浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第4章平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第4章平行四边形分类专项训练(原卷版+解析)，共73页。
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明命题“在同一平面内，若，则”时，应假设（ ）
A．a⊥bB．a不平行bC．a不平行cD．b不平行c
2．（2023春·八年级统考期末）如图，为了测量池塘A，B两地的距离，圆圆在池塘外取点C，得到线段CA，CB，并分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若测得DE的长为8米，则A，B两地相距（ ）
A．12米B．14米C．16米D．18米
3．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
4．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OB＝OD，OA＝OCB．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB=CD
5．（2023春·浙江宁波·八年级余姚市梨洲中学校考期中）在四边形中，对角线和交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．（2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习）关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）．
A．AB＝DC，AD＝BCB．
C．，AB＝DCD．，AD＝BC
8．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列汽车标识中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
9．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）已知平行四边形中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·浙江·八年级统考期末）在□ABCD中，AD＝3，AB＝2，则□ABCD的周长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
11．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，若周长为20平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且△ABO的周长比△BCO小2，则AB=（ ）．
A．4B．6C．9D．11
12．（2023秋·浙江宁波·八年级期末）在中，若∠A=40°，则∠C的度数为（ ）
A．150°B．50°C．140°D．40°
13．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的内角和的度数为（ ）
A．1080°B．1260°C．1350°D．1440°
二、填空题
14．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝16m，则A，B两点间的距离是______m．
15．（2023春·浙江温州·八年级统考期末）如图，人字梯保险杠两端点，分别是梯柱，的中点，梯子打开时，此时梯脚的距离长为________cm．
16．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是______ 将命题的序号填上即可．
17．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）在▱ABCD中，∠B=70°，则∠D的度数为______．
18．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）五边形的外角和等于__________．
19．（2023春·八年级统考期末）在四边形ABCD中，若∠A与∠C互补，∠B＝55°，则∠D＝_____度．
三、解答题
20．（2023春·浙江杭州·八年级期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，点E，F在AC上，DF∥BE，且OE=OF，AE=CF．求证：AB=CD，且AB∥CD．
21．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
22．（2023秋·浙江宁波·八年级期末）如图3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
【典型】
一、单选题
1．（2023春·浙江温州·八年级统考期末）下列图标属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．春·浙江·八年级统考期末）如图，在六边形中，，分别平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点
为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题
4．春·浙江湖州·八年级校联考期末）如图，在中，连结.且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则_______.
5．春·浙江杭州·八年级期末）如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.
6．春·浙江嘉兴·八年级校联考期中）四边形ABCD中，∠A＋∠B＝180°，添加一个条件___，则使四边形ABCD成为平行四边形．
7．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，点 P2(m，n)与关于原点成中心对称，则__________．
三、解答题
8．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E. F，连结BE、DF，求证：四边形BEDF是平行四边形.
9．（2023春·浙江衢州·八年级浙江省衢州市衢江区实验中学校考期末）如图，在中，点，分别在，延长线上，，.
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若，，求的长.
10．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使，连接EC并延长，使，连接FG，H为FG的中点，连接DH
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若，，，求的度数．
【易错】
一．选择题（共10小题）
1．（2023春•西湖区校级期末）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线B．三叶玫瑰形曲线
C．蝴蝶形曲线D．太极曲线
2．（2023春•永康市校级月考）下面图形中是一个中心对称图形的是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形
C．平行四边形D．正五边形
3．（2023春•永康市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60度，AB＝5cm，则下面结论正确的是（ ）
A．BC＝5cm，∠D＝60度B．∠C＝120度，CD＝5cm
C．AD＝5cm，∠A＝60度D．∠A＝120度，AD＝5cm
4．春•萧山区期中）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春•婺城区期末）用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设（ ）
A．∠A＝∠BB．AB＝ACC．∠A＝∠CD．∠B＝∠C
6．（2023春•北仑区期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
7．（2023春•上城区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（2023春•鄞州区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE⊥AC，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2023春•鄞州区校级期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．10B．12C．14D．16
10．（2023•宁波模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（ ）
A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF
C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD
二．填空题（共3小题）
11．（2023春•宁波期末）已知一个多边形的内角和是720度，则这个多边形是 边形．
12．（2023春•余姚市期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
13．（2023春•鹿城区校级期中）已知一个六边形的每个内角都相等，则它的其中一个内角的度数为 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2023春•余杭区期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
15．（2023春•西湖区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
