2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之线段最值（一）练习附解析

这是一份2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之线段最值（一）练习附解析，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为33B．PE+PF的最小值为23
C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为33
2．如图，已知直线AB:y=553x+55分别交x轴、y轴于点B、A两点，C(3,0)，D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD=CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（ ）
A．(0,4)B．(0,5)C．(0,552)D．(0,55)
3．如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=3，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．62+π2B．22+π3C．62+π3D．2+2π3
4．如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF=∠ACD，AB=6，BC=8，则AE的最小值为（ ）．
A．5425B．125C．145D．7225
5．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠B=60°，OA=6，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点即P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（ ）
A．22B．3C．23D．4
6．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为（ ）
A．6B．123-18C．183-18D．12
7．如图，在四边形ABCD，DA⊥AB，DA=6cm，∠B+∠C=150°，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ的最小值为（ ）
A．12B．15C．16D．18
8．如图：等边三角形ABC中，AB=1，E、F分别是边AB、AC上的动点，且CF=2BE，则BF+2CE的最小值为（ ）
A．3B．5C．7D．5−1
9．如图，在边长为10的正方形ABCD对角线上有E，F两个动点，且AB=2EF，点P是BC中点，连接AE，PF，则AE+PF最小值为（ ）
A．55B．105C．52D．10
10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，BC=7，点E在边BC上，并且CE=2，点F为边AC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
12．如图，正方形 ABCD 的面积为 16 ， △ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A．8B．3C．4D．32
13．如图：点A(0，2)在y轴上，B是x轴上的动点，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得线段AC，则OC长的最小值为（ ）
A．32B．1C．3D．2
14．如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=3，BD⊥AC于点D，若点E是线段BD上一动点，则CE+1010BE的最小值为（ ）
A．310B．3102C．53D．10
15． 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52B．60C．68D．76
16．如图，在△ABC中，P为平面内的一点，连接AP、PB、PC，若∠ACB=30°，AC=8，BC=10，则4PA+2PB+23PC的最小值是（ ）
A．489B．36C．410+25+67D．1610−10
二、填空题
17． 如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=10,E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2，则线段AP+QE的最小值为 ．
18．如图，在直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边ΔABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
19．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则PD+12PC的最小值为 .
20．如图，ABCD中，∠B=45∘，AB=22，BC-6，点E为AB边上的中点，F，G为边AD上的两个动点，且FG=1，则五边形BCGFE的周长最小值为
21．如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．
22．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD-12BD的最小值为 ．
23．如图，已知点A坐标为(3，1)，B为x轴正半轴上一动点，则∠AOB度数为 ，在点B运动的过程中AB+12OB的最小值为 ．
24．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是 .
25．如图，已知直线y=34x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB．则△PAB面积的最大值与最小值的差为 ．
26．如图，CD为等腰△ABC的高，其中∠CAB=58°，AC=AB，E，F分别为线段CD，AC上的动点，且AF=CE，当BF+AE取最小值时，∠CFB的度数为 ．
27．如图，正方形ABCD的边长为8，点E为BC边上一点，且BE=2，点F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为一条直角边向右侧作等腰Rt△EGF，且使∠EFG=90°，连接CG，则CG的最小值是 ．
三、解答题
28．数学课上，老师给出题目：如图所示，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=2，点D，E分别是边AB和边BC上的动点，且AD=BE，连接AE，CD．请探究AE+CD是否存在最小值？并说明理由．
嘉淇的想法是把AE和CD转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．
（1）在射线AC上取点F，使AF=AD，把△ADC绕点A顺时针旋转，使点D落在点F处，点C落在点G处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出△AFG，并连接BF；
②求证：AE=BF．
（2）在（1）的基础上，请你通过探索，求出CD+AE的最小值，并直接写出此时AD的长度．
29．【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求12AP+BP的最小值.
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得OCOP=12=OPOA，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以CPAP=OPOA=12，得CP=12AP所以12AP+BP=CP+BP.
又因为CP+BP≥CB=OC2+OB2，所以12AP+BP最小值为 ▲ .
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将12AP转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求AP+23BP的最小值.
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .
