浙教版八年级数学下册专题2.5一元二次方程的实际应用(二)(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册专题2.5一元二次方程的实际应用(二)(知识解读)(原卷版+解析)，共20页。

懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；
懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；
懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。
【知识点梳理】
知识点 1：销售利润问题 ：
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
知识点2：几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则

知识点3 ：动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
【典例分析】
【考点1：销售利润问题】
【典例1】（2023秋•龙岗区校级期末）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数．
（2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？
【变式1-1】（2023秋•洪洞县期末）2022年2月4日第24届冬奥会在北京开幕，某礼品销售商以每件8元的价格购进冬奥会纪念品，以每件10元的价格出售，每天可售出200件．销售商想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种纪念品每件的售价每提高1元，每天的销售量就会减少10件，销售这种纪念品每天获得利润为1050元，求售价是多少元．
【变式1-2】（苍南期末）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)
（1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件。
（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元。
（3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由。
【考点2：几何面积问题】
【典例2】（2023秋•中山市期末）如图，矩形ABCD是一块长16米、宽12米的荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园EFGH，在花园的外围是宽度相等的小路．要使花园所占面积为荒地面积的一半，则小路的宽为多少米？
【变式2-1】（2023秋•和平区校级期末）如图，一幅长8cm、宽6cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．
【变式2-2】（2023•宿豫区校级开学）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长36米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米．（围栏宽忽略不计）
（1）每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；
（2）每个生态园的面积能否达到60平方米？请说明理由．
【典例3】（2023秋•千山区期中）如图，一块面积为600m2的矩形试验田一面靠墙，墙长32m，另外三面用68m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2m宽的门（不包括篱笆），求这块试验田的长和宽．
【变式3-1】（2023秋•东湖区期中）如图，利用一面墙EF（最长可利用28m）围成一个矩形花园ABCD，在墙BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示），入口不用砌墙，假设有砌60m长墙的材料且恰好用完，设BC的长为xm．
（1）填空：砌AB段墙时，需 m长的砌墙材料（用含x的代数式表示）；
（2）当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为多少米？
【变式3-2】（2023秋•高昌区校级期中）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度；
（2）求x的值．
【考点3：动点与几何问题】
【典例4】（2023秋•皇姑区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）当△PBQ的面积为4cm2时，求此时t的值．
【变式4-1】（2023秋•德州期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，AC＝13cm，点M从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点N从点B出发沿BC边向点C以1cm/s的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN的面积为9cm2时，点M，N的运动时间为（ ）
A．2sB．3sC．4 sD．5s
【变式4-2】（2023秋•莲湖区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，P，Q两点分别到达B，C两点后停止移动，求几秒后△PBQ的面积是8cm2．
【变式4-3】（2023秋•惠东县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．
（1）设点Q、点P运动时间为ts，则CP＝ t cm，BQ＝ t cm．
（2）点P、点Q运动几秒时，它们相距15cm？
（3）△OCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【变式4-4】（2023秋•东台市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝ cm2；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
A款保温杯
B款保温杯
进货价（元/个）
35
28
销售价（元/个）
50
40
专题2.5 一元二次方程的实际应用（二）（知识解读）
【学习目标】
懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；
懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；
懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。
【知识点梳理】