【压轴】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级期末）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，连接下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023秋·浙江台州·八年级校联考阶段练习）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440B．1800C．2880D．3600
二、填空题
3．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形，，，…，点，…都在x轴上，点，…都在直线上，且，，，，…，则点的坐标是___________．
三、解答题
4．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B的直线交x轴于C，且△ABC面积为10．
(1)求点C的坐标及直线BC的解析式；
(2)如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；
(3)如图2，若M为线段BC的中点，点E为直线OM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考开学考试）在中，．
（1）如图①，、的平分线相交于点，则________；
（2）如图②，的外角、的平分线相交于点，则_________；
（3）探究
探究一：如图③，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，求的度数．（用的代数式表示）
探究二：已知，四边形的内角的平分线所在直线与其外角的平分线所在直线相交于点，，
①如图④，若，则__________（用、的代数式表示）
②如图⑤，若，则___________（用、的代数式表示）
6．（2023春·浙江台州·八年级校联考阶段练习）如图1，在中，，，引一条射线，使得平分，点是延长线上一点，过作于，是线段上一点，使得，在线段上取点、（点在之间），，且，当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知．
（1）______，______；
（2）①判断和的位置关系，并说明理由；
②若，当______时，四边形是平行四边形．
（3）如图2，若，
①当时，求的值；
②若，求值．
7．（2023春·浙江·八年级期末）如图，四边形中，，点E为延长线上一点，连接，交于H．的平分线交于G．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，若，H为的中点，，求的长；
（3）如图2，若
①，求的度数；
②_____（用含有n的式子表示）
8．（2023春·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，点E在线段的延长线上，．点P在线段上，点Q在线段上．当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，点F在线段上，且，连结，记．
（1）①________（用含x的式子表示）
②，求的长．
（2）请问是否存在x的值，使得A，B，F，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）当点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出x的值．
9．（2023秋·浙江·八年级期末）如图1，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第四象限．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点P是边上一个动点，若点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标；
（3）如图3，若点T在直线上，且满足，求点T的坐标．
10．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在轴的负半轴，且．
（1）求直线的解析式．
（2）若点在直线上，其横坐标为，而点分别是直线和轴上的动点，当最小时，求此时点的坐标．
（3）在（2）的结论下，点分别是直线上的动点，若以点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点的坐标．
第4章 平行四边形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明命题“在同一平面内，若，则”时，应假设（ ）
A．a⊥bB．a不平行bC．a不平行cD．b不平行c
答案:B
分析：根据反证法的步骤求解即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在同一平面内，若，则”时，应假设a不平行b，
故选B．
【点睛】本题主要考查了反证法，熟知反证法第一步应假设命题不成立是解题的关键．
2．（2023春·八年级统考期末）如图，为了测量池塘A，B两地的距离，圆圆在池塘外取点C，得到线段CA，CB，并分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若测得DE的长为8米，则A，B两地相距（ ）
A．12米B．14米C．16米D．18米
答案:C
分析：根据三角形中位线定理解答即可.
【详解】∵点D，E分别为CA， CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB= 2DE，
∵DE= 8米，
∴AB= 16米，
故选： C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
3．（2023春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
答案:B
分析：利用平行四边形的判定定理分析判断即可．
【详解】解：根据平行四边形的判定定理可知，
对角线互相平分的四边形是平行四边形，①是真命题；
对角线互相垂直的四边形是不一定是平行四边形，②是假真命题；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③是真命题；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还有可能是等腰梯形，④是假真命题．
故答案为：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理并进行分析论证是解题的关键．
4．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OB＝OD，OA＝OCB．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB=CD
答案:B
分析：根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：选项A，由OB＝OD，OA＝OC知对角线互相平分，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项B，由AD∥BC，AB＝CD知一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形有可能是等腰梯形，不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项C，由AB∥CD，AD∥BC知两组对边分别平行，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项D，由AB∥CD，AB=CD知一组对边平行且相等，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，需要熟练掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
5．（2023春·浙江宁波·八年级余姚市梨洲中学校考期中）在四边形中，对角线和交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案:D
分析：利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】A、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6．（2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习）关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:B
分析：由平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可．
【详解】解：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故①可以判定四边形ABCD是平行四边形；
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故②可以判定四边形ABCD是平行四边形；
③一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故③不可以判定四边形ABCD是平行四边形；
④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④不可以判定四边形ABCD是平行四边形；
综上分析可知，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法，是解题的关键．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）．
A．AB＝DC，AD＝BCB．
C．，AB＝DCD．，AD＝BC
答案:D
分析：根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．∵，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
D．由，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．
