2023-2024学年山西省晋中市介休市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省晋中市介休市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.不等式2x+1>3的解集是( )
A. x>1B. x<−1C. x<−2D. x>2
2.“二十四节气”反映了天气变化，指导农业耕作，也影响着人们的生活.四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行.如图所示是某高架桥前的限高标志牌，标志牌上标的数据为2.9m，则下列装载高度的车辆能通过此桥洞的是( )
A. 3m
B. 3.5m
C. 2.95m
D. 2.5m
4.请阅读以下关于解答“在△ABC中，AB=AC，求证：∠ABC<90°”的过程：
证明：假设∠ABC⩾90°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB⩾90°．
∴∠ABC+∠ACB⩾180°．
这与“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾．
∴假设不成立．
∴∠ABC<90°．
这种证明方法是( )
A. 综合法B. 反证法C. 枚举法D. 归纳法
5.如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=2x−1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知，关于x的不等式2x−1>kx+b的解集是( )
A. x<2
B. x<3
C. x>2
D. x>3
7.如图，已知∠EAD=32°，△ADE绕着点A逆时针旋转45°后能与△ABC重合，则∠BAE的度数是( )
A. 18°
B. 13°
C. 32°
D. 24°
8.如图，将直角梯形ABCD沿AB方向向下平移2个单位得到直角梯形EFGH，已知BC=6，∠A=90°，∠C=45°，则阴影部分的面积为( )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 5 2
9.小涵家距图书馆的路程是8km，他骑自行车前往图书馆看书，上午8：30出发，先以15km/h的速度骑行了x小时，随后以18km/h的速度骑行，结果他在9：00之前赶到了图书馆.根据题意列出的不等式为( )
A. 8−15x18<12+xB. 15x−818<12+xC. 8−15x18+x<12D. 15x−818+x<12
10.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C等于( )
A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式12(x+3)≤5的最大正整数解是______．
12.如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为1的正方形．△DEF是由△ABC旋转得到的，则旋转中心的坐标为______．
13.体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次.小宇同学要想得分不低于28分，则他至少需要投进______个球．
14.如图1是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小强锻炼时上半身由ON位置运动到与底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知ON=0.7米，α=30°，则M、N两点的距离是______米.(精确到0.1米，参考数据： 3≈1.73， 2≈1.41)
15.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC= 5，BC=2，AD平分∠BAC，GE垂直平分AC交AD于点F，则AF的长是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
下面是小颖同学解一元一次不等式2+x3>2x−15的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得5(2+x)>3(2x−1)，……第一步
去括号，得10+5x>6x−3，……第二步
移项，得5x−6x>−3−10……第三步
合并同类项，得−x>−13，……第四步
两边都除以−1，得x>13.……第五步
(1)第一步变形的依据是______；第三步变形的依据是______；
(2)第二步变形所依据的运算律是______；
(3)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______：
(4)请直接写出该不等式正确的解集．
17.(本小题12分)
解下列不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集：
(1)−12x≥−17(x−1)>−14；
(2)5x+2≥3(x−1)1−2x+53>x−2．
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)在BC边上求作一点P，使点P到边AB、AC的距离相等；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若AC=5，AB=13，求CP的长．
19.(本小题8分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度.已知△ABC的三个顶点坐标分别为：A(0,−2)，B(3,−1)，C(2,1)．
(1)经过一次平移，△ABC的顶点A移到了A1(−3,0)，请在图①中画出△ABC平移后的△A1B1C1，并直接写出平移距离为______；
(2)以点A为旋转中心，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°，请在图②中画出旋转后的△A2B2C2，并直接写出△ABC2的面积为______．
20.(本小题7分)
应用题：
2024年，随着“美丽乡村”建设目标的推进，农村的道路、供水、供热、电力等基础设施将得到全面改善.某工程队承包了农村集中供热管道改造项目，此项目工程需要铺设10000米的管道任务，该工程队平均每天铺设管道125米，在管道铺设了20天后，为了缩短工期，经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内(含50天)完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多长管道？
21.(本小题11分)
请阅读下列材料，完成相应的任务．
认识“倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线.所谓倍长中线法，即延长边上(不一定是底边)的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．
