浙教版八年级数学下册专题2.2解一元二次方程-开平方和配方法(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册专题2.2解一元二次方程-开平方和配方法(知识解读)(原卷版+解析)，共12页。
1.理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；
2.理解并掌握用配方法解一元二次方程；
【知识点梳理】
知识点1：解一元二次方程-直接开方
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
方法是根据平方根的意义开平方
知识点2：解一元二次方程-配方法：
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【典例1】（2023秋•朝阳区期末）方程x2﹣4＝0的根是 ．
【变式1-1】（2023秋•龙岗区校级期末）方程2x2﹣8＝0的解是（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4
【变式1-2】（2023秋•邗江区校级期中）如果关于x的方程（x﹣4）2＝m﹣1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m＞1C．m＞﹣1D．m≥﹣1
【典例2】用直接开平方法解下列方程：
（1）49x2﹣36＝0； （2）9（x+1）2＝25．
【变式2-1】（2023秋•石泉县期末）解方程：3（2x﹣1）2﹣27＝0．
【变式2-2】（2023秋•莲湖区校级期中）解下列方程：
（1）9x2＝25； （2）6（x+2）2＝48．
【变式2-3】（2023秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣＝0．
【典例3】（2023•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【变式3-1】解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2
【变式3-2】（2x﹣3）2＝x2
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【典例4】（2023•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1
C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9
【变式4-1】（2023秋•渝中区校级期末）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+3）2＝2B．（x﹣3）2＝8C．（x﹣3）2＝2D．（x﹣6）2＝35
【变式4-2】（2023秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-3】（2023秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣3，3B．﹣3，15C．3，3D．3，15
【典例5】（2023秋•西吉县期末）用配方法解方程：
（1）x2+8x﹣20＝0． （2） （3）2x2﹣4x﹣16＝0．
【变式5-1】（2023秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【变式5-2】（2023秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．
【变式5-3】（2023春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0
专题2.2 解一元二次方程-开平方和配方法（知识解读）
【学习目标】
1.理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；
2.理解并掌握用配方法解一元二次方程；
【知识点梳理】
知识点1：解一元二次方程-直接开方
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
方法是根据平方根的意义开平方
知识点2：解一元二次方程-配方法：
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
【典例分析】
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【典例1】（2023秋•朝阳区期末）方程x2﹣4＝0的根是 ．
答案: x1＝﹣2，x2＝2
【解答】解：x2﹣4＝0，
x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝﹣2，x2＝2，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝2．
【变式1-1】（2023秋•龙岗区校级期末）方程2x2﹣8＝0的解是（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4
答案:C
【解答】解：2x2﹣8＝0，
2x2＝8，
x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2
故选：C．
【变式1-2】（2023秋•邗江区校级期中）如果关于x的方程（x﹣4）2＝m﹣1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m＞1C．m＞﹣1D．m≥﹣1
答案:A
【解答】解：根据题意得m﹣1≥0，
解得m≥1．
故选：A．
【典例2】用直接开平方法解下列方程：
（1）49x2﹣36＝0； （2）9（x+1）2＝25．
【解答】解：（1）49x2﹣36＝0，
移项，得49x2＝36，
两边同时除以49，得x2＝，
开方，得x＝±，
则方程的两个根为x1＝，x2＝﹣．
（2）9（x+1）2＝25．
两边同时除以9，得（x+1）2＝，
开方，得x+1＝±，
即x+1＝或x+1＝﹣，
则方程的两个根为x1＝，x2＝﹣．
【变式2-1】（2023秋•石泉县期末）解方程：3（2x﹣1）2﹣27＝0．
【解答】解：原方程化为：3（2x﹣1）2＝27，即（2x﹣1）2＝9，
则2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
【变式2-2】（2023秋•莲湖区校级期中）解下列方程：
（1）9x2＝25；
（2）6（x+2）2＝48．
【解答】解：（1）∵9x2＝25，
∴，
解得：或．
（2）∵6（x+2）2＝48，
∴（x+2）2＝8，
∴，
解得：或．
【变式2-3】（2023秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣＝0．
答案:x1＝，x2＝﹣
【解答】解：2（x﹣1）2﹣＝0，
移项，得2（x﹣1）2＝，
（x﹣1）2＝，
开方，得x﹣1＝，
解得：x1＝，x2＝﹣．
【典例3】（2023•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
【变式3-1】解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2
【解答】解：∵（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2
∴3x﹣1＝±（2﹣5x），
解得x＝或x＝．
【变式3-2】（2x﹣3）2＝x2
【解答】解：2x﹣3＝±x
2x﹣3＝x或2x﹣3＝﹣x
∴x1＝3，x2＝1．
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【典例4】（2023•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1
C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9
答案:C
【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．
故选：C．
【变式4-1】（2023秋•渝中区校级期末）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+3）2＝2B．（x﹣3）2＝8C．（x﹣3）2＝2D．（x﹣6）2＝35
答案:B
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8．
故选：B．
【变式4-2】（2023秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案:D
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
∴k＝4，
故选：D．
【变式4-3】（2023秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣3，3B．﹣3，15C．3，3D．3，15
答案:A
【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣6，
配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，
∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，
∴a＝﹣3，b＝3．
故选：A．
【典例5】（2023秋•西吉县期末）用配方法解方程：
（1）x2+8x﹣20＝0． （2） （3）2x2﹣4x﹣16＝0．
答案:（1）x1＝2，x2＝﹣10． （2）． （3）x1＝4，x2＝﹣2
【解答】解：（1）移项得：x2+8x＝20，
配方得：x2+8x+16＝20+16，即（x+4）2＝36，
开方得：x+4＝±6，
解得：x1＝2，x2＝﹣10．
（2）移项得：x2+x＝，
配方得：，即，
开方得：，
解得：．
（3）化简得：x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
【变式5-1】（2023秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
答案:x1＝2+，x2＝2﹣．
【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
开方得x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
【变式5-2】（2023秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．
答案:x1＝+4，x2＝﹣+4
【解答】解：x2﹣8x+13＝0，
移项，得：x2﹣8x＝﹣13，
配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，
即（x﹣4）2＝3，
开方，得：x﹣4＝±，
∴x1＝+4，x2＝﹣+4．
【变式5-3】（2023春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0
答案:x1＝1，x2＝﹣．
【解答】解：3x2+4x﹣7＝0，
3x2+4x＝7，
x2+x＝，
x2+x+（）2＝+（）2，
（x+）2＝，
x+＝±，
x1＝1，x2＝﹣．