8．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列汽车标识中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，以及中心对称图形：一个平面图形，绕一点，旋转，与自身完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义，是解题的关键．
9．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）已知平行四边形中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据平行四边形的性质和两直线平行同旁内角互补，计算求值即可；
【详解】解：如图，平行四边形ABCD中，∠A=80°，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=80°，
∴∠B=100°，
故选： D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相关性质是解题关键．
10．（2023春·浙江·八年级统考期末）在□ABCD中，AD＝3，AB＝2，则□ABCD的周长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
答案:B
分析：根据平行四边形的性质及周长的定义即可求解．
【详解】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，AB=CD=2，
∴周长为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及周长的定义，熟练掌握平行四边形对边相等是解题的关键．
11．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，若周长为20平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且△ABO的周长比△BCO小2，则AB=（ ）．
A．4B．6C．9D．11
答案:A
分析：根据平行四边形ABCD的周长为20，得到AB+BC=10，再根据△ABO的周长比△BCO小2，得到BC-AB=2，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，AC与BD相互平分，
∴AO=OC，
∵平行四边形ABCD的周长为20，
∴AB+BC+CD+AD=2AB+2BC=20，
∴AB+BC=10，即BC=10-AB，
∵△ABO的周长比△BCO小2，
∴(BC+CO+OB)-(AB+OA+OB)=2，
∵OA=OC，
∴BC-AB=2，
∵BC=10-AB，
∴10-AB-AB=2，
∴AB=4，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出AB+BC=10、BC-AB=2是解题的关键．
12．（2023秋·浙江宁波·八年级期末）在中，若∠A=40°，则∠C的度数为（ ）
A．150°B．50°C．140°D．40°
答案:D
分析：根据平行四边形的对角相等即可得出∠C的度数．
【详解】解：∵在中，∠A=40°，
∴∠C=∠A=40°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．
13．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的内角和的度数为（ ）
A．1080°B．1260°C．1350°D．1440°
答案:A
分析：先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．
【详解】解：正多边形的边数为：360°÷45°=8，即这个多边形是正八边形，
所以该多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式，关键是掌握多边形内角和公式：（n-2）▪180 （n≥3）且n为整数）．
二、填空题
14．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝16m，则A，B两点间的距离是______m．
答案:32
分析：根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
∴AB＝2MN＝32（m），
故答案为：32．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15．（2023春·浙江温州·八年级统考期末）如图，人字梯保险杠两端点，分别是梯柱，的中点，梯子打开时，此时梯脚的距离长为________cm．
答案:76
分析：人字梯保险杠两端点，分别是梯柱，的中点，DE是的中位线，得到利用中位线定理解答即可．
【详解】解：∵人字梯保险杠两端点，分别是梯柱，的中点
∴DE是的中位线
∴BC=2DE=2×38=76cm
故答案为：76．
【点睛】本题考查了中位线定理，能从图中抽象出几何图形，发现中位线是解答此题的关键．
16．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是______ 将命题的序号填上即可．
答案:②③④
分析：根据平行四边形的判定方法对各选项分别进行判断．
【详解】解：一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以正确；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以正确；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以正确．
故答案为．
【点睛】本题考查了命题、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
17．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）在▱ABCD中，∠B=70°，则∠D的度数为______．
答案:70°##70度
分析：由平行四边形的对角相等即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角相等是解题的关键．
18．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）五边形的外角和等于__________．
答案:##360度
分析：根据任意多边形的外角和都是360°即可求解．
【详解】解：∵任意多边形的外角和都是360°，
∴五边形的外角和等于360°，
故答案为．
【点睛】此题考查了多边形的外角，熟记任意多边形的外角和都是360°是解题的关键．
19．（2023春·八年级统考期末）在四边形ABCD中，若∠A与∠C互补，∠B＝55°，则∠D＝_____度．
答案:125
分析：根据四边形内角和可直接进行求解．
【详解】解：由四边形内角和可得：，
∵∠A与∠C互补，∠B＝55°，
∴；
故答案为125．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和是解题的关键．
三、解答题
20．（2023春·浙江杭州·八年级期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，点E，F在AC上，DF∥BE，且OE=OF，AE=CF．求证：AB=CD，且AB∥CD．
答案:证明见解析．
分析：根据平行线的性质得出∠DFO=∠BEO，再利用ASA证明三角形全等，最后利用平行四边形的判定和性质解答即可．
【详解】解:∵DF∥BE，
∴∠DFO=∠BEO
在△DFO与△BEO中，
∵，
∴△DFO≌△BEO(ASA)，
∴OD=OB．
∵AE=CF，OE=OF，
∴OA=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，且AB∥CD．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出OD=OB．
21．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
答案:（1）见解析；（2）3
分析：（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形．
（2）利用等面积法求出CD长．
【详解】（1）
证明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB//CD，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键．
22．（2023秋·浙江宁波·八年级期末）如图3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
答案:（1）见解析；（2）见解析
分析：（1）根据是轴对称图形，不是中心对称图形，画出图形即可；
（2）根据是中心对称图形，不是轴对称图形，画出图形即可．
【详解】（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，如下图所示：
；
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形，如下图所示：
．
【点睛】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，掌握轴对称和中心对称的定义是解题的关键．
【典型】
一、单选题
1．（2023春·浙江温州·八年级统考期末）下列图标属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
分析：根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可得出答案．
【详解】解：A不是中心对称图形，故不符合题意；
B是中心对称图形，故符合题意；
C不是中心对称图形，故不符合题意；
D不是中心对称图形，故不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键．
2．春·浙江·八年级统考期末）如图，在六边形中，，分别平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，由①和②即可求出结果.
