2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(二)练习附解析

这是一份2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(二)练习附解析，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，实践探究题，综合题等内容，欢迎下载使用。
1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 ⊙O 被水面截得弦 AB 长为4米， ⊙O 半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 AB 所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．(3−5) 米D．(3+5) 米
2．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD，DC，AC，如果∠C=65°，那么∠BAD的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC AB，点M是ABC的中点，则从点M向BC作垂线，垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．
下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明：如图②，在CD上截取CE=AB，连接MA、MB、MC和ME.
∵M是ABC的中点，∴MA=MC.
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.
（2）[理解运用]
如图③，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作EF⊥AC于点F.若AC=10，BC=4，则CF的长为
（3）[实践应用]
如图④，等边△ABC内接于⊙O，点D是AC上一点，且∠ABD= 45°，连接CD.若AB=2，则△BDC的周长为
四、综合题
21．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是BD上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC，AD，FG．
（1）若∠AFO=60°，求∠CGO的度数．
（2）求证：AC2=AG⋅CF．
（3）设∠AFO=α，△CFG的面积为S1，△AOF的面积为S2，求证：S1S2=tanα−1．
22．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，AB=AC，点F在线段BD上，且AF=AD.
（1）若∠ADB=α，请用α的代数式表示∠ADC；
（2）求证：BF=CD；
（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC.
①若AM为⊙O的直径，AM=13，tan∠DAC=23，求AF的长；
②若FG=2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC交AB于点E.
由题意OC⊥AB，
∴AE=BE= 12 AB=2（米），
在Rt△AEO中， OE=OA2−AE2=32−22=5 （米），
∴CE=OC-OE= (3−5) （米）.
故答案为：C.
【分析】连接OC交AB于点E，由题意OC⊥AB，根据垂径定理可得AE=BE=12AB=2米，根据勾股定理求出OE，然后根据CE=OC-OE进行计算.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∵∠C=65°，
∴∠ABD=65°，
∴∠BAD=90°−65°=25°.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=65°，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
3．【答案】B
4．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意可知，⊙O与△ABC三边所在直线第一次与AC相切，第二次与BC相切，第三次与AB相切，
∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
当⊙O与△ABC三边所在直线第一次相切时，作OD⊥AC于点D，如图，
∵∠C=90°，∴BC⊥AC，
∴OD//BC，
∴△ADO~△ACB，
∴ODBC=AOAB，
∵OD=2cm，
∴AO10=26，
即AO=103cm；
当⊙O与△ABC三边所在直线第三次相切时，作OE⊥AB于点E，如图，
∵∠C=∠OEB=90°，∠B=∠B，
∴△OEB~△ACB，
∴OEAC=OBAB，
∵OD=2cm，
∴OB10=28，
即BO=52cm；
∴⊙O与△ABC三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是(10+52−103)=5512(s)
故答案为：A.
【分析】根据题意，⊙O与△ABC三边所在直线第一次与AC相切，第二次与BC相切，第三次与AB相切，求出AB的长度，当⊙O与△ABC三边所在直线第一次相切时，作OD⊥AC于点D，求出AO的长，当⊙O与△ABC三边所在直线第三次相切时，作OE⊥AB于点E，求出BO的长，进而即可得到答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心.
由图可得：OA2=12+22=5，OC2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC=90π×(5)2360-12×5×5-12×2×1=5π4-72.
故答案为：D.