如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点H.使DH=AD.连接BH，在△ADC和△HDB中，AD=HD，∠ADC=∠HDB.CD=BD，所以，△ADC≌△HDB(依据)，进一步可得到AC=BH，AC/​/BH等结论．

任务：
(1)上述材料中△ADC≌△HDB的依据是______；
(2)如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F，AF=EF，求证：AC=BE；
(3)如图3，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB=5，AC=3，AD=2，请你直接写出BC的长．
22.(本小题10分)
一年之计在于春，春天是耕种的好时期，对于农民朋友来说，要尽早做好春耕播种的准备工作，以便为夏粮丰收打下坚实基础.某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择．
方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；
方案二：购买3千克以内(含3千克)的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折．
某采购者计划采购x千克“黄金一号”玉米种子，请解答下列问题：
(1)设按方案一采购玉米种子的付款金额为y1元，按方案二采购玉米种子的付款金额为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的关系式；
(2)若你去购买一定量的玉米种子，你会怎样选择方案？说明理由．
23.(本小题12分)
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．
(1)如图1，若α=60°时，连接BE，求证：AB=BE；
(2)如图2，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(3)如图3，BC=1，点Q是线段AC上的一个动点，点M是线段AB上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请求出满足条件的BM的长；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵2x+1>3，
∴2x>3−1，
∴2x>2，
则x>1，
故选：A．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2.【答案】D
【解析】解：A.原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】D
【解析】解：设装载高度为x m，
则x≤2.9，
∵2.5<2.9，
∴下列装载高度的车辆能通过此桥洞的是2.5m．
故选：D．
设装载高度为x m，然后结合已知条件列得不等式，再根据各项数值进行判断即可．
本题考查不等式的解集，结合已知条件列得x≤2.9是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：本题第一步：假设命题的结论不成立，
第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出与“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾，
第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，
这种证明方法是反证法，
故选：B．
根据反证法的一般步骤进行判断．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5.【答案】B
【解析】解：A选项是原图形的对称图形故不正确；
B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；
C选项Rt△A′O′B不是将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到的，故C不正确；
D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；
故选：B．
根据旋转性质判断即可．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握并应用旋转的性质是解题的关键，重点注意旋转的方向和角度．
6.【答案】C
【解析】解：根据图象可得：不等式2x−1>kx+b的解集为：x>2，
故选：C．
以两函数图象交点为分界，直线y=kx+b(k≠0)在直线y=2x−1的下方时，x>2．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：∠BAD=45°，
∵∠EAD=32°，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=45°−32°=13°，
故选：B．
根据△ADE绕着点A逆时针旋转45°后能与△ABC重合，即可得到∠BAD=45°，由∠EAD=32°即可求解．
本题考查了旋转的性质，角度的和差计算，掌握旋转的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥FG于点Q，
由平移的性质可知：BF=PQ=2，FG=BC=6，S梯形ABCD=S梯形EFGH，∠G=∠C=45°，
∴S梯形ABCD−S梯形EBPH=S梯形EFGH−S梯形EBPH，
∴S阴影部分=S梯形BFGP，
在Rt△PQG中，PQ=2，∠G=45°，
∴QG=PQ=2，
∴BP=FQ=6−2=4，
∴S阴影部分=S梯形BFGP=12(4+6)×2=10，
故选：B．
过点P作PQ⊥FG于点Q，根据平移的性质得到BF=PQ=2，FG=BC=6，S梯形ABCD=S梯形EFGH，∠G=∠C=45°，根据等腰三角形的性质求出QG，进而求出BP，再根据梯形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质、梯形的面积计算，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得：8−15x18+x<12．
故选：C．
由上午8：30出发，先以15km/h的速度行驶了x小时，然后以18km/h的速度行驶，结果在9：00前赶到了书店，可得不等关系为骑自行车前往图书馆所用的时间<12．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
10.【答案】A
【解析】解：在DC上截取DE=DB，连接AE．
设∠BCA=α，
∵AB+BD=DC，DE=DB，
∴CE=AB．