【详解】在六边形A BCDEF中，
∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝(6-2)×180°＝720°①，
CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，
∴∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，
∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，
∴2(∠P+∠PCD+∠PDE)＝360°，
即2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，
①-②得:∠A+∠B+∠E+∠F-2∠P＝360°，
即α-2∠P＝360°，
∴∠P=α-180°，
故选:A.
【点睛】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理;熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键.
3．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点
为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案:C
【详解】A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C
二、填空题
4．春·浙江湖州·八年级校联考期末）如图，在中，连结.且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则_______.
答案:
分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP．
【详解】解：∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM= ，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=AM=10，
故答案为10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM是等腰直角三角形．
5．春·浙江杭州·八年级期末）如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.
答案:432
分析：连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．
计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．
【详解】解：连接AC交BD于G，AE交DF于H．
∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，
∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，
∴AE=BD，AC=FD，
∴EH=BG．
平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432，故答案为432.
【点睛】此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．
6．春·浙江嘉兴·八年级校联考期中）四边形ABCD中，∠A＋∠B＝180°，添加一个条件___，则使四边形ABCD成为平行四边形．
答案:∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等
分析：根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，
∴只要添加∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°，即可得到另一组对边平行，所以四边形ABCD是平行四边形，
故答案为∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
7．春·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，点 P2(m，n)与关于原点成中心对称，则__________．
答案:
分析：利用直角坐标系中点 关于原点对称点可得.
【详解】∵点 与 关于原点对称，
∴ .
【点睛】本题考查直角坐标系中坐标关于原点对称的知识点，掌握坐标关于原点对称是解题的关键.
三、解答题
8．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E. F，连结BE、DF，求证：四边形BEDF是平行四边形.
答案:见解析
分析：根据平行四边形的性质，结合题意，由全等三角形的判定定理（ASA），再根据全等三角形的性质得到OB= =OF即可解决问题．
【详解】证明：∵ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点，
∴OB=OD,DE∥BF，
∴∠EDO=∠FOB，∠EOD=∠FOB，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理（ASA）和性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理（ASA）和性质、平行四边形的判定与性质.
9．（2023春·浙江衢州·八年级浙江省衢州市衢江区实验中学校考期末）如图，在中，点，分别在，延长线上，，.
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若，，求的长.
答案:（1）见解析；（2）
分析：（1）由在平行四边形ABCD中，AB∥DC，可得AB∥DE，又由AE∥BD，即可证得四边形 ABDE是平行四边形；
（2）由（1）易得EC=2AB，又由∠ABC=60°，可求得∠ECF=60°，然后由EF⊥BF，证得EC=2CF，即可得AB=CF，求得答案．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，

，
四边形是平行四边形
（2）解：在▱ABCD中，AB=DC，在▱ABDE中，AB=ED，
∴EC=2AB
∵AB∥DC，∠ABC=60°．
∴∠ECF=∠ABC=60°．
∵EF⊥BF，
∴∠CEF=90°-∠ECF=30°，
∴EC=2CF，
∴AB=EC=CF=．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质以及含30°的直角三角形的性质．注意利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键．
10．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使，连接EC并延长，使，连接FG，H为FG的中点，连接DH
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若，，，求的度数．
答案:（1）证明见解析；（2）40°
分析：（1）证明BC为△FEG的中位线，得出BC∥FG，BC=FG，证出BC=FH，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出AD∥FH，AD=FH，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠DAB=∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠BEC=∠EBC=75°，由三角形内角和定理求出∠BCE，得出∠DCB=∠DCE+∠BCE=40°，即可得出结果．
【详解】（1）证明：，，
为的中位线，
，，
又是FG的中点，
，
．
又四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
【易错】
一．选择题（共10小题）
1．（2023春•西湖区校级期末）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线B．三叶玫瑰形曲线
C．蝴蝶形曲线D．太极曲线
分析：根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2023春•永康市校级月考）下面图形中是一个中心对称图形的是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形
C．平行四边形D．正五边形
