2024年北京外国语大学附属外国语学校中考数学零模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年北京外国语大学附属外国语学校中考数学零模试卷（含详细答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.地处北京怀柔科学城的“北京光源”(HEPS)是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米(nm)级.lnm=0.000000001m.将0.000000001用科学记数法表示应为( )
A. 1×10−8B. 1×10−9C. 10×10−10D. 0.1×10−8
2.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A. 三棱柱
B. 长方体
C. 三棱锥
D. 圆锥
4.将含有45∘角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1=30∘，则∠2度数( )
A. 30∘B. 20∘C. 15∘D. 10∘
5.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. a<−2B. b<2C. a>bD. −a6.若实数m，n是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，且mA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是( )
A. 18B. 16C. 13D. 12
8.设m是非零实数，给出下列四个命题：
①若−1②若m>1，则1m③若m<1m④若m2其中命题成立的序号是( )
A. ①③B. ①④C. ①③④D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若式子 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
10.写出一个比 2大且比 17小的整数______.
11.分解因式2b3−4b2+2b=______.
12.如图，在△ABC中，∠A=40∘，∠C=90∘，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC=______.
13.将抛物线y=x2先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为______.
14.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为______寸.
15.如图，正比例函数y1=ax与一次函数y2=12x+b的图象交于点P.下面四个结论：
①a>0；
②b<0；
③不等式ax>12x+b的解集是x>−2；
④当x>0时，y1y2<0.
其中正确的是______.
16.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AB=4，AC=x，∠BAC=α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：①若α=60∘，△ABC∽△CBD，则OD的长为2 3；②若α=60∘，则AD的最大值为2 7；③若α=45∘，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；④若△ABC∽△BCD，则当x=2时，AC+CD取得最大值.其中正确的结论是______.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(−2023)0+ 4−2sin30∘+|−5|.
18.(本小题5分)
解不等式组：{2(x+2)>x+3①x319.(本小题5分)
先化简，再求值：(2m−3+1)÷2m−2m2−6m+9，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值.
20.(本小题5分)
关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围.
21.(本小题5分)
如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90∘，D是BC边上任意一点(不与B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90∘得到线段AE，连接CE，DE.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若AB=4，BD= 2，求DE的长.
22.(本小题5分)
甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动.经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节.为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a.甲学校学生成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组；40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；
b.甲学校学生成绩在80≤x<90这一组的是：
c.乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(85分及以上为优秀)如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是______(填“A”或“B”)；
(2)根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为______(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)；
(3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生才可以入选.
23.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx的图象与直线y=x−b交于点A(3,−1).
(1)求k，b的值.
(2)已知点P(p,p)，过点P作平行于y轴的直线，交直线y=x−b于点M，交函数y=kx的图象于点N.
①若PN≥PM，结合函数的图象，求p的取值范围；
②若点M，N的纵坐标m，n和p满足p−n>n−m，直接写出p的取值范围.
24.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点(点C不与点A，B重合)，连接AC、BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，tanE=12，则BE的长为______.
25.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，点(0,3)，(6,y1)在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上.
(1)当y1=3时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,−1)，当自变量x的值满足−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)当a>0时，点(m−4,y2)，(m,y2)在抛物线y=ax2+bx+c上.若y227.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，AD=AB，∠A=90∘，∠C=45∘，作∠CDE=135∘，使得点E和点A在直线CD异侧，连接AC，将射线AC绕点A逆时针旋转90∘交射线DE于点F.
(1)：①依题意，补全图形；
②证明：DF=BC.
(2)连接BD，若G为线段BD的中点，连接CG，请用等式表示线段CG与AF之间的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC的一个顶点在⊙O上，除这个顶点外△ABC与⊙O存在且仅存在一个公共点，则称△ABC为⊙O的“相关三角形”.
(1)如图1，⊙O的半径为1，点C(2,0)，△AOC为⊙O的“相关三角形”.
在点P1(0,1)，P2(12, 32)，P3(1,1)这三个点中，点A可以与______点重合；
(2)如图2，⊙O的半径为1，点A(0,2)，点B是x轴上的一动点，且点B的横坐标xB的取值范围是−1(3)⊙O的半径为r，直线y=− 3x+ 3与⊙O在第一象限的交点为A，点C(2,0)，若平面直角坐标系xOy中存在点B(点B在x轴下方)，使得△ABC为等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“相关三角形”.直接写出r的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.000000001=1×10−9.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
故选：D.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题主要考察了学生对中心对称图形和轴对称图形的性质认识．
3.【答案】A
【解析】解：根据几何体的三视图可知，则该几何体是三棱柱．
故选：A.
