2024年上海市嘉定区中考数学二模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年上海市嘉定区中考数学二模试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，属于有理数的是( )
A. 27B. 2πC. 227D. sin60∘
2.关于x的方程x2−6x−k=0(k为常数)有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )
A. k>−9且k≠0B. k>−9C. k≥−9且k≠0D. k≥−9
3.如果将抛物线y=(x−1)2向下平移2个单位，那么平移后抛物线与y轴的交点坐标是( )
A. (−1,0)B. (0,−1)C. (−2,0)D. (3,0)
4.已知一组数据x1、x2、x3、x4，如果这组数据中的每一个数都减去常数a(a≠0)，得到新的一组数据，那么下列描述这组新数据的信息中正确的是( )
A. 平均数改变，方差不变B. 平均数改变，方差改变
C. 平均数不变，方差不变D. 平均数不变，方差改变
5.下列命题正确的是( )
A. 对角线相等的平行四边形是正方形B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线相等的梯形是等腰梯形
6.在△ABC中，AB=AC=8，cs∠B=14，以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C，那么下列说法正确的是( )
A. 点A在圆C外，点B在圆C上B. 点A在圆C上，点B在圆C内
C. 点A在圆C外，点B在圆C内D. 点A、B都在圆C外
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.4的平方根是______.
8.计算：(a+1)(a−2)=______.
9.随着某产品制造技术的不断发展，某地区用于这个技术开发的资金约为5200000000元，这个数字用科学记数法表示为______.
10.不等式x−3>1的最小整数解是______.
11.用换元法解方程：xx−1−x−1x−2=0时，如果设xx−1=y，那么原方程可以化为关于y的整式方程是______.
12.如果反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−2,−3)，那么k的值是______.
13.某校田径运动队共有20名男运动员，小杰收集了这些运动员的鞋号信息(见表)，
那么这20名男运动员鞋号的中位数是______.
14.在不透明的盒子中装有六张形状相同的卡片，这六张卡片分别印有正方形、平行四边形、等边三角形、直角梯形、正六边形、圆等六种图形，如果从这不透明的盒子里随机抽出一张卡片，那么所抽到的这张卡片上的图形恰好为中心对称图形的概率是______.
15.如图，在△ABC中，线段AD是边BC上的中线，点E是AD的中点，设向量AB=a，BC=b，那么向量AE=______(结果用a、b表示).
16.如图在正方形ABCD的外侧作一个△CDE，已知DC=DE，∠DCE=70∘，那么∠AED等于______.
17.如图在圆O中，AB是直径，弦CD与AB交于点E，如果AE=1，EB=9，∠AEC=45∘，点M是CD的中点，联结OM，并延长OM与圆O交于点N，那么MN=______.
18.定义：如果三角形有两个内角的差为90∘，那么这样的三角形叫做准直角三角形.
已知在直角△ACB中，∠C=90∘，AC=4，AB=12，如图，如果点D在边BC上，且△ADB是准直角三角形，那么CD=______.
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算： 12−2 2−1+|2− 3|+812.
20.(本小题10分)
解方程组：x+2y=8,x2−xy−12y2=0.
21.(本小题11分)
某东西方向的海岸线上有A、B两个码头，这两个码头相距60千米(AB=60)，有一艘船C在这两个码头附近航行.
(1)当船C航行了某一刻时，由码头A测得船C在北偏东55∘，由码头B测得船C在北偏西35∘，如图1，求码头A与C船的距离(AC的长)，其结果保留3位有效数字；
(参考数据：sin35∘≈0.5736，cs35∘≈0.8192，tan35∘≈0.7002，ct35∘≈1.428)
(2)当船C继续航行了一段时间时，由码头A测得船C在北偏东30∘，由码头B测得船C在北偏西15∘，船C到海岸线AB的距离是CH(即CH⊥AB)，如图2，求CH的长，其结果保留根号.