分析：根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：等腰直角三角形，等边三角形，正五边形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
平行四边形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（2023春•永康市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60度，AB＝5cm，则下面结论正确的是（ ）
A．BC＝5cm，∠D＝60度B．∠C＝120度，CD＝5cm
C．AD＝5cm，∠A＝60度D．∠A＝120度，AD＝5cm
分析：根据所给出的已知条件，结合平行四边形的性质，逐个分析各个选项，选出正确答案即可．
【解答】解：A、由∠B＝60°，可以得出∠D＝60°，但是不能得出BC＝5cm，故A不正确；
B、由∠B＝60°，可以得出∠C＝120°，平行四边形对边相等，所以CD＝5cm，故B正确；
C、由∠B＝60°，可以得出∠A＝120°，不能得出AD的长度，故C不正确；
D、由∠B＝60°，可以得出∠A＝120°，不能得出AD的长度，故D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：①对边平行且相等；②相邻两个内角互补，对角相等，熟记各个性质是解题的关键．
4．春•萧山区期中）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和平行四边形的面积逐个进行判断，即可求解．
【解答】解：A、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误；
B、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
C、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
D、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的面积可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，并利用性质结合三角形的面积公式进行判断，找出选项．
5．（2023春•婺城区期末）用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设（ ）
A．∠A＝∠BB．AB＝ACC．∠A＝∠CD．∠B＝∠C
分析：根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设∠B＝∠C，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．（2023春•北仑区期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
分析：根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
7．（2023春•上城区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
分析：利用平行四边形的性质可得AO＝OC，AD＝BC＝10，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，最后利用三角形中位线定理，进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AD＝BC＝10，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴CD＝＝＝6，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE＝CD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
8．（2023春•鄞州区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE⊥AC，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：利用平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE＝BE＝BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∵AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，故①正确；
∴∠EAC＝∠ACE＝30°
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝AB•AC，故②错误；
∵BE＝EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE＝S△ACE，故③错误；
∵OA＝OC，AE＝EC，
∴OE⊥AC，故④正确；
故正确的个数为2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．
9．（2023春•鄞州区校级期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．10B．12C．14D．16
分析：先证明EF＝5，继而得到DE＝6；再证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，
∴Rt△ACF中，EF＝AC＝＝5，
∴DE＝1+5＝6；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝12，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
10．（2023•宁波模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（ ）
A．四边形EHFG
B．△AEG和△CHF
C．四边形EBHO和四边形GOFD
D．△AEO和四边形GOFD
分析：A、根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积可作判断；
B、先根据等式的性质证明S▱BEOH＝S▱GOFD，再由同底边的平行四边形的面积的比是对应高的比可作判断；
C、四边形EBHO的面积和四边形GOFD的面积相等，已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积；
D、同选项B同理可作判断．
【解答】解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形，
∴S△EOG＝S▱AEOG，S△EOH＝S▱BEOH，S△FOH＝S▱OHCF，S△FOG＝S▱OGDF，
∴四边形EHFG的面积＝×▱ABCD的面积，
∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积，
故A不符合题意；
B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，
∴S▱BEOH＝S▱GOFD，
∵＝，
∴S▱BEOH＝S▱OGDF＝＝2，
∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积，
故B不符合题意；
C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积，
故C符合题意；
D、∵＝，
∴＝，
∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•，
∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积；
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式和一条对角线平分平行四边形的面积是解本题的关键．
二．填空题（共3小题）
11．（2023春•宁波期末）已知一个多边形的内角和是720度，则这个多边形是 六 边形．
分析：n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
则这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【点评】本题考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
12．（2023春•余姚市期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 2 平方单位．