四、实践探究题
30．【阅读材料】说明代数式x2+1+(x−3)2+4的几何意义，并求它的最小值．
解：x2+1+(x−3)2+4=(x−0)2+(0−1)2+(x−3)2+(0−2)2，如图1，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则(x−0)2+(0−1)2可以看成点P与点A（0，1）的距离，(x−3)2+(0−2)2可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以A' B=32，即原式的最小值为32．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）【基础训练】代数式(x−1)2+1+(x−3)+16的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和；（填写点B的坐标）
（2）【能力提升】求代数式x2+49+x2−12x+37的最小值为 ；
（3）【拓展升华】如图2，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN=CM， AB=2．当AM＋BN的值最小时，求CM的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：如图1所示，延长AD、BE相交于点M，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠DAE=∠CBE=60°，∴△MAB是等边三角形。
A、过点P作直线l∥AB，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，BA'与直线l相较于点p，此时PA+PB的长度最小，且PA+PA=PA'+PB=A'B，又∠DEA=∠MBA=60°，∠DAE=∠CEB=60°，∴DE∥MB，CE∥MA，∴四边形DECM是平行四边形，所以点P既是CD的中点，又是ME的中点，又∵点E在AB上移动，∴点P在直线l上移动，所以点M到l的距离等于点P到AB的距离，又知AB=4，∴等边三角形ABC的高为23，所以M到l的距离=点P到AB的距离=3，又A和A'关于l对称，∴AA'=23，且∠A'AB=90°，∴A'B=AA'2+AB2=232+42=27，所以PA+PB的最小值为33不正确，A符合题意；
B、因为四边形DECM是平行四边形，∴PE=PM，∴PE+PF=PM+PF，所以当MPE三点在同一直线上时，PM+PF的值最小，因为点F是AB的中点，∴此时最小值为等边△MAB的高。即PM+PF的值最小为23，∴PE+PF的最小值为23正确，所以B不符合题意；
C、如图2所示，分别过点D、C作AB的垂线，垂足分别为点K、T，∵△ADE和△BCE都是等边三角形KE=12AE，TE=12BE，∴KE+TE=12AE+BE=12×AB=12×4=2，∴CD≥2，∵CD+DE+CE=CD+AE+BE，∴CD+DE+CE≥2+4，即△CDE的周长≥6，∴△CDE的周长的最小值为6正确，所以C不符合题意；
D、如图2所示，设AE=2a，则BE=4-2a，∴KE=a，TE=2-a，DK=3a，CT=（2-a）3，∴四边形ABCD的面积为：S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC=12×a×3a+12×（2-a）×（2-a）3+123a+(2-a)3）×2=3a-12+33，∴当a=1时，四边形ABCD的面积最小，最小值为33，所以D正确，不符合题意。
故答案为：A。
图1 图2
【分析】A、如图1，根据轴对称的性质，可得PA+PB的最小值为A'B的长度，根据勾股定理即可；
B、如图1，根据两点之间，线段最短，可知当M、P、F三点共线时，PE+PF的值最小，此时的最小值就是等边△MAB的高；
C、如图2，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AE+BE=CD+4，所以当CD取最小值时，周长最小，当CD垂直CT时，CD最小，此时CD=KT=2，可求得周长的最小值；
D、设设AE=2a，根据四边形ABCD的面积为=S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC，从而得到四边形ABCD的面积关于a的二次函数关系式，根据二次函数的最小值，求得四边形ABCD的面积的最小值。
根据计算结果，判断正确与错误，选出正确选项即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意A(0,55)，B(−3,0)，C(3,0)，∴AB=AC=8，
取点F(3,8)，连接CF,EF,BF．
∵C(3,0)，∴CF//OA，∴∠ECF=∠CAO，
∵AB=AC，AO⊥BC，∴∠CAO=∠BAD，∴∠BAD=∠ECF，
∵CF=AB=8，AD=EC，∴△ECF≌△DAB(SAS)，
∴BD=EF，∴BD+BE=BE+EF，
∵BE+EF≥BF，∴BD+BE的最小值为线段BF的长，
∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，
∵直线BF的解析式为：y=43x+4，∴H(0,4)，
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选：A．
【分析】首先证明AB=AC=8，取点 F (3，8)，连接CF，EF，BF.由△ECF=△DAB(SAS)，推出BD=EF ，推出BD+BE=BE+EF，因为BE+EF≥BF ，推出BD+BE的最小值为线段BF的长，推出当B，E ， F共线时，BD+BE的值最小，求出直线BF的解析式即可解决问题．
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由于CD是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求CE+DE最小值即可
作点D关于OB对称的对称点D'，连接CD'与直线OB交于点E，则
OC=OD'，CE+DE=CD' ，此时CE+DE为最小值
连接OD'，
∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴∠BOD=∠COD=12∠BOC=30°，
∴∠BOD=∠BOD'=30°，∠COD'=90°，
在Rt△COD'中，CD'=OC2+OD'2=2OC=2OB=32，
CD=30π×3180=12π，
阴影部分周长的最小值为12π+32=62+π2．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称的性质，确定当点E移动到点E'时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为CD的长与CD'的长度和，分别进行计算即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，
根据题意可得：∠BEF=∠BHF=90°，
∴点E、B、F、H四点共圆，
∴∠EHB=∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠AHE=∠EBF，
∵∠EBF=∠ACD，
∴∠AHE=∠ACD且为定值，
∴点E在射线HE上运动，
当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠D=90°，
∴AC=CD2+AD2=10，
∴sin∠AHE=sin∠ACD=ADAC=45，
∴S△ACB=12×AB×CB=12×AC×BH，
∴BH=245，
再根据勾股定理可得AH=AB2-BH2=62-2452=185，
∴AE的最小值=AH×sin∠AHE=185×45=7225，
故答案为：D.
