2024年湖南省长沙市望城区部分学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年湖南省长沙市望城区部分学校中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数： 4，3.14，π2，227，39中，无理数有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.亚运会会徽图案中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. a+a2=a3B. (a2b)3=a5b3C. 5y3⋅3y2=15y5D. a6÷a2=a3
4.华为Mate60Pr搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比.已知7米等于7000000000纳米.数据7000000000用科学记数法为( )
A. 0.7×108B. 0.7×109C. 7×108D. 7×109
5.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD为( )
A. 9：16
B. 3：4
C. 16：9
D. 4：3
6.为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示，下列关于“月用水量”的数据分析说法正确的是( )
A. 平均数是8B. 中位数是8C. 方差是1.5D. 众数是9
7.如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=36°，则∠ADC的度数为( )
A. 36°
B. 45°
C. 54°
D. 72°
8.不等式组x+2<0x−2≥0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9.下列一次函数中，y随x增大而增大的有( )
①y=8x−7；②y=6−5x；③y=−8+ 3x；④y=( 5− 7)x；⑤y=9x．
A. ①②③B. ①②⑤C. ①③⑤D. ①④⑤
10.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是( )
A. 14B. 16C. 18D. 112
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：9b2−a2= ______．
12.若一组数据3，−2，x，−2，3的众数是3，则这组数据的方差为______．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上.若点A的坐标是(3,4)，则点B的坐标为______．
14.如图，点M为反比例函数y=kx图象上的一点，AM⊥y轴于点A，B为y轴负半轴上一点，且满足OA=OB，连接MB与x轴交于点C，若S△BOC=1，则k= ______．
15.如图，AB是半圆O的直径，弦CD/​/AB，CD=8，弦CD与直径AB之间的距离为3，则AB= ______．
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，以BC为直径作半圆O，过点A作半圆O的切线，切点为D，过点D作DE/​/BC交BC于点E，则DE= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：2sin45°− 8+(π−1)0+| 2−1|．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
先化简，再求值：−2(a2b−14ab2+12b2)+(2a2b−3ab2)，其中a=1，b=−2．
19.(本小题6分)
如图，乐乐从地铁站A出发，沿北偏东30°方向走1000米到达博物馆B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于地铁站南偏东45°方向的图书馆C处．
(1)求乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离；
(2)如果乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿CA回到地铁站A，那么她在10分钟内能否到达地铁站A？( 2≈1.414, 3≈1.732)．
20.(本小题8分)
在某中学开展的读书活动中，为了解年七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数.根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②.请整根据相关信息，解答下列问题：

(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______；
(Ⅱ)这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数；
(Ⅲ)根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数．
21.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：
(1)AE=AC；
(2)直线AD是线段CE的垂直平分线．
22.(本小题9分)
已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分.某超市花了3800元购进一批该品牌的饮料，共1000瓶，其中大瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示：
(1)该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶？
(2)在大瓶饮料售出200瓶，小瓶饮料售出100瓶后，商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销售，并把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品，在顾客一次性购买大瓶饮料时，每满2瓶就送1瓶小瓶饮料，送完即止.超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出多少瓶？
23.(本小题9分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为CD的中点，连接OE并延长到点F，使得OE=EF，连接CF，DF．
(1)求证：四边形OCFD是矩形；
(2)若AB=5，sin∠DOF=35，求BD的长．
24.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过C作∠DCE，使∠DCE=2∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)如图2，点F是⊙O上一点，且满足∠FCE=2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．