∵AD⊥BC，DB=DE，
∴直线AD是BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴CE=AE，
∴∠BCA=∠CAE．
∵AB=AE，
∴∠CBA=∠AEB．
∵∠AEB是△CAE的一个外角，
∴∠AEB=∠BCA+∠CAE，
∴∠CBA=∠AEB=2α，
∴∠CBA+∠BCA=3α=180°−120°=60°，
∴α=20°，
∴∠BCA=20°．
故选：A．
在DC上截取DE=DB，连接AE.证明△ABE，△AEC都是等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
11.【答案】7
【解析】解：解不等式12(x+3)≤5得：x≤7，
因此不等式12(x+3)≤5的最大正整数解是7．
故答案为：7．
根据不等式的性质解答即可．
本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．
12.【答案】(3,2)
【解析】解：设旋转中心为M点．
∵△DEF是由△ABC旋转得到的，
∴M在线段AD的中垂线上，
∵A(1,0)，D(1,4)，
∴点M在直线y=2上，即点M的纵坐标为2．
设M(x,2)，
∵M在线段BE的中垂线上，
∴ME=MB，
∵E(1,3)，B(2,0)，
∴(x−1)2+(2−3)2=(x−2)2+(2−0)2，
解得x=3．
∴旋转中心M的坐标为(3,2)．
故答案为(3,2)．
设旋转中心为M点．根据旋转中心必然在一组对应点的中垂线上，可得M在线段AD的中垂线上，所以点M的纵坐标为2.设M(x,2)，又M在线段BE的中垂线上，所以ME=MB，依此列出方程，求解即可．
本题考查了坐标与图形变化−旋转，掌握旋转的性质：旋转中心在一组对应点的中垂线上是解题的关键．也考查了两点间的距离公式．
13.【答案】10
【解析】解：设小宇同学投进了x个球，则投丢(12−x)个球，
根据题意得：3x−(12−x)≥28，
解得：x≥10，
∴x的最小值为10，即他至少需要投进10个球．
故答案为：10．
设小宇同学投进了x个球，则投丢(12−x)个球，利用得分=3×投进球的数量−1×投丢球的数量，结合得分不低于28分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14.【答案】1.2
【解析】解：如图：过点N作NF⊥MO，交MO的延长线于点F，
由题意得：OM=ON=0.7米，NF/​/BE，
∴∠ANF=∠ABE=α=30°，
在Rt△ONF中，ON=0.7米，
∴∠FON=90°−∠ANF=60°，OF=12ON=0.35(米)，FN= 3OF=0.35 3(米)，
∴MF=OM+OF=0.7+0.35=1.05(米)，
∵∠FON是△MON的一个外角，
∴∠FON=∠OMN+∠ONM=60°，
∵OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM=12∠FON=30°，
在Rt△MFN中，MN=2FN=0.7 3≈1.2(米)，
∴M、N两点的距离约为1.2米，
故答案为：1.2．
过点N作NF⊥MO，交MO的延长线于点F，根据题意可得：OM=ON=0.7米，NF/​/BE，从而可得∠ANF=∠ABE=α=30°，再在Rt△ONF中，利用直角三角形的边角关系可得∠FON=60°，OF=0.35米，FN=0.35 3米，从而可得MF=1.05米，然后利用三角形的外角性质可得∠FON=∠OMN+∠ONM=60°，从而利用等腰三角形的性质可得∠OMN=∠ONM=30°，再在Rt△MFN中，利用含30度角的直角三角形的性质可得MN=2FN=0.7 3米，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】54
【解析】解：等腰三角形ABC中，AB=AC= 5，BC=2，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BD，BD=CD=12BC=1，
∴AD= AB2−BD2= ( 5)2−12=2，
连接CE，
∵GE垂直平分AC交AD于点F，
∴AF=CF，
设AF=x，则DF=AD−x=2−x，CF=AF=x，
在Rt△CDF中，DF2+CD2=CF2，
即(2−x)2+12=x2，
解得x=54，
∴AF=54，
故答案为：54．
先根据等腰三角形的性质得出BD=CD=12BC，再根据勾股定理求出AD的长，连接CE，由线段垂直平分线的性质可知AF=CF，设AF=x，则DF=AD−x，在Rt△CDF中，利用勾股定理求出x的值即可．
本题考查的是等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
16.【答案】不等式的基本性质2 不等式的基本性质1 乘法分配律 五 不等式两边同时除以−1，不等号方向没有改变
【解析】解：(1)第一步变形的依据是“不等式的基本性质2”；
第三步变形的依据是“不等式的基本性质1”；
故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1；
(2)第二步变形所依据的运算律是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
(3)第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以−1，不等号方向没有改变，
故答案为：五，不等式两边同时除以−1，不等号方向没有改变；
(4)去分母，得5(2+x)>3(2x−1)，
去括号，得10+5x>6x−3，
移项，得5x−6x>−3−10，
合并同类项，得−x>−13，
两边都除以−1，得x<13．
(1)根据不等式的基本性质求解即可；
(2)依据乘法分配律求解即可；
(3)依据不等式的基本性质逐一判断即可；
(4)将第四步两边都除以−1即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
17.【答案】解：(1)−12x≥−1①7(x−1)>−14②，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>−1，
在数轴上表示不等式①②的解集得：

∴不等式组的解集为：−1(2)5x+2≥3(x−1)①1−2x+53>x−2②，
解不等式①，得x≥−52，
解不等式②，得x<45，
在数轴上表示不等式①②的解集为：

∴不等式组的解集为−52≤x<45．
【解析】(1)根据不等式的基本性质解不等式，然后把解集在数轴上表示出即可；
(2)先求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出两个解集的公共部分即可．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的．
18.【答案】解：(1)如图所示，

∴点P就是所求作的点．
(2)作PD⊥AB于点D，由尺规作图可知，AP是∠BAC的平分线，
∵∠C=∠PDA=90°，