【分析】先证出当AE⊥EH时，AE的值最小，再求出BH=245，利用勾股定理求出AH的长，最后利用解直角三角形的方法求出AE的最小值=AH×sin∠AHE=185×45=7225即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=OP2-OQ2，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时12AB×OP=12AO×BO，
∵在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠B=60°，OA=6，
∴tan60°=OAOB，
∴OB=23，
∴AB=OA2+OB2=43，
∴43OP=6×23，
∴OP=3，
∴PQ=OP2-OQ2=32-12=22.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=OP2-OQ2，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出p的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，PN=DN，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6，
∵∠POC=∠POD，
∴OP⊥CD，OQ=6×32=33，
∴PQ=63，
设MQ=x，则PM=CM=3-x，
∴（3-x）2-x2=（6-33）2，
解得：x=63-9，
∴MN=2x=123-18，
故答案为：B.
【分析】先作出图象，证出△COD是等边三角形，可得CD=OC=OD=6，再求出PQ=63，设MQ=x，则PM=CM=3-x，利用勾股定理可得（3-x）2-x2=（6-33）2，求出x的值，再求出MN的长即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，
∵∠B+∠C=150°，
∴∠BEC=180°-（∠B+∠C）=30°，
∵点B与点F关于EC对称，
∴∠BEC=∠FEC=30°，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形；
连接BP、PF、PQ，则BP=FP，
∴BP+QP=FP+PQ，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，
∵DA⊥AB，DA=6cm，
∴AE=63cm，
在Rt△QEF中，FQ=3AE=3×63=18cm，
∴BP+PQ的最小值为18cm.
故答案为：D.
【分析】作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，由三角形的内角和定理得∠BEC=30°，由轴对称性质及角的和差得∠BEF=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BEF是等边三角形；连接BP、PF、PQ，则BP=FP，当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，根据含30°角直角三角形的性质得AE=63cm，FQ=3AE，可求出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，
∴CD=12BC，CG=FG=12CF，DG=12BF，
BF+2CE=2(12BF+CE)=2(DG十CE)，
∴BF+2CE的最小值转化为求DG+CE的最小值，
在等边三角形ABC中，AB= 1，
∴AB=BC=AC=1，∠BAC=60°，
∴CD=12，∠CAD= 30°，
∵CF= 2BE，
∴BE= CG，
∴AE= AG；
过A作AM⊥AC，且AM = AD，连接ME、CE，
则∠MAE= 90°-∠BAC = 30°= ∠CAD，
∴△AME≌△ADG(SAS)，
∴ME= DG，
∴DG十CE=ME+CE，
∴当点E在线段CM上时，ME+CE取得最小值，且最小值为线段CM的长，
AM=AD=AC2-CD2=32，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：
CM=AM2+AC2=322+12=72，
∴BF+2CE的最小值= DG +CE= ME+CE=2×72=7.
故答案为：C.
【分析】取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，则可得DG=17BF，BF+2CE=2(12BF+CE)=2(DG十CE)，因此转而求DG十CE的最小值；过A作AM⊥AC，且AM= AD，连接ME、CE，可证明△AME≌△ADG，则有ME = DG，进而转化为求ME+CE的最小值，当点E在线段CM上时，取得最小值，在Rt△AMC中由勾股定理即可求得最小值，从而求得BF十2CE的最小值.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点为Q，连结PQ，QE.
∵P、Q分别为CB、CD的中点
∴PQ为△CDB的中位线
∴PQ∥BD，且PQ=12BD
∵正方形边长为10
∴BD=102
∴PQ=52
又∵EF=52
∴PQ=EF
∴四边形PQEF为平行四边形
∴PF=QE
∴AE+PF=AE+QE
当AE和QE在同一直线上是，AE+QE最小，即为线段AQ
∴AQ=AD2+DQ2=102+52=125=55
故答案为：A.