①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；
②若CD=4，tan∠BCE=12，求线段AF的长．
25.(本小题10分)
如图，二次函数y=x2+bx+c的对称轴是直线x=1，图象与x轴相交于点A(−1,0)和点B，交y轴于点C．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)点P是对称轴上一点，当△BOC∽△APB时，求点P的坐标(请在图1中探索)；
(3)二次函数图象上是否存在点M，使△ABC的面积S1与△ABM的面积S2相等？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 4=2，是有理数，不是无理数，
3.14和227是有理数，不是无理数，
所以无理数有π2，39(共2个)．
故选：B．
根据无理数的定义逐个判断即可．
本题考查了无理数，能熟记无理数的定义(无理数是指无限不循环小数)是解此题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称，不符合题意；
D、不是轴对称，不符合题意；
故选：A．
根据轴对称图形的概念即可求解．在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．
本题考查了轴对称图形，能找准对称轴是本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，故不合题意；
B、(a2b)3=a6b3，故不合题意；
C、5y3⋅3y2=15y5，故符合题意；
D、a6÷a2=a4，故不合题意；
故选：C．
直接根据单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则计算即可．
此题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，掌握其运算法则是解决此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：7000000000大于1，用科学记数法表示为a×10n，其中a=7，n=9，
∴7000000000用科学记数法表示为7×109．
故选：D．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为a×10n，其中1≤a<10，n的值为整数位数少1，进行作答即可．
本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，确定a，n的值是关键．
5.【答案】D
【解析】解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ACD=12AB⋅DE：12AC⋅DF=AB：AC=8：6=4：3．
故选：D．
作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线的性质可知，DE=DF，再由三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：这组数据的平均数为6×2+8×3+9×6+10×92+3+6+9=9(吨)，因此选项A不符合题意；
将这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为9+92=9，所以中位数为9，因此选项B不符合题意；
这组数据的方差为120×[2×(6−9)2+(8−9)2×3+(9−9)2×6+(10−9)2×9]=1.5，因此选项C符合题意；
这组数据出现次数最多的是10吨，共出现9次，所以用水量的众数是10，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可．
本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的前提．
7.【答案】C
【解析】解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−∠CAB=54°，
∴∠ADC=∠ABC=54°，
故选：C．
如图，连接BC.求出∠ABC即可解决问题．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：x+2<0①x−2≥0②，
解不等式①得：x<−2，
解不等式②得：x≥2，
∴原不等式组无解，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：①在一次函数y=8x−7中，k=8>0，则此函数中y随x增大而增大，故本选项符合题意；
②在一次函数y=6−5x中，k=−5<0，则此函数中y随x增大而减小，故本选项不符合题意；
③在一次函数y=−8+ 3x中，k= 3>0，则此函数中y随x增大而增大，故本选项符合题意；
④在一次函数y=( 5− 7)x中，k=( 5− 7)<0，则此函数中y随x增大而减小，故本选项不符合题意．
⑤在正比例函数y=9x中，k=9>0，则此函数中y随x增大而增大，故本选项符合题意；
故选：C．
根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
10.【答案】B
【解析】解：将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为A，B，C，D，
用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即AB，BA，
所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是212=16，
故选：B．
本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
本题考查了用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是掌握概率的求法．
11.【答案】(3b+a)(3b−a)
【解析】解：原式=(3b)2−a2
=(3b+a)(3b−a)．
故答案为：(3b+a)(3b−a)．
直接利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了平方公式分解因式，关键是熟练掌握平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
12.【答案】6
【解析】解：∵数据3，−2，x，−2，3的众数是3，
∴x=3，
则数据为3，−2，3，−2，3
∴这组数据的平均数为：−2−2+3+3+35=1，
∴这组数据的方差为：15×[2×(−2−1)2+3×(3−1)2]=6；
故答案为：6．
先根据众数的概念得出x=3，再依据方差的定义计算可得．
本题主要考查众数和方差，掌握方差的计算是解题的关键．
13.【答案】(8,4)
【解析】解：∵点A的坐标是(3,4)，
∴OA=5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA=AB=5，
则点B的坐标为(8,4)．
故答案为：(8,4)．