由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
本题考查了由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．依题意得：AB//CD，∠EFH=45∘，再根据平行线的性质得∠EFG=∠1=30∘，然后∠2=∠EFH−∠EFG即可得出答案．
【解答】
解：如图．
由题意，得AB//CD，∠EFH=45∘，
∴∠1=∠EFG.
又∵∠1=30∘，
∴∠EFG=∠1=30∘，
∴∠2=∠EFH−∠EFG=45∘−30∘=15∘.
故选C.
5.【答案】D
【解析】解：由数轴得，−2∴a∴A选项不符合题意，
B选项不符合题意，
C选项不符合题意，
D选项符合题意；
故选：D.
由数轴得，−2本题考查了实数与数轴，观察数轴得出a、b的范围是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，∵m，n是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，
∴m+n=2>0，mn=−3<0.
∴m，n异号，且m，n中绝对值较大的为正．
又m∴m<0，n>0.
∴(m,n)在第二象限．
故选：B.
依据题意，由m，n是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，故m+n=2>0，mn=−3<0，从而判断m，n的符号可以得解．
本题主要考查了点的坐标特征，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
7.【答案】B
【解析】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》(即A)和《大学》(即C)的可能结果有2种可能，
∴P(抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果)=212=16，
故选：B.
用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：若−1若m>1，则1m<1若m<1m若m2故选：B.
判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
此题考查命题与定理，关键是根据不等式的性质解答即可．
9.【答案】 x≥2
【解析】【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，得不等式，解不等式即可解答.
【解答】
解：依题意知，x−2≥0，解得x≥2.
10.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：∵ 2<2<3<4< 17，
∴写出一个比 2大且比 17小的整数如3(答案不唯一)；
故答案为：3(答案不唯一).
先对 2和 17进行估算，再根据题意即可得出答案．
此题考查了估算无理数的大小，估算出 2<2<3<4< 17是解题的关键．
11.【答案】2b(b−1)2
【解析】解：原式=2b(b2−2b+1)
=2b(b−1)2，
故答案为：2b(b−1)2.
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】10∘
【解析】解：∵∠C=90∘，∠A=40∘，
∴∠ABC=90∘−∠A=50∘，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EBA=∠A=40∘，
∴∠EBC=∠ABC−∠EBA=50∘−40∘=10∘，
故答案为：10∘.
由∠C=90∘，∠A=40∘，求得∠ABC=50∘，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．
此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线性质是解题的关键．
13.【答案】y=(x−2)2−1
【解析】解：将抛物线y=x2先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为y=(x−2)2−1，
故答案为：y=(x−2)2−1.
直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
14.【答案】26
【解析】解：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD=10寸，
∴CE=DE=12CD=5寸，
设OC=OA=x寸，
则AB=2x寸，OE=(x−1)寸，
由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，
即(x−1)2+52=x2，
解得x=13，
∴AB=26寸，
故答案为：26.
连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=(x−1)寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
本题考查垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
15.【答案】④
【解析】解：①∵y1=ax的有y随x的增大而减小，
∴a<0，
②∵y2=12x+b与y轴交于正半轴，
∴b>0；
③由图象得：不等式ax>12x+b的解集是x<−2；
④当x>0时，y1<0，y2>0，
∴y1y2<0；
故答案为：④．
根据一次函数的图象和性质求解．
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数的图象和性质及数形结合思想是解题的关键．
16.【答案】③④
【解析】解：①当∠BAC=α=60∘，△ABC∽△CBD时，如图1所示：

过点O作OE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于F，
DG⊥OE于G，
∴四边形DGEF为矩形，