【分析】求两条线段和的最小值，常见于“将军饮马”模型，图形基本特征是两定（点）和一动（点）.因此首先需要将图中的两条线段AE和PF连结起来，方法是通过作CD的中点Q，形成中位线PQ，计算发现PQ和EF的位置关系平行，数量关系相等，因此四边形EFPQ为平行四边形，所以PF=QE，即将PF转化为QE线段.此时，AE+PF转化为AE+QE，AE+QE即满足了两定（点）和一动（点）的特征，当Q、E、A共线时，求Rt△QDA的斜边AQ的值，即为AE+PF的最小值.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
在矩形ABCD中，AD//BC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP//BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB//DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE=BE2+BC2=13，
∴PC+PB的最小值为13，
故答案为：C.
【分析】先证出四边形DPBQ是平行四边形，可得PB=DQ，再利用轴对称的性质可得PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，最后利用勾股定理求出CE的长即可.
11．【答案】A
【解析】【解答】解：如图：
过点P作PM⊥AB于点M.
由折叠可得：PE=CE=2.
故点P的轨迹为以E为圆心，以CE为半径的圆弧，
故当E，P，M三点共线时PM最小.
此时ME⊥AB，
∵BC=7，CE=2，
∴BE=BC-CE=5.
∵∠BME=90∘，∠B=30∘，
∴ME=12BE=2.5.
∴PM=ME-PE=0.5
故答案为：A.
【分析】过点P作PM⊥AB于点M，根据P的运动轨迹，知道当EP⊥AB，即E，P，M三点共线时PM最小.利用含30° 的直角三角形的性质，可求出EM的长，从而求出PM的长.
12．【答案】C
【解析】【解答】连接 BD 、 PB 、 BD 关于 AC 对称．
∴PB=PD ．
∴PD+PE=PB+PE ，当 B 、 P 、 E 三点共线得 PD+PE 最小．
∴(PD+PE)min=BE=AB=4 ，选C．
【分析】连接 BD 、 PB，由于 BD 关于 AC 对称，可得PB=PD，由于PD+PE=PB+PE，可得当 B 、 P 、 E 三点共线得 PD+PE 最小，最小值等于BE的长，据此解答即可.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，
∴AD=AO，∠DAO=∠AOD=60°，
由旋转知AC=AB，∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠OAC，
∴△DAB≌△OAC（SAS），
∴BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，
过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，
∵A（0，2）
∴OD=OA=2，
∵∠DOH=∠AOH-∠AOD=30°，
∴DH=12OD=1，
∴OC的最小值为1；
故答案为：B.
【分析】以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，根据SAS证明△DAB≌△OAC，可得BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，利用直角三角形的性质求出DH即可.
14．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作EF⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AGC=∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠ABD=90°，
∵AC=10， tanA=3， ，
∴CG=ACsinA=10×31010=310，
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠BEF，
∴EF=BEcs∠BEF=BEcs∠A=1010BE，
∴CE+1010BE=CE+EF，
∴当C、E、F三点共线的时候，CE+EF有最小值，即 CE+EF=CG=310，
∴ CE+1010BE的最小值为310，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数可知1010BE等于EF，再通过垂线段最短可知CE+1010BE的最小值等于CG的长.
15．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点G作DH⊥AB于H，过G作MN∥AB交DA的延长线于M，交CB的延长线于N，则四边形AHGM和四边形BHGN均为矩形，
设AF=x，
∵正方形ABCD中，E是边AD中点，AD=4，
∴AB=AD=BC=4，AE=DE=2，
∵∠GHF=∠EAF=90°，∠HFG=∠AFE，GF=EF，
∴△HGF≌△AEF(AAS)，
∴GH=AE=2，HF=AF=x，
∴MG=AH=2x，AM=GH=NB=2，NG=BH=AB−AH=4−2x，
在Rt△EMG中，MG=2x，ME=AM+AE=4，
由勾股定理得：EG2=MG2+ME2=4x2+16，
在Rt△CGN中，NG=4−2x，CN=BC+NB=6，
由勾股定理得：CG2=NG2+CN2=(4−2x)2+36=4x2−16x+52，
∴EG2+CG2=8x2−16x+68=8(x−1)2+60，
∵8(x−1)2≥0，
∴8(x−1)2+60≥60，即EG2+CG2≥60，
∴EG2+CG2的最小值为60，
故答案为：B．
【分析】过点G作DH⊥AB于H，过G作MN∥AB交DA的延长线于M，交CB的延长线于N，证四边形AHGM和四边形BHGN都是矩形，根据AAS证明△HGF≌△AEF，利全等三角形的性质，结合勾股定理和配方法求解即可．
16．【答案】A
【解析】【解答】解：分别以CP、CB为边在下方构造等边三角形△PCQ、△DBC，分别取CQ、CD中点E、F，连接EF、QD、PE，如图所示，
∵取CQ、CD中点E、F，
∴EF=12QD，
∵等边三角形△PCQ，
∴PE=32PC，PC=QC
∵等边三角形△DBC，
∴DC=BC，∠DCB=60°，CF=12DC
∴∠PCB=∠QCD=60°−∠QCB，
∴△BPC≅△DQC(SAS)，
∴PB=QD，
∴EF=12QD=12PB，
∴PA+12PB+32PC=AP+PE+EF≥AF，
∴当A、P、F三点共线时4PA+2PB+23PC=4(PA+12PB+32PC)=4AF最小，
∵∠ACB=30°
∴∠ACF=∠ACB+∠DCB=90°，
∵AC=8，BC=10，
∴AC=8，BC=DC=10，
∴CF=12DC=5，
∴AF=AC2+CF2=82+52=89，
∴4PA+2PB+23PC的最小值为489，
故答案为：A.
