2024年江苏省南通市海门区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年江苏省南通市海门区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(−1)×(−2)的结果是( )
A. 2B. 1
C. −2D. −3
2.我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中64580000用科学记数法可表示为( )
A. 64.58×106B. 6.458×107C. 6.458×106D. 0.6458×108
3.砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. x2⋅x3=x6C. x8÷x4=x2D. (−x3)4=x12
5.如图，把一个含30∘角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺上，∠A=30∘，∠1=50∘，则∠2的度数是( )
A. 10∘B. 12∘
C. 15∘D. 20∘
6.关于x的一元二次方程x2+mx−5=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
7.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD.则下列判断不一定正确的是( )
A. AC=2DEB. AB=2CD
C. AB=2ACD. S四边形ACED=3S△BDE
8.在平面直角坐标系中，点A(3,n)，点B(−3,n)，点C(4,n+2)在同一个函数图象上，则该图象可能是( )
A. B. C. D.
9.如图，用4个全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2个全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如图所示的矩形ABCD，则BCAB的值为( )
A. 23B. 34C. 22D. 32
10.已知关于x的多项式ax2+bx+c(a≠0)，当x=a时，该多项式的值为c−a，则多项式a2−b2+3的值可以是( )
A. 74B. 2C. 94D. 52
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.分解因式：m2−4n2=________________.
12.正十二边形的外角和为________.
13.用一个x的值说明“ x2=x”是错误的，则x的值可以是_____________.
14.计算3aa+1+3a+1的结果是____.
15.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45∘，∠MBC=30∘，则警示牌的高CD为_______米(结果精确到0.1，参考数据： 2=1.41， 3=1.73)
16.如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，AB=CD.若⊙O的半径为6，∠CED=30∘，则图中阴影部分的面积为______.
17.如图，平面直角坐标系xOy中，函数y=6x(x>0)的图象经过A(x1,y1)，B(x2,y2)两点．若△ABO的面积为92，则x1x2+y1y2的值为_________________.
18.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE=AB，将EB绕点E顺时针方向旋转90∘得到线段EF，连接AF.当AF的长最小时，tan∠CDE的值为________________.
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：(m+3)(m−3)+m(1−m)；
(2)解方程：xx−1=32x−2−2.
20.(本小题8分)
为了解A、B两款品质相近的无人机在充满一次电后运行的最长时间，有关人员随机抽取了这两款无人机各10架，记录下它们运行的最长时间(单位：min)，并对数据进行整理、描述和分析(运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x<70；良好70≤x<80；优等x≥80)，得到有关信息．
信息一：10架A款无人机充满一次电后运行的最长时间是：
60，64，67，69，71，71，72，72，72，82；
信息二：B款无人机运行最长时间统计图．
两款无人机运行最长时间统计表
(1)你认为哪款无人机运行性能更好些？请说明理由(写出一条即可)；
(2)若仓库有A款无人机200架、B款无人机120架，估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有多少架？
21.(本小题8分)
如图，P是△ABC内一点，PB=PC，∠ABP=∠ACP.求证：∠APB=∠APC.
小虎的证明过程如下：
(1)小虎同学的证明过程中，第____步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
22.(本小题8分)
某超市开展促销活动，凡购物者可获得一次抽奖机会，规则如下：在一个不透明的箱子里装有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5.摸奖者从中随机一次摸出两个小球，若两个球上的数字和为n，则所购商品总价打n折．请用画树状图或列表的方法，求某顾客抽奖一次获得7折的概率．
23.(本小题8分)
日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点(即BC与⊙O相切于点D).点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O相交于点E，与BC相交于点B，连接AC，OC，BD=CD=30cm，OA⊥AC.