∴DG=EF，GE=DF，
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠BAC=α=60∘，AB=4，
∴AC=AB⋅sin∠BAC=4×sin60∘=2 3，BC=AB⋅cs∠BAC=4×cs60∘=2，
∵∠ACB=90∘，OE⊥BC，
∴OE//BC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12BC= 3，AE=CE=12BC=1，
∵△ABC∽△CBD，
∴∠BCD=∠BAC=α=60∘，∠ACB=∠ADC=90∘，
在Rt△BCD中，CD=BC⋅cs∠BCD=2 3×cs60∘= 3，
在Rt△CDF中，∠DCF=90∘−∠BCD=30∘，
∴DF=12CD= 32，CF=CD⋅cs∠DCF= 3×cs30∘=32，
∴DG=EF=EC+CF=1+32=52，
∴OG=OE−GE=OE−DF= 3− 32= 32，
在Rt△ODG中，由勾股定理得：OD= OG2+DG2= 7≠2 3，
故结论①不正确；
②∵∠BAC=α=60∘，△BCD与△ABC相似，
∴要使BD为最大，则在△ABD中，∠BAD应为最大且∠D为最小，
故∠CBD=90∘，∠ACD=60∘，如图2所示：

过点B作BP⊥DA，交DA的延长线于P，
则四边形APBC为矩形，
∴AP=AC=2，BP=AC=2 3，
在Rt△ACD中，AC=2 3，∠ACD=60∘，
∴AD=AC⋅tan∠ACD=2 3×tan60∘=6，
∴PD=AP+AD=2+6=8，
由勾股定理得：BD= BP2+PD2=2 19≠2 7，
故结论②不正确．
③当∠BAC=α=45∘，此时△ABC为等腰直角三角形，
∴△BCD与△ABC相似，
∴有以下三种情况：
(ⅰ)当△DBC∽△ABC时，如图3所示：

此时AC=DC，则BC为△ABD的中点，
又∵点O为AB的中点，
∴BC与OD相交于E是△ABD的重心；
(ⅱ)当△DCB∽△ABC时，连接AD交BC于Q，如图4所示：

∴∠DBC=∠ACB=90∘，∠DCB=∠ABC=45∘，
∴BD//AC，DC//AB，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴点Q是AD的中点，
又∵点O为AB的中点，
∴BC与OD相交于E是△ABD的重心；
(ⅲ)当△BCD∽△ABC时，连接AD交BC于K，如图5所示：
此时点K不是AD的中点，
∴点E不是△ABD的重心，
故结论③正确；
④若△ABC∽△BCD，如图6所示：
∴CD：BC=BC：AB，
∴CD=14BC2，
在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=16−x2，
∴CD=14(16−x2)=−14x2+4，
∴AC+CD=x−14x2+4=−14(x−2)2+5，
∴当x=2时，AC+CD为最大，最大值为5，
故结论④正确．
综上所述：正确的结论是③④．
故答案为：③④．
①过点O作OE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于F，DG⊥OE于G，先分别求出AC=2 3，BC=2，OE= 3，AE=CE=1，CD= 3，DF 32，CF=32，进而得DG=52，OG= 32，然后由勾股定理求出OD即可对结论①进行判断；
②要使BD为最大，则在△ABD中，∠BAD应为最大且∠D为最小，故∠CBD=90∘，∠ACD=60∘，过点B作BP⊥DA，交DA的延长线于P，则四边形APBC为矩形，从而得AP=AC=2，BP=AC=2 3，再求出AD=6，则PD=8，然后由勾股定理求出BD即可对结论②进行判断；
③分三种情况：(ⅰ)当△DBC∽△ABC时，此时AC=DC，则BC为△ABD的中点，从而得E是△ABD的重心；(ⅱ)当△DCB∽△ABC时，连接AD交BC于Q，证四边形ABDC为平行四边形，则点Q是AD的中点，从而得E是△ABD的重心；(ⅲ)当△BCD∽△ABC时，连接AD交BC于K，此时点K不是AD的中点，则点E不是△ABD的重心，据此可对结论③进行判断；
④由△ABC∽△BCD得CD：BC=BC：AB，则CD=14BC2，由勾股定理得BC2=16−x2，从而得CD=−14x2+4，则AC+CD=x−14x2+4=−14(x−2)2+5，由此可对结论④进行判断，综上即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，理解三角形的重心，灵活锐角三角函数和勾股定理进行计算是解决问题的关键．
17.【答案】解：原式=1+2−2×12+5
=1+2−1+5
=7.
【解析】利用零指数幂，算术平方根的定义，特殊三角函数值，绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x<3，
在数轴上表示不等式①②的解集如下：
∴原不等式组的解集是−1∴它的所有整数解有：0，1，2.
【解析】分别解不等式①和②，找出其解集的公共部分，可得到不等式组的解集，再找出其整数解即可．
本题考查一元一次不等式组的整数解，正确解不等式组并在数轴上表示解集是解题的关键．
19.【答案】解：原式=2+m−3m−3⋅(m−3)22(m−1)
=m−1m−3⋅(m−3)22(m−1)
=m−32，
∵m−3≠0，m−1≠0，
∴m≠3，m≠1，
∴当m=2时，原式=2−32=−12.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，
∴△=b2−4ac
=(−m)2−4(2m−4)
=m2−8m+16
=(m−4)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2)解：∵△=(m−4)2≥0，
∴x=−b± b2−4ac2a=m±|m−4|2.
∴x1=m−2，x2=2.
∵此方程有一个根小于1.
∴m−2<1.
∴m<3.
【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
(2)利用求根公式得到x1=m−2，x2=2.根据题意得到m−2<1.即可求得m<3.