【分析】分别以CP、CB为边在下方构造等边△PCQ、△DBC，分别取CQ、CD的中点E、F，连接EF、QD、PE，则EF=12QD，PE=32PC，PC=QC，DC=BC，∠DCB=60°，CF=12DC，利用SAS证明△BPC≌△DQC，得到PB=QD，推出EF=12QD=12PB，则PA+12PB+32PC=AP+PE+EF≥AF，故当A、P、F三点共线时，4PA+2PB+23PC=4AF最小，据此求解.
17．【答案】145
【解析】【解答】解：在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，连接FQ，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵AF=PQ=2，AF∥PQ，
∴四边形APQF是平行四边形，
∴PA=FQ=GQ，
∵E为CD边的中点，
∴DE=EC=12CD=12AB=3，
∵ F点与点G关于BC对称，
∴BC垂直平分FG，
∴CH=12GF=AB=6，
∴GH=DF=AD−AF=10−2=8，EH=EC+CH=3+6=9，∠H=90°，
∴EG=EH2+GH2=145，
∴线段AP+QE的最小值为145，
故答案为：145．
【分析】在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，据此求解即可．
18．【答案】2
【解析】【解答】解：以直线OA为对称轴构造等边三角形△AEF，点E和点F都在y轴上，作过点F和C的直线交x轴于点G.如图：
∵A(4,0)，
∴OA=4.
∵等边三角形AEF，
∴AE=AF=EF，∠AEF=∠AFE=60°.
∴OF=OE=AO3=433.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°.
∴∠EAF－∠BAF=∠BAC－∠BAF，
即∠EAB=∠FAC.
∴△AEB≌△AFC(SAS).
∴∠AEB=∠AFC=60°.
∴∠OFC=120°，为定值.
∴点C在直线FG上运动.
故当OC⊥FG时，OC的值最小.
∵∠OFG=180°－∠OFC=60°.
∴∠OGF=30°.
∴OG=3OF=4.
∴OC=12OG=2
故答案为：2.
【分析】以OA为对称轴作等边△AEF，由“SAS"可证△AEB≌△AFC，可得∠AEB=∠AFC=60°.则点C在FG上移动，当OC⊥FG时， OC有最小值. 由直角三角形的性质可求∠OGF=30°，OG=3OF=4，即可求得OC的最小值.
19．【答案】15
【解析】【解答】解：如图，在BC上截取BE＝3，连接BP，PE，
∵正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，
∴BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9，
∵BPBC=12=BEBP ，且∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴BEBP=PEPC=12 ，
∴PE＝12PC，
∴PD+12PC＝PD+PE，
∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+12PC有最小值，
∴PD+12PC最小值为DE＝DC2+CE2＝15，
故答案为：15.
【分析】在BC上截取BE=3，连接BP， PE，由正方形的性质求出BC的长，再证明△PBE∽△CBP，列比例式得出PE＝12PC，当点D，P，E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+12PC有最小值，结合最小值为DE，利用勾股定理求DE长即可.
20．【答案】12+2
【解析】【解答】解： 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，如图：
则PF=EF，PA=AE，
又∵AF=AF，
∴△AFP≌△AFE，
∴∠PAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FG∥CQ，FQ∥CG，
∴四边形CGFQ是平行四边形，
∴CQ=FG=1，FQ=CG，
五边形BCGFE的周长为BC+CG+GF+FE+EB=BC+FQ+FG+PF+BE，
在△PFQ中，FQ+PF＞PQ，
当P、F、Q三点共线时，五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，
∵点E是AB的中点，∠B=45°，
∴AP=AE=BE=12AB=2，∠PAF=∠BAD=180°-45°=135°，​​​​​​​
∴∠EAP=90°，
∴∠APE=∠AEP=∠BEM=45°，​​​​​​​PE=2AE=2，
∴∠PMB=∠PMQ=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴EM=BM=BE2=1，
故PM=PE+EM=3，
∵BQ=BC-CQ=5，QM=BQ-BM=4，
在Rt△PQM中，PQ=PM2+MQ2=32+42=5，
∴BC+FG+EB+PQ=6+1+2+5=12+2，
即五边形BCGFE的周长最小值为12+2；
故答案为：12+2.