(1)求∠B的度数；
(2)连接CE，求CE的长．
24.(本小题8分)
某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．
信息1：每月的销售总量y(件)和销售单价x(元/件)存在函数关系，其图象由部分双曲线EF和线段FG组成．
信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求该产品的生产成本；
(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低40%，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．
25.(本小题8分)
问题情境
如图，折叠矩形纸片ABCD，使点C的对应点F落在边AB上，得到折痕BE，把纸片展平；继续沿过点E的直线折叠，点A的对应点M落在边BC上，得到折痕EG，把纸片展平，AD的对应边MN交CD于点P.
初步探究
(1)四边形BCEF的形状是_______；
深入探究
(2)用等式表示线段PE，PM之间的数量关系，并证明；
拓展延伸
(3)设MG交BE于点Q，BM=2CM=4，求△BGQ的面积．
26.(本小题8分)
已知抛物线y=mx2+2mx+n(m,n为常数，m>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交点C，顶点为D，AB=4.
(1)求3m+n的值；
(2)如图，连接BD交AC于点E，求证：BE=2DE；
(3)设M是x轴下方抛物线上的动点(不与C重合)，过点M作MN//x轴，交直线AC于点N.由线段MN长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【答案】A
【分析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出结论．
【解答】解：(−1)×(−2)=2.
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：64580000=6.458×107.
故选：B.
3.【答案】C
【解析】【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，可得如图：
.
故选：C.
4.【答案】D
【解析】【分析】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、x2⋅x3=x5，故该项不正确，不符合题意；
C、x8÷x4=x4，故该项不正确，不符合题意；
D、(−x3)4=x12，故该项正确，符合题意；
故选：D.
5.【答案】D
【解析】【分析】过点B作BD//EF交AC于D，则∠CDB=∠1，在Rt△BCD中，∠CBD=90∘−∠CDB，又在Rt△ABC中，∠A=30∘，则∠ABC=90∘−∠A，从而求得∠ABD=∠ABC−∠CBD，再证明BD//MN，即可由平行线的性质求解．
【解答】解：过点B作BD//EF交AC于D，
∵BD//EF，
∴∠CDB=∠1=50∘，
∴在Rt△BCD中，∠CBD=90∘−∠CDB=40∘，
在Rt△ABC中，∠A=30∘，
∴∠ABC=90∘−∠A=60∘，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=60∘−40∘=20∘，
∵BD//EF，MN//EF，
∴BD//MN，
∴∠2=∠ABD=20∘.
故选：D.
6.【答案】A
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：∵Δ=m2−4×1×(−5)=m2+20>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A.
7.【答案】C
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
【解答】解：由作图可知PQ垂直平分线段BC，故选项A正确，
∴CE=BE，DE⊥BC，
∵∠ACB=90∘，
∴AC⊥BC，
∴AC//DE，
∴AD=BD，
∴DE是△ABC的中位线，AB=2CD，故B正确；
∴AC=2DE，故A正确；
∵BE=CE，AD=BD，
∴S△BDE=12S△BCD，S△BDC=12S△ABC，
∴S△ABC=4S△BDE，
∴S四边形ACED=3S△BDE，故D正确，
只有当∠B=30∘时，AB=2AC，故C错误，
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C.
8.【答案】B
【解析】【分析】由点A(3,n)，点B(−3,n)，点C(4,n+2)在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称；当x>0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【解答】解：∵A(3,n)，点B(−3,n)，
∴A与B关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意；
∵A(3,n)，点C(4,n+2)
∴当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．
故选：B.
9.【答案】C
【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出AE=EF=GH，DE=EH=GF，DF=BH，AE=CF，进而利用矩形的性质解答即可．
【解答】解：∵用4个全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2个全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如图所示的矩形ABCD，
∴设AE=EF=GH=a，DE=EH=GF=b，DF=BH=a+b，AH=CF=a−b，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90∘，AD=BC，AB=CD，
由勾股定理可得，BC2=AD2=AE2+DE2=a2+b2，AB2=AH2+BH2=(a+b)2+(a−b)2，
∴BCAB= a2+b22a2+2b2= 22，
故选：C.