22.(本小题10分)
某企业在2022年1至3月的利润情况见表.
(1)如果这个企业在2022年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求2月份的利润；
(2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率.
23.(本小题12分)
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P在四边形ABCD内部，PB=PC，联结PA、PD.
(1)求证：△APD是等腰三角形；
(2)已知点Q在AB上，联结PQ，如果AP//CD，AQ=AP，求证：四边形AQPD是平行四边形.
24.(本小题11分)
在平面直角坐标系xOy(如图)中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)、B(−2,3)两点，与y轴的交点为C点，对称轴为直线l.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知以点C为圆心，半径为CB的圆记作圆C，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆C外切，试判断对称轴直线l与圆A的位置关系，请说明理由；
(3)已知点D在y轴的正半轴上，且在点C的上方，如果∠BDC=∠BAC，请求出点D的坐标.
25.(本小题14分)
在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，点E在射线AB上，联结CE、BD.
(1)如图1，当点E是边AB的中点，求∠ECD的正切值；
(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上，联结DE与边BC交于点F，如果AD=6，△EFC的面积等于3 3，求EF的长；
(3)当点E在边AB上，CE与BD交于点H，联结DE并延长DE与CB的延长线交于点G，如果AD=6，△BCH与以点E、G、B所组成的三角形相似，求AE的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A. 27=3 3，是无理数，故选项A不符合题意；
B.2π是无理数，故选项B不符合题意；
C.227是分数，是有理数，故选项C符合题意；
D.sin60∘= 32，是无理数，故选项D不符合题意；
故选：C.
根据有理数的定义即可得出答案．
本题考查有理数的定义，掌握有理数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵关于x的方程x2−6x−k=0(k为常数)有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即(−6)2+4k>0，
解得k>−9.
故选：B.
根据方程有两个不相等的实数根可知Δ>0，据此得出k的取值范围即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：抛物线y=(x−1)2向下平移2个单位的表达式为y=(x−1)2−2，
∵当x=0时，y=(0−1)2−2=−1，
∴平移后抛物线与y轴的交点坐标是(0,−1).
故选：B.
先求出抛物线y=(x−1)2向下平移2个单位后的表达式，再令x=0，求出y的值即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：一组数据x1、x2、x3、x4，如果这组数据中的每一个数都减去常数a(a≠0)，则新数据的平均数改变，但是方差不变．
故选：A.
根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数改变，即可得出答案．
本题考查了方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题，符合题意；
故选：D.
根据正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】C
【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于D点，
∵cs∠B=14，AB=8，
∴BDAB=14，
∴BD=2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=BC=2，
∴BC=4，
∵AC=8，
∴以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C时，点A在圆C外，点B在圆C内，
故选：C.
先根据余弦求出BC的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论．
本题考查的是点与圆的位置关系，根据余弦求出BC的长是解答此题的关键．
7.【答案】±2
【解析】解：∵22=4，(−2)2=4，
∴4的平方根为±2，
故答案为：±2.
一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可得出答案．
本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8.【答案】a2−a−2
【解析】解：(a+1)(a−2)
=a2−2a+a−2
=a2−a−2.
根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，计算即可．
本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
9.【答案】5.2×109
【解析】解：5200000000=5.2×109.
故答案为：5.2×109.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.【答案】5
【解析】解：移项，得：x>1+3，
合并同类项，得：x>4，
∴该不等式的最小整数解为5，
故答案为：5.
移项、合并同类项得出其解集，从解集中找到最小整数即可．
本题主要考查一元一次不等式的整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．
11.【答案】y2−2y−1=0
【解析】解：设xx−1=y，则方程xx−1−x−1x−2=0可转化为：y−1y−2=0，
去分母，方程两边同时乘以y，得：y2−2y−1=0，
故答案为：y2−2y−1=0.
根据设xx−1=y，则方程xx−1−x−1x−2=0可转化为：y−1y−2=0，然后再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可．
此题主要考查了换元法，熟练掌握换元法是解决问题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−2,−3)，
∴k=−2×(−3)=6.