本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．
21.【答案】解：(1)：∵Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
由旋转可知：AD=AE，∠DAE=90∘，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD=45∘，
∴∠ECD=45∘+45∘=90∘；
(2)∵∠BAC=90∘，AB=AC=4，
∴BC= AB2+AC2=4 2，
由(1)得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE= 2，
∴CD=BC−BD=3 2，
∴∠DCE=90∘，
∴CE2+CD2=ED2，
∴DE= (3 2)2+( 2)2=2 5.
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45∘，再根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90∘，推出判定△BAD≌△CAE的条件，最后根据全等三角形的对应角相等即可求出结果；
(2)根据勾股定理和全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22.【答案】A 乙 与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 88.5
【解析】解：(1)甲学校学生成绩的中位数为81+81.52=81.25，
∵乙学校学生成绩的中位数为84，
∴这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A，
故答案为：A；
(2)根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
故答案为：乙，与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
(3)120400×50=15，
故预估甲学校分数至少达到88.5分的学生才可以入选，
故答案为：88.5.
(1)求得甲校的中位数即可得到结论；
(2)根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论；
(3)求得每所学校被取了50名学生的综合素质展示的前15名学生将被选入志愿服务团队，于是得到结论．
本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识．
23.【答案】解：(1)∵函数y=kx的图象与直线y=x−b交于点A(3,−1)，
∴−1=3k，−1=3−b，
解得k=−13，b=4；
(2)①由题意P(p,p)，则M(p,p−4)，N(p,−13p)
∴PM=4，PN=|43p|，
∵PN≥PM，
∴|43p|≥4，
解得p≥3或p≤−3，
∴p的取值范围为p≥3或p≤−3.
②由题意p−(−13p)>−13p−(p−4)，
解得p>32.
【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)①由题意P(p,p)，则M(p,p−4)，N(p,−13p)，根据PN≥PM得到关于p的不等式，解不等式即可解决问题；
②由题意得p−(−13p)>−13p−(p−4)，解不等式即可．
本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，学会利用参数构建方程解决问题．
24.【答案】8
【解析】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCD=90∘，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠ACD=∠BDE，
∵BE=BC，
∴∠BCD=∠E，
∴∠BDE+∠E=90∘，
∴∠DBE=180∘−(∠BDE+∠E)=90∘，
即OB⊥BE.
∵OB为⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
(2)解：∵tanE=12，tanE=DBBE，
∴DBBE=12，
设DB=x，则BE=2x，
∴BC=BE=2x，AD=AB−BD=10−x，
∵AC=AD，
∴AC=10−x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴AC2+BC2=AB2，
∴(10−x)2+(2x)2=102，
解得：x=0(不合题意，舍去)或x=4.
∴BE=2x=8.
故答案为：8.
(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
(2)利用直角三角形的边角关系定理得到DBBE=12，设DB=x，则BE=2x，利用x的代数式表示出线段AC，BC，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
25.【答案】

【解析】
26.【答案】解：(1)当y1=3时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，
∴x=0+62=3，
∴抛物线的对称轴为直线x=3；
(2)∵y=ax2+bx+c(a≠0)过(0,3)，(−1,−1)，
∴c=3，a−b+3=−1，
b=a+4，
∴对称轴为直线x=−b2a=−a+42a，
①当a>0时，
∵−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴−a+42a≤−1，
解得a≤4，
∴0②当a<0时，
∵−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴−a+42a≥2，
解得a≥−45，
∴−45≤a<0，
综上：a的取值范围是−45≤a<0或0(3)∵点(0,3)在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=3，
∵点(m−4,y2)，(m,y2)在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴对称轴为直线x=m−4+m2=m−2，
①如图所示：
∵y2∴m<6且m−2>0+62=3，
∴5②如图所示：
∵y2∴m−4>6，
∴m>10，
综上所述，m的取值范围为510.
【解析】(1)当y1=3时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
(2)把(0,3)，(−1,−1)代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分a>0和a<0，由函数的增减性求出a的取值范围；
(3)先画出函数图象，再根据y2本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
27.【答案】(1)①解：如图1所示：
②证明：∵将射线AC绕点A逆时针旋转90∘，
∴∠FAC=90∘=∠DAB，
∴∠FAD=∠CAB，
∵∠DAB=90∘，∠DBC=45∘，
∴∠ADC+∠ABC=225∘，
∵∠ADC+∠CDF+∠ADF=360∘，
∴∠ADC+∠ADF=225∘，
∴∠ADF=∠ABC，
又∵AD=AB，
∴△ABC≌△ADF(ASA)，
∴DF=BC；
(2)如图2，过点D作DH//BC，交CG的延长线于H，连接CF，
∵点G是BD的中点，
∴DG=BG，
∵DH//BC，
∴∠DHC=∠BCH，∠HDC+∠BCD=180∘，
∴∠HDC=135∘，
∵∠DGH=∠BGC，
∴△DGH≌△BGC(AAS)，
∴CG=HG，BC=DH，
∴DF=DH=BC，CH=2CG，
又∵∠CDF=∠CDH=135∘，CD=CD，
∴△CDH≌△CDF(SAS)，
∴CF=CH=2CG，
∵△ABC≌△ADF，
∴AC=AF，∠FAC=90∘，
∴CF= 2AF，
∴CG= 22AF.