根据点A的坐标是(3,4)，可得OA的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点B的坐标．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
14.【答案】4
【解析】解：连接OM，
∵OA=OB，
∴AB=OA+OB=2OB，
∵AM⊥y轴于点A，OC⊥y轴于点O，
∴AM//OC，
∴△ABM∽△OBC，
∵OA=OB，AM⊥y轴于点A，
∴S△AOM=S△BOM，
∵12|k|=S△AOM，
∴|k|=4，
∵点M为反比例函数y=kx在第一象限图象上的一点，
∴k>0，
∴k=4，
故答案为：4．
连接OM，证明△ABM∽△OBC，利用三角形中线性质得到OC=AM2则12|k|=S△AOM，根据反比例函数图象所在象限即可得到答案．
此题考查了利用图形面积求反比例函数的比例系数，掌握反比例函数k的几何意义是关键．
15.【答案】10
【解析】解：过O作OH⊥CD于H，
∴CH=12CD=12×8=4，
∵AB/​/CD，
∴OH⊥AB，
∴OH=3，
∴OC= OH2+CH2=5，
∴AB=2OC=10．
故答案为：10．
过O作OH⊥CD于H，由垂径定理得到CH=12CD=4，由AB/​/CD，得到OH⊥AB，因此OH=3，由勾股定理求出OC= OH2+CH2=5，即可得到AB=2OC=10．
本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出OC的长．
16.【答案】95
【解析】解：延长AD交CB的延长线于F点，过D点作DG⊥BC于G点，过O点作OH⊥DE于H点，连接OD，如图，
∵∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴AC为⊙O的切线，
∵AD为⊙O的切线，
∵OD⊥AD，AD=AC=3，
∴∠FDO=90°，
∴∠DFO=∠CFA，∠FDO=∠FCA，
∴△FDO∽△FCA，
∴FOFA=ODAC=323=12，
设FO=x，则FA=2x，
∴FD=2x−3，
在Rt△FDO中，(32)2+(2x−3)2=x2，
解得x=52，
即OF=52，
∵12DG⋅OF=12OD⋅DF，
∴DG=32×252=65，
∴OG= (32)2−(65)2=910，
∵DE/​/BC，DG⊥BC，OH⊥DE，
∴四边形OGDH为矩形，
∴DH=OG=910，
∵OH⊥DE，
∴DH=EH，
∴DE=2DH=95．
故答案为：95．
延长AD交CB的延长线于F点，过D点作DG⊥BC于G点，过O点作OH⊥DE于H点，连接OD，如图，先证明AC为⊙O的切线，则利用切线的性质和切线长定理得到OD⊥AD，AD=AC=3，接着证明△FDO∽△FCA，利用相似比得到FOFA=ODAC=12，则设FO=x，FA=2x，所以FD=2x−3，接下来在Rt△FDO中利用勾股定理得到(32)2+(2x−3)2=x2，解方程得到OF=52，则利用面积法可求出DG=65，然后利用勾股定理计算出OG=910，最后利用垂径得到DE的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和勾股定理．
17.【答案】解：2sin45°− 8+(π−1)0+| 2−1|，
=2× 22−2 2+1+ 2−1，
= 2−2 2+1+ 2−1，
=0．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式=−2a2b+12ab2−b2+2a2b−3ab2
=−b2−52ab2，
当a=1，b=−2时，
原式=−(−2)2−52×1×(−2)2
=−14．
【解析】先去括号，再合并同类项，化简后将a，b的值代入即可．
本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则把所求式子化简．
19.【答案】解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ADB中，AB=1000米，∠B=30°，
则AD=12AB=500(米)，
答：乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离为500米；
(2)在Rt△ADC中，∠C=45°，
则AC= 2AD=500 2(米)，
∵500 2≈707，707÷80≈8.8<10，
∴乐乐在10分钟内能到达地铁站A．
【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD；
(2)根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据题意求出乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿CA回到地铁站A所需的时间，比较大小得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】40 25 3和3
【解析】解：(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为：4÷10%=40(人)，
m%=1040×100%=25%，
即图①中的m的值是25，
故答案为：40，25；
(Ⅱ)平均数：x−=1×4+2×8+3×15+4×10+5×340=3(册)，
∵3出现的次数最多，
∴众数是3册，
被抽查的40个学生读书册数从小到大排列，排在第20和21位的两个数分别为3，
故中位数是3册．
即本次调查获取的样本数据的平均数是3册、众数是3册、中位数是3册．
故答案为：3，3；
(Ⅲ)∵3×400=1200，
∴根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数为1200册．
(Ⅰ)由两个统计图可知，读书1册的有4人，占调查人数的10%，可求出调查人数；进而求出读书4册的人数的所占的百分比，确定m的值；
(Ⅱ)根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
(Ⅲ)样本估计总体，计算样本读书的总数，估计总体即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】证明：(1)∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
AD=ADDE=DC，
∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，
∴AE=AC；
(2)∵AE=AC，
∴点A在线段CE的垂直平分线上，
∵DE=DC，
∴点D在线段CE的垂直平分线上，
∴AD是线段CE的垂直平分线．
【解析】(1)根据角平分线的性质求出DE=DC，利用HL证明Rt△AED≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质即可得证；
(2)根据线段垂直平分线的判定定理即可得证．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设该超市购进x瓶大瓶饮料，y瓶小瓶饮料，
根据题意得：x+y=10005x+2y=3800，