故答案为：6.
根据反比例函数y=kx(k≠0)的图象上点的坐标特征得到k=−2×(−3)=6.
本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)的图象上点的坐标特征：点的横纵坐标之积等于k.
13.【答案】24.5
【解析】解：∵共有20名男运动员，中位数是第10、11个数的平均数，
∴这20名男运动员鞋号的中位数是24.5+24.52=24.5.
故答案为：24.5；
根据中位数的定义直接求解即可．
此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
14.【答案】23
【解析】解：正方形、平行四边形、正六边形、圆都是中心对称图形，等边三角形、直角梯形都不是中心对称图形，
∴从这不透明的盒子里随机抽出一张卡片，那么所抽到的这张卡片上的图形恰好为中心对称图形的概率是46=23，
故答案为：23.
根据题意和中心对称图形的特点，可以得到正方形、平行四边形、正六边形、圆都是中心对称图形，等边三角形、直角梯形都不是中心对称图形，从而可以得到从这不透明的盒子里随机抽出一张卡片，那么所抽到的这张卡片上的图形恰好为中心对称图形的概率．
本题考查概率公式、中心对称图形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
15.【答案】12a+14b
【解析】解：∵线段AD是边BC上的中线，
∴BD=DC=12BC.
∵BC=b，
∴BD=12b.
在△ABD中，AB=a，BD=12b，则AD=AB+BD=a+12b.
∵点E是AD的中点，
∴AE=12AD.
∴AE=12AD.
∴AE=12a+14b.
故答案为：12a+14b.
根据已知添加求得BD；然后在△ABD中，利用三角形法则来求AD；最后结合AE=12AD求得答案．
本题主要考查了平面向量，需要掌握线段中点的定义，三角形中线的定义以及三角形法则．
16.【答案】25∘
【解析】解：由正方形ABCD，DC=DE，∠DCE=70∘，
得∠CDE=180∘−2×70∘=40∘，
得∠ADE=90∘+40∘=130∘，
由DE=DC=DA，
得∠AED=(180−130)÷2=25∘.
故答案为：25∘.
由正方形ABCD，DC=DE，∠DCE=70∘，得∠CDE=180∘−2×70∘=40∘，得∠ADE=90∘+40∘=130∘，由DE=DC=DA，得∠AED=(180−130)÷2=25∘.
本题主要考查了正方形角度的计算，解题关键是等腰三角形中角的计算．
17.【答案】5−2 2
【解析】解：在圆O中，AB是直径，AE=1，EB=9，
∴AB=10，
∴OA=5，
∴OE=4，
∵点M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵∠AEC=45∘，
∴△EOM是等腰直角三角形，
∴PM= 22OE=2 2，
∴MN=ON−OM=5−2 2，
故答案为：5−2 2.
由题意可知ON=OA=5，则OE=4，易证得△EOM是等腰直角三角形，求得PM= 22OE=2 2，即可求得MN=ON−OM=5−2 2.
本题考查了垂径定理，解直角三角形，证得△EOM是等腰直角三角形是解题的关键．
18.【答案】2 2或 2
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，AB=12，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2=8 2，
∵△ADB是准直角三角形，
∴有以下两种情况：
①当∠ADB−∠DAB=90∘时，过点D作DH⊥AB于H，如图1所示：
∴∠ADB=90∘+∠DAB，
又∵∠ADB=∠C+∠DAC=90∘+∠DAC，
∴∠DAB=∠DAC，
即AD为∠BAC的平分线，
∵∠C=90∘，DH⊥AB于H，
∴CD=DH，
设CD=DH=x，
在Rt△ACD和Rt△AHD中，
CD=DHAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD(HL)，
∴AH=AC=4，
则BH=AB−AH=12−8=8，BD=BC−CD=8 2−x，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：DH2+BH2=BD2，
即x2+82=(8 2−x)2，
解得：x=2 2，
∴CD=2 2；
②当∠ADB−∠B=90∘时，如图2所示：
∴∠ADB=90∘+∠B，
∵∠ADB=90∘+∠DAC，
∴∠B=∠DAC，
∴tan∠B=tan∠DAC，
在Rt△ABC中，tan∠B=ACBC=48 2= 24，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=CDAC=CD4，
∴CD4= 24，
∴CD= 2，
综上所述：CD=2 2或 2.
