2024年天津市河东区中考数学结课试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年天津市河东区中考数学结课试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(−40)÷5的结果等于( )
A. 8B. −8C. 35D. −35
2.估计 14的值在( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
3.如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，用心欣赏下列汉字，其中是轴对称图形的是( )
A. 醉B. 美C. 江D. 夏
5.2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为( )
A. 1.6×102B. 1.6×105C. 1.6×106D. 1.6×107
6.计算2cs30∘的结果为( )
A. 12B. 1C. 3D. 2 33
7.计算2m−1m−1+m1−m的结果为( )
A. 1B. −1C. 3mm−1D. m+1m−1
8.若点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=7x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y19.设方程2x2+4x−1=0的两实数根为x1，x2，则x1+x2的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
10.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC=5，CD=3.按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
11.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转角为α(0∘<α<180∘)，得到△CDE，这时点A旋转后的对应点D恰好在直线AD上，则下列结论不一定正确的是( )
A. ∠CBD=∠ECDB. ∠CAB=∠CDB
C. ∠ECB=αD. ∠EDB=180∘−α
12.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：
①AB的长可以为6m；
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；
③菜园ABCD面积的最大值为200m2.
其中正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.不透明袋子中装有15个球，其中有8个红球，5个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.若从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______.
14.计算：(2x2)3⋅(−3xy3)=______.
15.计算(4+ 6)(4− 6)的结果等于______.
16.将直线y=−12x+2向下平移5个单位长度，平移后直线的解析式为______.
17.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，DE=3CE，连接BE，与AC相交于点M，过点M作MN⊥BE，交AD于点N，连接BN，则点E到BN的距离为______.
18.如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以AB为直径作圆，点M为AB的中点．
(Ⅰ)线段AB的长度等于______.
(Ⅱ)请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得∠MAP=3∠BMP，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明).
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解不等式组{7+2x⩾5①3x−24⩽1②，请结合题意填空，完成本题的解答.
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______.
20.(本小题8分)
某学校学生会向全校3500名学生发起了为地震灾区“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图①和图②.请根据统计图表中的信息，回答下列问题：
(1)被抽查的学生人数为_____，m的值为______；
(2)求统计的捐款金额的平均数、众数和中位数.
21.(本小题10分)
如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD与OA交于点E，连接AC，∠ADC=26∘.
(1)如图①，若∠DEB=55∘，求∠ACD的度数；
(2)如图②，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点F，若EF=CF，求∠CAD的度数.
22.(本小题10分)
鹤壁市新世纪广场，是鹤壁市为了打造“火焰般的活力，钻石般的晶莹，田园般的美丽”的城市品牌，聘请清华大学设计建造的高起点、高品位的大型综合性广场.其中，钟楼是广场的主题，也是鹤壁市新区城市的标志性建筑，他默默地陪伴着鹤壁人民走过了20多年的岁月.如图所示，小明在钟塔一侧的水平面上的A处测得塔顶P的仰角为45∘，在某建筑物顶部B处，又测得塔顶P的仰角为38.7∘，已知建筑物的总高度BC为5.2米，水平距离AC的长度为10米，试求钟塔的高度.(结果精确到1米，参考数据：sin38.7∘≈0.63，cs38.7∘≈0.78，tan38.7∘≈0.80)
23.(本小题10分)
已知小明家、书店、活动中心依次在同一条直线上，书店离家1.5km，活动中心离家2km.小明从家出发，跑步经过书店去活动中心；在活动中心停留了10min后，匀速步行了5min返回到书店；在书店又停留了10min后，匀速骑车回到家中.如图是小明离开家的距离y km与离开家的时间xmin之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)填表：
(2)填空：
①小明从家到活动中心的速度为______km/min；
②活动中心到书店的距离为______ km；
③小明从书店返回家的速度为______km/min；
④当小明离家的距离为1千米时，他离开家的时间为______min.
(3)当0≤x≤25时，请直接写出y关于x的函数解析式.
24.(本小题10分)
将一张矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(5,0)，点C(0,2)，点P在边BC上(点P不与点B，C重合).沿OP折叠该纸片，点C的对应点为C′，设CP=t.