【分析】 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得∠PAF=∠EAF，根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等可得CQ=FG=1，FQ=CG，结合三角形三边关系可求得五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出EM和PQ的值，即可求解.
21．【答案】23
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°
在ABE和 ACF中，
AB=AC
∠BAC=∠ACB
AE=CF
∴△ABE≅△ACF(SAS)
∴∠ABE=∠CAF
∴∠BPF-∠PAB+∠ABP=∠CAP+∠B
AP=60°
∴∠APB=120°
如图，过点A，点P，点B作⊙O连接CO，PO
∴点P在AB⏜上运动，
∵AO=OP=OB，
∴∠OAP=∠OPA，∠OPB=∠OBP，∠OAB=∠OBA
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°
∴∠OAB=30°
∴∠CAO=90°
∵AC=BC，OA=OB
∴CO垂直平分AB
∴∠ACO=30°
∴COS∠ACO=ACCO=32，CO=2AO
∴CO=43，AO=23
在△CPO中，CP≥ CO-OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，CP的最小值=43-23=23
故答案为23.
【分析】由”SAS“可证 △ABE≅△ACF，可得 ∠ABE=∠CAF，可求∠APB=120°，过点A、点P、点B作⊙O，则点P在AB⏜上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解。
22．【答案】92
【解析】【解答】解：作CE平分∠ACB，交AD于点F，过点D作DE⊥CF交CF于点E
∵∠ACB=60°，∴∠ECD=12∠ACD=30°
∴在Rt△CDE中，∠E=90°，
∴DE=12CD=12(BD+BC)=12(BD+4)=12BD+2
过点A作AG⊥EC于点G
根据三角形三边关系可得：AD−DE≥AD−DF=AF≥AG
即：AD−(12BD+2)≥AG
∴AD−12BD≥2+AG
在Rt△AGC中，∠AGC=90°，∠ACG=12∠ACB=30°
∴AG=12AC=52
∴2+AG=2+52=92
∴AD−12BD≥92
即：AD−12BD的最小值为92．
故答案为：92.
【分析】作CE平分∠ACB，交AD于点F，过点D作DE⊥CF交CF于点E，过点A作AG⊥EC于点G，根据角平分线的定义及含30度角的直角三角形性质得出DE=12BD+2，根据三角形三边关系及垂线段最短可得AD−12BD≥2+AG，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出2+AG的值，即可得解．
23．【答案】30°；3
【解析】【解答】如图所示， 点A坐标为(3，1)
∴tan∠AOB=13=33
∴∠AOB=30°
故第一空填：30°
过点A作AC⊥ x轴，并延长到D点，使AC=DC，过D作DE⊥OA于E，交x轴于F
由作图知，点D是A关于x轴的对称点
∴AF=DF，AD=2AC=2
∵∠AOB=30°
∴EF=12OF
∴DE=DF+EF=AF+12OF
又在直角三角形AED中∠DAE=90°-∠AOB=60°
∴sin∠DAE=DEAD
∴DE=sin∠DAE×AD=32×2=3
∴DE=3
当点B与F重合时，AB+12OB有最小值DE
∴AB+12OB=DE=3
故填：3
【分析】根据点坐标和正切函数的意义，计算出正切函数值是个特殊角的函数值，这个特殊角是30°；根据轴对称求最短距离即将军饮马模型，作辅助线；有30°角和12OB，很容易将二者联系起来思考，将AB和12OB转化到一条直线上来，且垂线段最短可知DE即为所求，再根据三角形函数计算求得最小值。
24．【答案】2
【解析】【解答】解：∵点M为DF的中点
∴当F与A重合时，点M落在AD中点M1处；当F与E重合时，点M落在DE中点M2处；
∴连接M1M2，则M1M2是△ADE的中位线，M1M2​​​​​​​//AE，点M在M1M2​​​​​​​上运动
∴当BM⊥M1M2​​​​​​​上时， BM的值最小​​​​
∵矩形ABCD中，AB=1，BC=AD=2
∴AB=AM1，∠AM1B=45°
∵AE为∠BAD的平分线，M1M2//AE
∴∠BAE=∠DAE=M2M1D=45°
∴∠BM1M2=90°，即点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=AB2+AM12=12+12=2
故答案为：2.