故答案为：2 2或 2.
先求出BC=8 2，根据△ADB是准直角三角形，分两种情况讨论：①当∠ADB−∠DAB=90∘时，过点D作DH⊥AB于H，证AD为∠BAC的平分线得CD=DH=x，证Rt△ACD和Rt△AHD全等得AH=AC=4，则BH=AB−AH=8，BD=BC−CD=8 2−x，在Rt△BDH中由勾股定理求出x即可；②当∠ADB−∠B=90∘时，证∠B=∠DAC，则tan∠B=tan∠DAC，在Rt△ABC中tan∠B=ACBC= 24，在Rt△ACD中tan∠DAC=CDAC=CD4，由此可得CD的长．
此题主要考查了勾股定理，角平分线性质，解直角三角形，正确理解准直角三角形的定义，并进行分类讨论，熟练掌握勾股定理，角平分线性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
19.【答案】解：原式=2 3−2( 2+1)+2− 3+2 2
=2 3−2 2−2+2− 3+2 2
= 3.
【解析】先把二次根式化减，在计算即可．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：由x2−xy−12y2=0得：(x−4y)(x+3y)=0，
∴x−4y=0或x+3y=0；
∴原方程组可化为两个二元一次方程组：
x+2y=8x−4y=0或x+2y=8x+3y=0，
分别解这两个方程组，得原方程组的解是
x=163y=43或x=24y=−8.
【解析】把x2−xy−12y2=0变形得(x−4y)(x+3y)=0，从而可将原方程组降次，转化为两个二元一次方程组求出答案．
本题考查解二元二次方程组，解题的关键是把方程组降次，转化为两个二元一次方程组．
21.【答案】：(1)根据题意得：AB=60千米，
∵∠PAC=55∘，
∴∠CAB=35∘，
∵∠QBC=35∘，
∴∠CBA=55∘，
∴∠CAB+∠CBA+∠C=180∘，
∴∠ACB=90∘；
在Rt△ACB中，cs∠CAB=ACAB，
∵cs35∘≈0.8192，
∴AC=ABcs∠CAB=60×cs35∘≈60×0.8192=49.152(千米)，
∴AC≈49.2千米；
答：码头A与C船的距离为49.2千米．
(2)根据题意得：AB=60千米，
∵∠PAC=30∘，
∴∠CAB=60∘
∵∠QBC=15∘，
∴∠CBA=75∘，
∵∠CAB+∠CBA+∠C=180∘，
∴∠ACB=45∘，
过点B作BG⊥AC，垂足为G，
在Rt△AGB中，GB=60×sin60∘=30 3(千米)，AG=60×cs60∘=30(千米)，
在Rt△CGB中，
∴GC=GB⋅ct∠GCB=30 3(千米)，
∴AC=(30+30 3)千米，
答：船C到海岸线AB的距离CH为(15 3+45)千米．
【解析】(1)根据题意得：AB=60千米，由∠PAC=55∘，得到∠CAB=35∘，由∠QBC=35∘，得到∠CBA=55∘，求得∠ACB=90∘；根据三角函数的定义即可得到结论．
(2)根据题意得到AB=60千米，由∠PAC=30∘，得到∠CAB=60∘由∠QBC=15∘，得到∠CBA=75∘，求得∠ACB=45∘，过点B作BG⊥AC，垂足为G，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设这个企业在2022年1至3月的利润数y关于月份数x的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，
将(1,96)，(3,100)代入y=kx+b得：k+b=963k+b=100，
解得：k=2b=94.