(1)如图①，当∠CPO=60∘时，求∠C′OA的度数及点C′的坐标；
(2)如图②，若点C′在第四象限，PC′与OA交于点D，试用含有t的式子表示折叠后与矩形重叠部分的面积，并直接写出t的取值范围；
(3)若折叠后重叠部分的面积为S，当34≤S≤136时，直接写出t的取值范围.
25.(本小题10分)
已知：抛物线y=−13x2+bx+c(b,c为常数)，经过点A(−2,0)，C(0,4)，点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(Ⅰ)求抛物线的解析式；
(Ⅱ)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(Ⅲ)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(−40)÷5=−10×15=−8，
故选：B.
根据有理数的除法法则除一个数等于乘这个数的倒数计算即可．
本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵9<14<16，
∴3< 14<4.
故选：C.
利用有理数逼近无理数，求无理数的近似值解答即可．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A.
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意．
故选：B.
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解这道题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：160万=1600000=1.6×106，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6.【答案】C
【解析】解：∵cs30∘= 32，
∴2cs30∘=2× 32= 3.
故选：C.
利用30度的余弦值为 32进行计算．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：原式=2m−1m−1−mm−1
=2m−1−mm−1
=m−1m−1
=1.
故选：A.
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解∵k=7>0，
∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
根据A，B，C点横坐标，可知点A，B在第三象限，C在第一象限，
−3<−1，2>0，
∴y2故选：B.
根据k=7>0，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵方程2x2+4x−1=0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=−42=−2.
故选：C.
直接利用根与系数的关系即可得到答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题可得，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ADG=∠CDG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ADG=∠CGD，
∴∠CDG=∠CGD，
∴CG=CD=3，
∴BG=CB−CG=5−3=2.
故选：A.
根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG=CD，进而得到BG的长．
本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．掌握角平分线以及平行线的性质是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转角为α(0∘<α<180∘)，得到△CDE，
∴∠CBD=∠ECD，∠CAB=∠CDB，∠ECB=α，∠E=∠ABC，故A选项符合题意，B选项和C选项不符合题意，
∴∠E+∠DBC=∠ABC+∠DBC=180∘，
∴∠EDB=360∘−∠BCE−(∠E+∠DBC)=180∘−α，故D选项不符合题意，
故选：A.
根据旋转的性质和三角形外角的性质以及四边形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：设AD边长为xm，则AB边长为40−x2m.
当AB=6时，40−x2=6，解得x=28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x⋅40−x2=192，
整理得：x2−40x+384=0，
解得x=24或x=16，故②正确；
设矩形菜园的面积为Sm2，根据题意得：S=x⋅40−x2=−12(x2−40x)=−12(x−20)2+200，
∵−12<0，20<26，
∴当x=20时，S有最大值，最大值为200，故③正确；
∴选项正确的有2个．
故选：C.
①设AD边长为xm，则AB边长为40−x2m.当AB=6时求出AD是28，不符合题意即可判断正误；
②列出一元二次方程x⋅40−x2=192，求出x值即可判断正误；
③列出二次函数解析式S=−12(x−20)2+200，根据最值求法即可判断正误．
本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．
13.【答案】815
【解析】解：∵有15个球，其中有8个红球，
∴P(从袋子中随机取出1个球是红球)=815.
故答案为：815.
根据概率公式求解即可．
此题属于容易题，主要考查概率的求解．失分的原因是未将所求的结果进行约分．
14.【答案】−24x7y3
【解析】解：原式=8x6⋅(−3xy3)
=−24x7y3，
故答案为：−24x7y3
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】10
【解析】解：原式=42−( 6)2
=16−6
=10.
故答案为：10.
先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可．
本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
16.【答案】y=−12x−3
【解析】解：直线y=−12x+2向下平移5个单位长度，
则平移后的直线解析式为y=−12x+2−5，
即y=−12x−3，
故答案为：y=−12x−3.