【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心，由勾股定理逆定理可得△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC进行计算.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OE、OB设EF交OA于点M
∵直线EF⊥OA且平分OA，
∴OE=AE
∵OA，OE为⊙O的半径
∴OA=OE
∴OA=AE=OE=1
∴△OAE为等边三角形
∴∠AOE=60°
∴EM=OE×sin∠AOE=OE×sin60°=1×32=32
∴S∆AOE=12×OA×EM=12×1×32=34
S扇形AOE=60°×π×12360°=π6
∴S弓形AE=S扇形AOE−S∆AOE=π6−34
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠AOB=90°
∴S∆AOB=12×OA×OB=12×1×1=12
S扇形AOB=90°π×12360°=π4
∴S弓形AB=S扇形AOB−S∆AOB=π4−12
∴S阴影=S弓形AB−S弓形AE=π4−12−π6−34=π4−12−π6+34=π12+34−12
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形与圆、利用扇形的面积公式求阴影部分的面积，根据正方形内接于圆，可得出圆心角∠AOB＝90°，可求出S扇形AOB和S∆AOB，进而求得S弓形AB，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得出AE=OE，从而等到△AOE为等边三角形，利用解直角三角形得出高EM的长，从而求出S扇形AOB和S∆AOB，得出S弓形AE，S阴影=S弓形AB−S弓形AE，用即可求出答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】解： 连接 OC 、 BE 、 AE ，过点 F 作 GF⊥BA 交 AB 延长线于 G ， AB⊥ED 于 H，如图所示：
∵⊙O 的直径 AB=10 ， sin∠BAC=35 ，
∴∠ACB=90° ， BC=AB×sin∠BAC=10×35=6 ，
∴AC=AB2−BC2=8 ， tan∠ABC=43 ，
∵DE 是弦， AB⊥DE ， CEB=EBD ，
∴EB=BD，
∴BEC⌢−EB⌢=EBD⌢−EB⌢ ，
∴CE=BD ，
∴CE=BD=EB ，
∴∠EAC=∠EAB=∠BAD ，
∴∠DAC=3∠BAD ，
∵∠FBD=∠DAC ，
∴∠FBD=3∠BAD ，①正确；
∵∠CAB=∠EOB ， ∠ACB=90° ，
∴AC∥OG ，
OG⊥BC ，
∴OG 平分 BC，
∴OG 是 BC 的中垂线，
∴CG=BG ，
∴∠GCB=∠GBC ，
∵OC=OB ，
∴∠OCB=∠OBC ，
∴∠GCB+∠OCB=∠GBC+∠OBC ，即 ∠OCG=∠OBG ，
∵DE 是弦， ∠OBG=180°−∠ABD
∴∠ABD 是锐角，
∠OBG 是钝角，
∴∠OCG 是钝角， ∠OCG≠90° ，
∴OC 不垂直 CG ， CG 不是 ⊙O 的切线，②不正确；
∵EC⌢=BE⌢ ，
∴∠BOE=12∠BOC ，
又 ∵∠CAB=12∠COB，
∴∠CAB=∠EOB ，
∴sin∠EOB=35 ，
∵OE=12AB=5 ， AB⊥ED 于 H ，
∴EH=3 ，
∴OH=52−32=4 ，
∵OA=OB=12AB=5 ，
∴BH=OB−OH=5−4=1 ，
∴BE=12+32=10 ，③正确；
∵AB⊥DE ， AH=OA+OH=5+4=9 ，
∴DH=EH=3 ， AD=32+92=310 ，
tan∠GAF=DHAH=39=13 ，
∴FG：AG=1：3 ， 12+32=10 ，
∴FG：AG：AF=1：3：10 ，
∴ 设 DF=a ，则 AF=AD+DF=310+a ，
∴GF=110AF=1010(310+a) ， AG=3GF=31010(310+a) ，
∵∠GBF=∠CBA ，
∴tan∠GBF=tan∠CBA=43=GFBG ，
∴GB=GA−AB=31010(310+a)−10 ，
∴1010(310+a)31010(310+a)−10=43 ，
解得a=13109 ，
∴FD=13109 ，④不正确；
综上所述，①和③结论正确，
故答案为：B
【分析】连接 OC 、 BE 、 AE ，过点 F 作 GF⊥BA 交 AB 延长线于 G ， AB⊥ED 于 H，根据题意结合垂径定理、圆内接四边形的性质即可得到∠FBD=3∠BAD，进而根据垂直定理结合题意即可得到CG 不是 ⊙O 的切线，再证明∠CAB=∠EOB ，结合题意运用勾股定理即可得到③； 设 DF=a ，则 AF=AD+DF=310+a ，根据题意即可得到tan∠GBF=tan∠CBA=43=GFBG ，进而结合题意代入即可求出a。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设折叠后的AC所在的圆心是O'，连接O'A，O'D，
∴∠AO'D=2∠ACB=120°，
连接OA，OB，
同理，∠AOB=120°，
∴∠AOB=∠AO'D.