【分析】由题目已知，点M为DF中点，取AD、DE中点M1、M2，可知M1M2​​​​​​​是△ADE的中位线，M1M2​​​​​​​//AE，点M在M1M2​​​​​​​上运动，当BM⊥M1M2​​​​​​​上时， BM的值最小.根据已知数据，易得∠BM1M2​​​​​​​=90°，点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=AB2+AM12=12+12=2.
25．【答案】5
【解析】【解答】解：∵直线y=34x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点 ，∴点A(4，0)，点B（0，-3），则AB=32+42=5，设点P到直线的距离为d，则△PAB的面积：S=12×d×AB=52d，设点C到直线AB的距离为d1，根据圆性质可得d的最大值为d1+r，最小值为d1-r，则△PAB面积的最大值与最小值的差为52d1+r-52d1-r=52×2=5.
故答案为：5.
【分析】本题主要直线的坐标轴的交点，圆上的点到直线的距离，根据题意可得AB=5，设点P到直线的距离为d，则△PAB的面积：S=12×d×AB=52d，可得△PAB的面积最大小是由d决定的，设点C到直线AB的距离为d1，根据圆性质可得d的最大值为d1+r，最小值为d1-r，从而可得则△PAB面积的最大值与最小值的差.
26．【答案】103
【解析】【解答】解：如图1，作AH⊥BA，使AH=AB，连接BH、FH，则AH∥CD，
∵△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，AC=BA，∠CAB=58°，
∴∠ACD=32°
∴∠CAH=∠ACD=32°，AC=AB=AH，
∵AF=CE，
∴△AEC≌△HFA（SAS），
∴AE=FH，BF+AE=BF+FH，
当F为AC与BH的交点时，如图，BF+AE的值最小，此时∠FBA=45°，∠CAB=58°，
∴∠CFB=103°.
故答案为：103.
【分析】作AH⊥BA，使AH=AB，连接BH、FH，证明△AEC≌△HFA（SAS），可得AE=FH，BF+AE=BF+FH，当F为AC与BH的交点时，BF+AE的值最小，求出此时∠CFB的度数即可.
27．【答案】42
【解析】【解答】过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD，如图所示：
根据题意可得：∠ABC=90°，∠PGQ=90°，
∴∠PGF+∠FGQ=∠QGE+∠FGQ=90°，
∴∠PGF=∠QGE，
∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE=90°，
∴GF=GE，
在△GPF与△GQE中，
∠GPF=∠GQE∠PGF=∠QGEGF=GE，
∴△GPF≌△GQE（AAS），
∴GP=GQ，∠GBP=∠GBE=12∠ABC，
∴点G在BD所在的直线上运动，
∵F为AB边上的一个动点，如图所示：
当点F与点B重合时，点G的位置如图所示，
当点F与点A重合时，记点G的位置为G''，
∴点G的运动轨迹为线段GG''，
过点C作CG'⊥BD于点G'，
∴CG的最小值=CG'=12BD，
∵正方形的边长为8，
∴BD=82，
∴CG的最小值是12BD=42，
故答案为：42.
【分析】先利用“AAS”证出△GPF≌△GQE，可得GP=GQ，∠GBP=∠GBE=12∠ABC，再证出点G的运动轨迹为线段GG''，过点C作CG'⊥BD于点G'，可得CG的最小值=CG'=12BD，再结合BD=82，求出CG的最小值是12BD=42即可.
28．【答案】（1）解：①尺规作图的结果如图所示；
②证明：∵AC=BC
∴∠CBA=∠CAB
又∵AF=AD=BF，AB共用，
∴△EBA≌△EAB(SAS)
∴AF=BF．
（2）42−4
【解析】【解答】解：（2）∵∠ACB=90°，AC=BC=2．
∴∠CBA=∠CAB=45∘，AB=AC2+BC2=22+22=22．
由旋转的过程，可知∠EAC=∠DAC=45°，AG=AC=2，FG=CD．
∴∠BAG=∠FAG+∠DAC=45°+45°=90°．
连接BG，交AC于点F'，由B，G均为固定点，则BF+FG≥BG．
当F与F'重合时，BF+FG=BG=AG2+AB2=22+(22)2=23．
则CD+AE的最小值为23．
此时所有点均为定点，还原大致示意图如下，
设AH=FH=a，则AH=AF=2a，
在Rt△BHF和Rt△BAG中，
有tan∠ABG=HFBH=aBH=AGBH=222，
∴BH=2a，
∴AB=BH+AH=2a+a=22，解得a=4-22，
此时，AD=2a=42−4．
【分析】（1）①根据题意及要求作出图象即可；
②先利用“SAS”证出△EBA≌△EAB，再利用全等三角形的性质可得AE=BF；
（2）连接BG，交AC于点F'，由B，G均为固定点，则BF+FG≥BG，当F与F'重合时，利用勾股定理求出BG的长，再从定三角形中求出AF的值，此处方法多样，为便于书写利用特殊角45°角作垂线，进而利用三角函数找出边之间的关系解方程即可.