利用“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移规律是解答此题的关键．
17.【答案】 342
【解析】解：过M作MH⊥BC于H，交AD于K，连接NE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=4，∠BCD=90∘，∠ACB=45∘=∠DAC，
∵DE=3CE，
∴CE=1，
在Rt△BCE中，
tan∠EBC=CEBC=14，BE= BC2+CE2= 17，
∴MHBH=tan∠EBC=14，
∴BH=4NH，
∵∠ACB=45∘，
∴△CMH是等腰直角三角形，
∴MH=CH，
设MH=CH=x，则BH=4x，
∵BH+CH=BC=4，
∴4x+x=4，x=45，
∴BH=165，CH=MH=45=DK，
∴BM= BH2+MH2=45 17，
∵∠DAC=45∘，
∴MK=MA=BH，
∵MN⊥BE，
∴∠BMH=90∘−∠NMK=∠MNK，
∵∠BHM=∠MKN=90∘，
∴△BHM≌△MKN(AAS)，
∴MN=BM=45 17，NK=MH=45，
∴AN=AD−NK−DK=125，
∴BN= AB2+AN2=85 34，
设点E到BN的距离为h，
∵2S△BEN=BN⋅h=BE⋅MN，
∴h=BE⋅MNBN= 17×4 1758 345= 342，
故答案为： 342.
过M作MH⊥BC于H，交AD于K，连接NE，根据正方形的性质得AB=AD=BC=CD=4，∠BCD=90∘，∠ACB=45∘=∠DAC，再判断△CMH是等腰直角三角形得MH=CH，设MH=CH=x，则BH=4x，由勾股定理求出 BM=45 17，再根据AAS证△BHM≌△MKN得MN=BM=45 17，设点E到BN的距离为h，根据2S△BEN=BN⋅h=BE⋅MN求出答案．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识点，解题关键是正确作出辅助线求出相关的线段长．
18.【答案】 29
【解析】解：(Ⅰ)AB= 22+52= 29，
故答案为： 29；
(Ⅱ)如图，点P即为所求．
(Ⅰ)利用勾股定理求解即可；
(Ⅱ)取格点T，连接AT，BT，AT交⊙O于点Q，连接BQ，取BT的中点R，连接OR交⊙O于点P(此时OP⊥BQ)，连接MP，AP，点P即为所求．
本题考查作图-复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】x≥−1x≤2−1≤x≤2
【解析】解：(1)解不等式①，得7+2x≥5，2x≥−2，解得x≥−1，
故答案为：x≥−1；
(2)解不等式②，得3x−2≤4，3x≤6，解得x≤2，
故答案为：x≤2；
(3)不等式①和②的解集在数轴上表示：
(4)原不等式组的解集为：−1≤x≤2，
故答案为：−1≤x≤2.
(1)根据不等式的性质解不等式即可；
(2)根据不等式的性质解不等式即可；
(3)在数轴上表示出两不等式的解集范围；
(4)确定两不等式解集的公共部分．
本题考查了不等式组的解法，掌握不等式组解集的确定方法是解题关键．
20.【答案】解：(1)50；28；
(2)观察条形统计图，
∵5×9+10×16+15×14+20×7+25×450=13.1，
∴这组数据的平均数是13.1；
∵在这组数据中，10出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为10；
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数分别是10，15，
有10+152=12.5，
∴这组数据的中位数为12.5.
【解析】解：(1)被抽查的学生人数为918%=50(人)，
m%=1450×100%=28%，则m=28，
故答案为：50；28；
(2)见答案.
(1)根据捐款5元的人数为9人，占18%，即可求得总人数，根据捐款15元的人数为14人，即可求得m的值；
(2)观察条形统计图，分别求得平均数、众数和中位数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求平均数、众数和中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：(1)如图，连接BD，
∵∠DEB是△ADE的一个外角，∠ADC=26∘，∠DEB=55∘，
∴∠DAB=∠DPB−∠ADC=29∘，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠ACD=∠B=90∘−∠DAB=61∘；
(2)如图，连接OC.
∵∠ADC=26∘，
∴∠AOC=2∠ADC=52∘.
∵FC是⊙O切线，
∴∠OCF=90∘.
∴∠F=90∘−∠AOC=90∘−52∘=38∘.
∵OA=OC，EF=CF，
∴∠OAC=∠OCA=180∘−∠AOC2=64∘，
∠FEC=∠ECF=180∘−∠F2=71∘，
∴∠DAE=∠FEC−∠ADC=45∘，
∴∠CAD=∠DAE+∠OAC=109∘.