10.【答案】A
【解析】【分析】先将x=a代入多项式ax2+bx+c中得：a2=−b−1>0，则b<−1，计算所求式并配方与平方的非负性相结合即可求解．
【解答】解：把x=a代入多项式ax2+bx+c中得：a3+ab+c=c−a，
∴a3+ab+a=0，
∵a≠0，
∴a2+b+1=0，
∴a2=−b−1>0，
∴b<−1，
∴a2−b2+3
=−b2−b−1+3
=−b2−b+2
=−(b+12)2+94，
∵−1<0，
∴当b=-12时，a2−b2+3有最大值是94，
当b=−1时，a2−b2+3=−(−1+12)2+94=2，
∵b<−1，
∴本题多项式a2−b2+3的值可以是74.
故选：A.
11.【答案】(m+2n)(m−2n)
【解析】【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．此题可用平方差公式分解．
【解答】解：m2−4n2=(m+2n)(m−2n).
12.【答案】360∘
【解析】【分析】根据多边形的外角和定理求解．
【解答】解：正十二边形的外角和是：360∘.
故答案为：360∘.
13.【答案】−2
【解析】【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：∵“ x2=x”是错误的，
∴x的值可以是−2(答案不唯一).
故答案为：−2(答案不唯一).
14.【答案】3
【解析】【分析】根据分式的加减法法则进行计算．
【解答】解：原式=3a+3a+1
=3(a+1)a+1
=3.
故答案为：3.
15.【答案】2.9
【解析】【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2=(2MC)2，代入数可得答案．
【解答】解：由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45∘，
∴DM=4m，
∵AM=4米，AB=8米，
∴MB=12米，
∵∠MBC=30∘，
∴BC=2MC，
∴MC2+MB2=(2MC)2，
MC2+122=(2MC)2，
∴MC=4 3(米)，
则DC=4 3−4≈2.9(米)，
故答案为：2.9.
16.【答案】6π
【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，求出∠AOB的度数，再利用扇形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴∠AOB=2∠CED=60∘，
∴S阴影=60⋅π⋅62360=6π.
故答案为：6π.
17.【答案】52
【解析】【分析】根据条件和k值的几何意义得到S△AOB=S梯形ABCD=92，代入坐标整理得到x2y1−x1y2=9，依据x1y1⋅x2y2=36，转化为x1y2⋅x2y1=36，可求出x2y1=12，将所求代数式化简后代入数据即可得到结果．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为D、C，
根据反比例函数k值的几何意义可得：
S△AOB=S梯形ABCD=92，
∴12(y1+y2)(x2−x1)=92，
整理得：x2y1−x1y2=9，
∵x1y1⋅x2y2=36，
∴x1y2⋅x2y1=36，
∴(x2y1−9)x2y1=36，
解得x2y1=12，
∴x1x2+y1y2=x1y2+x2y1x2y2=2x2y1−96=24−96=52.
故答案为：52.
18.【答案】 2−1
【解析】【分析】通过证明△ABF∽△OBE，可得AF= 2OE，则当点E在AC上时，OE有最小值为2− 2，即AF的最小值为2 2−2，由等腰直角三角形的性质和锐角函数的性质可求解．
【解答】解：如图，连接AC，BD，交于点O，连接OE，BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO，∠ABO=45∘，AC⊥BD，
∴AB= 2BO=2，
∴BO=AO= 2，
∵将EB绕点E顺时针方向旋转90∘得到线段EF，
∴BE=EF，∠BEF=90∘，
∴BF= 2BE，∠FBE=45∘，
∴∠FBE=∠ABO，
∴∠ABF=∠OBE，
又∵ABBO=BFBE= 2，
∴△ABF∽△OBE，
∴AFOE= 2，
∴AF= 2OE，
∵AB=AE=2，
∴当点E在AC上时，OE有最小值为2− 2，
∴AF的最小值为2 2−2，
此时，如图，过点E作EH⊥CD于H，
∵∠ACD=45∘，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵CE=2 2−2，
∴EH=CH=2− 2，
∴DH= 2，
∴tan∠CDE=EHDH=2− 2 2= 2−1，
方法二：连接EC，AC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵将EB绕点E顺时针方向旋转90∘得到线段EF，
∴BE=EF，∠BEF=90∘=∠ABC，
∴∠AEF=∠CBE，
又∵AB=AE=BC，
∴△AEF≌△CBE(SAS)，
∴AF=EC，
∴当点E在AC上时，AF有最小值，
此时，如图，过点E作EH⊥CD于H，
∵∠ACD=45∘，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵CE=2 2−2，
∴EH=CH=2− 2，
∴DH= 2，
∴tan∠CDE=EHDH=2− 2 2= 2−1，
故答案为： 2−1.