∵⊙O和⊙O'是等圆，
∴AB=AD.
设圆O的半径是r，过点O作OG⊥AB于点G.
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°，AB=2AG，
∴OG=12OA=12r，
∴AB=2AG=2r2−(12r)2=3r.
过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB=AD，
设BM=DM=x，则BD=2x.
∵D是BC的中点，
∴CD=BD=2x，
∴MC=DM+CD=3x.
∵AM⊥BC，∠ACB=60°，
∴∠MAC=30°.
在Rt△AMC中，MC=12AC=3，
∴3x=3，
解得x=1，
∴AM=AC2−MC2=33，BM=x=1.
在Rt△ABM中，AB=AM2+BM2=27.
∵AB=3r，
∴r=2213.
故答案为：D.
【分析】设折叠后的AC所在的圆心是O'，连接O'A，O'D，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AO'D=2∠ACB=120°，连接OA，OB，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOB=120°，设圆O的半径是r，过点O作OG⊥AB于点G，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠OAB=∠OBA=30°，AB=2AG，由含30°角直角三角形的性质得OG=12r，根据勾股定理AB=3r；过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形的三线合一得BM=DM=x，则BD=2x，根据按30°角直角三角形的性质MC=12AC=3，据此建立方程可求出x的值，进而再根据勾股定理算出AM、AB，结合AB=3r即可建立方程，求解即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
利用AAS易证△OMG≌△GCD，
所以OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
又因AB=CD，
所以BC−AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=12（a+b-c），
所以c=a+b-2．
在Rt△ABC中，
由勾股定理可得a2+b2=(a+b−2)2，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又因BC−AB=2即b=2+a，
代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，
解得a1=1+3，a2=1−3(舍去)，
所以a=1+3，b=3+3，即可得BC+AB=23+4．
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=3+3−1−x，OF=x，ON=1+3−1=3，
由勾股定理可得(2+3−x)2+(3)2=x2，
解得x=4−3，
CD−DF=3+1−(4−3)=23−3，CD+DF=3+1+4−3=5．
综上只有选项A符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG，
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=12∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF，
∴∠EGB=∠FGC，
在△EGB和△FGC中，
BG=CG∠EGB=∠FGCEG=FG
∴△EGB≌△FGC(SAS)，
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE=13m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m
∴BC=AC2−AB2=3m ，
∴AD=3m，
∴CFAD=13m3m=39
故答案为：A．
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
11．【答案】934−34π
【解析】【解答】解：连接AE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABC，
∴∠DAE=∠ABC，
∴ΔAED≅ΔBAC(SAS)，
∴∠ACB=∠ADE=30°，BC=AD=6
∴∠ABC=60°，AB=12BC=3，
∵AB=AE=3，
∴ΔABE是等边三角形，
∴AE=BE，∠EAB=60°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAE=90°−∠EAB=90°−60°=30°，∠ACB=90°−∠B=90°−60°=30°，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE=CE，
∴CE=BE，
∴SΔABC=12AB⋅AC=12×3×33=932，
∴SΔACE=12SΔABC=934，
∵∠CAE=30°，AE=3，
∴S扇形AEF=30π×32360=34π，
∴S阴影=SΔACE−S扇形AEF=934−34π．
故答案为：934−34π．
【分析】连接AE，先根据平行线四边形的性质结合平行线的性质得到AD=BC，∠DAE=∠AEB，进而根据等腰三角形的性质结合题意证明∠DAE=∠ABC，从而根据三角形全等的判定与性质证明ΔAED≅ΔBAC(SAS)即可得到∠ACB=∠ADE=30°，BC=AD=6，再结合等边三角形的判定与性质即可得到AE=BE，∠EAB=60°，从而结合三角形的面积公式、扇形的面积公式即可求解。
12．【答案】5
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∵AE=3，AB=35，
∴BE=AB2−AE2=352−33=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵∠EAB+∠EAD=90°，∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠EAD=∠ABE，
∵∠ADF=∠BEA，∠EAD=∠ABE，
∴△ADF∽△BED，
∴ADBE=AFAB，
即26=AF35，
∴AF=5；
故答案为：5.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEC=90°，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方求得BE的值，根据矩形的四个角都是直角可得∠D=∠DAB=90°，推得∠EAD=∠ABE，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可得△ADF∽△BED，根据相似三角形的对应边之比相等求出AF的值，即可得出答案.