分析：根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题的关键．
13．（2023春•鹿城区校级期中）已知一个六边形的每个内角都相等，则它的其中一个内角的度数为 120° ．
分析：根据内角和公式：（n﹣2）180°来计算．
【解答】解：180×（6﹣2）÷6＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握内角和的公式并运用是解题关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2023春•余杭区期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
分析：（1）过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t＝2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可．
【解答】解：（1）平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∴∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
在Rt△BCG中，∠CBG＝30°，
∴CG＝BC＝cm，
∴BG＝＝（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6×＝9（cm2）．
答：平行四边形ABCD的面积为9cm2；
（2）当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝AF＝（cm），
∴△AEF的面积为：×AE×FH＝×2×＝（cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2；
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2．
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，△AEF的面积为：9×＝3（cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，（0＜t≤3），AE＝tcm，AF＝tcm，高为AF＝t（cm），
∴×t×t＝3，
∴t＝2＞3，不符合题意舍去；
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在CD上运动t秒，（3＜t≤6），
∴×t×＝3，
∴t＝4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，（6＜t＜9），
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝BE′＝（t﹣6）（cm），E′H＝1.5﹣（t﹣6）＝（9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9﹣×6×（t﹣6）﹣×[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]﹣（t﹣3）×1.5＝3，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴t＝（不符合题意，舍）或t＝，
当t＝时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为4或．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握三角形或平行四边形的面积公式是解题的关键．
15．（2023春•西湖区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
分析：（1）根据▱ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
（2）①根据＝m＝，可得AB＝BC，证明∠BAC＝90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的长，进而可得平行四边ABCD的面积；
②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，由△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×4＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．
【压轴】
一、单选题
1．（2023春·浙江·八年级期末）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，连接下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:C
分析：利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
是等边三角形，
，，
，
，
，故①正确；
可得
，
，故②错误；
，
为中点，
，
，
，
；故③正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．
2．（2023秋·浙江台州·八年级校联考阶段练习）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440B．1800C．2880D．3600
答案:C
分析：本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．
二、填空题
3．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形，，，…，点，…都在x轴上，点，…都在直线上，且，，，，…，则点的坐标是___________．
答案:（，）
分析：根据一次函数的解析式求出∠ODE=30°，得到OD=OC1=1，同理得到A1C2=A1D，A2C3=A2D，从而得到相应线段的长，过B3作x轴的垂线，垂足为F，求出A3F和B3F的长，可得点B3的坐标．
【详解】解：如图，在中，
令x=0，则y=，
令y=0，则x=-1，
则OD=1，OE=，
∴DE==，即DE=2OE，
∴∠ODE=30°，
∵∠C1OA1=60°，
∴∠OC1D=30°，
∴OD=OC1=1，同理：A1C2=A1D，A2C3=A2D，
∵OC1=1，OA1=2OC1=2，
∴A1C2=A1D=3，
∴A2C3=A2D=9，
∴A2A3=18，
∵四边形A2A3B3C3是平行四边形，
∴A3B3=A2C3=9，
过B3作x轴的垂线，垂足为F，
∵∠B3A3F=60°，
∴A3F=A3B3=，
∴B3F==，
∴OF=OA3+A3F=2+6+18+=，
∴B3的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据已知点的变化规律求出相应边和角，找出规律是解题的关键．
三、解答题
4．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B的直线交x轴于C，且△ABC面积为10．
(1)求点C的坐标及直线BC的解析式；
(2)如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；
(3)如图2，若M为线段BC的中点，点E为直线OM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案:(1)
(2)（0，）或（0，﹣1）
(3)存在，（0，0）或（﹣6，0）或（6，0）
分析：（1）利用三角形的面积公式求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形：①当时，如图中，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．求出．②当时，如图中，同法可得，利用待定系数法即可解决问题．
（3）利用三角形的面积公式求出点的坐标，求出直线OM关系式为y＝x，设E（s，s），D（t，0），分三种情况：以BC、DE为对角线，以BE、CD为对角线，以BD、CE为对角线进行讨论，求出点D的坐标即可．
（1）
解：∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵S△ABC＝•AC•OB＝10，
∴AC＝5，
∴OC＝3，
∴C（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝-x+4．
（2）