∴CP=DP，
∴BC= AB2−AC2= 132−52=12．
设CP=x，
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
AP=APCP=DP，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP(HL)，
∴AD=AC=5．
则BP=BC−CP=12−x，BD=AB−AD=8．
在Rt△BDP中，由勾股定理，得BP2=BD2+DP2，
即(12−x)2=x2+82，
解得x=103，
∴CP=103．
【解析】(1)根据题意作∠BAC的角平分线即可；
(2)根据(1)中作图过程得出CP=DP，利用勾股定理得出BC=8，再由全等三角形的判定和性质得出AD=AC=6，设CP=x，则BP=8−x，BD=4，利用勾股定理求解即可得出结果．
题目主要考查角平分线的作法及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
19.【答案】 13 92
【解析】解：(1)如图①，△A1B1C1即为所求．
连接AA1，
由勾股定理得，AA1= 22+32= 13，
∴平移距离为 13．
故答案为： 13．
(2)如图②，△A2B2C2即为所求．
连接BC2，
△ABC2的面积为6×2−12×3×2−12×3×1−12×6×1=92．
故答案为：92．
(1)根据平移的性质作图即可，再根据勾股定理可得答案．
(2)根据旋转的性质作图即可，再利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：设该工程队平均每天再多铺设x米管道，
根据题意得：125×20+50(125+x)≥10000，
解得：x≥25，
∴x的最小值为25．
答：该工程队平均每天至少再多铺设25米管道．
【解析】设该工程队平均每天再多铺设x米管道，利用工作总量=工作效率×工作时间，结合余下的管道铺设任务要在50天内(含50天)完成，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
21.【答案】SAS
【解析】(1)解：延长AD到点H，使DH=AD，连接BH，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD，
在△ADC和△HDB中，
AD=HD∠ADC=∠HDBCD=BD，
∴△ADC≌△HDB(SAS)，
故答案为：SAS；
(2)证明：延长AD到点H，使DH=AD，连接BH，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△HDB中，
CD=BD∠ADC=∠BDHAD=BH，
∴△ADC≌△HDB(SAS)，
∴AC=BH，∠H=∠DAC，
∵AF=EF，
∴∠AEF=∠DAC，
∴∠H=∠AEF，
∵∠BEH=∠AEF，
∴∠BEH=∠H，
∴BE=BH，
∴BE=AC；
(3)解：延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
在△DAC和△DEB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△DAC≌△DEB(SAS)，
∴AC=EB=3，
∵AE=2AD=4，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2，
∴∠AEB=90°，
∴BD= BE2+DE2= 13，
∴BC=2BD=2 13．
(1)由全等三角形的判定可得出结论；
(2)延长AD到点H，使DH=AD，连接BH，证明△ADC≌△HDB(SAS)，得出AC=BH，∠H=∠DAC，证出BE=BH，则可得出结论；
(3)延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，证明△DAC≌△DEB得AC=EB，再证明∠AEB=90°，由勾股定理求得BD，进而得BC．
本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可得：
按方案一采购玉米种子：y1=4x；
按方案二采购玉米种子：
当0≤x≤3时，y2=5x，
当x>3时，y2=3×5+(x−3)×5×0.7=3.5x+4.5；
(2)当x≤3时，y1=4×3=12，y2=5×3=15；
∴选择方案一；
当x>3时，
4x>3.5x+4.5，
解得：x>9；
4x=3.5x+4.5，
解得：x=9；
当4x<3.5x+4.5，
解得：x<9；
∴当09时，选择方案二．
【解析】(1)根据付款金额=数量×单价，即可表示出方案一与方案二中，当x≤3时的函数关系式；当x>3时，金额=3千克的金额+超过3千克部分的金额，即可写出函数解析式；
(2)当x≤3时，选择方案一；当x>3时，比较4x与3.5x+4.5的大小关系，即可确定的范围，从而进行判断．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系．
23.【答案】解：(1)证明：由旋转的性质可知：∠BAE=α=60°，BA=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE；
(2)∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，
∴CA=AD，∠EAD=∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠ADC=12(180°−30°)=75°，
∵∠EDA=∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ADC−∠EDA=15°；
(3)存在，理由如下：
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AC=2BC=2，AB= 3，
若∠QMA=90°，CQ=MQ时，如题图3，
设CQ=QM=x，∠CAB=30°，
∴AQ=2x，AM= 3x，
∴AC=x+2x=3x=2，
∴x=23，
∴AM=2 33，
∴BM=AB−AM= 3−2 33= 33．
若∠AQM=90°，CQ=QM时，如图4，
设CQ=QM=x，∠CAB=30°，
∴AQ= 3x，AM=2x，
∴AC=x+ 3x=2，
∴x= 3−1，
∴AM=2 3−2，
∴BM= 3−(2 3−2)=2− 3．
综上所述：BM= 33或2− 3．
【解析】(1)由旋转的性质可得：∠BAE=α=60°，BA=BE，可证△ABE是等边三角形，可得AB=BE；
(2)由旋转的性质可得CA=AD，∠EAD=∠BAC=30°，由等腰三角形的性质可得∠ACD=75°，即可求解；
(3)分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求AM，AQ的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．