13．【答案】292
【解析】【解答】解：如图：过点B作BH⊥AB于H，过点C作CO⊥DE交BH的延长线于点O，过点O作OT⊥BC于T，∵BE=BA=4，BH⊥AB
∴BH垂直平分线段AE，同理可得CO垂直平分线段DE，故点O为△ADE的外接圆圆心，又∵∠OBC=12∠ABE=12α,∠OCB=12∠DCE=12α,∴∠OBC=∠OCB,则OB=OC,∵OT⊥BC，∴BT=CT=5，∵在Rt△BTO中：tanα2=OTBT=12,
∴OT=52，又∵ET=BT−BE=1，由勾股定理得：OE=OT2+ET2=522+12=292， △ADE外接圆的半径为292.
故答案为：292.
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形的外心,过点B作BH⊥AB于H，过点C作CO⊥DE交BH的延长线于点O，过点O作OT⊥BC于T，根据题意可得H垂直平分线段AE，同理可得CO垂直平分线段DE，故点O为△ADE的外接圆圆心，然后根据等腰三角形的性质进行求解即可.
14．【答案】23​​​​​​​
【解析】【解答】解：如图，过A点作AE⊥AD，交DB的延长线与点E，
∴∠EAD=90°，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
由圆周角定理得：∠ADE=∠ACB=45°，
∴∠E=90°−∠ADE=90°−45°=45°，
∴∠E=∠ADE，
∴AE=AD，
∴△ABE≌△ACD，
∴S△ABE=S△ACD，
∴S△ADE=S四边形ABDC=6cm2，
∴12AD2=6，
解得：AD=23．
故答案为：23．
【分析】过A点作AE⊥AD，交DB的延长线与点E，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理，推出△ABE≌△ACD，从而得到四边形ABDC的面积等于△ADE的面积，根据三角形的面积公式即可求出AD的长度．
15．【答案】214
【解析】【解答】解：如图，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，
∵P，Q分别是AC，BC的中点，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，则根据垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，∠CHP=90°，∵AM=CM，
∴MH⊥AC，则M、P、H、O四点共线，同理可得O、J、Q、N四点共线，故根据中位线定理可得：OH+OJ=12AC+BC=152，
又∵MH+NJ=AC+BC=15，MP+NQ=12，∴PH+QJ=15−12=3，故AO=12AB=12OP+OQ=12OH+OJ+PH+QJ=12×152+3=214.
故答案为：214.
【分析】本题主要考查垂径定理、中位线的性质，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，根据题意可得OP⊥AC，OQ⊥BC，利用垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，再根据中位线定理可得：OH+OJ，的长度，再根据线段的和差关系得到：PH+QJ长度，再根据AO=12AB=12OP+OQ=12OH+OJ+PH+QJ进行求解即可.
16．【答案】23或12
【解析】【解答】解：如图1，当PC=BC时，作CD⊥AB，连接OC、OQ，
∵PC=BC，CD⊥AB，
∴∠CPB=∠CBP，PD=BD，
∵PC∥AQ，
∴∠QAP=∠CPB，
∴∠QAP=∠CBP，
∵AO=QO=CO=BO，
∴∠AOQ=∠BOC，
∵PQ⊥AB，CD⊥AB，
∴∠APQ=∠OPQ=∠ODC=∠BDC=90°，
∴△OPQ≅△ODCAAS，
∴PQ=CD，
∵∠APQ=∠BDC，∠QAP=∠CBP，
∴△APQ≅△BDCAAS，
∴AP=BD，
∴AP=BD=DP，
∴BPAB=23；
如图2，当BP=CP时，连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PAC+∠PBC=∠ACP+∠PCB=90°，
∵PC=BP，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠PAC=ACP，
∴AP=CP，
∴AP=CP=BP，
∴BPAB=12.
