＝，
∴n＝2，
∴B（3，2），
将A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+8；
（2）设直线y＝2x+8与x轴交于D，与y轴交于点C，
∴C（0，8），D（4，0），
∴S△AOB＝S△COD﹣S△ACO﹣S△BOD＝8×4﹣8×1﹣＝8；
（3）以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形，理由如下：
设M（m，1），N（0，n），
①当AB为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（4，1），N（0，7）；
②当AM为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（2，1），N（0，5）；
③当AN为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（﹣2，1），N（0，﹣3）；
综上所述：M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（﹣2，1），N（0，﹣3）．
10．（2023春•大英县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．
（1）求反比例和一次函数解析式；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；
（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
【解答】解：（1）如图，延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝5，
∴AD＝5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k＝xy＝4×8＝32，
由菱形的性质得到B（0，5），
设直线AB的方程为：y＝ax+b（a≠0），则
，
解得，
故反比例解析式为y＝；直线AB的方程为：y＝x+5；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，
使得点D落在函数y＝（x＞0）的图象D'点处，
∴点D'的坐标为（4+m，3），
∵点D'在y＝的图象上，
∴3＝，
解得m＝，
∴0≤m；
（3）如图，存在，
理由：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD＝5，
过D作DE⊥x轴于E，过N作NF⊥y轴于F，过M作MH⊥y轴于H，
∴∠DEO＝∠ONB＝∠NOD＝90°，
∴∠BON+∠BOD＝∠BOD+∠DOE＝90°，
∴△BON≌△DOE（AAS），
∴BN＝DE＝3，ON＝OE＝4，
∴S△OBN＝OB•NF＝BN•ON，
∴NF＝，
∵点N在直线AB上，
∴N（﹣，），
设M（n，n+5），
∴MH＝n，OH＝n+5，
∵BM2＝BH2+MH2，
∴22＝（n+5﹣5）2+n2，
∴n＝±，
∵n＞0，
∴M（，）．
11．（2023春•沭阳县期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【解答】解：（1）设点P的纵坐标为m，
∵S△PAO＝．
∴，
∴m＝4，
∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝10，
∴B（6，10），
∴k＝6×10＝60，
∵点P在这个反比例函数的图象上，
∴点P的横坐标为＝15，
∴P（15，4）；
（2）如图，点P在直线y＝4上运动，
作点O关于直线y＝4的对称点O'，连接O'A，
此时PO+PA的最小值即为AO'的长，
在Rt△AOO'中，由勾股定理得，AO'＝＝10，
∴PO+PA的最小值为10；
（3）当AP＝AB＝10时，如图，AG＝4，
∴PG＝2，
∴P（6﹣2，4），
∴Q（6﹣2，14），
当点P在G的右侧时，同理Q'（6+2，14），
当BA＝BP时，如图，由勾股定理得PG＝8，
∴P（﹣2，4），
∵PQ＝10，
∴Q（﹣2，﹣6），
同理，当P在G的右侧时，Q'（14，﹣6），
当PA＝PB时，点P在AB的垂直平分线y＝5上，点P又在直线y＝4上，故不存在，
综上：Q（6﹣2，14）或（6+2，14）或（﹣2，﹣6）或（14，﹣6）．
12．（2023•泰安二模）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，﹣2）、B两点．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．
（2）点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果△POC的面积为3，求点P的坐标．
（3）点E在y轴上，反比例函数图象上是否存在一点F，使△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（a，﹣2）代入y＝，得﹣2＝，
解得：a＝﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），
将A（﹣4，﹣2）代入y＝，得﹣2＝，
解得：k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点B和点A关于原点对称，
∴B（4，2）；
（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于C，
设P（m，），则C（m，），
∵S△POC＝3，
∴，
解得：m＝2或2，
∴P（2）或（2，4）；
（3）存在，当∠F＝90°时，
∴∠BFG+∠HFE＝90°，
∵∠BFG+∠FBG＝90°，
∴∠HFE＝∠FBG，
又∵∠EHF＝∠FGB，
∴△FBG≌△HFH（AAS），
∴FG＝HE，BG＝HF，
设FH＝m，则F（m，6﹣m），
∴m（6﹣m）＝8，
解得m＝2或m＝4（舍），
∴F（2，4）；
当点E在y轴负半轴时，如图，
同理可得F（﹣4，﹣2），
当∠B＝90°时，当点F在第一象限，
设F（m，），则，
∴m＝，
∴F（，6）；
当点F在第三象限时，
设F（m，），则2﹣＝4，
解得m＝﹣4，
∴F（﹣4，﹣2），
综上：F（2，4）或（﹣4，﹣2）或（，6）．
13．（2023春•封丘县期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB＝3，DC＝2．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）连接BD，OB，OD，求△ODB的面积．
（3）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵AB＝3，
∴B点坐标轴为3，
∴3＝﹣，
∴x＝﹣2，
∴B（﹣2，3），
∵O是线段AC的中点，
∴C（2，0），
∴CD＝2，
∴D（2，2），
∴k＝4，
∴y＝；
（2）S△OBD＝S梯形ACDB﹣S△BAO﹣S△OCD
＝×（3+2）×4﹣×2×3﹣×2×2
＝10﹣3﹣2
＝5；
（3）存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形，理由如下：
设直线OB的解析式为y＝kx，
∴﹣2k＝3，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x，
设Q（t，﹣t），
①当∠PAQ＝90°时，AP＝AQ，
∴Q点与O点重合，
此时P（﹣2，2）；
②当∠APQ＝90°时，AP＝PQ，
∴t+2＝﹣t，
解得t＝﹣，
∴P（﹣2，）；
③当∠PQA＝90°时，PQ＝AQ，
∴t+2＝﹣t，
解得t＝﹣，
∴P（﹣2，）；
综上所述：P点坐标为（﹣2，2）或（﹣2，）或（﹣2，）．
14．（2023•利川市模拟）如图，直线y＝mx与双曲线相交于A，B两点，A点的坐标为（1，2）．
（1）求直线和双曲线的函数表达式；
（2）在x轴正半轴上是否存在点C，使△ABC为直角三角形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入直线y＝mx中，得，m＝2，
∴直线AB的解析式为y＝2x；
将点A（1，2）代入双曲线y＝中，得，k＝1×2＝2，
∴双曲线的解析式为y＝；
（2）存在点C，使△ABC为直角三角形，
由（1）知，直线AB的解析式为y＝2x①，双曲线的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴B（﹣1，﹣2），
∴AB2＝20，
设C（a，0），
∴AC2＝（a﹣1）2+4，BC2＝（a+1）2+4，
∵△ABC是直角三角形，
∴Ⅰ、当∠BAC＝90°时，AB2+AC2＝BC2，
∴20+（a﹣1）2+4＝（a+1）2+4，
∴a＝5，
∴C（5，0），
∴Ⅱ、当∠ABC＝90°时，AB2+BC2＝AC2，
∴20+（a+1）2+4＝（a﹣1）2+4，
∴a＝﹣5，
∴C（﹣5，0）（不符合题意，舍去），
Ⅲ、当∠ACB＝90°时，AC2+BC2＝AB2，
∴（a+1）2+4+（a﹣1）2+4＝20，
∴a＝±，
∴C（，0）或（﹣，0）（不符合题意，舍去），
∴（，0）或（5，0）