19.【答案】【解答】解：(1)原式=m2−9+m−m2
=m−9；
(2)解：原方程去分母得：2x=3−4(x−1)，
整理得：2x=7−4x，
解得：x=76，
检验：当x=时，2(x−1)≠0，
故原方程的解为x=76.

【解析】【分析】(1)利用平方差公式及单项式乘多项式法则计算即可．
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
20.【答案】【解答】解：(1)A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；(答案不唯一)；
(3)200×610+120×(1−40%)=120+72=192(架)，
答：估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有192架．

【解析】【分析】(1)可比较中位数，众数与方差得出结论；
(2)利用样本估计总体可求解．
21.【答案】【解答】解：(1)全等的判定方法用错了，
故答案为：一；
(2)∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB.
∵∠ABP=∠ACP，
∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB.
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC，
在△ABP和△ACP中，
AB=ACAP=APPB=PC，
∴△ABP≌△ACP(SSS)，
∴∠APB=∠APC.

【解析】【分析】(1)由全等三角形的判定方法可得出结论；
(2)证明△ABP≌△ACP(SSS)，得出∠APB=∠APC.
22.【答案】【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两个球上的数字和为7的结果有：(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，共4种，
∴某顾客抽奖一次获得7折的概率为412=13.

【解析】【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两个球上的数字和为7的结果数，再利用概率公式可得出答案．
23.【答案】【解答】解：(1)如图，连接OD.
∵BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵BD=DC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠B.
∵OA⊥AC，OA为半径，
∴CA与⊙O相切于点A.
而BC与⊙O相切于点D，
∴∠ACB=2∠BCO，
∵∠B+∠ACB=90∘，
∴3∠B=90∘，
∴∠B=30∘；
(2)由(1)知∠ACO=12∠ACB=30 ∘，∠OAC=90∘，
∵CA，CD与⊙O相切，
∴CA=CD=30.
∴OA=ACtan30 ∘=30× 33=10 3，
∴AE=20 3，
在Rt△ACE中，CE= AE2+AC2= (20 3)2+302=10 21(cm).

【解析】【分析】(1)证明OB=OC，再利用切线的性质证明∠∠B=∠OCB=∠ACO，再利用三角形内角和定理求解；
(2)求出AC，AE，利用勾股定理求解．
24.【答案】【解答】解：(1)由图象得曲线EF解析式为y=450×40x=18000x(0令x=45，则y=1800045=400，
即3月份销售量为400件，
设该产品的生产成本为a元/件，则(66−a)×100=(45−a)×400，
解得a=38，
答：该产品的生产成本为38元/件；
(2)3月份利润为：(45−38)×400=2800元．
由题意得4月份成本为(1−40%)×38=22.8元/件，
则18000x(x−22.8)≥2800，
解得x≥27，
∴4月份该产品销售单价的范围是27≤x<45.