故答案为：23或12.
【分析】利用等腰三角形的性质进行分类讨论：当CP=BC时，作CD⊥AB，利用平行线和等腰三角形的性质证得∠QAP=∠CPB=∠CBP，进而得到∠AOQ=∠BOC，接着通过AAS判定△OPQ≅△ODC得到PQ=CD，再通过AAS判定△APQ≅△BDC，证得AP=BD=DP，故可得BPAB=23；当PC=PB时，连接AC，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，进而可证得∠PAC+∠PBC=∠ACP+∠PCB=90°，再通过等腰三角形的性质与判定证得AP=PC=PB，故BPAB=12.
17．【答案】（1）解：设和美角的度数为x，则钝角的度数为90°+x，
根据题意可得：x+90°+x+x=180°，
解得：x=30°，
∴和美角的度数为30°.
（2）证明：如图1，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，
∴∠ABD=90°，
∵△ABC是和美三角形，∠ABC是钝角，∠A是和美角，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+∠DBC=90°+∠A，
∴∠DBC=∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BCAC=BDAB，
∵tanA=BDAB，
∴tanA=BCAC.
（3）解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=13，BC=5，
∴AC=AB2−BC2=132−52=12，
如图3，当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，
由（2）得：tan∠BAC=CEAC=BCAC=512，
∴CE=BC=5，
∴∠CEB=∠CBA，
∵∠CEB=∠AED，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDA=∠AED，
∴AD=AE，
∵CE=CB，CF⊥AB，
∴BF=EF=12BE，
∴∠ACB=∠CFB=90°，∠CBA=∠CBF，
∴△ABC∽△CBF，
∴BCBF=BABC，
即5BF=135，
∴BF=2513，
∴AD=AE=AB−2FB=11913.
如图4，当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，
∵AD⏜=AD⏜，BD⏜=BD⏜，
∴∠ACD=∠ABD，∠DCB=∠DAB，
即∠EBD为和美角，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
由（2）得：tan∠ACE=tan∠ABD=DEDB=ADDB，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=∠CEB=∠DCB，
∴BE=BC=5，
∴AH=HE=12AE=13−52=4，
∴∠ADB=∠AHD=90°，∠DAH=∠DAB，
∴△ADH∽△ABD，
∴AHAD=ADAB，
即4AD=AD13，
∴AD=52=213；
综上，AD的长11913或213.
②设∠CAB=α，则∠ACO=α，
∴∠COG=2α ，
∵BC⏜=BC⏜，
∴∠CAB=∠CDB=α ，
当∠CAB与∠CDB为和美角时，如图：连接OC，OD，过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠AEC=90°+α ，
∴∠CEB=90°-α ，
由（2）得：tan∠BAC=CEAC=BCAC，
即CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE=90°-α ，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=90°+α -（90°-α ）=2α ，
∵AD⏜=AD⏜，
∴∠ACD=∠ABD=2α ，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，
即α +2α+90°+α =180°，
故α =22.5°；
即∠ACD=45°，
故∠AOD=90°，∠COG=45°，
∴CG=OG，
∵OC2=CG2+OG2，
∴CG=OC22=22OC，
∵CG∥OD，
∴△CEG∽△DOE，
∴CEDE=CGOD=22；
当∠CAB与∠DCB为和美角时，如图：连接OC，OD，
则∠ACE=180°-∠CAE-∠AEC=180°-α -（90°+α ）=90°-2α ，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB=90°-∠ACE=90°-（90°-2α ）=2α ，
∴∠CBD=180°-∠CDB-∠DCB=180°-α -2α =180°-3α ，