【解析】(1)连接BD，先求得∠DAB=29∘，最后求得∠ACD=61∘；
(2)连接OC，由切线的性质得∠OCF=90∘，由OA=OC，EF=CF，得∠OAC=64∘，∠FEC=∠ECF=71∘，最后求得∠CAD的度数．
本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．
22.【答案】解：过点B作BH⊥DP于点H，如图所示：
则∠PHB=∠DHB=90∘，
∵∠PDC=∠BCD=90∘，
∴四边形HDCB是矩形，
∴HB=CD，BC=DH，
∵∠PBH=38.7∘，
∴tan38.7∘=PHBH，
∴PH=tan38.7∘⋅BH，
∵∠PAD=45∘，
∴∠APD=45∘，
∴PD=AD，
∵BC=5.2米，AC=10米，
∴BH=(PD+10)米，PH=(PD−5.2)米，
∴(PD−5.2)=tan38.7∘⋅(PD+10)，
∵tan38.7∘≈0.80，
∴PD≈66(米)，
∴钟塔的高度为66米．
【解析】过点B作BH⊥DP于点H，可证四边形HDCB是矩形，从而可得HB=CD，BC=DH，根据tan38.7∘=PHBH，BH=(PD+10)米，PH=(PD−5.2)米，求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】或1103
【解析】解：(1)由小明离开家的距离y km与离开家的时间xmin之间的对应关系图可知：
当离家时间为12min时，离开家的距离y=2km；
当离家时间为25min时，离开家的距离y=1.5km；
小明35min开始回家，速度为：1.540−35=0.3(km/min)；
当离家时间为38min时，离开家的距离y=1.5−0.3×(38−35)=0.6(km)；
填表如下：
(2)①小明从家到活动中心的速度为：2÷10=0.2(km/min)；
②活动中心到书店的距离为：2−1.5=0.5(km)；
③小明从书店返回家的速度为：1.5÷(40−35)=0.3(km/min)；
④当小明离家的距离为1千米时，他离开家的时间为：1÷0.2=5(min)或者
40−1÷0.3=1103(min).
故答案为：①0.2；②0.5；③0.3；④5或1103；
(3)当0≤x≤10时，y=0.2x，
当10当20已知此函数图象经过(20,2)，(25,1.5)，
分别代入得：20k+b=225k+b=1.5，
解得：k=−0.1b=4，
∴y=−0.1x+4(20综上所述：y=0.2x(0≤x≤10)2(10(1)小明离开家的距离y km与离开家的时间xmin之间的对应关系图计算即可；
(2)①根据路程速度时间的数量关系求解即可；②根据图表的信息作差即可；③根据路程与时间求速度即可；④分类讨论，分别计算从家出发以及最后回家时离家距离1千米时所对应的时间；
(3)根据路程=速度×时间，分段列出函数关系式即可．
本题主要考查一次函数图表类问题，能够熟练掌握提取图表中的信息以及待定系数法求一次函数解析式是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)解：过C′作C′E⊥OA于E，如图所示：
∵四边形AOCB是矩形，
∴∠BCO=90∘，∠COA=90∘，
∵∠CPO=60∘，沿OP折叠该纸片，点C(0,2)的对应点为C′，
∴∠C′OP=∠COP=30∘，C′O=CO=2，
∴∠C′OA=30∘，
在Rt△C′OE中，∠C′OA=30∘，C′O=2，则C′E=12C′O=1，
∴OE= C′O2−C′E2= 3，
∴C′( 3,1)；
(2)如图所示：
∵四边形AOCB是矩形，
∴OA//BC，
∴∠CPO=∠POD，
由折叠可得∠CPO=∠DPO，PC′=PC=t，OC′=OC=2，
∴∠POD=∠DPO，
在等腰△POD中，OD=PD，
由折叠可得PC′=PC=t，OC′=OC=2，
设OD=PD=x，则DC′=t−x，
在Rt△DOC′中，由勾股定理得OD2−C′D2=C′O2，
∴x2−(t−x)2=4，解得x=t2+42t，
∴重合部分S△POD=12OD⋅OC=12×t2+42t×2=t2+42t，
当C′在x轴上，则OC′=2，此时CP=OC′=2；
当P与B重合时，此时CP=CB=OA=5；
∵点P在边BC上(点P不与点B，C重合)，
∴2∴重合部分S△POD=t2+42t(2(3)∵若折叠后重叠部分的面积为S，