知识点 1：销售利润问题 ：
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
知识点2：几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则

知识点3 ：动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
【典例分析】
【考点1：销售利润问题】
【典例1】（2023秋•龙岗区校级期末）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数．
（2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？
【解答】解：（1）设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个，
依题意得：，解得，
答：购进A款保温杯20个，B款保温杯30个；
（2）设B款保温杯的销售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣28）元，
∵经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，
∴平均每天可售出个，
依题意得：（a﹣28）（84﹣2a）＝96，即a2﹣70a+1224＝0，
∴（a﹣34）（a﹣36）＝0，解得a1＝34，a2＝36，
答：将B款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元．
【变式1-1】（2023秋•洪洞县期末）2022年2月4日第24届冬奥会在北京开幕，某礼品销售商以每件8元的价格购进冬奥会纪念品，以每件10元的价格出售，每天可售出200件．销售商想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种纪念品每件的售价每提高1元，每天的销售量就会减少10件，销售这种纪念品每天获得利润为1050元，求售价是多少元．
【解答】解：设售价是x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天可售出200﹣10（x﹣10）＝（300﹣10x）件，
根据题意得：（x﹣8）（300﹣10x）＝1050，
整理得：x2﹣38x+345＝0，
解得：x1＝15，x2＝23．
答：售价为15或23元时，每天获得利润为1050元．
【变式1-2】（苍南期末）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)
（1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件。
（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元。
（3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由。
答案:（1）230 （2）39或59元 （3）不能
【解答】（1）230
（2）解： 设销售价定为x元，销售利润是2610元，
[280-（x-40）×10]×（x-30）=2610,
-10(x-49)2+3610=2610，
(x-49)2=100，
x-49=10, 或x-49=-10,
∴x=59或x=39,
∴ 该纪念品的销售单价为59元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元。
（3）解： 设销售价为x, 销售利润为y, 则：
y=[280-（x-40）×10]×（x-30）
=-10x2+980x-20400
=-10(x-49)2+3610
a=-10<0, 当x=49时，y最大=3610<3700,
∴销售利润不可能达到3700元.
【考点2：几何面积问题】
【典例2】（2023秋•中山市期末）如图，矩形ABCD是一块长16米、宽12米的荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园EFGH，在花园的外围是宽度相等的小路．要使花园所占面积为荒地面积的一半，则小路的宽为多少米？
【解答】解：设小路的宽为x米，则矩形花园的长为（16﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米，
根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）＝×16×12，
整理得：x2﹣14x+24＝0，
解得：x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽为2米．
【变式2-1】（2023秋•和平区校级期末）如图，一幅长8cm、宽6cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．
【解答】解：设水平彩条宽度为xcm，则竖直彩条的宽度为2xcm，
由题意得：8x+6×2x﹣2x×x＝×8×6，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x＝1，或x＝9（不合题意舍去），
∴x＝1，2x＝2，
答：水平彩条宽度为1cm，则竖直彩条的宽度为2cm．
【变式2-2】（2023•宿豫区校级开学）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长36米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米．（围栏宽忽略不计）
（1）每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；
（2）每个生态园的面积能否达到60平方米？请说明理由．
【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
根据题意得：x•＝48，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x1＝4，x2＝8（不符合题意，舍去），
∴＝＝12．
答：每个生态园的长为12米，宽为4米．
（2）每个生态园的面积不能达到60平方米，理由如下：
设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，
根据题意得：y•＝60，
整理得：y2﹣12y+40＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×1×40＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
即每个生态园的面积不能达到60平方米．
【典例3】（2023秋•千山区期中）如图，一块面积为600m2的矩形试验田一面靠墙，墙长32m，另外三面用68m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2m宽的门（不包括篱笆），求这块试验田的长和宽．