∵FA＝FB，A（﹣2，0），B（0，4），
∴F（﹣1，2），
设G（0，n），
①当n＞2时，如图2﹣1中，点Q落在BC上时，过G作直线MN平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N．

∵四边形FGQP是正方形，
∴∠FGQ＝90°，FG＝QG，
∴∠FGM＝90°﹣∠NGQ＝∠GQN，
而∠FMG＝∠GNQ＝90°，
∴△FMG≌△GNQ（AAS），
∴MG＝NQ＝1，FM＝GN＝n﹣2，
∴Q（n﹣2，n﹣1），
∵点Q在直线y＝-x+4上，
∴n﹣1＝-（n﹣2）+4，
∴n＝，
∴G（0，）；
②当n＜2时，如图2﹣2中，同法可得Q（2﹣n，n+1），

∵点Q在直线y＝-x+4上，
∴n+1＝-（2﹣n）+4，
∴n＝﹣1，
∴G（0，﹣1）．
综上所述，满足条件的点G坐标为（0，）或（0，﹣1）．
（3）
存在，理由如下：
∵B（0，4），C（3，0），M为线段BC的中点，
∴M（，2），
设直线OM为y＝mx，则2＝m，
解得m＝，
∴直线OM为y＝x，
设E（s，s），D（t，0），
①以BC、DE为对角线，此时BC、DE中点重合，而BC中点为（，），DE中点为（，），
∴，解得，
∴D（0，0）；
②以BE、CD为对角线，同理可得：
∴，解得，
∴D（﹣6，0）；
③以BD、CE为对角线，同理可得：
∴，解得，
∴D（6，0）；
综上所述，D的坐标为：（0，0）或（﹣6，0）或（6，0）．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
5．（2023秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考开学考试）在中，．
（1）如图①，、的平分线相交于点，则________；
（2）如图②，的外角、的平分线相交于点，则_________；
（3）探究
探究一：如图③，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，求的度数．（用的代数式表示）
探究二：已知，四边形的内角的平分线所在直线与其外角的平分线所在直线相交于点，，
①如图④，若，则__________（用、的代数式表示）
②如图⑤，若，则___________（用、的代数式表示）
答案:（1）125；（2）55；（3）探究一：；探究二：①；②
分析：（1）求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）探究一：根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠OBC表示出∠OCE，再利用外角性质得到∠BOC=∠OCE-∠OBC，然后整理即可得到∠BOC的度数．
探究二：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOC+∠OBC=∠OCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可．
【详解】解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=×110°=55°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；
（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∵、分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠=∠DBC，∠=∠ECB，
∴∠+∠=（180°+∠A），
∴∠=180°-（∠+∠）=180°-（180°+∠A）=90°-∠A=55°；
（3）探究一：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCE=（∠A+∠ABC）=∠A+∠OBC，
∵∠OCE是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠A+∠OBC-∠OBC=∠A=n°；
探究二：①由四边形内角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性质得，∠OCE=∠O+∠OBC，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE，
∴∠BOC+∠OBC=（∠A+∠D+∠ABC-180°）=（∠A+∠D）+∠ABC90°，
∴∠BOC=（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=n°，∠D=m°，
∴∠BOC=（n°+m°）-90°；
②如图：同①可求，∠FBC=∠ABC，∠GCE=∠DCE，
∴∠BCO=∠GCE=∠DCE，
∴∠BOC+∠BCO=，
∴∠BOC+∠GCE=，
∴，
∴
∴
∴∠BOC=90°（n°+m°）．
故答案为：125；55；（n°+m°）-90°；90°-（n°+m°）．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
6．（2023春·浙江台州·八年级校联考阶段练习）如图1，在中，，，引一条射线，使得平分，点是延长线上一点，过作于，是线段上一点，使得，在线段上取点、（点在之间），，且，当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知．
（1）______，______；
（2）①判断和的位置关系，并说明理由；
②若，当______时，四边形是平行四边形．
（3）如图2，若，
①当时，求的值；
②若，求值．
答案:（1），；（2）①，见解析；②；（3）①；②
分析：（1）在中，令x=0，可求得y的值，此即MN的长；令y=0，可求得x的值，此即BC的长；
（2）①由已知可得，由四边形内角和可求得∠AED的度数，进而可得 ，因此可得结论；②由①的结论，要使四边形是平行四边形，只要PC=FQ即可，而FQ=y+4，PC=x，由此建立方程，求得关于x的值；
（3）①连接，可得，由，可得四边形是平行四边形，从而易得FN=FC=PC=2，可求得y的值，再由QM=MN-y，即可求得结果；②由①FN=FC=PC=4m，可分别求得QM、EQ，由△FCN是一个底角为30°的等腰三角形，可求得CN的长，即BE的长，由BE=EQ，得关于m的方程，解方程即求得m的值．
【详解】（1）在中，令x=0，得y=8，即MN=8；令y=0，得x=12，即BC=12
故答案为：12，8
（2）①
理由如下：
∵，
∴∠ACB=60°
平分
②∵
∴当PC=FQ时，四边形是平行四边形
当m=1时，FN=EM=4
∴FQ=FN+QN=4+y=4+
∴
解得：
故答案为：
（3）①如图2，连接，
，
四边形是平行四边形
∴CN∥BE
∴FC=FN
当时，
②由①得，当时，
，
∴
四边形是平行四边形
解得
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解方程等知识，理解PC与QN之间的关系式是本题的关键．
7．（2023春·浙江·八年级期末）如图，四边形中，，点E为延长线上一点，连接，交于H．的平分线交于G．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，若，H为的中点，，求的长；
（3）如图2，若
①，求的度数；
②_____（用含有n的式子表示）
答案:（1）见解析；（2）；（3）①36°；②
分析：（1）根据平行线的性质得∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，可得AD∥BC，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到相应线段的长度，并证明△AHD≌△EHC，得到AH=EH=6，CE=AD=5，再根据三线合一的性质得到HG=EG=3，CG⊥AE，再利用勾股定理求出CG和AC的长；
（3）①设∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+2x+y+z=180°，变形后相减可得结论；
②设∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+nx+y+z=180°，变形后相减可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠DCE，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD=10，
∴CD=10，AD=BC=5，
∵AD∥BE，
∴∠D=∠HCE，
∵H为CD中点，
∴CH=DH，CH=DH=5，
又∠AHD=∠EHC，