由(1)(2)的求解过程可知，当34≤S≤136时，根据P点由C→B运动，由C′的位置分两种情况讨论：
①当C′在第一象限，则0根据对称性知重合部分面积S是△POC的面积，
则S=S△POC=12CO⋅PC=12×2×t=t，S=t随着t(或CP)值的增大而增大，
∴当S≥34时，得到t≥34；
当t=2时，面积S=2≤136；
∴当重合部分面积S满足34≤S≤136时，34≤t≤2；
②当C′在第四象限，则2重合部分面积S是△POD的面积，则S=S△POD=12OD⋅OC=12×t2+42t×2=t2+42t，
由于OC′=OC=2，则C′在以O为圆心，2为半径的圆弧上，如图所示：
而OP是线段CC′的中垂线，交CB于P，
则当C′在第四象限时，随着P点由C→B运动，OD逐渐增大，
即当2由(1)知，当t=2时，面积S=2>34时，满足要求；
当S=t2+42t=136时，有3t2−13t+24=0，因式分解得到(t−3)(3t−4)=0，
解得t=43或t=3，
∵2∴t=43舍弃，取t=3，
∴当重合部分面积S满足34≤S≤136时，2综上所述34≤t≤3.
【解析】(1)由∠CPO=60∘，得到∠C′OA=30∘，根据含30∘的直角三角形性质解Rt△EOC′即可得结果；
(2)先证明折叠部分的三角形是等腰三角形，设OD=PD=x，在Rt△C′OD中用勾股定理列出方程，表示出OD，进而得出结论；
(3)当0本题考查了对称性、矩形性质、含30∘的直角三角形性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、函数增减性求范围等知识，解决问题的关键是掌握对称性的应用，并弄清函数的变化趋势．
25.【答案】解：(Ⅰ)把A(−2,0)，C(0,4)分别代入y=−13x2+bx+c得−43−2b+c=0c=4，
解得b=43c=4，
∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4；
(Ⅱ)当y=0时，−13x2+43x+4=0，解得x1=−2，x2=6，
∴B(6,0)，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B(6,0)，C(0,4)分别代入得6m+n=0n=4，
解得m=−23n=4，
∴直线BC的解析式为y=−23x+4，
过P点作PQ//y轴交BC于Q，如图，
设P(t,−13t2+43t+4)，则Q(t,−23t+4)，
∴PQ=(−13t2+43t+4)−(−23t+4)=−13t2+2t，
∴S△PBC=12×6×PQ=−t2+6t=−(t−3)2+9，
当t=3时，S△PBC的值最大，此时P点坐标为(3,5)；
(Ⅲ)取OC的中点D，连接BD交直线x=2于点M，如图，则D(0,2)，
∵MN//CD，MN=CD=2，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴DM=CN，
∵MA=MB，
∴CN+AM=DM+BM=BD，
∴此时四边形AMNC周长最小，
∵BD= 22+62=2 10，AC= 22+42=2 5，
∴四边形AMNC周长的最小值为2 5+2 10+2.
【解析】(Ⅰ)把A、C点坐标分别代入y=−13x2+bx+c得b、c的方程组，然后解方程得抛物线解析式；
(Ⅱ)先解方程−13x2+43x+4=0得B(6,0)，则利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=−23x+4，过P点作PQ//y轴交BC于Q，如图，设P(t,−13t2+43t+4)，则Q(t,−23t+4)，利用三角形面积公式得到S△PBC=−t2+6t，然后利用二次函数的性质解决问题；
(Ⅲ)取OC的中点D，连接BD交直线x=2于点M，如图，则D(0,2)，则四边形CDMN为平行四边形，所以DM=CN，由于CN+AM=BD，根据两点之间线段最短可判断此时四边形AMNC周长最小，然后计算BD、AC可得到四边形AMNC周长的最小值．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．离开家的时间/min
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