【解答】解：设AB边长为xm，则BC边长为（68+2﹣2x）m，
根据题意得：x（68+2﹣2x）＝600，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝70﹣2×15＝40＞32，不符合题意，舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝70﹣2×20＝30＜32，符合题意．
答：这块试验田的长为30m，宽为20m．
【变式3-1】（2023秋•东湖区期中）如图，利用一面墙EF（最长可利用28m）围成一个矩形花园ABCD，在墙BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示），入口不用砌墙，假设有砌60m长墙的材料且恰好用完，设BC的长为xm．
（1）填空：砌AB段墙时，需 m长的砌墙材料（用含x的代数式表示）；
（2）当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为多少米？
【解答】解：（1）填空：砌BC段墙时，则AB＝m．
故答案为：；
（2）依题意得：x•＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．
【变式3-2】（2023秋•高昌区校级期中）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度；
（2）求x的值．
【解答】解：（1）设与墙垂直的一边长为xm，则平行于墙长一边使用的篱笆的长度为（25+1﹣2x）m，
即（26﹣2x）m；
（2）根据题意得：x（26﹣2x）＝80，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26﹣2x＝26﹣2×5＝16＞12（不符合题意，舍去）；
当x＝8时，26﹣2x＝26﹣2×8＝10＜12，符合题意；
答：x的值为8．
【考点3：动点与几何问题】
【典例4】（2023秋•皇姑区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）当△PBQ的面积为4cm2时，求此时t的值．
【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，
则PB＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm．
故答案为：2tcm；（5﹣t）cm；
（2）根据题意得：×2t（5﹣t）＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4，
当t＝4时，2t＝2×4＝8＞6，不符合题意，舍去，
∴t＝1．
答：当△PBQ的面积为4cm2时，t的值为1．
答：该公众号关注人数的月平均增长率20%．
【变式4-1】（2023秋•德州期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，AC＝13cm，点M从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点N从点B出发沿BC边向点C以1cm/s的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN的面积为9cm2时，点M，N的运动时间为（ ）
A．2sB．3sC．4 sD．5s
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，AC＝13cm，
∴BC＝＝＝5（cm）．
当运动时间为ts（0≤t≤5）时，AM＝2tcm，BN＝tcm，BM＝（12﹣2t）cm，
依题意得：BN•BM＝9，即•t（12﹣2t）＝9，
整理得：t2﹣6t+9＝0，
解得：t1＝t2＝3，
∴点M，N的运动时间为3s．
故选：B．
【变式4-2】（2023秋•莲湖区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，P，Q两点分别到达B，C两点后停止移动，求几秒后△PBQ的面积是8cm2．
答案:2秒或4秒
【解答】解：设t秒钟后，S△PBQ＝8，
则×2t（6﹣t）＝8，
t2﹣6t+8＝0，
∴t1＝2，t2＝4，
答：2秒或4秒时△PBQ的面积等于8cm2．
【变式4-3】（2023秋•惠东县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．
（1）设点Q、点P运动时间为ts，则CP＝ t cm，BQ＝ t cm．
（2）点P、点Q运动几秒时，它们相距15cm？
（3）△OCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【解答】（1）解：CP＝1×t＝t（cm），BQ＝1×t＝t（cm）；
故答案为：t；t；
（2）解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：t2+（21﹣t）2＝152，
解得：t1＝9，t2＝12，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米．
（3）解：△PCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，
依题意，得：，
整理，得：x2﹣21x+120＝0，
∵Δ＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜0，
∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
【变式4-4】（2023秋•东台市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝ cm2；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
答案:（1）8 （2）P先出发2s，Q再从C出发2s后，S△QPC＝4cm2．
（3）﹣10+8秒钟
【解答】解：（1）由题意，得×4×4＝8，
答：P、Q同时出发，经过2s，S△QPC＝8cm2．
故答案是：8；
（2）设P出发ts时S△QPC＝4cm2，则Q运动的时间为（t﹣2）秒，由题意得：
（6﹣t）•2（t﹣2）＝4，
∴t2﹣8t+16＝0，
解得：t1＝t2＝4
因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意．
答：P先出发2s，Q再从C出发2s后，S△QPC＝4cm2．
（3）设经过x秒钟后PQ＝BQ，则PC＝（6﹣x）m，QC＝2xm，BQ＝8﹣2x，
（6﹣x）2+（2x）2＝（8﹣2x）2，
解得x1＝﹣10+8，x2＝﹣10﹣8（不合题意，舍去）
答：经过﹣10+8秒钟后PQ＝BQ．
A款保温杯
B款保温杯
进货价（元/个）
35
28
销售价（元/个）
50
40