∴这个企业在2022年1至3月的利润数y关于与月份数x的函数关系式为y=2x+94，
当x=2时，y=2×2+94=98.
答：2月份的利润为98万元；
(2)设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为m，
根据题意得：100(1+m)2=121，
解得：m1=0.1=10%，m2=−2.1(不符合题意，舍去).
答：个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为10%.
【解析】(1)设这个企业在2022年1至3月的利润数y与月份数x之间的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，由1，3月份的利润数，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数关系式，再代入x=2，即可求出2月份的利润；
(2)设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为m，利用这个企业5月份的利润=这个企业3月份的利润×(1+这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率)2，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】证明(1)∵AD//BC，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCB，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
在△ABP和中△DCP，
AB=DC∠ABP=∠DCPPB=PC，
∴△ABP≌△DCP(SAS)，
∴AP=PD，即△APD是等腰三角形；
(2)由(1)得：PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵AP//CD，
∴∠PAD+∠CAD=180∘，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠CDA，
∴∠PDA+∠BAD=180∘，
∴PD//AQ，
∵AQ=AP，AP=PD，
∴PD=AQ，
∴四边形AQPD是平行四边形．
【解析】(1)证明梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质得到∠ABC=∠DCB，证明△ABP≌△DCP，根据全等三角形的性质得到AP=PD；
(2)先证明PD//AQ，再证明PD=AQ，根据平行四边形的判定定理证明即可．
本题考查的是梯形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，熟记等腰梯形的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)、B(−2,3)两点，
∴a+b+3=04a−2b+3=3，
解得：a=−1b=−2，
∴此抛物线的表达式是y=−x2−2x+3；
(2)答：对称轴直线l与圆A的位置是相离，
根据(1)得，抛物线y=−x2−2x+3的对称轴l是直线x=−1，
则抛物线y=−x2−2x+3与y轴的交点C点坐标为(0,3)，
则CB=2，
∴圆C的半径是2，
设圆A的半径为r，又圆A与圆C外切，所以r+2=AC，
又AC= 10，所以r= 10−2，
∵对称轴l与x轴垂直，设垂足为M，
则AM的长就是圆A到对称轴l的距离，
∵对称轴l是直线x=−1，
∴点M的坐标为(−1,0)，所以AM=2，
∵2> 10−2，即AM>r，
∴对称轴直线l与圆A的位置是相离；
(3)过点C作CH⊥AB，垂足为H，过点B作BG⊥x轴，垂足为G，
则BG=AG=3，AB=3 2，∠GBA=∠GAB=45∘，
∵C点坐标为(0,3)，B点坐标为(−2,3)，
∴BC⊥y轴，
∴∠CBH=∠BCH=45∘，CB=2，
由勾股定理得BH=CH= 2，
∴AH=2 2，
在Rt△AHC中，tan∠BAC=CHAH=12，
在Rt△BCD中，tan∠BDC=BCCD，
∵∠BDC=∠BAC，
∴tan∠BDC=CBCD=12，CB=2，
∴CD=4，
∴点D的坐标为(0,7).