【解析】(1)①按要求画图即可；
②由“ASA”可证△ABC≌△ADF，即可证明；
(2)由“AAS”可证△DGH≌△BGC，可得CG=HG，BC=DH，由“SAS”可证△CDH≌△CDF，可得CF=CH=2CG，由等腰直角三角形的性质可得结论．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28.【答案】P2
【解析】解：(1)如图，各点在图中位置，
由于边OC已与圆有1个交点(1,0)，且点O、C均不在圆上，故只有A在圆上，且△AOC与⊙O与点A除外只有(1,0)一个交点，
由OP2=1，OP22+P2C2=OC2，可知点P2在圆上，且P2C与⊙O相切，可知△OP2C与圆只有P2及(1,0)两个交点，满足“相关三角形”条件，故点A可与P2重合，
P1C与⊙O有额外交点，P3不在圆上，均不满足条件．
故答案为：P2.
(2)∵△ABC为⊙O的“相关三角形”．点B在圆内，点A在圆外，AB与⊙O有一个交点，故点C只能在圆上，且CA除点C外与⊙O没有其他交点．
∵△ABC为直角三角形，且点C在第一象限，
当∠CAB=90∘时，点C不在圆上；当∠ABC=90∘时，点C不在第一象限，
故只有∠ACB=90∘，又−1当点B在(−1,0)处，AC⊥BC时，xC最小，但此时不合题意，AB的中点K(−12,1)到点C的距离为AB的一半，得到KC2=14AB2=54，
(xC+12)2+(yC−1)2=54，C在圆上，得到xC2+yC2=1，解得xC=35，
当AC与⊙O相切时，xC最大，因为xC继续增大，则AC与⊙O会有2个交点，此时点B与原点O重合，作CD⊥x于点D，
则△AOC∽△BDC，
∴CDBC=OCAO=12，
解得CD=12，
∴OD= OC2−CD2= 32，
综上所述，35(3)∵直线y=− 3x+ 3与⊙O在第一象限的交点为A，直线y=− 3x+ 3与y轴的交点为(0, 3)，
故r最大时，(0, 3)在⊙O上，r最大为 3，r最小时，直线y=− 3x+ 3与⊙O相切，r最小为OD= 32，
顶点A在⊙O上，当AC与⊙O有两个交点时，若点B在圆上，△ABC与⊙O有3个交点，不满足“相关三角形”的条件；
若点B在圆内，则AB与⊙O无交点，BC与⊙O有一个交点，不满足“相关三角形”的条件；
若点B在圆外，则AB与⊙O有一个交点，BC与⊙O无交点，不满足“相关三角形”的条件；
故AC与⊙O仅能有一个交点，
当AC与⊙O相切时，OA⊥AC，直线y=− 3x+ 3与x轴的交点E(1,0)，
∴tan∠OEA= 3，∠OEA=60∘，
恰有OE=EC=EA，r=1=OE，
当 32≤r≤1时，AC与⊙O只有两个交点，
当点B在圆内，圆上，圆外时，△ABC与⊙O均只有两个交点，满足“相关三角形”的条件，
故 32≤r≤1.
(1)利用相关三角形的定义逐个经判断即可；
(2)由相关三角形有一个顶点在圆上，得到点C在第一象限的圆上，再通过点B的位置和点A的位置，明确直角只有AC⊥BC，先确定点C，作AC⊥BC，然后根据xC找到点B符合条件的位置，得到对应点C符合条件的位置，分别计算即可．
(3)通过点A的位置及交点个数，明确AC与⊙O只能有一个交点，得到半径最大值，再由⊙O与直线y=− 3x+ 3交点在第一象限，得到半径最小值，画图确定无论点B在圆上还是圆内，圆外均存在满足条件的等腰直角三角形ABC，得到半径的取值范围．
本题为新定义类型的综合题，需按照定义进行判断，本题还涉及直角三角形，等腰直角三角形等知识，解题时还需注意分类讨论．平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%