∵∠DCB为和美角，且∠DCB=2α ，
∴∠CBD=90°+2α ，
即180°-3α =90°+2α ，
∴α=18°，
则∠DCB=∠DAB=36°，∠ACE=54°，∠CBD=108°，
故∠BOD=2∠DAB=72°，∠COB=2∠CAB=36°，∠OCE=∠ACD-∠ACO=36°，∠OED=∠CEB=72°，
即CE=OE，△ODE是黄金三角形，
故OEDE=5−12，
即CEDE=OEDE=5−12；
当∠ACE与∠CDB为和美角时，如图：过点D垂线与AC交于点G，连接GE，
则∠AEC=90°+∠ACE=180°-∠CAB-∠ACE，∠DBC=90°+∠CDB=90°+α ，
故∠ACE=45°-0.5α ，∠AEC=135°-0.5α ，∠DCB=90°-∠ACE=45°+0.5α，
∵∠DCB+∠CDB+∠DBC=180°，
即45°+0.5α+90°+α+α=180°，
故α =18°；
即∠ACE=36°，∠AEC=126°，∠DCB=∠DAB=54°，∠ABC=∠ADC=90°-18°=72°，∠CEB=54°，
即AD=DE，
∵AE⊥DG，
∴∠ADG=∠GDE=36°，GA=GE，
则∠CAD=∠CAB+∠BAD=18°+54°=72°，
即△ODE是黄金三角形，
故GEDE=5−12，
即CEDE=GEDE=5−12；
当∠ACE与∠DCB为和美角时，如图：
则∠AEC=90°+∠ACE=180°-∠CAB-∠ACE，∠DBC=90°+∠DCB=180°-∠CDB-∠DCB，
故∠ACE=45°-0.5α ，∠AEC=135°-0.5α ，∠DCB=45°-0.5α，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
即45°-0.5α+45°+0.5α=90°，
∴α =0，故不存在；
综上，CEDE的值为22或5−12.
【解析】【分析】（1）设和美角的度数为x，利用和美三角形的定义和三角形的内角和定理列出方程，解方程即可求解；
（2）过点B作BD⊥AB，交AC于点D，根据和美三角形的定义得到∠DBC=∠A，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得BCAC=BDAB，结合锐角三角形的定义即可证明；
（3）①根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求得AC=13，当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，结合（2）中结论可得CE=BC，根据等边对等角可得∠CEB=∠CBA，结合同圆中，等弧所对的圆周角相等可推得∠CDA=∠AED，根据等角对等边可得AD=AE，根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得BF=EF=12BE，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得BF的值，即可求解；当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，∠DCB=∠DAB，结合（2）中结论可得AD=DE，根据等边对等角可得∠DAE=∠AED=∠CEB=∠DCB，根据等角对等边可得BE=BC，根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得AH=HE=12AE=4，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得AD的值，即可求解；
②设∠CAB=α，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等可推得∠CAB=∠CDB=α ，分为∠CAB与∠CDB为和美角、∠CAB与∠CDB为和美角、∠CAB与∠DCB为和美角、∠ACE与∠CDB为和美角四种情况进行分析，参照①中方法进行求解即可.
18．【答案】（1）解：①证明：如解图①，连接OB，OC.
∵OA=OB=OC，AB=AC，
∴△ABO≅△ACO(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO，
∴AF平分∠BAC；
②∵AF经过圆心O，交BC于H，
∴AB=AC，AF平分∠BAC，
∴AF⊥BC，BH=CH，
∵tan∠ABC=43，AB=20，
∴AH=16，BH=CH=12，
连接CD，
则AD垂直平分FC，
∴AF=AC，
∴FH=AF−AH=4，
∵AD⊥CD，CF⊥BC，∠FAG=∠FCH，
∴△AFG~△CFH，
∴FGAG=FHCH=13.
（2）解：若选择①：证明：如解图②，
∵AB=AC，
图②
∴AB=AC，∴∠ADB=∠ADC.
又∵AD⊥CE，
∴∠CGD=∠FGD，
∵GD=GD，
∴△CDG≅△FDG(ASA)，
∴CG=FG；
若选择②：证明：如解图③，连接BE，AF，CD则∠EBD=∠ECD.