∴△AHD≌△EHC（ASA），
∴AH=EH=6，CE=AD=5，
∵CG平分∠DCE，
∴CG⊥AE，即△ACG为直角三角形，HG=EG=EH=3，
∴AG=AH+HG=9，CG==4，
∴AC==；
（3）①设∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，
则∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=2∠CAE=2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，
△AHD中，x+2y+2z=180°①，
△ACG中，x+2x+y+z=180°，
即3x+y+z=180°，
∴6x+2y+2z=360°②，
②-①得：5x=180°，
解得：x=36°，
∴∠CAE=36°；
②设∠CAE=x，∠DCG=z，∠BAC=y，
则∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=n∠CAE=nx，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，
△AHD中，x+2y+2z=180°①，
△ACG中，x+nx+y+z=180°，
∴（n+1）x+y+z=180°，
∴2（n+1）x+2y+2z=360°②，
②-①得：（2n+1）x=180°，
∴x=，
即∠CAE=．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（2023春·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，点E在线段的延长线上，．点P在线段上，点Q在线段上．当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，点F在线段上，且，连结，记．
（1）①________（用含x的式子表示）
②，求的长．
（2）请问是否存在x的值，使得A，B，F，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）当点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出x的值．
答案:（1）①3x-2；②；（2）2或6；（3）或
分析：（1）①由已知可得点与点的速度比为，则得，由于，结论可得；
②过点作于点，由已知可得和和为等腰直角三角形，则，，；由四边形为矩形得到，列出方程求出，则可求；
（2）分两种情形解答：①当点，在线段上时；②当点，在线段的延长线上时，利用，列出方程即可求解；
（3）分两种情形解答：点的对称点在线段上或在线段的延长线上，利用，列出方程即可求解．
【详解】解：（1）①，
，．
四边形为平行四边形，
．
当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，
点与点的速度比为，
，
，
．
故答案为：．
②过点作于点，设交于点，如下图，
，，，
，，为等腰直角三角形，
，．
四边形为平行四边形，
，
．
，
．
和为等腰直角三角形．
，．
．
，，，
，
．
解得：．
．
（2）①当点，在线段上时，如下图，
若四边形为平行四边形，则，
，
．
解得：．
②当点，在线段的延长线上时，如下图，
若四边形为平行四边形，则，
，
．
解得：．
综上，当或6时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当点关于直线对称的点恰好落在直线上，
①点关于的对称点在线段上，如下图，
点与点关于对称，
．
，
．
．
．
在中，，
．
解得：．
②：点关于的对称点在线段的延长线上时，如下图，
点与点关于对称，
．
，，，
，
．
，
．
解得：．
综上，当或时，当点关于直线对称的点恰好落在直线上．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，一元一次方程的解法．充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
9．（2023秋·浙江·八年级期末）如图1，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第四象限．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点P是边上一个动点，若点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标；
（3）如图3，若点T在直线上，且满足，求点T的坐标．
答案:（1）；（2）（，）或（，）；（3）（－3，4）或（，）
分析：
【详解】解：（1）设直线的解析式为，
将点A，点B代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵在平行四边形中，，
∴设直线的解析式为，
∵轴，，点B的坐标为，点C在第四象限，
∴点C的坐标为，
将代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）∵点P是边上一个动点，
∴设点P的坐标为（，），且，
若点P与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为（，），
将（，）代入直线，得：
，
解得：（符合题意），
∴点P的坐标为（，），
若点P与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为（，），
将（，）代入直线，得：
，
解得：（符合题意），
∴点P的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）；
（3）如图，设CD，AB与x轴的交点分别为E，F，
又∵直线CD，AB的解析式分别为，，
∴点E的坐标为（5，0），点F的坐标为（－1，0），
∴OE＝5，OF＝1，
∴
，
，
又∵，
∴，
∵点T为直线上一点，
∴设点的坐标为（，），
过点T作直线TH⊥x轴，交直线AB于点H，则点H的坐标为（，），
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，，此时点T在直线AB的上方，
当时，，此时点T在直线AB的下方，
∴点T的坐标为（－3，4）或（，）．
【点睛】本题是一次函数与平行四边形、三角形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，轴对称的性质等相关知识，解题时要注意分类讨论，避免漏解．
10．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在轴的负半轴，且．
（1）求直线的解析式．
（2）若点在直线上，其横坐标为，而点分别是直线和轴上的动点，当最小时，求此时点的坐标．
（3）在（2）的结论下，点分别是直线上的动点，若以点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点的坐标．
答案:（1）；（2），，；（3），，，或，，，或，，，
分析：（1）先求出点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出三角形是直角三角形，再找出最小时，满足的条件，再计算即可得出；
（3）设出点，坐标，利用中点坐标公式建立方程组求解即可得出结论．
【详解】解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
令，则，
，
令，则，
，
，
点在轴的负半轴且，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（2）如图，由（1）知，，，，，
，，
，
，
是直角三角形，，
，，
点关于直线的对称点，
点在直线上，其横坐标为，
，，
点关于轴的对称点，，
连接交直线于，交轴于，此时，最小，
，，，
直线的解析式为①，
令，
，
，
，
直线的解析式为②，
联立①②解得，，，
，；
（3）由（2）知，直线的解析式为，
设，
直线，点，
由（2）知，，，，
以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
①当为对角线时，，，
，，
，，，，
②当为对角线时，，，
，，
，，，，
③当为对角线时，，，
，，
，，，，
即：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，，，，或，，，或，，，．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，最值的确定，中点坐标公式，用分类讨论的思想和方程思想解决问题是解本题的关键．