解得：x=600y=400．
答：该超市购进600瓶大瓶饮料，400瓶小瓶饮料；
(2)设小瓶饮料作为赠品送出m瓶，
根据题意得：7×600+3×100+(3−0.5)(400−100−m)−3800≥1250，
解得：m≤80，
∴m的最大值为80．
答：小瓶饮料作为赠品最多只能送出80瓶．
【解析】(1)设该超市购进x瓶大瓶饮料，y瓶小瓶饮料，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合该超市花了3800元购进1000瓶该品牌的饮料，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设小瓶饮料作为赠品送出m瓶，利用总利润=销售单价×销售数量−进货总价，结合总利润不低于1250元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：∵E为CD的中点，
∴EC=ED．
∵EF=EO，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCFD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=5，BD=2OD，
∵四边形OCFD是矩形，
∴OF=CD=5，∠ODF=90°，OC=DF，
∵sin∠DOF=DFOF=35，
即DF5=35，
∴OC=DF=3，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD= CD2−OC2= 52−32=4，
∴BD=2OD=2×4=8．
【解析】(1)先证四边形OCFD是平行四边形，再由菱形的性质得出∠DOC=90°，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得出CD=AB=5，BD=2OD，再由矩形的性质得出OF=CD=5，∠ODF=90°，OC=DF，进而由锐角三角函数定义求出OC=DF=3，然后由勾股定理求出OD4，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质以及菱形的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，

∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵CD⊥AB，
∴∠OBC+∠BCD=90°，
∵∠DCE=2∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：①线段CF与CD之间满足的数量关系是：CF=2CD，
理由如下：如图2，过O作OH⊥CF于点H，连接CO，

∴CF=2CH，
∵∠FCE=2∠ABC=2∠OCB，且∠BCD=∠BCE，
∴∠OCH=∠OCD，
∵OC为公共边，
∴△COH≌△COD(AAS)，
∴CH=CD，
∴CF=2CD；
②过点C作CP⊥FG，连接BF，过点C作CH⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵∠BCD=∠BCE，tan∠BCE=12，
∴tan∠BCD=12．
∵CD=4，

∴BD=CD⋅tan∠BCD=2，
∴BC= CD2+BD2=2 5，
由①得：CF=2CD=8，
设OC=OB=x，则OD=x−2，
在Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，
∴x2=(x−2)2+42，
解得：x=5，即OB=5，
∵OC⊥GE，
∴∠OCF+∠FCG=90°，
∵∠OCD+∠COD=90°，∠FCO=∠OCD，
∴∠GCF=∠COB，
∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形，
∴∠GFC=∠ABC，
∴△GFC∽△CBO，
∴FGCB=FCBO=GCCO，
∴FG2 5=85=GC5，
∴FG=16 55,GC=8．
∵CP⊥FG，
∴PF=12FG=8 55，
∴PC= CF2−PF2= 82−(8 55)2=16 55，
∵∠CPF=∠PFB=∠CHF=90°，
∴四边形PFHC是矩形，
∴FH=PC=16 55,CH=PF=8 55，
∴BH= CB2−CH2= (2 5)2−(8 55)2=6 55，
∴BF=FH+BH=16 55+6 55=22 55，
∴AF= AB2−BF2= 102−(22 55)2=4 55．
【解析】(1)如图1，连接OC，根据等边对等角得：∠OBC=∠OCB，由垂直定义得：∠OBC+∠BCD=90°，根据等量代换可得：∠OCB+∠BCE=90°，即OC⊥CE，可得结论；
(2)①如图2，过O作OH⊥CF于点H，证明△COH≌△COD，则CH=CD，得CF=2CD；
②过点C作CP⊥FG，连接BF，过点C作CH⊥BF，先根据勾股定理求BC= CD2+BD2=2 5，则CF=2CD=8，设OC=OB=x，则OD=x−2，根据勾股定理列方程得：x2=(x−2)2+42，可得x的值，证明△GFC∽△CBO，列比例式可得FG的长，再求解即可．
此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明△GFC∽△CBO是关键．
25.【答案】解：(1)由题意得：x=−b2×1=11−b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
∴二次函数的解析式是y=x2−2x−3；
(2)设对称轴与x轴交于点D，
由(1)及已知得，OB=OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
又∵点P在对称轴上，且△BOC∽△APB，
∴△APB是等腰直角三角形，∠APB=90°，
∴AD=PD=2，
当点P在x轴上方时，坐标是(1,2)，
当点P在x轴下方时，坐标是(1,−2)，
∴综上，点P的坐标是(1,2)或(1,−2)；
(3)存在，理由：
点M1和点C(0,−3)关于对称轴x=1对称，
∴点M1的坐标是(2,−3)，
点C(0,−3)关于x轴的对称点C′(0,3)，
∵S1=S2，
∴x2−2x−3=3，
解得：x1=1+ 7，x2=1− 7，
∴M2(1+ 7,3)，M3(1− 7,3)，
∴点M的坐标是(2,−3)或(1+ 7,3)或(1− 7,3)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)证明△APB是等腰直角三角形，∠APB=90°，则AD=PD=2，即可求解；
(3)点M1和点C(0,−3)关于对称轴x=1对称，则点M1的坐标是(2,−3)，点C(0,−3)关于x轴的对称点C′(0,3)，由S1=S2，得到x2−2x−3=3，即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、等腰直角三角形的性质、点的对称等，分类求解是解题的关键．月用水量/吨
6
8
9
10
户数
2
3
6
9
大瓶
小瓶
进价(元/瓶)
5
2
售价(元/瓶)
7
3
A
B
C
D
A
−
BA
CA
DA
B
AB
−
CB
DB
C
AC
BC
−
DC
D
AD
BD
CD
−