图③
由(2)①得△CDG≅△FDG，
∴DC=DF，∴∠ECD=∠CFD，
又∵∠BFE=∠CFD，
∴∠EBD=∠BFE，∴EB=EF，
∵AD⊥CF，CG=FG，
∴AD垂直平分FC，AF=AC，
∴AD平分∠FAC，
∴∠FAC=2∠FAD，
∵AB=AC=AF，
∴AE垂直平分BF，
∴AE平分∠BAF，
∴∠BAF=2∠EAF，
∴∠BAF+∠FAC=2(∠EAF+∠FAD)，∴∠BAC=2∠EAD；
若选择③：如解图④，连接AE，CD，
∵AC=20，sin∠CAD=15，CE⊥AG，∴CG=4，AG=86，
由(2)②得AD垂直平分FC，
图④
∴FG=CG=4，
∴∠DFC=∠DCF，
∴tan∠ABC=tan∠AEC=43，
∴AGEG=86EG=43，∴EG=66，
∴EF=EG−FG=66−4.
∵∠EBD=∠DCE=∠CFD=∠BFE，
∴BE=EF=66−4.
【解析】【分析】（1）①连接OB，OC，利用"SSS"证明△ABO≅△ACO，得到：∠BAO=∠CAO，进而即可求证；
②连接CD，根据题意得到：AH=16，BH=CH=12，然后根据垂直平分线的性质得到：AF=AC，进而证明△AFG~△CFH，得到FGAG=FHCH=13；
（2）①利用"ASA"证明△CDG≅△FDG，然后根据全等三角形的性质即可求解；
②连接BE，AF，CD，则∠EBD=∠ECD，根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质可得到：∠FAC=2∠FAD，进而即可求解；
③连接AE，CD，即可求出EG，EF的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求解.
19．【答案】（1）C
（2）解：①如图2，作BH⊥OC于点H，
∵点B在射线OA上的射影值为12，
∴OHOC=12，OBOC=12，CA＝OA＝OB＝1，
∴OHOB=OBOC，
又∵∠BOH＝∠COB，
∴△BOH∽△COB，
∴∠BHO＝∠CBO＝90°，
∴BC⊥OB，
∴直线BC是⊙O的切线；
②y＝0（12≤x≤34）或y＝2x−32（34＜x≤32）．
【解析】【解答】解：（2）②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，
当∠DOB＜90°时，设DM＝h，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴12OB×DN=12OC×DM，
∴DN＝2h，
∵在Rt△DON和Rt△DOM中，
OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，
∴4h2+y2＝h2+x2，
∴3h2＝x2﹣y2①，
∵BD2＝CD2，
∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，
①②消去h得：y＝2x−32．
如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴12OB×DO=12OC×DM，
∵CA＝OA＝OB＝1，
∴OD＝2DM，
∴sin∠DOM=12，
∴∠DOM＝30°，
设DM＝h，则OD＝2h，OM=3h，
∴h2+(2−3ℎ)2=1+4h2，
∴h=34，
∴OM=34，
当点B在OC上时，OD=12，
综上所述，当12≤x≤34时，y＝0；当34＜x≤32时，y＝2x−32．
故答案为：y＝0（12≤x≤34）或y＝2x−32（34＜x≤32）．
【分析】（1）利用锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义及真命题的定义逐项分析判断即可；
（2）①作BH⊥OC于点H，先证出△BOH∽△COB，可得∠BHO＝∠CBO＝90°，即可证出直线BC是⊙O的切线；
②分类讨论：第一种情况：当∠DOB＜90°时，先画出图象，再利用勾股定理列出方程求解即可；第二种情况：当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，设DM＝h，则OD＝2h，OM=3h，先画出图象，再利用勾股定理列出方程求解即可.
20．【答案】（1）解：∵∠A=∠C，MB=CE，
∴△MAB≌△MCE，
∴MB=ME，
∵MD⊥BC，
∴BD=DE，
∴CE+DE=AB+BD，
∴CD=DB+BA.
（2）3
（3）22+2
【解析】【解答】解：（2）∵OD⊥AB，
∴AE⌢=DE⌢，
∴点E是ACB⌢的中点，
∵BC=4，AC=10，
∴BC＜AC，
∵EF⊥AC，
∴AF=FC+BC=12AC+BC=12×14=7，
∴CF=AC-AF=3，
故答案为：3；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∴AB⌢=AC⌢，
∴点A是BAC⌢的中点，
∵CD＜BD，
如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
∴BE=DE+CD=12BD+CD，
∵∠ABD= 45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=2BE，
∴BE=AB2=22=2，
∴BD+CD=2BE=22，
∴△BDC的周长为：BD+CD+BC=22+2，
故答案为：22+2.