【解析】【分析】(1)根据题意得到y=450×40x=18000x(0(2)根据题意得到3月份利润为(45−38)×400=2800元．由题意得4月份成本为(1−40%)×38=22.8元/件，列不等式即可得到结论．
25.【答案】【解答】解：(1)∵折叠矩形纸片ABCD，使点C的对应点F落在边AB上，
∴∠ECB=∠EFB=90∘=∠FBC，
∴四边形BCEF是矩形，
∵BC=BF，
∴四边形BCEF是正方形；
故答案为：正方形；
(2)PE=PM.
证明：连接EM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC.
∴∠D=∠C=90∘
由折叠知，MN=AD，∠N=∠D=∠C=90∘.
∵四边形BCEF是正方形，
∴EC=BC.
∴EC=MN.
在Rt△ENM和Rt△MCE中，
EM=MEMN=EC，
∴Rt△ENM≌Rt△MCE(HL)，
∴∠EMN=∠MEC，
∴PE=PM；
(3)∵Rt△ENM≌Rt△MCE，
∴EN=CM=2，EC=MN.
∴DE=EN=2.
∵正方形BCEF中，EC=BC=6，
∴AB=DC=8.
设GB=x，则GM=AG=8−x.
由勾股定理得，GB2+BM2=GM2，即(8−x)2=x2+16，
解得x=3，
即GB=3.
过点Q作QH⊥BG于H，
∵∠GBQ=45∘，
∴QH=BH，GH=3−BH=3−QH.
∵tan∠QGH=QHGH=MBBG，
∴QH3−QH=43，
∴QH=127.
∴S△BGQ=12BG⋅QH=12×3×127=187.

【解析】【分析】(1)由折叠的性质得出∠ECB=∠EFB=90∘=∠FBC，由正方形的判定可得出结论；
(2)连接EM，证明Rt△ENM≌Rt△MCE(HL)，得出∠EMN=∠MEC，则可得出结论；
(3)求出AB=DC=8.设GB=x，则GM=AG=8−x.由勾股定理求出GB=3，过点Q作QH⊥BG于H，求出QH，则可得出答案．
26.【答案】(1)解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=−1，
∵AB=4，
则xB−xA=4xB+xA2=-1.
∴xA=−3xB=1，
将(1,0)代入y=mx2+2mx+n得：m+2m+n=0.
∴3m+n=0；
(2)证明：由(1)得n=−3m，
∴y=mx2+2mx−3m=m(x−1)2−4m.
∴C(0,−3m)，D(−1,−4m).
过D作DF//x轴交AC延长线于点F，
设直线AC为y=kx−3m，则−3k−3m=0，即k=−m，
∴直线AC为y=−mx−3m.
令y=−4m，则−mx−3m=−4m，即x=1，
∴xy=1，
∴DF=2.
∵DF//x轴，
∴△DFE∽△BAE，则BEDE=ABDF=2，
∴BE=2DE；
(3)解：直线AC为y=−mx−3m.
设M为(a,ma2+2ma−3m)，
则N为(−a2−2a,ma2+2ma−3m)，
MN=|−a2−2a−a|=|a2+3a|.
由题意知−3结合图象，
当0当MN=94时，符合条件的点M有2个；
当94
【解析】【分析】(1)由AB=4，则xB−xA=4xB+xA2=-1，得到xA=−3xB=1，即可求解；
(2)证明△DFE∽△BAE，则BEDE=ABDF=2，即可求解；
(3)求出MN=|−a2−2a−a|=|a2+3a|，由题意知−3类别
平均数
中位数
众数
方差
A
70
71
72
30.4
B
70
70.5
67
26.6
证明：在△ABP和△ACP中，∵PB=PC，∠ABP=∠ACP，AP=AP，∴△ABP≌△ACP.…第一步∴∠APB=∠APC.…第二步
2
3
4
5
2
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,2)
(3,4)
(3,5)
4
(4,2)
(4,3)
(4,5)
5
(5,2)
(5,3)
(5,4)