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)设圆A的半径为r，又圆A与圆C外切，所以r+2=AC，得到AM=2，即可求解；
(3)求出AH=2 2，在Rt△AHC中，tan∠BAC=CHAH=12，在Rt△BCD中，tan∠BDC=BCCD，由∠BDC=∠BAC，得到tan∠BDC=CBCD=12，CB=2，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
25.【答案】解：(1)连接DE，如图1所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60∘，
∴AB=BC=CD=AD，∠BCD=∠DAB=60∘，AB//CD，AD//BC，
∴△ABD和△CBD均为等边三角形，
∴∠ADB=∠CDB=60∘，
∵点E为AB的中点，
∴DE⊥AB，∠EDB=12∠ADB=30∘，
∴∠CDE=∠CDB+∠EDB=90∘，
设AE=a，则AD=CD=2a，
由勾股定理得：DE= AD2−AE2= 3a，
在Rt△CDE中，tan∠ECD=DECD= 3a2a= 32；
(2)过点D作DM⊥AB于M，如图2所示：
∵AD=6，△ABD和△CBD均为等边三角形，AB//CD，
∴AD=AB=BD=6，
∵DM⊥AB，
∴AM=MB=12AB=3，
由勾股定理得：DM= AD2−AM2=3 3，
∴S△DCE=12CD⋅DM=12×6×3 3=9 3，
又∵△EFC的面积等于3 3，
∴S△DCE：S△EFC=9 3：3 3=3，
∵△DCE的边DE和△EFC的边EF上的高相同，
∴S△DCE：S△EFC=DE：EF=3，
∴EF=13DE，
∴DF=2EF，
即EF：DF=1：2，
∵AE//CD，
∴△EFB∽△DFC，
∴BE：CD=EF：DF=1：2，
∴BE=12CD=12×6=3，
∴ME=MB+BE=3+3=6，
在Rt△DME中，由勾股定理得：DE= DM2+ME2=3 7，
∴EF=13DE= 7；
(3)过点E作EN⊥CG于N，如图3所示：

∵△ABD和△CBD均为等边三角形，AD=6，AB//CD，AD//BC，
∴∠EBG=∠HBC=60∘，AB=BC=AD=6，
又∵∠GEB=∠EBD+∠EDB>60∘，∠HCB<∠BCD=60∘，
∴∠GEB≠∠HCB，
∵△BCH与以点E、G、B所组成的三角形相似，
∴点C只能和点G是对应点，
∴∠G=∠ECG，
∴EG=EC，
又∵EN⊥CG，
∴GN=CN，
设AE=x，
∴BE=AB−AE=6−x，则x<6，
在Rt△BEN中，cs∠EBG=BNBE，
∴BN=BE⋅cs∠EBG=(6−x)⋅cs=60∘=12(6−x)，
∵GN=CN，
∴GB=GN+BN=CN+BN=BC+2BN=6+2×12(6−x)=12−x，
∵AD//BC，
∴△ADE∽△BGE，
∴AD：BG=AE：BE，
即6：(12−x)=x：(6−x)，
整理得：x2−18x+36=0，
解得：x1=9−3 5，x2=9+3 5(不合题意，舍去)，
故AE=9−3 5.
【解析】(1)连接DE，证△ABD和△CBD均为等边三角形，再由点E为AB的中点得DE⊥AB，∠EDB=12∠ADB=30∘，则∠CDE=90∘，设AE=a，则AD=CD=2a，DE= 3a，进而在Rt△CDE中可求出∠ECD的正切值；
(2)过点D作DM⊥AB于M，先求出DM=3 3，则S△DCE=12CD⋅DM=9 3，从而得S△DCE：S△EFC=3，进而得DE：EF=3，则DE=3EF，EF：DF=1：2，证△EFB∽△DFC得BE：CD=EF：DF=1：2，则BE=12CD=3，ME=MB+BE=6，再由勾股定理求出DE=3 7，进而可得EF的长；
(3)过点E作EN⊥CG于N，先证点C只能和点G是对应点得∠G=∠ECG，则EG=EC，从而得GN=CN，设AE=x，则BE=AB−AE=6−x，在Rt△BEN中由cs∠EBG=BNBE得BN=12(6−x)，进而得GB=GN+BN=12−x，再证△ADE∽△BGE得AD：BG=AE：BE，即6：(12−x)=x：(6−x)，由此解出x即可得AE的长．
此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．鞋号
23号
23.5号
24号
24.5号
25号
25.5号
人数
1
2
4
4
6
3
月份数(x)
1
2
3
利润数(y)(万元)
96
？
100