29．【答案】解：[问题解决]26；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC
∵OCOP=46=23，OPOB=69=23，
∴OCOP=OPOB，
∵∠POC=∠BOP，
∴△POC∽△BOP
∴PCPB=OCOP=23，PC=23PB，
∴AP+23BP=AP+PC≥AC，
过点C作CD⊥OA于D，
CD=OC⋅sin∠AOC=4×sin60°=4×32=23，
OD=12OC=12×4=2，AD=OA−OD=10−2=8，
在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=82+(23)2=219，
∴AP+23BP最小值为219；
[能力提升]183+12
【解析】【解答】解：[问题解决]如图，在Rt△BOC中，CB=OC2+OB2=12+52=26，
∴12AP+BP的最小值为26，
故答案为：26；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，
∴CEBE=26=13，CFBF=412=13，
∵BD=3DC，
∴CEBE=CFBF=CDBD=13，
连接DE，DF，
由S△DECS△DBE=ECBE=DCBD，S△CDFS△BDF=CFBF=DCBD，
∴点E，F到BD，CD的距离相等，
∴DE，DF是△BDC的内，外角平分线，
∴∠EDF=90°，
∵点D是平面内任意一点，
∴点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，
∵EF=BF−BE=12−6=6，EO=3，
∴BO=BE+EO=6+3=9
在Rt△BOG中，∠OBG=180°−∠ABC=180°−120°=60°，
∴OG=BO⋅sin∠OBG=9×sin60°=9×32=932，
∴DG=OG+OD=932+3，
∴S△ABD=12AB⋅DG=12×8×(932+3)=183+12，
∴△ABD面积的最大值为183+12，
故答案为：183+12.
【分析】（1） [问题解决] 在OA上取一点C，使OC=1，则OCOP=12=OPOA，又∠COP=∠POA，得△COP ∽△POA，则CPAP=OPOA=12，得CP=12AP，故12AP+BP=CP+BP，又CP+BP≥CB
从而利用勾股定理算出答案；
（2） [尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC ，利用两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POC∽△BOP，根据相似三角形对应边成比例得 PC=23PB， 故可得AP+23BP=AP+PC≥AC， 过点C作CD⊥OA于D， 由正弦函数定义求的CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长即可得出答案；
（3） [能力提升] 在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，易得CEBE=CFBF=CDBD=13；连接DE，DF，根据同高三角形面积之比等于底之比可得点E，F到BD，CD的距离相等，根据角平分线定理得DE，DF是△BDC的内，外角平分线，则可得∠EDF=90°，根据圆周角定理得点D在以EF为直径的圆O上，过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，在Rt△BOG中，由正弦函数的定义求出OG，最后根据三角形面积计算公式算出△ABD的面积即可.
30．【答案】（1）（3，4），（3，－4）
（2）10
（3）解：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，
∴△BAN≌△ECM（SAS），
∴BN＝EM，
∴AM＋BN＝AM＋ME，
∴当A，M，E共线时，AM＋BN的值最小，
∵AD∥EC，
∴CMDM=CEAD=2
∴CM＝21+2×1=2−2
【解析】【解答】解：（1）∵(x−1)2+1+(x−3)+16可化为 (x−1)2+1+(x−3)+42，
∴ 代数式可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（3，4）或（3，-4）的距离之和 ；
故答案为：（3，4），（3，－4）.
（2）∵x2+49+x2−12x+37 = (x-0)2+72+(x-6)2+12，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点A'（0，-7），则PA=PA'，
∴PA+PB的最小值为线段A'B的长，
∴A'B=62+（1+7）2=10，
∴ 代数式x2+49+x2−12x+37的最小值为10.
故答案为：10.
【分析】（1）将原式化为(x−1)2+1+(x−3)+42，根据题中例子解答即可；
（2）将原式化为(x-0)2+72+(x-6)2+12，可得所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，根据题中例子解答即可；
（3）过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．怎么△BAN≌△ECM（SAS），可得BN＝EM，从而得出AM＋BN＝AM＋ME，可知当A，M，E共线时，AM＋BN的值最小，再利用平行线分线段成比例求出此时CM的长即可.