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据垂径定理求出AE⌢=DE⌢，再求出AF=FC+BC=12AC+BC=12×14=7，最后计算求解即可；
（3）根据等边三角形的性质求出AB=AC=BC=2，再求出△ABE是等腰直角三角形，最后求三角形的周长即可。
21．【答案】（1）解：∵AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，
∴AC=AD=AD=90°，
∴∠D=∠E=∠ACD=∠BAC=45°，
又∵∠AFO=∠D+∠DAE=60°，
∴∠DAE=15°，
∴∠DCE=∠DAE=15°，
∴∠AGC=90°−∠DCE=75°
（2）证明：∵∠ACG=∠ACD+∠CDE=45°+∠CDE，∠AFC=∠D+∠DAE=45°+∠DAE，
∴∠ACG=∠AFC，
又∵∠ACF=∠CAG=45°，
∴△ACF∽△GAC，
∴ACAG=CFAC，
∴AC2=AG⋅CF．
（3）证明：∵S△ACD=12AC2，S四边形ACGF=12AG⋅CF，
由(2)知AC2=AG⋅CF，
∴S△ACD=S四边形ACGF，
∴S△ACD−S△ACO=S四边形ACGF−S△ACO，
∴S△AFD=S△CGF，
∴S1S2=S△AFDS△AOF=DFOF=OD−OFOF=ODOF−1=OAOF−1=tanα−1．
22．【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ADB=α.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-α
（2）证明：∵AF=AD，
∴∠AFD=∠ADB=α
∴∠AFB=180°-∠AFD=180°-α，
∴∠AFB=∠ADC.
∵∠ABD，∠ACD是AD所对圆周角，
∴∠ABD=∠ACD.
在△ABF与△ACD中，
∠ABD=∠ACD∠AFB=∠ADCAF=AD
∴△ABF≌△ACD(AAS)
∴BF=CD.
（3）解：①连结BM
∵AM是直径，
∴∠ABM=90°，MB=MC
∵△ABF≌△ACD，
∴∠BAM=∠DAC，
∴∠BAM=∠MBP=∠DAC=∠DBC
∵AB=AC，
∴AM⊥BC且AM平分BC，
∵tan∠DAC=23，
∴MPBP=23，BPPA=23，
∴BP=6，MP=4，AP=9，
∴PF=MP=4，
∴AF=AP-PF=9-4=5
②猜想∠AFC=90°.
连结BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q.
∵AB=AC，AF=AD，
∴∠1=∠2=∠4=∠5=∠7，
∵∠3，∠6是CD所对的圆周角，
∴∠3=∠6.
∴△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，
∴DGPF=AGBP，AGBP=DGMP，
∵FG=2GD，
∴MP=2PF，
∵∠2=∠7，
∴BD//MC.
∴△BFP∽△CMP，四边形BMOF是平行四边形.
∴BFMC=PFMP=12
∴∠4=∠5，
∴BM=BF，
∴四边形BMOF是菱形.
∴BF=MO=FQ，
∴MO=FQ=QC，
∴∠7=∠MFO，∠MCF=∠OFC
∵∠7+∠MFP+∠MCF+∠PFC=180°.
∴∠MFC=90°.
∴∠AFC=90°
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠ADB=α，根据圆内接四边形的性质即可得到答案；
（2）分别得到∠AFD=∠ADB=α，∠AFB=∠ADC，进而证明△ABF≌△ACD(AAS)，根据全等三角形的性质即可得到答案；
（3） ① 连结BM，根据已知条件得到∠BAM=∠DAC，再根据AB=AC得到AM⊥BC且AM平分BC，利用tan∠DAC=23求出BP=6，MP=4，AP=9，进而得到答案；
②连结BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q，根据题意证明△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，得到DGPF=AGBP，AGBP=DGMP，求出FG=2GD，进而证明△BFP∽△CMP，四边形BMOF是平行四边形，即可知四边形BMOF是菱形，进而得到答案。